ALGORITMOS PARA PROBLEMAS DE COMPLEMENTARIDADE NÃO LINEAR. Sandro Rodrigues Mazorche

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ALGORITMOS PARA PROBLEMAS DE COMPLEMENTARIDADE N ˜AO LINEAR

Sandro Rodrigues Mazorche

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAC¸ ˜AO

DOS PROGRAMAS DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS ÁRIOS PARA A OBTENÇ ÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MEC ÂNICA.

Aprovada por:

Prof. Jos´e Herskovits Norman, D. Ing.

Prof. Fernando Pereira Duda, D. Sc.

Profa_{. Susana Scheimberg de Makler, D. Sc.}

Profa_{. Claudia Alejandra Sagastiz´abal, D. Habil.}

Prof. Anatoli Leontiev, D. Ing.

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MAZORCHE, SANDRO RODRIGUES Algoritmos para Problemas de Complementaridade N˜ao Linear [Rio de Janeiro] 2007

vii, 132 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc., Engenharia Mecˆanica, 2007)

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1. Problema de Complementaridade. 2. Otimiza¸c˜ao n˜ao linear.

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Agradecimentos

Ao professor Herskovits, pela orienta¸c˜ao e pelo grande apoio para a realiza¸c˜ao deste trabalho.

A CAPES/PQI pelo apoio financeiro.

Ao corpo docente do Programa de Engenharia Mecˆanica.

Ao grande amigo Alfredo Canelas Botta, o qual trabalhou comigo muitas horas na frente do quadro, agrade¸co a ele pelas valiosas observa¸c˜oes e coment´arios.

Ao apoio dos colegas e amigos do Laborat´orio Optimize: Paulo, Veranise, Evandro, Passarella, Mois´es, Gabriel, Miguel , Marcelo e Henry.

Ao pessoal administrativo do Programa de Engenharia Mecˆanica.

Aos meus queridos pais, Dálber e Marlene, minha irmã Aline e seu marido André pelo carinho, incentivo e apoio constantes.

A minha amada fam´ılia esposa Fl´avia e filhas Maria Julia e Eduarda que me apoiaram em todos os momentos.

`

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Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

ALGORITMOS PARA PROBLEMAS DE COMPLEMENTARIDADE N ˜AO LINEAR

Dezembro/2007

Orientador: Jos´e Herskovits Norman

Programa: Engenharia Mecˆanica

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Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D. Sc.)

ALGORITHMS FOR NONLINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEMS

December/2007

Advisor: Jos´e Herskovits Norman

Department: Mechanical Engineering

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´Indice

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Preliminares . . . 4

1.1.1 Conceitos b´asicos para problemas de otimiza¸c˜ao . . . 4

1.1.2 Buscas lineares inexatas . . . 6

1.1.3 Condi¸c˜oes de otimalidade . . . 7

1.1.4 O m´etodo de Newton para equa¸c˜oes . . . 9

1.1.5 Problema de Complementaridade . . . 11

2 Métodos para Resolu¸cão de Problemas de Complementaridade 14 2.1 Método baseado em Problemas de Minimiza¸cão - Fun¸cões de Mérito . 15 2.2 Método baseado em Sistemas de Equa¸cões - Fun¸cão-NCP . . . 16

2.2.1 M´etodo de Suaviza¸c˜ao . . . 19

2.3 M´etodo de Ponto Interior . . . 20

2.4 M´etodo tipo Proje¸c˜ao . . . 21

3 Um Algoritmo de Ponto Interior Viável para NCP 22 3.1 Idéias Básicas . . . 22

3.2 Descri¸c˜ao do Algoritmo FDA-NCP. . . 28

4 Convergˆencia Global do FDA-NCP 30 4.1 Resultados de Convergˆencia . . . 31

5 Problema de Complementaridade Mista 39 5.1 Id´eias B´asicas . . . 39

(7)

5.3 Convergˆencia Global para FDA-MNCP . . . 42

6 Análise de Convergência Assintótica 51 6.1 Resultados de Convergência Assintótica . . . 51

7 Usando FAIPA para Resolver NCP 55 7.1 FAIPA . . . 56

7.2 Descri¸c˜ao do Algoritmo FAIPA . . . 59

7.3 Reformulando NCP com Problema de Minimiza¸c˜ao com Restri¸c˜ao . . 60

7.4 Uma nova atualiza¸c˜ao de λ no FAIPA . . . 62

8 Problema de Complementaridade Reformulado 67 8.1 Reformulando o Problema de Complementaridade . . . 68

9 Resultados Num´ericos 72 9.1 Coletˆanea de Problemas de Complementaridade . . . 73

9.2 Casos especiais para FDA-NCP . . . 87

9.3 Problemas de Complementaridade Mista . . . 97

10 Aplica¸cões - Inequa¸cões Variacionais 102 10.1 O Problema do Obstáculo em duas dimensões . . . 105

10.2 Problema cl´assico de infiltra¸c˜ao em meio poroso . . . 108

10.3 Problema de Elasticidade Linear com Contato . . . 111

10.3.1 Modelo de Elementos Finitos . . . 112

10.3.2 Modelo de Elementos de Contorno . . . 117

11 Conclus˜oes 124

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

Os problemas de complementaridade estão presentes em várias aplica¸cões [17] da Engenharia, Economia e outras ciências em geral. Em Engenharia Mecânica nós mencionamos os problemas de sólidos em contato e dinâmica Multi-Corpo.

(9)

mostrar a eficiˆencia dos algoritmos FDA-NCP e FDA-MNCP.

O trabalho é dividido em dez cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo apresentaremos defini¸cões e resultados básicos para o entendimento do assunto aqui tratado. No segundo cap´ıtulo veremos uma breve apresenta¸cão de métodos e técnicas utilizadas para a resolu¸cão numérica do problema de complementaridade.

No terceiro cap´ıtulo apresentaremos a filosofia de funcionamento do FDA-NCP e resultados que apontam que a seqüência gerada esta contida na região viável. Uma descri¸cão do algoritmo FDA-NCP também é apresentada neste cap´ıtulo, destacaremos a estrutura do FDA-NCP para gerar pontos viáveis e verificaremos que a dire¸cão obtida é viável e de descida para uma fun¸cão potencial associada ao problema de complementaridade.

No quarto cap´ıtulo mostraremos a convergência global para o FDA-NCP. Resultados sobre a limita¸cão da dire¸cão de busca, que a dire¸cão de busca é um campo uniformemente viável na região viável e que o passo da busca linear é finito e não nulo serão demonstrados.

No quinto cap´ıtulo apresentaremos uma extensão do algoritmo FDA-NCP para problemas de complementaridade mista, o algoritmo FDA-MNCP. Uma descri¸cão do algoritmo FDA-MNCP será apresentada bem como os correspondentes resultados de convergência global.

No sexto cap´ıtulo será mostrado que ambos os algoritmos possuem um esquema de itera¸cão do tipo Newton Amortecido e assim, sobre certas condi¸cões, terão taxa de convergência superlinear e/ou quadrática.

No sétimo cap´ıtulo descreveremos o algoritmo FAIPA e o aplicaremos no problema de complementaridade. Também veremos que é poss´ıvel tomar uma nova regra de atualiza¸cão para os multiplicadores de Lagrange no algoritmo FAIPA. E esta nova regra de atualiza¸cão permitirá, através de manipula¸cões algébricas, chegarmos a sistemas lineares idênticos ao do algoritmo FDA-NCP. Com isso usaremos esta nova regra de atualiza¸cão para o FAIPA e ainda utilizaremos para o FDA-NCP uma busca em arco motivado nestas mudan¸cas.

(10)

complementaridade afim de facilitar a obten¸cão de um ponto inicial estritamente viável para o problema reformulado sem precisar alterar a estrutura do algoritmo. No nono cap´ıtulo temos os resultados numéricos com respeito aos algoritmos de complementaridade e complementaridade mista. Um conjuntos de problemas testes será usado para verificar o desempenho dos algoritmos de complementaridade onde comparamos o FDA-NCP com outros algoritmos de complementaridade e com o FAIPA nas duas versões.

O décimo cap´ıtulo é composto por aplica¸cões a inequa¸cões variacionais, que são os seguintes problemas: O Problema do obstáculo, O Problema do Dique e O Problema de Elasticidade linear com Contato sem atrito.

(11)

1.1 Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos resultados que consideramos pertinentes para a compreensão dos próximos cap´ıtulos. Aqui apresentaremos defini¸cões e resultados que ajudaram a formar uma base de conhecimento para tratarmos do problema em questão que é elabora¸cão do algoritmo FDA-NCP bem como seus resultados de convergência.

1.1.1 Conceitos b´

asicos para problemas de otimiza¸c˜

ao

Seja, um problema de otimiza¸c˜ao n˜ao linear: min f (x)

Sujeito a: gi(x) ≤ 0 ; i = 1, 2, ..., m e hi(x) = 0 ; i = 1, 2, ..., p,

(1.1)

onde temos f : IRn _{→ IR, g : IR}n _{→ IR}m _{e h : IR}n _{→ IR}p _{são fun¸cões} suaves em IRn e pelo menos uma destas fun¸cões é não-linear. Uma restri¸cão de desigualdade é dita “ativa”se gi(x) = 0 e Inativa se gi(x) < 0. Denotamos

g(x) = [g1(x), g2(x), ..., gm(x)]t e h(x) = [h1(x), h2(x), ..., hp(x)]t, assim nos temos min f (x)

Sujeito a: g(x) ≤ 0

e h(x) = 0.

(1.2)

Veremos agora algumas defini¸cões dirigidas ao problema de otimiza¸cão não linear 1.2.

Defini¸c˜ao 1.1.1 Um ponto x∗ _{∈ Ω ⊂ IR}n _{´e dito M´ınimo Local (ou M´ınimo}

Relativo) de f sobre Ω se existe uma vizinhan¸ca V ≡ {x ∈ Ω / kx − x∗_{k ≤ δ}}

tal que f (x) ≥ f (x∗_{) para qualquer x ∈ V . Se f (x) > f (x}∗_{) para todo x ∈ V ,}

x 6= x∗_{, ent˜ao dizemos que x}∗ _{´e um M´ınimo Local Estrito.}

Defini¸c˜ao 1.1.2 Um ponto x∗ _{∈ Ω ⊂ IR}n _{´e dito M´ınimo Global (ou M´ınimo}

Absoluto) de f sobre Ω se f (x) ≥ f (x∗_{) para qualquer x ∈ Ω. Se f (x) > f (x}∗₎

(12)

A maioria dos métodos de Programa¸cão Não Linear (PNL) são iterativos. Dado um ponto inicial x0_{, uma seqüencia de pontos, {x}k_{}, é obtida por repetidas aplica¸cões} de uma regra algoritmica. Esta seqüência deve convergir a uma solu¸cão x∗ _do problema. A convergência é dita assintótica quando a solu¸cão não é atingida antes de um numero finito de itera¸cões.

Defini¸c˜ao 1.1.3 Um algoritmo iterativo ´e dito ser globalmente convergente se para

qualquer ponto inicial x0 _{∈ IR}n _{(ou x}0 _{∈ Ω) este gera uma seq¨uencia de pontos que}

converge a uma solu¸c˜ao do problema.

Defini¸c˜ao 1.1.4 Um algoritmo iterativo ´e dito ser localmente convergente se existe

² > 0 tal que para qualquer ponto inicial x0 _{∈ IR}n _{(ou x}0 _{∈ Ω) que verifica}

kx0_−x∗_{k ≤ ², a seqüência gerada de pontos converge para uma solu¸cão do problema.} Agora segue uma defini¸cão que introduz um critério para medir a velocidade de convergência de métodos iterativos com convergência assintótica.

Defini¸c˜ao 1.1.5 A ordem de convergência de uma seqüência {xk_{} → x}∗ _{é o maior}

numero p dos n´umeros n˜ao negativos ρ que satisfazem:

lim sup k→∞

kxk+1_{− x}∗_k

kxk_{− x}∗_kρ = β < ∞.

Quando p = 1 nos dizemos que a Convergência é q-Linear com Raio de Convergência β < 1. Se β = 0 a convergência é dita Superlinear. A convergência é Quadrática quando p = 2.

A rela¸cão entre o limite de k → ∞, p e β é uma forma de medir a velocidade assintótica da convergência. Uma seqüência pode ter uma boa ordem de convergência mas ir muito “devagar”para a solu¸cão. A convergência é rápida quando p é grande e β é pequeno.

Nas provas de convergˆencia, usaremos quando conveniente as seguintes nota¸c˜oes

(13)

Dado uma fun¸cão h : IRn → IRm, usamos a expressão O(h(x)) para representar as fun¸cões g : IRn_{→ IR}m _{que satisfazem}

lim kx||→0

kg(x)k

kh(x)k < ∞. (1.3)

E a express˜ao o(h(x)) para representar as fun¸c˜oes g : IRn_{→ IR}m _{que satisfazem} lim

kx||→0

kg(x)k

kh(x)k = 0. (1.4)

A gera¸cão de pontos de uma seqüência é dada por uma regra algoritmica. Por exemplo, dado um ponto inicial, determinamos uma dire¸cão de busca para determinar o próximo ponto e assim sucessivamente. Para isso veremos algumas defini¸cões sobre dire¸cões.

Defini¸c˜ao 1.1.6 Um vetor d ∈ IRn _{é uma dire¸cão de descida para uma fun¸cão real}

f em x ∈ IRn se existe um δ > 0 tal que f (x + td) < f (x) para qualquer t ∈ (0, δ).

No caso de f ser diferenciável em x e dt_{∇f (x) < 0 então d é uma dire¸cão de} descida para f em x.

Defini¸c˜ao 1.1.7 Um vetor d ∈ IRn _{é uma dire¸cão de viável de um problema PNL}

1.2, em x ∈ Ω = {x ∈ IRn/ g(x) ≤ 0}, se para algum θ > 0 nos temos x + td ∈ Ω para todo t ∈ [0, θ].

´

E claro que qualquer dire¸cão d em um ponto interior a Ω é uma dire¸cão viável. Defini¸c˜ao 1.1.8 Um campo vetorial d(.) definido em Ω é dito ser um campo

uniforme de dire¸c˜oes de vi´aveis do problema PNL 1.2, em Ω = {x ∈ IRn/ g(x) ≤ 0}, se existe um τ > 0 tal que x + td(x) ∈ Ω para todo t ∈ [0, τ ] e para todo x ∈ Ω.

1.1.2 Buscas lineares inexatas

(14)

Defini¸c˜ao 1.1.9 (Busca de Armijo) Dada uma fun¸c˜ao potencial f , definimos

o tamanho do passo t como sendo o primeiro numero inteiro da seq¨uˆencia {1, ν, ν2_{, ν}3_{, ...} satisfazendo}

f (x + td) ≤ f (x) + tη∇f (x)T_d,

onde η ∈ (0, 1) e ν ∈ (0, 1) s˜ao parˆametros dados.

O critério da busca linear inexata de Wolfe também estabelece limites no tamanho do passo, pedindo uma redu¸cão na fun¸cão potencial e ao mesmo tempo uma redu¸cão em sua derivada direcional.

Defini¸c˜ao 1.1.10 (Busca de Wolfe) Dada uma fun¸c˜ao potencial f , o passo t ´e

aceito se verificar:

sendo o primeiro numero inteiro da seq¨uˆencia {1, ν, ν2_{, ν}3_{, ...}, satisfazendo}

f (x + td) ≤ f (x) + tη1∇ft(x)d,

onde ν ∈ (0, 1), η1 ∈ (0,1₂) , η2 ∈ (η1, 1) s˜ao parˆametros dados e verificando

∇ft_{(x + td)d ≥ η}

2∇f (x)Td.

1.1.3 Condi¸c˜

oes de otimalidade

O seguinte resultado nos dá uma interpreta¸cão geométrica da condi¸cões de otimalidade de uma grande classe de Problemas.

Teorema 1.1.1 Condi¸c˜ao necessaria Primeira e Segunda Ordem.

Se x∗ _{∈ Ω é um m´ınimo local de f sobre Ω então, para qualquer dire¸cão viável}

d ∈ IRn, satisfaz: i) dt_{∇f (x}∗_{) ≥ 0}

ii) se dt_{∇f (x}∗_{) = 0, ent˜ao d}t_∇2_{f (x}∗_{)d ≥ 0.}

Se Ω = IRn, temos um problema de Otimiza¸c˜ao sem Restri¸c˜ao,

(15)

do teorema 1.1.1 e como toda dire¸cão não nula d ∈ IRn é uma dire¸cão viável temos o seguinte teorema:

Teorema 1.1.2 Condi¸c˜ao necessaria Primeira e Segunda Ordem.

Se x∗ _{´e um m´ınimo local de f sobre IR}n _ent˜ao:

i) ∇f (x∗_{) = 0}

ii) para todo d ∈ IRn, dt_∇2_{f (x}∗_{)d ≥ 0. Isto é, ∇}2_{f (x}∗_{) é semi definida positiva.} A condi¸cão suficiente de otimalidade local o problema de Otimiza¸cão sem Restri¸cão 1.5.

Teorema 1.1.3 Condi¸c˜ao suficiente de otimalidade.

Seja f uma fun¸c˜ao escalar duas vezes continuamente diferenci´avel em IRn e x∗ _tal

que:

i) ∇f (x∗_{) = 0}

ii) ∇2_{f (x}∗_{) ´e definida positiva.}

Ent˜ao, x∗ _{´e um ponto de m´ınimo local estrito de f .}

As condi¸cões de otimalidade para o problema de Otimiza¸cão com Restri¸cão 1.2.

Defini¸c˜ao 1.1.11 Um ponto x ∈ Ω ´e um ponto regular das restri¸c˜oes do problema

1.2 se os vetores ∇hi(x), para i = 1, 2, ...p, e ∇gi(x) para i ∈ I(x) s˜ao linearmente

independente. (I(x) ≡ {i / gi(x) = 0} ´e chamado de Conjuntos das restri¸c˜oes Ativas

em x.)

Defini¸c˜ao 1.1.12 (Espa¸co Tangente) Para o conjunto dos pontos regulares, x ∈ Ω,

definido em 1.1.11 o espa¸co tangente se expressa como:

T (x) = {d|∇gi(x)Td = 0 ∀ i ∈ I(x), ∇hi(x)Td = 0, ∀ i ∈ {1, 2, ..., p}}.

Nos vamos introduzir agora as variáveis auxiliares λ ∈ IRm e µ ∈ IRp, chamadas de Variáveis Duais ou Multiplicadores de Lagrange e definimos a fun¸cão Lagrangeana associada com o problema 1.2 como

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Teorema 1.1.4 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Condi¸c˜ao Necessaria de Primeira

Ordem.

Seja x∗ _{um ponto regular das restri¸c˜oes g(x) ≤ 0 e h(x) = 0, um M´ınimo Local do}

problema 1.2. Ent˜ao, existe um vetor λ∗ _{∈ IR}m _{e um vetor µ}∗ _{∈ IR}p _{tal que}

∇f (x∗_{) + ∇g(x}∗_)λ∗_{+ ∇h(x}∗_)µ∗ _{= 0} _(1.7)

G(x∗_)λ∗ _{= 0} _(1.8)

h(x∗_{) = 0} _(1.9)

g(x∗_{) ≤ 0} _(1.10)

λ∗ _{≥ 0} _(1.11)

onde G(x∗_{) ´e uma matriz diagonal.}

Teorema 1.1.5 Condi¸c˜ao Necessaria de Segunda Ordem.

Seja x∗ _{um ponto regular das restri¸c˜oes g(x) ≤ 0 e h(x) = 0, um M´ınimo Local}

do problema 1.2. Ent˜ao, existe um vetor λ∗ _{∈ IR}m _{e um vetor µ}∗ _{∈ IR}p _{tal que as}

condi¸c˜oes (1.7-1.11) ´e satisfeita e a matriz H(x∗_{, λ}∗_{, µ}∗_{) = ∇}2_{f (x}∗_{) +}Xm i=1 λ∗ i∇2gi(x∗) + p X i=1 µ∗ i∇2hi(x∗) (1.12)

´e semi definida positiva no espa¸co do plano tangente T (x).

Teorema 1.1.6 Condi¸c˜ao Suficiente de Segunda Ordem.

Seja x∗_{, um ponto satisfazendo g(x}∗_{) ≤ 0 e h(x}∗_{) = 0. Existe um vetor λ}∗ _{∈ IR}m_,

λ∗ _{≥ 0 e um vetor µ}∗ _{∈ IR}p _{tal que}

∇f (x∗_{) + ∇g(x}∗_)λ∗_{+ ∇h(x}∗_)µ∗ _{= 0} _(1.13)

G(x∗_)λ∗ _{= 0} _(1.14)

e H(x∗_{, λ}∗_{, µ}∗_{) é definida positiva no espa¸co tangente T (x). Então x}∗ _{é um M´ınimo}

Local Estrito do problema 1.2.

1.1.4 O m´

etodo de Newton para equa¸c˜

oes

O método de Newton clássico é introduzido para resolver sistemas não lineares do tipo

(17)

onde T : IRn → IRn é diferenciável. Este método é muito utilizado em algoritmos de Programa¸cão Matemática. Para o método de Newton clássico é comum pedir as seguintes suposi¸cões:

Suposi¸c˜ao 1.1.1 Existe z∗ _{∈ IR}n _{tal que T (z}∗_{) = 0.}

Suposi¸c˜ao 1.1.2 A matriz jacobiana T0_(z∗_{) ´e n˜ao singular.}

Suposi¸c˜ao 1.1.3 O operador jacobiano T0 _{é continuo e localmente Lipschitz em x}∗_. Assim, determinar uma seqüência {zk_{} que se aproxima de alguma solu¸cão z}∗ _do sistema (1.15) utilizamos a aproxima¸cão linear

T (zk_{) + T}0_(zk_{)(z − z}k_{) = 0.}

A rela¸cão acima chama-se a equa¸cão de itera¸cão do método de Newton. O método de Newton pode ser escrito em forma do esquema iterativo

zk+1= zk− (T0(zk))−1T (zk), k = 0, 1, 2, ... (1.16) Desta forma é de se esperar que a seqüência de pontos gerada acima se aproxima de uma solu¸cão do sistema (1.15). E quando isso ocorre podemos esperar uma convergência rápida. ´E o diz no próximo resultado. Iremos assumir que T (z) é diferenciável e as suposi¸cões 1.1.1-1.1.3.

Teorema 1.1.7 Dado z0 _{∈ IR}n _{suficientemente pr´oximo de z}∗_{, o Algoritmo definido}

por (1.16) gera uma seq¨uˆencia {zk_{} bem definida que converge a z}∗_{. A taxa de}

convergência é quadrática.

(18)

1.1.5 Problema de Complementaridade

Defini¸c˜ao 1.1.13 Seja F : D ⊆ IRn → IRn uma fun¸c˜ao vetorial. O problema de complementaridade ´e:

Encontrar x ∈ IRn tal que

x ≥ 0, F (x) ≥ 0 e x • F (x) = 0 (1.17)

onde x ≥ 0 ⇔ xi ≥ 0 para todo 1 ≤ i ≤ n , F (x) ≥ 0 ⇔ Fi(x) ≥ 0 para todo 1 ≤ i ≤ n e x • F (x) =      x1F1(x) ... xnFn(x)    

 ´e o produto de Hadamard.

Quando F é uma fun¸cão afim (F (x) = Ax + b , A ∈ IRn×n _{e b ∈ IR}n_{), temos um} Problema de Complementaridade Linear (PCL), caso contrário temos um Problema de Complementaridade Não-Linear(PCN).

Vamos definir conjunto de pontos viáveis para o problema 1.1.13 e solu¸cão não degenerada.

Defini¸c˜ao 1.1.14 Seja Ω ⊂ IRn. Chamaremos de conjunto de pontos vi´aveis do problema de complementaridade dado por F o seguinte conjunto:

Ω := {x ∈ IRn_{|x ≥ 0 , F (x) ≥ 0}.} _(1.18)

Defini¸c˜ao 1.1.15 Se x ∈ Ω e verifica as seguintes condi¸cões x > 0 e F (x) > 0 então diremos que este ponto é estritamente viável para o problema de

complementaridade. E denotaremos o conjunto dos pontos estritamente vi´aveis por

Ω0_.

Defini¸c˜ao 1.1.16 Uma solu¸cão de 1.1.13 é dita solu¸cão degenerada se para algum

´ındice i, xi = 0 e Fi(x) = 0.

Defini¸c˜ao 1.1.17 Uma solu¸cão de 1.1.13 é dita solu¸cão não degenerada se para

(19)

Vamos introduzir os seguintes conjuntos de indices para um dado x ∈ Ω:

K = {i |xi = 0 e Fi(x) > 0}, (1.19)

J = {i |xi > 0 e Fi(x) = 0}, (1.20)

L = {i |xi > 0 e Fi(x) > 0}, (1.21)

I0 = {i |xi = 0 e Fi(x) = 0}. (1.22) Um Problema de Complementaridade que vem agregado com uma restri¸cão de igualdade é chamado de Problema de Complementaridade Mista e tem a seguinte defini¸cão.

Defini¸c˜ao 1.1.18 Sejam F : D ⊆ IRn _{→ IR}n_{× IR}m _{e Q : D ⊆ IR}m _{→ IR}n_{× IR}m

fun¸c˜oes vetoriais. O Problema de Complementaridade Mista ´e: Encontrar (x, y) ∈ IRn_{× IR}m _{tal que}

x ≥ 0, F (x, y) ≥ 0 e      x • F (x, y) = 0 Q(x, y) = 0 (1.23)

E da mesma forma como definimos para o caso de complementaridade temos: Conjunto de pontos vi´aveis com respeito as restri¸c˜oes x e F (x, y).

Ω := {(x, y) ∈ IRn_{× IR}m_{|x ≥ 0 e F (x, y) ≥ 0}.} Conjunto de pontos estritamente vi´aveis

Ω0 := {(x, y) ∈ IRn× IRm|x > 0 e F (x, y) > 0}.

Defini¸c˜ao 1.1.19 Uma solu¸cão de 1.23 é dita solu¸cão degenerada se para algum

´ındice i, xi = 0 e Fi(x, y) = 0.

Defini¸c˜ao 1.1.20 Uma solu¸cão de 1.23 é dita solu¸cão não degenerada se para todo

´ındice i, xi+ Fi(x, y) 6= 0.

(20)

problema. Alguns destes m´etodos e pesquisadores que trabalharam neles:

Método baseado em Problema de Minimiza¸cão sem restri¸cões, podemos destacar aqui Mangasarian e Solodov, [40], Yamashita e Fukushima, [62], Geiger e Kanzow, [20], Kanzow, [31].

Método baseado em Sistemas de Equa¸cões. Mangasarian foi quem propôs pela primeira vez em seu artigo, [39], a resolu¸cão de um problema de Complementaridade como a resolu¸cão de um sistema de equa¸cão associado ao problema de complementaridade. Outros autores que também trabalharam nessa linha: Subramanian, [54], Kanzow, [30], C. Chen e O. L. Mangasarian, [6].

Método de Suaviza¸cão, esta técnica é tanto aplicável ao primeiro caso quanto ao segundo caso, pois a idéia aqui é trazer a regularidade requerida para aplicar o método em questão. Destacamos os autores M. C. Ferris e C. Kanzow, [16], S. J. Wright, [59], C. Chen e O. L. Mangasarian, [6].

Método de Ponto Interior, é utilizado uma variável de folga para definir a região IR2n₊ como a região viável para o problema de complementaridade com respeito a essa nova variável. Esta técnica é muito empregada para os casos de complementaridade linear. Podemos citar aqui os trabalhos de M. C. Ferris e C. Kanzow, [16], S. J. Wright, [59], P. Tseng , [[58], [57]].

(21)

Cap´ıtulo 2

M´

etodos para Resolu¸c˜

ao de

Problemas de Complementaridade

Vamos comentar sobre alguns métodos numéricos existentes para a resolu¸cão de problemas de complementaridade. Nas décadas de 60’s e inicio de 70’s utilizava-se muito o artif´ıcio de reescrever os problemas de complementaridade como um problema de minimiza¸cão sem restri¸cões em IRn, para isto usavam as fun¸cões especiais chamadas de Fun¸cões de Mérito. Uma vez que o problema de complementaridade foi reescrito como um problema de minimiza¸cão sem restri¸cões utiliza-se técnicas para resolver numericamente estes problemas de minimiza¸cão. No ano de 1976 O.L. Mangasarian apresentou a equivalência do Problema de Complementaridade com a resolu¸cão de Sistema Não Linear em IRn_{, [39]. A partir} dai foram desenvolvidos vários algoritmos baseados na resolu¸cão de sistemas não lineares de equa¸cões. Nesta técnica utiliza-se uma classe de fun¸cões conhecida como Fun¸cões-NCP que permitem estabelecer esta equivalência.

Nos final dos anos 70’s em diante os métodos baseados na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões foram melhorados com técnicas não diferenciáveis pois justamente as Fun¸cões-NCP utilizadas não tinham a suavidade requerida pelo método de Newton. Também nesta mesma época surgiram técnicas que utilizam variáveis de folga na restri¸cão F (x) ≥ 0 transformando-a em uma restri¸cão de igualdade e reescrevendo assim o problema de complementaridade em um grande sistema de equa¸cões em IR2n

(22)

Do teorema de Ponto Fixo de Banach temos a t´ecnica de proje¸c˜ao que projeta um vetor v de IRn _{em IR}n

+.

2.1 M´

etodo

baseado

em

Problemas

de

Minimiza¸c˜

ao - Fun¸c˜

oes de M´

erito

A idéia deste método é transformar um problema de complementaridade em um problema de minimiza¸cão sem restri¸cão. Vamos definir as propriedades que uma determinada fun¸cão tem que satisfazer para que possamos reescrever o problema de complementaridade.

Defini¸c˜ao 2.1.1 Uma fun¸cão φ(x) : IRn→IR é chamada fun¸cão de mérito para um problema de complementaridade se satisfaz:

a) φ(x) ≥ 0 para todo x ∈ IRn;

b) φ(x) = 0 se e somente se x ´e uma solu¸c˜ao do Problema de Complementaridade 1.1.13.

Assim, podemos transformar o Problema de Complementaridade 1.1.13 em um problema de minimiza¸c˜ao sem restri¸c˜oes do tipo

min

x∈IRnφ(x). (1.1)

Para aplicarmos as técnicas usuais de otimiza¸cão a este problema de minimiza¸cão, a fun¸cão de mérito terá que satisfazer determinadas hipóteses de regularidade. Por exemplo, se utilizarmos algoritmos baseados na diferenciabilidade da fun¸cão potencial devemos pedir que φ seja pelo menos uma vez continuamente diferenciável e se poss´ıvel até duas vezes continuamente diferenciável. Alguns exemplos de fun¸cões de méritos.

• Fun¸c˜ao Lagrangiana Impl´ıcita [40]. φ(x) := n X i=1 {xiFi(x)+ 1 2α(max{0, xi−αFi(x)} 2_−x2

(23)

• Fun¸c˜ao m´erito de Fischer-Burmeister [14]. φ(x) := 1 2 n X i=1 ( q x2 i + Fi(x)2− xi− Fi(x))2.

• Fun¸cão mérito penalizada de Fischer-Burmeister [5]. φ(x) := 1 2 n X i=1 {λ(qx2 i + Fi(x)2−xi−Fi(x))2+(1−λ) max{0, xi}2max{0, Fi(x)}2}). onde, λ ∈ (0, 1) é um parâmetro fixo.

As fun¸cões de mérito apresentadas são uma vez continuamente diferenciável em IRn. Portanto não é aconselhável minimizar diretamente estas fun¸cões de mérito com algoritmos clássicos para problemas de otimiza¸cão diferenciáveis. Apesar disto, as fun¸cões de mérito são freqüentemente usadas para monitorar a convergência global de diversos algoritmos. A maioria dos algoritmos de otimiza¸cão garantem que os pontos limite da seqüência gerada por eles são pontos estacionário de φ(x) satisfazendo ∇φ(x) = 0.

2.2 M´

etodo baseado em Sistemas de Equa¸c˜

oes

-Fun¸c˜

ao-NCP

A idéia de reformular um problema de complementaridade como um sistema de equa¸cões foi proposta por Mangasarian [39]. Ele utilizou uma classe de fun¸cões chamada de Fun¸cões-NCP que tem a seguinte propriedade.

Defini¸c˜ao 2.2.1 Uma fun¸cão ψ : IR2 → IR é chamada de Fun¸cão-NCP para um problema de complementaridade se satisfaz a condi¸cão:

ψ(a, b) = 0 ⇔ a ≥ 0, b ≥ 0 e ab = 0

Alguns exemplos de Fun¸c˜oes-NCP.

(24)

• ψm(a, b) = min(a, b), Fun¸c˜ao Res´ıduo natural.

• ψF B(a, b) = a + b −

√

a2_{+ b}2_{, Fun¸c˜ao Fischer-Burmeister.}

• ψR(a, b) = −ab + 1

2min2(0, a + b), Fun¸c˜ao “min”.

Das Fun¸cões-NCP acima somente a primeira e a quarta são continuamente diferenciáveis em IR2. A terceira é diferenciável em IRn\ {(0, 0)}.

Para uma dada Fun¸c˜ao-NCP ψ, definimos um operador Ψ : IRn _{→ IR}n _{como o} sistema de equa¸c˜oes associado a ele da seguinte forma:

Ψ(x) :=             ψ(x1, F1(x)) . . . ψ(xn, Fn(x))             , Ψ(x) = 0 (2.1) ´

E claro que para cada Fun¸cão-NCP, existe a fun¸cão de mérito natural dada por:

φ(x) = 1 2Ψ(x) t_{.Ψ(x) =} 1 2 n X i=1 Ψ2_i(x)

Chamaremos Ψ de operador das equa¸cões correspondente ao problema de complementaridade 1.1.13. Como conseqüência da defini¸cão 2.2.1 obtemos a seguinte caracteriza¸cão do problema de complementaridade:

Sejam ψ uma Fun¸cão-NCP e Ψ seu operador de equa¸cões correspondente. Então

x é uma solu¸cão do problema de complementaridade 1.1.13 se e somente se é uma

solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes 2.1.

Se F (x) e ψ(a, b) são fun¸cões continuamente diferenciáveis, então o operador Ψ também é. Neste caso, nós podemos aplicar o método clássico de Newton para achar

x que verifica Ψ(x) = 0 e assim resolver o problema de complementaridade. Isto nos

leva a itera¸c˜oes do tipo

xk+1 _{:= x}k_{− [∇Ψ(x}k_)]−1_Ψ(xk_{), k = 0, 1, 2, ...} onde Ψ(xk_)]−1 _{´e a matriz jacobiana de Ψ(x}k_).

(25)

Proposi¸c˜ao 2.2.1 Sejam F (x) e ψ(a, b) fun¸c˜oes diferenci´aveis, seja Ψ(x) o

operador de equa¸cões correspondente. Se x∗ _{é uma solu¸cão degenerada do problema}

de complementaridade 1.1.13 ent˜ao a Jacobiana ∇Ψ(x∗_{) ´e singular.}

Nos casos em que ∇Ψ(x) não existe, podemos utilizar métodos para fun¸cões não diferenciáveis e neste caso normalmente pede-se que Ψ(x) seja no m´ınimo localmente lipschitziana, pois assim, Ψ(x) será diferenciável em quase todo ponto.

Denotaremos de DΨ ao conjunto de pontos onde Ψ(x) é diferenciável. Então

definimos o que chamamos de B-subdiferencial,

∂BΨ(x) := {H ∈ IRn×n|∃{xk} ⊆ DΨ : xk → x e ∇Ψ(xk) → H}

bem como seu fecho convexo

∂Ψ(x) := conv{∂BΨ(x)}

que é chamado jacobiano generalizado, [9]. Elementos de ∂BΨ(x) e ∂Ψ(x) podem ser usados no lugar da jacobiana clássica ∇Ψ(x) (que em algumas situa¸cões não existe). Um método de Newton não suave t´ıpico consiste em realizar as seguintes itera¸cões:

xk+1 = xk− H_k−1Ψ(xk), k = 0, 1, 2, ..., onde Hk é um elemento arbitrário de ∂BΨ(xk), não singular. Dois pontos importantes deste método são:

1) O cálculo de um elemento do B-subdiferencial. Por isso é interessante utilizarmos determinados operadores Ψ, que seja fácil o cálculo de um elemento de seu B-subdiferencial, Hk∈ ∂BΨ(x).

2) Devemos ainda considerar o fato que este elemento Hk seja n˜ao singular.

Quando se utiliza a Func˜ao-NCP de Fischer-Burmeister, resultados com respeito a 1) e 2) podem ser visto em Houyuan Jiang e Liqun Qi [28], [51] e T. De Luca, F. Facchinei, C. Kanzow [38]. Em suma se consegue o seguinte resultado:

(26)

Nos casos dos problemas de complementaridade monótona pode-se mostrar a convergência global destes métodos. Para isso, inclu´ımos uma busca linear tomando como dire¸cão de busca o vetor

dk := −H_k−1Ψ(xk)

e como fun¸cão potencial a fun¸cão de mérito natural correspondente. Assim executa-se uma busca linear ao longo desta dire¸cão pedindo o decrescimento da fun¸cão potencial ([38] , [19] , [49] , [50]).

2.2.1 M´

etodo de Suaviza¸c˜

ao

Os métodos de suaviza¸cão para problemas de complementaridade basicamente fazem uma aproxima¸cão da Fun¸cão-NCP não diferenciável ψ(a, b) por uma seqüência de fun¸cões diferenciáveis ψµ(a, b) que depende de um parâmetro de suavidade µ > 0. Por exemplo, uma possibilidade de aproxima¸cão da fun¸cão de Fischer-Burmeister é:

ψµ(a, b) :=

q

a2_{+ b}2_{+ 2µ − (a + b)} _(2.2)

Usando técnicas similares, é poss´ıvel suavizar a maioria das Fun¸cões-NCP conhecidas. Uma vez conhecida tal aproxima¸cão suave ψµ, podemos definir o operador de equa¸cões correspondente

Ψµ(x) :=             ψµ(x1, F1(x)) . . . ψµ(xn, Fn(x))             (2.3)

A aproxima¸cão Ψµ de Ψ será suave se a própria F (x) for suave.

A idéia principal de qualquer método de suaviza¸cão é aplicar o método de Newton clássico para o sistema de equa¸cões não lineares Ψµ(x) = 0 e fazer com que o parâmetro µ de suavidade tenda a zero. Uma forma de fazer isso é indexar o valor de µ à itera¸cão k através de µk. Assim, uma itera¸cão do método de suaviza¸cão é dada pela expressão

(27)

Um ponto delicado para todo método de suaviza¸cão é o modo que o parâmetro de suavidade µk é escolhido a cada itera¸cão. Se isto é feito de um modo apropriado, é poss´ıvel provar resultados de convergência global para problemas monótonos. (Ver, [7])

2.3 M´

etodo de Ponto Interior

Uma descri¸c˜ao de um algoritmo de pontos interiores para problemas de complementaridade pode ser vista no livro “Primal-Dual interior-Point Methods”, [59].

O problema de complementaridade 1.1.13 ´e reescrito da seguinte forma: Dados x e y ∈ IRn temos

F (x) − y = 0, x ≥ 0 , y ≥ 0 e x • y = 0 (3.1)

onde F (x) é uma fun¸cão monótona associada ao problema de complementaridade 1.1.13. Então

“(x, y) é uma solu¸cão do problema (3.1) ⇔ x é uma solu¸cão de 1.1.13.” Dado o seguinte sistema com as restri¸cões x ≥ 0 e y ≥ 0:

S(x, y) =  F (x) − y y • x  _{= 0.}

Uma itera¸cão é definida pela resolu¸cão do sistema abaixo:

 ∇F (x) −Id Y X  _.  ∆x ∆y  ₌   y − F (x) −y • x + µE  _,

onde Id ´e a matriz identidade de ordem n, X = diag(x), Y = diag(y), E = [1, ...1] um vetor coluna e µ = xT_ny.

(28)

2.4 M´

etodo tipo Proje¸c˜

ao

Os métodos tipo proje¸cão são baseados na seguinte proposi¸cão.

Proposi¸c˜ao 2.4.1 Um vetor x∗ _{´e uma solu¸c˜ao de 1.1.13 se e somente se x}∗ _satisfaz

a equa¸c˜ao

x = (x − λF (x))+,

onde λ > 0 ´e uma constante arbitraria e z+ denota a proje¸c˜ao Euclidiana de um

vetor z ∈ IRn _{sobre IR}n

+.

Os métodos tipo proje¸cão consistem em realizar a seguinte itera¸cão

xk+1 _{:= (x}k_{− λF (x}k₎₎

+, k = 0, 1, 2, ...

onde x0 _{∈ IR}n

+ ´e um dado ponto inicial [1].

Usando o Teorema de ponto fixo de Banach, se F for fortemente monótona, globalmente Lispschitz e λ > 0 seja suficientemente pequeno, pode-se mostrar que este método possui convergência global, além disso, a taxa de convergência é linear. Algumas modifica¸cões neste método de proje¸cões permitem obter resultados de convergência global. Por exemplo, o método Extragradiente ([36] e [33]) gera itera¸cões usando a fórmula

xk+1 _{:= (x}k_{− λF ((x}k_{− λF (x}k₎₎

+)+, k = 0, 1, 2, ...

Para o método Extragradiente pode-se mostrar a convergência global se F for monótona e globalmente Lispschitz desde que λ > 0 seja suficientemente pequeno. O valor de λ suficientemente pequeno que garanta a convergência global não pode ser conhecido a priori. Isto implica que devemos escolher λ dinamicamente para conseguir resultados satisfatórios nos métodos de proje¸cão.([52],[53],[55]).

(29)

Cap´ıtulo 3

Um Algoritmo de Ponto Interior

Vi´

avel para NCP

3.1 Id´

eias B´

asicas

Neste capitulo apresentaremos um algoritmo ponto interior para problemas de complementaridade. Este algoritmo gera uma seqüência de pontos que satisfaz as desigualdades do problema de complementaridade 1.1.13. Relembrando da defini¸cão do Problema de Complementaridade 1.1.13.

Determinar x ∈ IRn _{tal que x ≥ 0 , F (x) ≥ 0 e x • F (x) = 0 onde}

x • F (x) =             x1F1(x) . . . xnFn(x)             =             0 . . . 0             (1.1)

(30)

Considere o seguinte sistema: H(x) =             x1F1(x) . . . xnFn(x)             = 0 (1.2) ´

E claro que toda solu¸cão do problema de complementaridade 1.1.13 é uma solu¸cão do sistema de equa¸cões (1.2). Mas infelizmente não podemos afirmar que toda solu¸cão do sistema (1.2) seja uma solu¸cão do problema de complementaridade 1.1.13. Por outro lado, se restringirmos a resolu¸cão do sistema (1.2) na região de pontos viáveis Ω = {x ∈ IRn | x ≥ 0 e F (x) ≥ 0} podemos afirmar que uma solu¸cão deste sistema

em Ω é uma solu¸cão do problema de complementaridade 1.1.13. Assim, temos que desenvolver um algoritmo que gere uma seqüência de pontos em Ω e convirja para a solu¸cão do sistema (1.2) e portanto convergirá para uma solu¸cão do problema de complementaridade 1.1.13.

Para gerar esta seqüência utilizaremos uma itera¸cão de Newton no sistema 1.2 mas veremos que isso não será suficiente para garantir que a seqüência gerada esta contida em Ω. Antes de come¸carmos a constru¸cão do algoritmo veremos algumas nota¸cões que auxiliaram no decorrer do texto.

O Gradiente de H(x) ´e dado por

∇H(x) = DF (x)+ Dx∇F (x) (1.3)

onde DF (x)e Dx s˜ao matrizes diagonais, [DF (x)](i,i) = Fi(x) , [Dx](i,i)= xi para todo 1 ≤ i ≤ n e a matriz jacobiana de F (x) ´e

∇F (x) =          ∂F1(x) ∂x1 ∂F1(x) ∂x2 . . . ∂F1(x) ∂xn ∂F2(x) ∂x1 ∂F2(x) ∂x2 . . . ∂F2(x) ∂xn . . . . . . ∂Fn(x) ∂x1 ∂Fn(x) ∂x2 . . . ∂Fn(x) ∂xn          .

Observe que a i-´esima linha de ∇H(x) e definida por

(31)

onde ei é um vetor (linha) unitário com 1 na i-ésima coordenada e ∇Fi(x) é um vetor linha.

Portando, dado um ponto xk _{em Ω, que não seja solu¸cão de (1.2), pela itera¸cão de} Newton em H(x) = 0 temos

∇H(xk_)dk

1 = −H(xk) (1.5)

Para que o sistema (1.5) esteja bem definido vamos supor que ∇H(xk_{) seja n˜ao} singular em xk_{. Ent˜ao, se para algum ´ındice i ∈ 1, 2, ..., n ocorrer que H}

i(xk) = 0 sem que seja solu¸cão do problema de complementaridade, teremos a seguinte situa¸cão. Seja a i-ésima linha do sistema (1.5) onde ocorre Hi(xk) = 0,

(Fi(xk)ei+ xik∇Fi(xk))dk1 = 0,

pela n˜ao singularidade da matriz ∇H(xk_{) temos duas possibilidades:} (1) xk

i = 0 e Fi(xk) > 0 isso implica que dk1 é tangente a restri¸cão xi ≥ 0. (2) Fi(xk) = 0 e xki > 0 isso implica que dk1 é tangente a restri¸cão Fi(x) ≥ 0. E em ambos os casos não temos garantido a viabilidade da dire¸cão dk

1 em Ω.

A proposi¸cão abaixo nos fornece as condi¸cões para que uma dire¸cão d ∈ IRn_{tem que} satisfazer para ser uma dire¸cão viável em Ω.

Proposi¸c˜ao 3.1.1 Seja d ∈ IRn _{e x ∈ Ω. Se a dire¸c˜ao d satisfaz as condi¸c˜oes:}

(1) di > 0 para todo ´ındice i tal que xi = 0.

(2) ∇Fi(x)d > 0 para todo ´ındice i tal que Fi(x) = 0.

então d é uma dire¸cão viável no ponto x.

Portanto usaremos uma dire¸cão de restaura¸cão, para compor junto com a dire¸cão

d1 de Newton uma nova dire¸c˜ao d que seja vi´avel em Ω. Para isso tome o seguinte

sistema:

∇H(xk)dk₂ = ρkE (1.6)

onde o vetor E ∈ IRn é composto por 10_{s e m parâmetro ρ}k _{> 0. Então para todo} ponto xk _{∈ Ω que não seja solu¸cão do problema de complementaridade 1.1.13 mas} que para algum ´ındice i, temos Hi(xk) = 0 segue que

(1) xk

(32)

(2) Fi(xk_{) = 0 e x}k

i > 0 isso implica que ∇Fi(xk)dk2 > 0.

Assim a dire¸c˜ao dk

2 é uma dire¸cão viável em Ω, pela proposi¸cão 3.1.1. Portanto, a

seguinte combina¸c˜ao linear d = dk

1+ ρkdk2, com ρk> 0 faz com que a dire¸c˜ao dk seja

uma dire¸c˜ao vi´avel em Ω. Como podemos ver na figura 3.1.

Figura 1.1:

Vamos definir ρk _{= ρ}

0φ(x

k₎β

n onde, ρ0 > 0 , φ(xk) = xkTF (xk) e β ∈ [1, 2]. observe que ρk _{> 0 para todo x}k _{∈ Ω que não seja solu¸cão do problema de} complementaridade. Desta forma vamos calcular a dire¸cão de busca dk _resolvendo o seguinte sistema

∇H(xk)dk= −H(xk) + ρkE (1.7) em cada itera¸cão. Veremos agora que a dire¸cão dk _{tem a propriedade de ser viável} em Ω e de ser uma dire¸cão de descida para a seguinte fun¸cão potencial

φ(x) = xTF (x).

Vamos considerar os conjuntos de indices dados em (1.19-1.22).

Proposi¸c˜ao 3.1.2 (Viabilidade da dire¸c˜ao) Sejam xk _{∈ Ω tal que φ(x}k_{) > 0 e}

∇H(xk_{) não singular, então temos que a dire¸cão d}k _{obtida pela resolu¸cão do sistema} (1.7) é viável em Ω.

Prova:

(33)

Ω. Ent˜ao basta verificar para os pontos xk _{em que os conjuntos de indices K 6= ∅ e}

J 6= ∅.

Pelo sistema (1.7);

∇H(xk)dk = −xk• F (xk) + ρkE,

Observe que a i-´esima linha deste sistema ´e:

[eiFi(xk) + xki∇Fi(xk)]dk = −xkiFi(xk) + ρk. Segue ent˜ao que:

(1) Para um ´ındice i ∈ K temos:

xk

i = 0 e Fi(xk) > 0 portanto:

[eiFi(xk)]dk = Fi(xk)dk_i = ρk assim, dk i = ρ k Fi(xk) > 0 ent˜ao, d k i > 0 para todo ρk > 0. (2) Para um ´ındice i ∈ J temos:

xi > 0 e Fi(x) = 0 portanto:

[xk

i∇Fi(xk)]dk= xik[∇Fi(xk)dk] = ρk o que implica que ∇Fi(xk)dk> 0.

Logo pela proposi¸cão 3.1.1 temos que dk _{é uma dire¸cão viável em Ω.} A dire¸cão dk _{é uma dire¸cão de descida para a fun¸cão potencial φ(x).}

Proposi¸c˜ao 3.1.3 Em todo ponto xk_{∈ Ω tal que φ(x}k_{) > 0, a dire¸c˜ao d}k_{obtida pela}

resolu¸cão do sistema (1.7) é uma dire¸cão de descida para φ(xk_{) se ρ}

0φ(xk)β−1 < 1.

Prova:

A fun¸cão φ(x) é estritamente positiva para todo ponto xk _{em Ω que não seja} solu¸cão do problema de complementaridade 1.1.13, e ainda, todo ponto xk _{∈ Ω tal} que φ(xk_{) = 0 implica que x}k _{é uma solu¸cão do problema de complementaridade} 1.1.13, ou seja, xk _{≥ 0 , F (x}k_{) ≥ 0 e x}k

(34)

∇φ(xk_{) = E}T_[D

F (xk₎+ D_xk∇F (xk)].

Dada a dire¸c˜ao dk _{obtida pela resolu¸c˜ao do sistema (1.7) temos que}

∇φ(xk_)dk _{= E}t_[D

F (xk₎+ D_xk∇F (xk)]dk= Et(−xk• F (xk) + ρkE) =

−φ(xk_{) + ρ}k_{n = −[1 − ρ}

0φ(xk)β−1]φ(xk) < 0

para todo ρ0φ(xk)β−1 ∈ (0, 1).

Por tanto a dire¸cão dk _{é uma dire¸cão de descida para φ(x}k_).

Com estes dois resultados temos que a dire¸cão dk _{é de descida e viável para} o problema de complementaridade desde que tenhamos ∇H(xk_{) não singular e}

ρ0φ(xk)β−1 < 1 para todo xk ∈ Ω. Assim vamos definir o seguinte conjunto

Ωc = {x ∈ Ω | φ(x) ≤ c}

onde c ´e uma constante positiva. Assim, podemos por exemplo definir ρ0 = _cβ−1α

(35)

3.2 Descri¸c˜

ao do Algoritmo FDA-NCP.

O presente algoritmo produzirá uma seqüência de pontos interiores a região Ω que converge a uma solu¸cão do problema de complementaridade mediante a resolu¸cão de um sistema linear e uma busca linear nas restri¸cões x ≥ 0 , F (x) ≥ 0 e na fun¸cão potencial φ(x). A busca que iremos utilizar é a de Armijo. Vamos considerar os seguintes parâmetros:

c, ² > 0, ρ0, η, ν ∈ (0, 1), β ∈ (1, 2]. Dados iniciais: x0 ∈ Ω estritamente vi´avel tal

que φ(x0_{) ≤ c e k = 0.}

1. Passo 1: Dire¸c˜ao de Busca. Resolva o sistema [D_{F (x}k₎+ D_xk∇F (xk)]dk = −H(xk) + ρkE, onde ρk _{= ρ} 0φ(x k₎β n . 2. Passo 2: Busca linear.

Define-se o tamanho do passo tk _{como sendo o primeiro valor da seq¨uˆencia}

{1, ν, ν2_{, ν}3_{, ...} satisfazendo}

1) xk_{+ t}k_dk _{≥ 0} 2) F (xk_{+ t}k_dk_{) ≥ 0}

3) φ(xk_{) + t}k_η∇φ(xk₎t_dk_{≥ φ(x}k_{+ t}k_dk₎

3. Passo 3: Atualiza¸c˜ao dos Dados xk+1 _{:= x}k_{+ t}k_dk _{e k := k + 1}

4. Passo 4: Crit´erio de parada Se φ(xk+1_{) < ² , pare.}

caso contr´ario volte ao passo 1.

(36)

de busca dk _{por meio da resolu¸cão de um sistema linear. Este sistema fornece} uma dire¸cão dk _{que é uma combina¸cão da dire¸cão de Newton d}k

1 e da dire¸c˜ao de

restaura¸c˜ao dk

2.

A dire¸c˜ao de Newton dk

1 é uma dire¸cão de descida para a fun¸cão potencial φ(xk)

dentro da região Ω, como já visto o grande inconveniente de usarmos esta dire¸cão para achar o próximo ponto da seqüência é que esta dire¸cão não é em geral uma dire¸cão viável na região Ω. A dire¸cão dk

2 por sua vez é uma dire¸cão de restaura¸cão

que tem a propriedade de ser viável na região Ω, porem não é em geral uma dire¸cão de descida para fun¸cão potencial φ(xk_{). Mas a combina¸cão destas duas dire¸cões nos} fornece uma dire¸cão dk _{que tem a propriedade de ser uma dire¸cão de descida da} fun¸cão potencial φ(xk_{) e viável na região Ω como mostrado nas proposi¸cões 3.1.2 e} 3.1.3.

Desta forma é poss´ıvel gerar uma seqüência de pontos com a dire¸cão dk _onde cada ponto desta seqüência esta contido em Ω e ainda decresce o valor da fun¸cão potencial φ(xk_{). Isto é poss´ıvel por meio de uma busca linear na dire¸cão de d}k que é justamente o segundo passo. A busca linear determina o próximo ponto da seqüência, xk+1_{, que verifica duas condi¸cões x}k+1 _{∈ Ω e φ(x}k+1_{) ≤ φ(x}k_{). ´}_E importante na busca linear que o comprimento do passo tk _{não tenda a zero pois} isso comprometerá na convergência do algoritmo.

Para a aplica¸cão do algoritmo é muito importante termos as seguintes condi¸cões:

• Um ponto inicial x0 _{estritamente vi´avel.}

• O conjunto Ω ⊂ IRn _{ter interior n˜ao vazio.}

• A matriz ∇H(x) ser n˜ao singular para x ∈ Ω.

(37)

Cap´ıtulo 4

Convergˆ

encia Global do

FDA-NCP

Nesta se¸cão apresentaremos resultados teóricos sobre a convergência global do Algoritmo FDA-NCP a uma solu¸cão do problema de complementaridade. Lembrando que o Algoritmo deverá gerar uma seqüência de pontos {xk_{} ⊂ Ω, a} partir de um ponto estritamente viável, e a cada itera¸cão deverá reduzir o valor da fun¸cão potencial φ(xk_{). Para tal, o algoritmo produzirá uma dire¸cão de busca d}k que tem as propriedades de ser uma dire¸cão viável em Ω e de descida para a fun¸cão potencial φ(x). Mostraremos que esta dire¸cão dk _{é um campo uniforme de dire¸cões} viáveis e limitado. O passo da busca de Armijo para a fun¸cão potencial φ(x) é limitado inferiormente por um valor positivo.

Assumiremos condi¸cões clássicas para a fun¸cão F (x), a matriz ∇H(x) e o conjunto de pontos viáveis Ω.

Suposi¸c˜ao 4.0.1 O conjunto

Ωc≡ {x ∈ Ω | φ(x) ≤ c} ´e compacto e possui interior Ω0

c 6= ∅, tal que para cada x ∈ Ω0c satisfaz x > 0 e

F (x) > 0.

Suposi¸c˜ao 4.0.2 A fun¸cão F (x) é continuamente diferenciável e ∇F (x) satisfaz a

condi¸c˜ao de Lipschitz,

(38)

para qualquer x, y ∈ Ωc, onde γ0 ´e uma constante positiva.

Suposi¸c˜ao 4.0.3 A matriz ∇H(x) ´e n˜ao singular para todo x ∈ Ωc, ou seja, existe (∇H(x))−1 _{para todo x ∈ Ω}

c.

A suposi¸cão 4.0.1 garante a existência de pontos estritamente viáveis em Ωc. Da suposi¸cão 4.0.3 temos que as componentes de x e F (x) não se anulam simultaneamente para nenhum x ∈ Ωc. Temos também que o sistema de equa¸cões do algoritmo

∇H(xk_)dk _{= −H(x}k_{) + ρ}k_E, possui solu¸cão única, logo a dire¸cão dk _{está bem definida.}

Como ∇F (x) é cont´ınua segue que tanto ∇H(x) quanto (∇H(x))−1 _{são aplica¸cões} cont´ınuas e limitadas em Ωc. Ou seja existem constantes positivas κ0, κ tal que

k∇H(x)k ≤ κ0 e k(∇H(x))−1k ≤ κ para todo x ∈ Ωc.

4.1 Resultados de Convergˆ

encia

Nos resultados a seguir assumiremos as suposi¸c˜oes (4.0.1 - 4.0.3). Primeiro veremos resultados com respeito a F (x) e a equa¸c˜ao do sistema H(x) = x • F (x).

Lema 4.1.1 Seja um subconjunto Γ ⊂ <n _{compacto e não vazio. Então as fun¸cões}

F (x), H(x) = x • F (x) satisfazem a condi¸c˜ao de Lipschitz em Γ.

Prova.:

Primeiro observe que como F (x) é de classe C1_{então H(x) = x•F (x) é de classe C}1

também. Temos também que ∇Fi(x) é cont´ınua para todo i ∈ {1, 2, ..., n} e como Γ é compacto então ∇Fi(x) é limitado em Γ. Existe CFi constante positiva tal que

, k∇Fi(x)k ≤ CFi para todo x ∈ Γ. Assim dados x , y em Γ tal que o seguimento

x + t(y − x) ∈ Γ para todo t ∈ [0, 1] e para qualquer i ∈ {1, 2, ...n}. Segue pelo

teorema do valor m´edio

(39)

para algum τ ∈ [0, 1]. Portanto, para qualquer i ∈ {1, 2, ...n}, Fi(x) satisfaz a condi¸c˜ao de Lipschitz

|Fi(y) − Fi(x)| ≤ CFiky − xk.

De forma an´aloga temos o mesmo resultado para Hi(x).

|Hi(y) − Hi(x)| ≤ CHiky − xk.

Tomando CF =Pn_i=1CFi, podemos concluir que

kF (y) − F (x)k ≤ n X i=1 |Fi(y) − Fi(x)| ≤ n X i=1 CFiky − xk = CFky − xk.

Tamb´em de maneira an´aloga segue que

kH(y) − H(x)k ≤ n X i=1 |Hi(y) − Hi(x)| ≤ n X i=1 CHiky − xk = CHky − xk, onde CH =Pn_i=1CHi.

Lema 4.1.2 Seja um subconjunto Γ ⊂ <n _{compacto e não vazio. Então a fun¸cão}

∇H(x) satisfaz a condi¸c˜ao de Lipschitz em Γ.

Prova:

Dados x , y em Γ ent˜ao: (∇H(x) = DF (x)+ Dx∇F (x))

||∇H(y) − ∇H(x)|| = ||DF (y)+ Dy∇F (y) − DF (x)− Dx∇F (x)|| ≤

≤ ||DF (y)− DF (x)|| + ||Dy∇F (y) − Dx∇F (x)|| ≤

≤ ||DF (y)− DF (x)|| + ||Dy(∇F (y) − ∇F (x))|| + ||(Dy− Dx)∇F (x)|| ≤

≤ ||DF (y)− DF (x)|| + ||Dy||||∇F (y) − ∇F (x)|| + ||∇F (x)||||Dy − Dx||. Como Γ é compacto e ∇F (x) é uma fun¸cão continua, então existem uma constante positiva tal que ||Dz|| ≤ c0 e ||∇F (z)|| ≤ c1∀z ∈ Γ e da suposi¸cão 4.0.2 temos

||∇H(y) − ∇H(x)|| ≤ CFky − xk + c0γ0ky − xk + c1ky − xk = γky − xk,

(40)

Lema 4.1.3 Para x, y ∈ Γ, se o seguimento de reta x + t(y − x) ∈ Γ para todo

t ∈ [0, 1], segue as seguintes desigualdades:

Hi(y) ≤ Hi(x) + ∇Hi(x)(y − x) + γ||y − x||2 ∀ 1 ≥ i ≥ n , (1.1)

Hi(y) ≥ Hi(x) + ∇Hi(x)(y − x) − γ||y − x||2 ∀ 1 ≥ i ≥ n , (1.2)

onde ∇Hi(x) ´e um vetor linha. Prova:

Observe primeiro que: ∇H(x) ´e uma matriz com a i-esima linha igual a ∇Hi(x) logo

∇Hi(x)d = [∇H(x)d]i. Assim temos que

|∇Hi(x)d| ≤ k∇H(x)dk ≤ ||∇H(x)||kdk. (1.3) Ent˜ao pelo teorema do valor m´edio existe τ ∈ [0, 1] tal que

Hi(y) = Hi(x) + ∇Hi(x + τ (y − x))(y − x).

agora somando e subtraindo ∇Hi(x)(y − x) no segundo membro da igualdade temos

Hi(y) = Hi(x) + ∇Hi(x)(y − x) + (∇Hi(x + τ (y − x)) − ∇Hi(x))(y − x). (1.4) Da equa¸c˜ao (1.3) temos

|(∇Hi(x + τ (y − x)) − ∇Hi(x))(y − x)| = |[(∇H(x + τ (y − x)) − ∇H(x))(y − x)]i| ≤

≤ k∇H(x + τ (y − x)) − ∇H(x)kky − xk,

e pelo lema 4.1.2 segue

|(∇Hi(x + τ (y − x)) − ∇Hi(x))(y − x)| ≤ γkτ (y − x)kky − xk ≤ γky − xk2. (1.5)

Portanto da equa¸c˜ao (1.4) e da desigualdade (1.5) segue as duas desigualdades do lema (1.1) e (1.2).

(41)

de dire¸c˜oes vi´aveis. Lembrando que ρk _{= ρ} 0φ(x k₎β n onde ρ0 = α min{1, 1 cβ−1} com β ∈ [1, 2] , α ∈ (0, 1) e xk _{∈ Ω} c.

Lema 4.1.4 Para qualquer xk _{∈ Ω}

c, da dire¸c˜ao de busca dk gerada pelo algoritmo

satisfaz

kdk_{k ≤ κφ(x}k_). _(1.6)

Como conseq¨uˆencia, kdk_{k ≤ κc.} Prova:

Seja xk _{∈ Ω}_{c. Como d}k _{= M}−1_(xk_)[−H(xk_{) + ρ}k_{E], temos a seguinte desigualdade}

kdk_{k ≤ kM}−1_(xk_)kk−H(xk_)+ρk_{Ek. Basta mostrar uma limita¸c˜ao para k−H(x}k₎₊

ρk_{Ek. Tome a seguinte igualdade}

k − H(xk_{) + ρ}k_Ek2 _{= kH(x}k_)k2_{− 2ρ}k_φ(xk_{) + n(ρ}k₎2_.

Como kH(xk_)k2 _{≤ φ}2_(xk_{)k para todo x}k_{∈ Ω}

c temos que k − H(xk_{) + ρ}k_Ek2 _{≤ φ}2_(xk_{) − 2ρ}k_φ(xk_{) + n(ρ}k₎2 _{= (n − 1)(ρ}k₎2_{+ (φ(x}k_{) − ρ}k₎2_, como ρk ₌ ρ0φ(xk)β n e ρ0φ(xk)β−1 < 1 segue k − H(xk_{) + ρ}k_Ek2 _{≤ [}(n − 1)(ρ0φ(xk)β−1)2+ (n − ρ0φ(xk)β−1)2 n2 ]φ(x k₎2_,

observe que (n − 1) < (n − ρ0φ(xk)β−1) < n e (ρ0φ(xk)β−1)2 < ρ0φ(xk)β−1 < 1 ent˜ao

[(n − 1)(ρ0φ(x k₎β−1₎2_{+ (n − ρ} 0φ(xk)β−1)2 n2 ] < n − ρ0φ(xk)β−1 n < 1.

Assim temos a seguinte desigualdade

k − H(xk) + ρkEk ≤ φ(xk) , ∀xk ∈ Ωc.

(42)

Lema 4.1.5 A dire¸cão de busca dk _{é uma dire¸cão de descida para φ(x}k_{) para}

qualquer xk_{∈ Ω}

c tal que H(xk) 6= 0. Prova:

Como φ(xk_{) ´e continuamente diferenci´avel basta verificarmos que ∇φ(x}k_)dk _{< 0} para qualquer xk _{∈ Ω}

c tal que H(xk) 6= 0 para concluirmos que dk ´e dire¸c˜ao de descida.

Observe que ∇φ(xk_{) = E}t_∇H(xk_{), assim}

∇φ(xk_)dk _{= E}t_[∇H(xk_)dk_{] = E}t_[−H(xk_{) + ρ}k_{E] = −(1 − ρ}

0φ(xk)β−1)φ(xk) < 0

o que conclui o resultado.

Lema 4.1.6 Sejam f e g fun¸c˜oes reais cont´ınuas no intervalo da reta [0, b]. Se

f (t)g(t) > 0 ∀ t ∈ (0, b) ent˜ao uma das duas condi¸c˜oes ocorre:

1) f (t) ≥ 0 e g(t) ≥ 0 ∀ t ∈ [0, b], 2) f (t) ≤ 0 e g(t) ≤ 0 ∀ t ∈ [0, b].

Prova.: ´E f´acil ver que f e g tem o mesmo sinal no intervalo (0, b). Pois caso contr´ario, existiria um t ∈ (0, b) tal que f (t)) < 0 e g(t) > 0 o que implicaria

f (t)g(t) < 0 que ´e uma contradi¸c˜ao.

Agora se existe um t ∈ (0, b) tal que

f (t) > 0 e g(t) > 0 ∀ t ∈ (0, t), f (t) < 0 e g(t) < 0 ∀ t ∈ (t, b).

Pela continuidade da f (t) (g(t)) temos que f (t) = 0 (g(t) = 0) o que é uma contradi¸cão pois por hipótese f (t)g(t) > 0 para todo t no intervalo (0, b). Logo f e

g ter˜ao o mesmo sinal em todo intervalo (0, b).

(43)

No caso de termos 10_{) isto implica em f (0) , g(0) , f (b) e g(b) ≥ 0.} No caso de termos 20_{) isto implica em f (0) , g(0) , f (b) e g(b) ≤ 0.}

Isto ´e verdade pois, sem perda de generalidade, vamos assumir que estamos com a condi¸c˜ao 10_{) e supor f (b) < 0. Pela continuidade f existe um δ > 0 tal que para} todo t que satisfa¸ca |b − t| < δ implica que f (t) < 0, ou seja, existe um t < b tal que

f (t) < 0 o que é uma contradi¸cão. Portanto conclu´ımos que uma das duas condi¸cões

se verifica:

1) f (t) ≥ 0 e g(t) ≥ 0 ∀ t ∈ [0, b], 2) f (t) ≤ 0 e g(t) ≤ 0 ∀ t ∈ [0, b].

Lema 4.1.7 A seqüência de dire¸cão {dk_{} gerada pelo algoritmo FDA-NCP, consiste}

em um campo uniforme de dire¸c˜oes vi´aveis do problema de complementaridade em

Ω. Prova:

Segue da equivalˆencia de normas e do lema 4.1.2 que

k∇Hi(y) − ∇Hi(x)k ≤ γky − xk para todo x , y ∈ Ωc e 1 ≤ i ≤ n.

Suponhamos que exista θ > 0 tal que para todo xk _{∈ Ω}

c o seguimento [xk_{, x}k_{+ τ d}k_{] ⊂ Ω}

c para τ ∈ [0, θ]. Do teorema do valor m´edio temos que

Hi(xk+ τ dk) ≥ Hi(xk) + τ ∇Hit(xk)dk− τ2γkdkk2 para qualquer τ ∈ [0, θ] e 1 ≤ i ≤ n. Como

∇Hi(xk)dk = −xkiFi(xk) + ρk (1.7) segue que

(44)

Em conseq¨uˆencia,

Hi(xk+ τ dk) ≥ 0

para todo 1 ≤ i ≤ n e qualquer τ ≤ min{1,_γkdρkk_k2}. Portanto, pelo lema 4.1.6

conclu´ımos que xk_{+ τ d}k _{∈ Ω.}

Considerando agora o lema 4.1.4, e pela defini¸c˜ao de ρk _temos

τ ≤ min{1, ρ0 γnκ2φ(x

k₎β−2_} _(1.8)

Como β ∈ [1, 2], basta escolher

θ = min{1,ρ0cβ−2 γnκ2 }.

Lema 4.1.8 Existe ξ > 0 tal que, para todo xk _{∈ Ω}

c, a condi¸c˜ao de Armijo no

algoritmo ´e satisfeita para qualquer tk _{∈ [0, ξ].} Prova:

Seja tk _{∈ (0, θ], onde θ foi obtido no lema anterior. Aplicando o Teorema do Valor} M´edio para i = 1, 2, ..., n e tomando xk+1 _{= x}k_{+ t}k_dk_{, nos temos}

Hi(xk+1) ≤ Hi(xk) + tk∇[H(xk)]idk+ tk

2

γkdk_k2_.

Somando as n inequa¸c˜oes e considerando a equa¸c˜ao (1.7), temos:

φ(xk+1_{) ≤ [1 − (1 −} ρkn

φ(xk₎)t

k_]φ(xk_{) + nt}k2

γkdk_k2_.

Considerando agora da condi¸c˜ao de Armijo para φ(xk_{) e pelo lema 4.1.5, deduzimos} que se, [1 − (1 − ρkn φ(xk₎)t k_]φ(xk_{) + nt}k2 γkdk_k2 _{≤ [1 − t}k_{η(1 −} ρkn φ(xk₎)]φ(x k₎

é verificado, então a condi¸cão de Armijo no algoritmo é satisfeita. Assim, é suficiente tomarmos

tk _≤ (1 − η)(1 − ρk_n

φ(xk₎)φ(xk)

(45)

Como no lema anterior, podemos tomar

tk _{≤ (1 − η)(1 − ρ}

0φ(xk)β−1)

φ(xk₎−1

γnκ2 . (1.9)

Assim, o lema fica provado para

ξ = min{(1 − η)(1 − ρ

0_cβ−1₎

γnκ2_c , θ},

onde θ foi obtido no Lema 4.1.7.

Como conseqüência dos lemas 4.1.7 e 4.1.8, podemos concluir que o passo da busca linear de Armijo no algoritmo FDA-NCP é limitado inferiormente por νξ > 0. Assim podemos enunciar o teorema que garante a convergência global do algoritmo a uma solu¸cão do problema de complementaridade.

Teorema 4.1.1 Dado um ponto inicial estritamente vi´avel, x0 _{∈ Ω}

c, existe uma

subseqüência de {xk_{} gerada pelo Algoritmo FDA-NCP que converge para x}∗_{, solu¸cão}

do problema de complementaridade.

Prova:

Segue dos lemas 4.1.4 a 4.1.8 que {xk_{} ⊂ Ω}_{c. Como Ωc} _{é compacto, a seqüência}

{xk_{} possui ponto de acumula¸c˜ao em Ω}

c. Seja x∗ um ponto de acumula¸cão desta seqüência. Como o tamanho do passo é sempre positivo e limitado inferiormente por

(46)

Cap´ıtulo 5

Problema de Complementaridade

Mista

5.1 Id´

eias B´

asicas

Vamos extender o FDA-NCP para problemas que envolvam mais variáveis e uma condi¸cão de igualdade além da condi¸cão de complementaridade. Este tipo de problema é chamado de Problema de Complementaridade Mista (MNCP). Que tem a seguinte defini¸cão:

Defini¸c˜ao 5.1.1 Sejam F : IRn_{× IR}m _{→ IR}n _{e Q : IR}n_{× IR}m _{→ IR}m_{, aplica¸c˜oes de}

classe C1 _{em IR}n_{× IR}m _{então uma solu¸cão para este problema é:}

Encontrar (x, y) ∈ IRn_{× IR}m _{tal que x ≥ 0 , F (x, y) ≥ 0 e}

     x • F (x, y) = 0 Q(x, y) = 0.

Quando F (x, y) e Q(x, y) s˜ao lineares temos o Problema de Complementaridade Mista Linear (MLCP).

Para a utiliza¸c˜ao do algoritmo FDA-NCP no problema 5.1.1 vamos agregar no sistema H(x, y) = 0, onde H(x, y) = x•F (x, y), a equa¸c˜ao de igualdade Q(x, y) = 0. Assim o novo sistema fica da seguinte forma: