Descri¸c˜ao do Algoritmo FDA-NCP - ALGORITMOS PARA PROBLEMAS DE COMPLEMENTARIDADE NÃO LINEAR. S

O presente algoritmo produzirá uma seqüência de pontos interiores a região Ω que converge a uma solu¸cão do problema de complementaridade mediante a resolu¸cão de um sistema linear e uma busca linear nas restri¸cões x ≥ 0 , F (x) ≥ 0 e na fun¸cão potencial φ(x). A busca que iremos utilizar é a de Armijo. Vamos considerar os seguintes parâmetros:

c, ² > 0, ρ₀, η, ν ∈ (0, 1), β ∈ (1, 2]. Dados iniciais: x0 ∈ Ω estritamente vi´avel tal

que φ(x0) ≤ c e k = 0.

1. Passo 1: Dire¸c˜ao de Busca. Resolva o sistema

[D_{F (x}k)+ D_xk∇F (xk)]dk = −H(xk) + ρkE,

onde ρk = ρ0^φ(x

k)β

n . 2. Passo 2: Busca linear.

Define-se o tamanho do passo tk como sendo o primeiro valor da seq¨uˆencia

{1, ν, ν2, ν3, ...} satisfazendo

1) xk+ tkdk ≥ 0

2) F (xk+ tkdk) ≥ 0

3) φ(xk) + tkη∇φ(xk)tdk≥ φ(xk+ tkdk)

3. Passo 3: Atualiza¸c˜ao dos Dados xk+1 := xk+ tkdk e k := k + 1

4. Passo 4: Crit´erio de parada Se φ(xk+1) < ² , pare.

caso contr´ario volte ao passo 1.

Neste algoritmo podemos destacar dois pontos importantes. Primeiro é o calculo da dire¸cão de busca e o segundo é busca linear. No passo 1 determinamos a dire¸cão

de busca dk por meio da resolu¸cão de um sistema linear. Este sistema fornece uma dire¸cão dk que é uma combina¸cão da dire¸cão de Newton dk

1 e da dire¸c˜ao de restaura¸c˜ao dk

A dire¸c˜ao de Newton dk

1 é uma dire¸cão de descida para a fun¸cão potencial φ(xk) dentro da região Ω, como já visto o grande inconveniente de usarmos esta dire¸cão para achar o próximo ponto da seqüência é que esta dire¸cão não é em geral uma dire¸cão viável na região Ω. A dire¸cão dk

2 por sua vez é uma dire¸cão de restaura¸cão que tem a propriedade de ser viável na região Ω, porem não é em geral uma dire¸cão de descida para fun¸cão potencial φ(xk). Mas a combina¸cão destas duas dire¸cões nos fornece uma dire¸cão dk que tem a propriedade de ser uma dire¸cão de descida da fun¸cão potencial φ(xk) e viável na região Ω como mostrado nas proposi¸cões 3.1.2 e 3.1.3.

Desta forma é poss´ıvel gerar uma seqüência de pontos com a dire¸cão dk onde cada ponto desta seqüência esta contido em Ω e ainda decresce o valor da fun¸cão potencial φ(xk). Isto é poss´ıvel por meio de uma busca linear na dire¸cão de dk que é justamente o segundo passo. A busca linear determina o próximo ponto da seqüência, xk+1, que verifica duas condi¸cões xk+1 ∈ Ω e φ(xk+1) ≤ φ(xk). É importante na busca linear que o comprimento do passo tk não tenda a zero pois isso comprometerá na convergência do algoritmo.

Para a aplica¸cão do algoritmo é muito importante termos as seguintes condi¸cões:

• Um ponto inicial x0 estritamente vi´avel.

• O conjunto Ω ⊂ IRn ter interior n˜ao vazio.

• A matriz ∇H(x) ser n˜ao singular para x ∈ Ω.

Portanto o que faremos a seguir é estabelecer condi¸cões para que os passos 1 e 2 do algoritmo FDA-NCP estejam bem definidos e ainda garanta que a seqüência gerada por eles convirja a uma solu¸cão do problema de complementaridade.

Cap´ıtulo 4

Convergˆencia Global do

FDA-NCP

Nesta se¸cão apresentaremos resultados teóricos sobre a convergência global do Algoritmo FDA-NCP a uma solu¸cão do problema de complementaridade. Lembrando que o Algoritmo deverá gerar uma seqüência de pontos {xk} ⊂ Ω, a

partir de um ponto estritamente viável, e a cada itera¸cão deverá reduzir o valor da fun¸cão potencial φ(xk). Para tal, o algoritmo produzirá uma dire¸cão de busca dk que tem as propriedades de ser uma dire¸cão viável em Ω e de descida para a fun¸cão potencial φ(x). Mostraremos que esta dire¸cão dk é um campo uniforme de dire¸cões viáveis e limitado. O passo da busca de Armijo para a fun¸cão potencial φ(x) é limitado inferiormente por um valor positivo.

Assumiremos condi¸cões clássicas para a fun¸cão F (x), a matriz ∇H(x) e o conjunto de pontos viáveis Ω.

Suposi¸c˜ao 4.0.1 O conjunto

Ωc≡ {x ∈ Ω | φ(x) ≤ c} ´e compacto e possui interior Ω0

c 6= ∅, tal que para cada x ∈ Ω0

c satisfaz x > 0 e F (x) > 0.

Suposi¸c˜ao 4.0.2 A fun¸cão F (x) é continuamente diferenciável e ∇F (x) satisfaz a

condi¸c˜ao de Lipschitz,

para qualquer x, y ∈ Ωc, onde γ0 ´e uma constante positiva.

Suposi¸c˜ao 4.0.3 A matriz ∇H(x) ´e n˜ao singular para todo x ∈ Ω_c, ou seja, existe

(∇H(x))−1 para todo x ∈ Ω_c.

A suposi¸cão 4.0.1 garante a existência de pontos estritamente viáveis em Ω_c. Da suposi¸cão 4.0.3 temos que as componentes de x e F (x) não se anulam simultaneamente para nenhum x ∈ Ω_c. Temos também que o sistema de equa¸cões do algoritmo

∇H(xk)dk = −H(xk) + ρkE,

possui solu¸cão única, logo a dire¸cão dk está bem definida.

Como ∇F (x) é cont´ınua segue que tanto ∇H(x) quanto (∇H(x))−1 são aplica¸cões cont´ınuas e limitadas em Ω_c. Ou seja existem constantes positivas κ₀, κ tal que k∇H(x)k ≤ κ0 e k(∇H(x))−1k ≤ κ para todo x ∈ Ωc.

4.1 Resultados de Convergˆencia

Nos resultados a seguir assumiremos as suposi¸c˜oes (4.0.1 - 4.0.3). Primeiro veremos resultados com respeito a F (x) e a equa¸c˜ao do sistema H(x) = x • F (x).

Lema 4.1.1 Seja um subconjunto Γ ⊂ <n compacto e não vazio. Então as fun¸cões F (x), H(x) = x • F (x) satisfazem a condi¸cão de Lipschitz em Γ.

Prova.:

Primeiro observe que como F (x) é de classe C1então H(x) = x•F (x) é de classe C1

também. Temos também que ∇Fi(x) é cont´ınua para todo i ∈ {1, 2, ..., n} e como Γ é compacto então ∇F_i(x) é limitado em Γ. Existe C_F_i constante positiva tal que , k∇Fi(x)k ≤ CF_i para todo x ∈ Γ. Assim dados x , y em Γ tal que o seguimento

x + t(y − x) ∈ Γ para todo t ∈ [0, 1] e para qualquer i ∈ {1, 2, ...n}. Segue pelo

teorema do valor m´edio

para algum τ ∈ [0, 1]. Portanto, para qualquer i ∈ {1, 2, ...n}, Fi(x) satisfaz a condi¸c˜ao de Lipschitz

|Fi(y) − Fi(x)| ≤ CF_iky − xk.

De forma an´aloga temos o mesmo resultado para Hi(x).

|Hi(y) − Hi(x)| ≤ CH_iky − xk.

Tomando CF =^Pⁿ_i=1CFi, podemos concluir que

kF (y) − F (x)k ≤ n X i=1 |Fi(y) − Fi(x)| ≤ n X i=1 CFiky − xk = CFky − xk.

Tamb´em de maneira an´aloga segue que

kH(y) − H(x)k ≤ n X i=1 |Hi(y) − Hi(x)| ≤ n X i=1 CHiky − xk = CHky − xk, onde CH =^Pⁿ_i=1CHi.

Lema 4.1.2 Seja um subconjunto Γ ⊂ <n compacto e não vazio. Então a fun¸cão ∇H(x) satisfaz a condi¸cão de Lipschitz em Γ.

Prova:

Dados x , y em Γ ent˜ao: (∇H(x) = D_{F (x)}+ D_x∇F (x))

||∇H(y) − ∇H(x)|| = ||D_{F (y)}+ D_y∇F (y) − D_{F (x)}− D_x∇F (x)|| ≤ ≤ ||D_{F (y)}− D_{F (x)}|| + ||D_y∇F (y) − D_x∇F (x)|| ≤

≤ ||D_{F (y)}− D_{F (x)}|| + ||D_y(∇F (y) − ∇F (x))|| + ||(D_y− D_x)∇F (x)|| ≤

≤ ||D_{F (y)}− D_{F (x)}|| + ||D_y||||∇F (y) − ∇F (x)|| + ||∇F (x)||||D_y − D_x||.

Como Γ é compacto e ∇F (x) é uma fun¸cão continua, então existem uma constante positiva tal que ||D_z|| ≤ c₀ e ||∇F (z)|| ≤ c₁∀z ∈ Γ e da suposi¸cão 4.0.2 temos

||∇H(y) − ∇H(x)|| ≤ C_Fky − xk + c₀γ₀ky − xk + c₁ky − xk = γky − xk,

Lema 4.1.3 Para x, y ∈ Γ, se o seguimento de reta x + t(y − x) ∈ Γ para todo

t ∈ [0, 1], segue as seguintes desigualdades:

H_i(y) ≤ H_i(x) + ∇H_i(x)(y − x) + γ||y − x||2 ∀ 1 ≥ i ≥ n , (1.1)

H_i(y) ≥ H_i(x) + ∇H_i(x)(y − x) − γ||y − x||2 ∀ 1 ≥ i ≥ n , (1.2)

onde ∇H_i(x) ´e um vetor linha. Prova:

Observe primeiro que: ∇H(x) ´e uma matriz com a i-esima linha igual a ∇H_i(x) logo

∇H_i(x)d = [∇H(x)d]_i.

Assim temos que

|∇H_i(x)d| ≤ k∇H(x)dk ≤ ||∇H(x)||kdk. (1.3) Ent˜ao pelo teorema do valor m´edio existe τ ∈ [0, 1] tal que

H_i(y) = H_i(x) + ∇H_i(x + τ (y − x))(y − x).

agora somando e subtraindo ∇Hi(x)(y − x) no segundo membro da igualdade temos

H_i(y) = H_i(x) + ∇H_i(x)(y − x) + (∇H_i(x + τ (y − x)) − ∇H_i(x))(y − x). (1.4) Da equa¸c˜ao (1.3) temos

|(∇H_i(x + τ (y − x)) − ∇H_i(x))(y − x)| = |[(∇H(x + τ (y − x)) − ∇H(x))(y − x)]_i| ≤ ≤ k∇H(x + τ (y − x)) − ∇H(x)kky − xk,

e pelo lema 4.1.2 segue

|(∇Hi(x + τ (y − x)) − ∇Hi(x))(y − x)| ≤ γkτ (y − x)kky − xk ≤ γky − xk². (1.5)

Portanto da equa¸c˜ao (1.4) e da desigualdade (1.5) segue as duas desigualdades do lema (1.1) e (1.2).

Os resultados a seguir provaram que a dire¸cão de busca gerada pelo algoritmo FDA-NCP é: limitada; uma dire¸cão de descida ; e constitui um campo uniforme

de dire¸c˜oes vi´aveis. Lembrando que ρk = ρ₀^φ(x_n^k⁾^β onde ρ₀ = α min{1, 1

cβ−1} com β ∈ [1, 2] , α ∈ (0, 1) e xk ∈ Ω_c.

Lema 4.1.4 Para qualquer xk ∈ Ω_c, da dire¸c˜ao de busca dk gerada pelo algoritmo satisfaz

kdkk ≤ κφ(xk). (1.6)

Como conseq¨uˆencia, kdkk ≤ κc.

Prova:

Seja xk ∈ Ωc. Como dk = M−1(xk)[−H(xk) + ρkE], temos a seguinte desigualdade kdkk ≤ kM−1(xk)kk−H(xk)+ρkEk. Basta mostrar uma limita¸c˜ao para k−H(xk)+

ρkEk. Tome a seguinte igualdade

k − H(xk) + ρkEk2 = kH(xk)k2− 2ρkφ(xk) + n(ρk)2.

Como kH(xk)k2 ≤ φ2(xk)k para todo xk∈ Ω_c temos que

k − H(xk) + ρkEk2 ≤ φ2(xk) − 2ρkφ(xk) + n(ρk)2 = (n − 1)(ρk)2+ (φ(xk) − ρk)2, como ρk = ^ρ0φ(xk)β n e ρ₀φ(xk)β−1 < 1 segue k − H(xk) + ρkEk2 ≤ [^{(n − 1)(ρ}⁰^φ(x k)β−1)2+ (n − ρ0φ(xk)β−1)2 n2 ]φ(xk)2,

observe que (n − 1) < (n − ρ₀φ(xk)β−1) < n e (ρ₀φ(xk)β−1)2 < ρ₀φ(xk)β−1 < 1 ent˜ao

[^{(n − 1)(ρ}⁰^φ(x

k)β−1)2+ (n − ρ0φ(xk)β−1)2

n2 ] < ^{n − ρ}⁰^φ(x

k)β−1

n ^{< 1.}

Assim temos a seguinte desigualdade

k − H(x^k) + ρ^kEk ≤ φ(x^k) , ∀x^k ∈ Ωc.

Portando, segue daqui as desigualdades do lema kdkk ≤ κφ(xk) e kdkk ≤ κc para

Lema 4.1.5 A dire¸cão de busca dk é uma dire¸cão de descida para φ(xk) para

qualquer xk∈ Ω_c tal que H(xk) 6= 0. Prova:

Como φ(xk) ´e continuamente diferenci´avel basta verificarmos que ∇φ(xk)dk < 0

para qualquer xk ∈ Ω_c tal que H(xk) 6= 0 para concluirmos que dk ´e dire¸c˜ao de descida.

Observe que ∇φ(xk) = Et∇H(xk), assim

∇φ(xk)dk = Et[∇H(xk)dk] = Et[−H(xk) + ρkE] = −(1 − ρ₀φ(xk)β−1)φ(xk) < 0 o que conclui o resultado.

Lema 4.1.6 Sejam f e g fun¸c˜oes reais cont´ınuas no intervalo da reta [0, b]. Se

f (t)g(t) > 0 ∀ t ∈ (0, b) ent˜ao uma das duas condi¸c˜oes ocorre:

1) f (t) ≥ 0 e g(t) ≥ 0 ∀ t ∈ [0, b], 2) f (t) ≤ 0 e g(t) ≤ 0 ∀ t ∈ [0, b].

Prova.: ´E f´acil ver que f e g tem o mesmo sinal no intervalo (0, b). Pois caso contr´ario, existiria um t ∈ (0, b) tal que f (t)) < 0 e g(t) > 0 o que implicaria

f (t)g(t) < 0 que ´e uma contradi¸c˜ao.

Agora se existe um t ∈ (0, b) tal que

f (t) > 0 e g(t) > 0 ∀ t ∈ (0, t), f (t) < 0 e g(t) < 0 ∀ t ∈ (t, b).

Pela continuidade da f (t) (g(t)) temos que f (t) = 0 (g(t) = 0) o que é uma contradi¸cão pois por hipótese f (t)g(t) > 0 para todo t no intervalo (0, b). Logo f e

g ter˜ao o mesmo sinal em todo intervalo (0, b).

1⁰) f (t) > 0 e g(t) > 0 ∀ t ∈ (0, b), 20) f (t) < 0 e g(t) < 0 ∀ t ∈ (0, b).

No caso de termos 10) isto implica em f (0) , g(0) , f (b) e g(b) ≥ 0. No caso de termos 20) isto implica em f (0) , g(0) , f (b) e g(b) ≤ 0.

Isto ´e verdade pois, sem perda de generalidade, vamos assumir que estamos com a condi¸c˜ao 10) e supor f (b) < 0. Pela continuidade f existe um δ > 0 tal que para todo t que satisfa¸ca |b − t| < δ implica que f (t) < 0, ou seja, existe um t < b tal que

f (t) < 0 o que é uma contradi¸cão. Portanto conclu´ımos que uma das duas condi¸cões

se verifica:

1) f (t) ≥ 0 e g(t) ≥ 0 ∀ t ∈ [0, b], 2) f (t) ≤ 0 e g(t) ≤ 0 ∀ t ∈ [0, b].

Lema 4.1.7 A seqüência de dire¸cão {dk} gerada pelo algoritmo FDA-NCP, consiste em um campo uniforme de dire¸cões viáveis do problema de complementaridade em

Ω. Prova:

Segue da equivalˆencia de normas e do lema 4.1.2 que

k∇H_i(y) − ∇H_i(x)k ≤ γky − xk para todo x , y ∈ Ω_c e 1 ≤ i ≤ n.

Suponhamos que exista θ > 0 tal que para todo xk ∈ Ω_c o seguimento [xk, xk+ τ dk] ⊂ Ω_c para τ ∈ [0, θ]. Do teorema do valor m´edio temos que

H_i(x^k+ τ d^k) ≥ H_i(x^k) + τ ∇H_i^t(x^k)d^k− τ²γkd^kk²

para qualquer τ ∈ [0, θ] e 1 ≤ i ≤ n. Como

∇H_i(x^k)d^k = −x^k_iF_i(x^k) + ρ^k (1.7) segue que

Em conseq¨uˆencia,

H_i(xk+ τ dk) ≥ 0

para todo 1 ≤ i ≤ n e qualquer τ ≤ min{1,_γkd^ρ^kkk2}. Portanto, pelo lema 4.1.6

conclu´ımos que xk+ τ dk ∈ Ω.

Considerando agora o lema 4.1.4, e pela defini¸c˜ao de ρk temos

τ ≤ min{1, ^ρ⁰

γnκ2φ(xk)β−2} (1.8)

Como β ∈ [1, 2], basta escolher

θ = min{1,^ρ⁰^c^β−2 γnκ2 }.

Lema 4.1.8 Existe ξ > 0 tal que, para todo xk ∈ Ω_c, a condi¸c˜ao de Armijo no algoritmo ´e satisfeita para qualquer tk ∈ [0, ξ].

Prova:

Seja tk ∈ (0, θ], onde θ foi obtido no lema anterior. Aplicando o Teorema do Valor

M´edio para i = 1, 2, ..., n e tomando xk+1 = xk+ tkdk, nos temos

H_i(xk+1) ≤ H_i(xk) + tk∇[H(xk)]_idk+ tk2

γkdkk2.

Somando as n inequa¸c˜oes e considerando a equa¸c˜ao (1.7), temos:

φ(xk+1) ≤ [1 − (1 − ^ρ^kⁿ

φ(xk)^)t

k]φ(xk) + ntk2

γkdkk2.

Considerando agora da condi¸c˜ao de Armijo para φ(xk) e pelo lema 4.1.5, deduzimos que se, [1 − (1 − ^ρ^kⁿ φ(xk)^)t k]φ(xk) + ntk2 γkdkk2 ≤ [1 − tkη(1 − ^ρ^kⁿ φ(xk)^)]φ(x k)

é verificado, então a condi¸cão de Armijo no algoritmo é satisfeita. Assim, é suficiente tomarmos

tk ≤ ^{(1 − η)(1 −}

ρkn

φ(xk))φ(xk)

Como no lema anterior, podemos tomar

tk ≤ (1 − η)(1 − ρ₀φ(xk)β−1)^φ(x k)−1

γnκ2 . (1.9)

Assim, o lema fica provado para

ξ = min{^{(1 − η)(1 − ρ}

0cβ−1)

γnκ2c ^{, θ},}

onde θ foi obtido no Lema 4.1.7.

Como conseqüência dos lemas 4.1.7 e 4.1.8, podemos concluir que o passo da busca linear de Armijo no algoritmo FDA-NCP é limitado inferiormente por νξ > 0. Assim podemos enunciar o teorema que garante a convergência global do algoritmo a uma solu¸cão do problema de complementaridade.

Teorema 4.1.1 Dado um ponto inicial estritamente viável, x0 ∈ Ω_c, existe uma subseqüência de {xk} gerada pelo Algoritmo FDA-NCP que converge para x∗, solu¸cão do problema de complementaridade.

Prova:

Segue dos lemas 4.1.4 a 4.1.8 que {xk} ⊂ Ωc. Como Ωc é compacto, a seqüência

{xk} possui ponto de acumula¸cão em Ω_c. Seja x∗ um ponto de acumula¸cão desta seqüência. Como o tamanho do passo é sempre positivo e limitado inferiormente por

νξ, conclu´ımos que kdkk → 0. E do sistema do algoritmo temos que {φ(xk)} → 0. Assim, x∗ ´e uma solu¸c˜ao do problema de complementaridade.

Cap´ıtulo 5

Problema de Complementaridade

Mista

5.1 Id´eias B´asicas

Vamos extender o FDA-NCP para problemas que envolvam mais variáveis e uma condi¸cão de igualdade além da condi¸cão de complementaridade. Este tipo de problema é chamado de Problema de Complementaridade Mista (MNCP). Que tem a seguinte defini¸cão:

Defini¸c˜ao 5.1.1 Sejam F : IRn× IRm → IRn e Q : IRn× IRm → IRm, aplica¸cões de classe C1 em IRn× IRm então uma solu¸cão para este problema é:

Encontrar (x, y) ∈ IRn× IRm tal que x ≥ 0 , F (x, y) ≥ 0 e

     x • F (x, y) = 0 Q(x, y) = 0.

Quando F (x, y) e Q(x, y) s˜ao lineares temos o Problema de Complementaridade Mista Linear (MLCP).

Para a utiliza¸c˜ao do algoritmo FDA-NCP no problema 5.1.1 vamos agregar no sistema H(x, y) = 0, onde H(x, y) = x•F (x, y), a equa¸c˜ao de igualdade Q(x, y) = 0. Assim o novo sistema fica da seguinte forma:

S(x, y) =  H(x, y) Q(x, y)  =  x • F (x, y) Q(x, y)  = 0 (1.1)

Tomando Ω = {(x, y) ∈ IRⁿ× IR^m / x ≥ 0 e F (x, y) ≥ 0} e a fun¸c˜ao potencial f (x, y) = φ(x, y) + kQ(x, y)k2, onde φ(x, y) = xTF (x, y). Vamos procurar uma

solu¸cão para o sistema (1.1) na região Ωc = {(x, y) ∈ Ω / f (x, y) ≤ c}. Da mesma forma como no algoritmo FDA-NCP vamos construir uma seqüência de pontos que converge para uma solu¸cão do sistema (1.1). É fácil ver que:

(x, y) é uma solu¸cão de MNCP ⇔ (x, y) é solu¸cão do sistema 1.1 em Ω. O gradiente de S(x, y) é dado pela expressão:

∇S(x, y) =  ∇_xH(x, y) D_x∇_yF (x, y) ∇_xQ(x, y) ∇_yQ(x, y)  

onde ∇_xH(x, y) = D_{F (x,y)} + D_x∇_xF (x, y). Aplicando simplesmente uma itera¸c˜ao

de Newton para o sistema (1.1) não garante que a dire¸cão d seja viável em Ω assim pelos mesmos argumentos apresentados no algoritmo FDA-NCP, podemos obter uma dire¸cão de busca viável em Ω resolvendo o seguinte sistema:

 ∇_xH(xk, yk) D_xk∇_yF (xk, yk) ∇_xQ(xk, yk) ∇_yQ(xk, yk)  d^k =  −xk• F (xk, yk) + ρkE₁ −Q(xk, yk)   (1.2) onde ρk = ^ρ0φ(xk,yk)β n ∈ (0, 1), φ(xk, yk) = xk • F (xk, yk), ρ₀ = α min{1, 1 cβ−1}, α ∈ (0, 1) e β ∈ [1, 2] para todo (xk, yk) ∈ Ω_c. Definimos o seguinte vetor coluna

E =  E1 E₀   com E₁ = [1, 1, ..., 1]T ∈ IRⁿ e E₀ = [0, 0, ..., 0]T ∈ IR^m. Assim, o sistema na sua forma compacta ´e

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