10.3 Problema de Elasticidade Linear com Contato
10.3.2 Modelo de Elementos de Contorno
O M´etodo dos Elementos de Contorno (MEC) ´e baseado em uma equa¸c˜ao integral conhecida como identidade de Somigliana para os deslocamentos. Para for¸cas de volume nulas pode ser escrita na forma matricial:
c(ξ)u(ξ) =RΓu∗(ξ, x)p(x) dΓ −RΓp∗(ξ, x)u(x) dΓ . (3.9) A fun¸c˜ao u∗representa `a solu¸c˜ao fundamental em deslocamentos para o problema de elasticidade linear, p∗ ´e sua correspondente for¸ca de superf´ıcie.
Por exemplo, para estado plano de deforma¸c˜oes, as componentes de deslocamento e for¸cas de superf´ıcies da solu¸c˜ao fundamental s˜ao dados em nota¸c˜ao indicial por:
u∗ ij(ξ, x) = −1 8π(1−νm)Gm{(3 − 4νm) log(r)δij − r,ir,j} , p∗ ij(ξ, x) = −1 4π(1−νm)r n [(1 − νm)δij + 2r,ir,j] ∂r ∂n − (1 − νm)(r,inj− r,jni)o ,
onde r = r(ξ, x) representa a distˆancia entre o ponto ξ e o ponto x, r = kx − ξk, e as derivadas r,i= ∂r/∂xi. Gm e νm s˜ao, respectivamente, os m´odulos de distor¸c˜ao transversal e de Poisson do material e n ´e a normal a Γ no ponto x.
A matriz c ´e fun¸c˜ao da geometria do contorno no ponto ξ e a segunda integral `a direita na Eq. 3.9 deve ser calculada no sentido do valor principal de Cauchy [4].
Discretizando o contorno em elementos lineares e aplicando nos n´os a Eq. 3.9 tem-se a equa¸c˜ao do MEC que pode ser escrita como:
Hu − Gp = 0 , (3.10)
onde as matrizes H e G s˜ao matrizes cheias n˜ao sim´etricas e os vetores u e p definem os deslocamentos e for¸cas de superf´ıcie em todos os n´os do contorno.
Substituindo as vari´aveis de valores dados pelas condi¸c˜oes de contorno, Eqs. (3.1.b) e (3.1.c), a Eq. 3.10 pode ser escrita como:
onde o vetor x cont´em as inc´ognitas de for¸ca de superf´ıcie do contorno ΓC na dire¸c˜ao do versor ¯n e y cont´em o resto das inc´ognitas do problema. Assim, as condi¸c˜oes de contorno em ΓC das Eqs. (3.2.a) a (3.2.c) podem ser escritas como:
F(y) ≥ 0 , x ≥ 0 , F(y) • x = 0 ,
Definindo a fun¸c˜ao Q(x, y) = Ax + By − f tem-se o seguinte Problema de Complementaridade Mista (NCPM):
F(y) ≥ 0 , (3.12)
x ≥ 0 , (3.13)
F(y) • x = 0 , (3.14)
Q(x, y) = 0 . (3.15)
A Eq. 3.11 permite expressar a vari´avel y em fun¸c˜ao de x:
By = f − Ax . (3.16)
O sistema linear da Eq. 3.16 ´e o mesmo que o sistema linear que fornece o MEC quando em vez da condi¸c˜ao de complementaridade tem-se uma condi¸c˜ao de contorno de Newman em ΓC, ou seja, quando p ´e conhecido. Portanto, a matriz B ´e invers´ıvel e y pode ser expresso em fun¸c˜ao de x:
y(x) = B−1(f − Ax) . (3.17)
Utilizando Eq. 3.17 para expressar o problema dado pelas Eqs. 3.12 a 3.15 na inc´ognita x tem-se o Problema de Complementaridade (NCP):
F(y(x)) ≥ 0 , (3.18)
x ≥ 0 , (3.19)
F(y(x)) • x = 0 . (3.20)
Apresentaremos dois exemplos. O primeiro em duas dimens˜oes (2D) que foi resolvido por ambos os algoritmos FDA-NCP e FDA-MNCP. O segundo em trˆes
dimens˜oes (3D) que foi resolvido com o algoritmo FDA-NCP. No exemplo 2D foi considerado o valor do parˆametro de parada ² = 10−12, no exemplo 3D foi considerado o valor ² = 10−12.
O exemplo (2D) utilizado aqui ´e o mesmo exemplo para o caso (MEF), como descrito na figura 3.2.
As discretiza¸c˜oes utilizadas s˜ao descritas na Tabela 3.3 onde Ne ´e o n´umero de elementos , Nvx ´e o n´umero de vari´aveis do vetor x e Nvy ´e o n´umero de vari´aveis do vetor y. Pela simetria em rela¸c˜ao a um eixo vertical foi discretizada a metade da sec¸c˜ao transversal como mostrado na Fig. 3.8.
Tabela 3.3: Discretiza¸c˜oes utilizadas para o Exemplo 2D
Nome Ne Nvx Nvy Malha 1 54 16 108 Malha 2 108 32 216 Malha 3 216 64 432 Malha 4 432 128 864 Malha 5 864 256 1728 Malha 6 1728 512 3456
A Tabela 3.4 mostra o desempenho dos algoritmos FDA-NCP e FDA-MNCP. Com o FDA-MNCP o exemplo ´e resolvido de duas formas diferentes: A primeira forma utiliza como ponto inicial x0 = 1 e y0 = 0 e a segunda utiliza como ponto inicial o resultado (interpolado) obtido com a malha anterior. Nas colunas “FDA-MNCP 1” e “FDA-MNCP 2” s˜ao apresentados os resultados para estas duas formas de resolver o problema. Com o FDA-NCP foi utilizado sempre o ponto inicial x0 = 1. Na Tabela “Tempo” indica o tempo total de c´alculo em segundos.
Tabela 3.4: Resultados Num´ericos para o Exemplo 2D
FDA-MNCP 1 FDA-MNCP 2 FDA-NCP
Nome It Tempo It Tempo (s) It Tempo (s)
Malha 1 10 0.14 10 0.13 10 0.09 Malha 2 10 0.31 3 0.16 15 0.03 Malha 3 9 1.52 3 0.58 14 0.30 Malha 4 9 7.55 2 1.80 13 0.64 Malha 5 11 55.81 2 11.67 11 4.59 Malha 6 11 398.02 1 47.52 11 33.61
Como pode-se verificar na Tabela 3.4 o FDA-NCP obteve um desempenho melhor em rela¸c˜ao ao tempo total de c´alculo. No caso de utilizar a solu¸c˜ao obtida de uma malha menor para a malha maior o FDA-MNCP 2 teve um desempenho semelhante ao FDA-NCP.
O tempo total de c´alculo do Algoritmo FDA-NCP ´e na maior parte devido ao c´alculo de ∇xF = B−1A, que ´e feito somente uma vez. O n´umero total de itera¸c˜oes n˜ao faz muita diferen¸ca no tempo total de c´alculo, portanto, n˜ao se justifica neste caso a t´ecnica de malha vari´avel.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x 10−3 0 2 4 6 8 10 12 14x 10 −5 x (m) y (m)
Figura 3.9: Diagrama da configura¸c˜ao inicial e deformada para a malha 4.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x 10−3 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x (m) Pressão de contato (N/m)
Resultado para a malha 4 Solução analítica
Figura 3.10: For¸ca de contato obtida para a malha 4.
Para o segundo exemplo (3D) resolvemos um problema de contato em trˆes dimens˜oes. Neste caso foi utilizado o FDA-NCP que mostrou um desempenho melhor no caso anterior. O Problema consiste em um corpo que tem a forma da metade de um toro de raio exterior igual a 2.5 m e raio interior igual a 1.5 m com
condi¸c˜oes de contorno mostradas na Fig. 3.11, o valor da for¸ca de contato por unidade de superf´ıcie considerada foi ρ = 0.02 Pa.
Figura 3.11: Problema de contato 3D.
Para este exemplo foram consideradas as seguintes propriedades para o material:
Em = 2000 Pa e νm = 0. A discretiza¸c˜ao utilizada ´e uma malha de 2516 elementos mostrada na Fig. 3.12.
Figura 3.12: Malha utilizada de 2516 elementos.
Nas figuras 3.13 e 3.14 destacamos a regi˜ao de contato, os pontos que ficam em contato s˜ao real¸cados em cor vermelha (figura 3.13). Pode-se observar a forma el´ıptica caracter´ıstica da regi˜ao de contato (figura 3.14).
Figura 3.13: Regi˜ao de contato. −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 x 1 x 2 0 5 10 15 20
Figura 3.14: Regi˜ao de contato.
Neste caso o Algoritmo FDA-NCP realizou 11 itera¸c˜oes para obter a solu¸c˜ao do problema.
Cap´ıtulo 11
Conclus˜oes
Neste trabalho vimos que o algoritmo de ponto interior vi´avel FDA-NCP proposto no Cap´ıtulo 3 ´e uma boa t´ecnica para resolver numericamente os problemas de complementaridade. Com sua estrutura simples e robusta quanto ao parˆametros contido foi poss´ıvel extender o FDA-NCP para problemas de complementaridade mista, que originou o algoritmo FDA-MNCP, cap´ıtulo 5. Resultados te´oricos dos algoritmos asseguram a convergˆencia global feita no cap´ıtulo 4 e do fato da estrutura do dois algoritmos, FDA-NCP e FDA-MNCP serem similares, obtemos convergˆencia assint´otica, superlinear e quadr´atica, para ambos.
Vimos tamb´em neste trabalho, cap´ıtulo 7, a implementa¸c˜ao do FAIPA para resolver problemas de complementaridade e inclusive uma nova regra de atualiza¸c˜ao dos multiplicadores de Lagrange no algoritmo FAIPA que possibilitou trabalhar com a Hessiana exata no FAIPA. Com essa atualiza¸c˜ao chegamos a uma express˜ao para uma busca em arco no algoritmo FDA-NCP, que chamamos de FAA-NCP.
Quanto a Reformula¸c˜ao do problema de complementaridade apresentada no Cap´ıtulo 8, vimos atrav´es dos resultados num´ericos que ´e uma boa alternativa quando n˜ao ´e poss´ıvel ou ´e dif´ıcil de obter um ponto estritamente vi´avel.
Os resultados num´ericos, cap´ıtulo 9, evidenciaram a eficiˆencia e robustez dos algoritmos FDA-NCP, FAA-NCP, FDA-MNCP e tamb´em da vers˜ao do FAIPA
com a nova regra de atualiza¸c˜ao dos multiplicadores de Lagrange. Destacamos o resultado em que geramos aleatoriamente 100 pontos para os problemas de K-J e K-S onde os algoritmos FDA-NCP e FAA-NCP convergiram em todos os casos. Tamb´em vimos no primeiro problema dos casos especiais, se¸c˜ao 9.2, que a busca em arco evita que a seq¨uˆencia gerada se pegue nas restri¸c˜oes o que melhora a velocidade de convergˆencia.
As aplica¸c˜oes apresentadas no cap´ıtulo 10, re-afirmam a eficiˆencia e robustez dos algoritmos FDA-NCP e FDA-MNCP.
Para o futuro vislumbramos a possibilidade de conseguir resultados te´oricos para a busca em arco bem como uma nova forma de calcular o arco e/ou de melhorar a dire¸c˜ao de busca afim de evitar que a seq¨uˆencia se pegue nas restri¸c˜oes. E tamb´em da possibilidade de estender o algoritmo FDA-NCP para problemas de MPEC (Mathematical Programs with Equilibrium constraints).
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