O desenvolvimento da aula

Nesta seção, foram tratadas as definições essenciais relativas ao assunto, demonstradas algumas fórmulas e resolvidos exemplos para que os estudantes

8 _{Os objetivos gerais são: 1) Estudar as sequências, especialmente a Progressão Aritmética (PA), a}

fim de se obter um melhor desempenho nas provas da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP); 2) Estimular o interesse em estudar a Matemática através de demonstrações, teoremas e resolução de problemas, bem como despertar a vontade de participar da OBMEP.

fixassem o conteúdo. A seguir, serão exibidos sumariamente os tópicos trabalhados durante o tempo de aula. Esses tópicos foram organizados de forma sequencial para facilitar o aprendizado do aluno, pois, durante a Avaliação Diagnóstica, foram identificados alguns conceitos básicos da matéria e como eles estão estruturados.

• Sequências

A ideia foi mostrar que as sequências fazem parte do cotidiano do aluno e foram dados exemplos notáveis, como a sequência dos dias da semana, dos meses do ano e a sequência dos números naturais positivos.

Destacou-se que, todas essas sequências apresentavam uma certa ordem dos elementos e estes são chamados de termos. Assim, mostrou-se que na sequência dos dias da semana, o 1° termo é domingo, o 2° termo é terça, ..., o 7° termo é sábado, a fim de que os alunos pudessem relacionar com as ideias âncoras da estrutura cognitiva. Esses termos, doravante, são representados por uma letra minúscula acompanhado de um número chamado de índice, por exemplo: o 1° termo é 𝑎1 (lê-se: a índice 1), o 2° termo é 𝑎2 (lê-se: a índice 2) e o 3° termo é 𝑎3 (lê-se: a índice 3).

Notou-se a importância de deixar clara a nomenclatura, pois era necessário que eles se adaptassem com a escrita Matemática. Por fim, solicitou-se que eles relacionassem, na folha, os termos com os dias da semana, assim:

𝑎₁ → Domingo; 𝑎₂ → Segunda; 𝑎₃ → Terça; 𝑎₄ → Quarta; 𝑎₅ → Quinta; 𝑎₆ → Sexta e 𝑎₇ → Sábado.

Em seguida, foram citados outros exemplos a fim de nivelar a ideia de sequências.

• Lei de Formação

Enfatizou-se que as sequências obedecem a certas regras e estas são chamadas de lei de formação. Mostrou-se a importância de entender a lei de formação, que foi exemplificada com números naturais positivos que são quadrados perfeitos, 𝑆 = (1,4,9,16, … ). Nesse momento, foi solicitado que descobrissem a regra que formou esta sequência. Depois de escutar dos alunos suas várias hipóteses, esclareceu-se que a regra da sequência apresentada era 𝑛2, onde 𝑛 é o índice do termo. Este exemplo simples fez com que os alunos entendessem realmente a importância da lei de formação. Por fim, solicitou-se que eles completassem, na

folha, os espaços vazios, referentes aos termos da sequência dada: 𝑎₁ = 12 = 1, 𝑎2 = 22 = 4, 𝑎3 = 32 = 9, 𝑎4 = 42 = 16,..., 𝑎𝑛 = 𝑛2.

Com o objetivo de fixar o conteúdo, foram resolvidas as questões 5 e 7 da Avaliação Diagnóstica, explicando detalhadamente os procedimentos para resolvê- las e ajudando-os a escrever a solução de forma clara e objetiva, padronizando a escrita e a apresentação da resposta. Cabe destacar que, no final deste tópico, escutou-se dos alunos expressões do tipo: “como é fácil!”, “entendendo assim fica bem legal!” e “quando a gente entende, fica muito mais fácil!” etc.

• Progressão Aritmética

Procurou-se mostrar que a PA é uma sequência que apresenta a mesma variação entre dois termos consecutivos e essa variação é chamada de razão. Além disso, foi identificado, na Avaliação Diagnóstica, que eles conheciam o conceito de razão. Assim, escreveram-se alguns exemplos de PA no quadro e, por iniciativa deles, colaboravam com o professor, já falando quais eram esses termos da sequência e a razão de cada uma, faltando apenas registar a forma correta de calcular e escrever de forma padronizada. Em seguida, mostrou-se como se calcula a razão da PA, ratificou-se, mais uma vez, o conceito desta sequência e foi resolvida a 1ª questão da Avaliação Diagnóstica para fixar o conteúdo.

• A Fórmula do Termo Geral

Procurou-se demonstrar a fórmula do termo geral de maneira simples e compreensível para que os alunos não precisassem mais memorizá-la e para despertar o interesse deles por futuras demonstrações. A partir de uma sequência de 𝑛 termos, tais que 𝑆 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛}, procurou-se identificar os termos, a partir do segundo, e fazendo uma relação com o anterior. Assim, foi-se construindo passo a passo a ideia de encontrar cada termo de uma PA utilizando o conceito de razão, como mostra a seguir:

𝑎₂ = 𝑎₁+ 𝑟

𝑎₃ = 𝑎₂+ 𝑟, mas 𝑎₂ = 𝑎₁+ 𝑟, logo 𝑎₃ = (𝑎₁+ 𝑟) + 𝑟 = 𝑎₁+ 2𝑟 = 𝑎₁+ (3 − 1). 𝑟 𝑎4 = 𝑎3+ 𝑟, mas 𝑎3 = 𝑎1+ 2𝑟, logo 𝑎4 = (𝑎1+ 2𝑟) + 𝑟 = 𝑎1+ 3𝑟 = 𝑎1+ (4 − 1). 𝑟.

Desta forma, os alunos foram deduzindo e falando durante a aula que: 𝑎₅ = 𝑎₁+ 4𝑟 = 𝑎₁+ (5 − 1)𝑟

𝑎6 = 𝑎1+ 5𝑟 = 𝑎1+ (6 − 1)𝑟 ⋮

𝑎₁₀ = 𝑎₁+ 9𝑟 = 𝑎₁+ (10 − 1)𝑟 ⋮

𝑎₁₀₀ = 𝑎₁+ 99𝑟 = 𝑎₁+ (100 − 1)𝑟.

Em seguida, foi explicado que para um termo geral, seja qual for a representação do índice, 𝑛 ou 𝑝, vale a relação: 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1). 𝑟, onde 𝑛 ∈ ℕ.

Generalizando, demonstrou-se que a fórmula do termo geral é dada por Termo geral

Para finalizar este tópico, além de resolver exemplos específicos para fixar o conteúdo, foi resolvida a 2ª questão da Avaliação Diagnóstica com o intuito de mostrar que a Matemática é uma disciplina interessante e que não há necessidade de “decorar” as fórmulas.

• A soma dos termos de uma PA finita

Antes de tudo, perguntou-se aos alunos, se era possível somar os números de 1 até 100 em menos de 2 minutos. Nesse momento, todos ficaram se olhando e pensando se era possível, alguns disseram que sim e outros disseram que não. A pergunta foi uma maneira de despertar a curiosidade da turma, pois, fazendo um link com os tópicos anteriores, já havíamos definido sequências, entendido a ideia de razão e compreendido a fórmula do termo geral.

Antes de mostrar que era possível efetuar a soma, contou-se a história de Gauss. Segundo Moura (2016, p.34), Carl Friedrich Gauss (1777 - 1865) “foi uma das mentes mais brilhantes conhecidas pela humanidade”. De família humilde, nasceu na Alemanha, seu pai trabalhava como mestre de obras e sua mãe, embora não tivesse sido sábia, foi a responsável por apoiá-lo em seus estudos.

Aos poucos, os alunos, foram despertando o interesse pela história. Em seguida, contou-se essa mesma história na visão de Boyer (1974), que afirma que Gauss se divertia quando criança com cálculos matemáticos.

Um dia, para manter a classe ocupada, o professor mandou que os alunos somassem todos os números de um a cem, com instruções a cada um para colocar sua lousa sobre a mesa logo que completasse a tarefa. Quase que imediatamente Carl colocou sua lousa sobre a mesa, dizendo, “Aí está''; o professor olhou para ele com pouco caso enquanto os outros trabalhavam diligentemente. Quando o mestre finalmente olhou os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta correta, 5050, sem nenhum cálculo. (BOYER, 1974, p.367).

A ideia de Gauss foi reproduzida em sala de aula para que os alunos observassem a resolução da soma dos termos da PA (1, 2, 3, … , 98, 99, 100), por um menino de 10 anos de idade. Foi explicado que se somasse os números em pares, obteria-se sempre o mesmo resultado, mas as parcelas teriam que ser equidistantes. Assim sendo:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ⋯ = 49 + 52 = 50 + 51 = 101.

Percebe-se que esse resultado apareceu 50 vezes e conclui-se, mentalmente, que a soma dos termos da PA (1, 2, 3, … , 98, 99, 100) é igual a 50 vezes 101, logo, o resultado é 5050.

Expressando algebricamente como termos de uma PA, temos que: 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 2, 𝑎3 = 3, … , 𝑎99 = 99 𝑒 𝑎100= 100. Então: 𝑎₁+ 𝑎₁₀₀ = 𝑎₂+ 𝑎₉₉ = 𝑎₃ + 𝑎₉₈, … , 𝑎₅₀+ 𝑎₅₁ = 101. 𝑆100 = 5050 = (101). 50 = (1 + 100). 100 2 = (𝑎₁+ 𝑎₁₀₀). 100 2 .

Como essa PA tem 100 termos, então 𝑛 = 100, assim: 𝑆100 =

(𝑎₁+ 𝑎₁₀₀). 100

2 =

(𝑎₁+ 𝑎₁₀₀). 𝑛

2 .

Uma visão geral do cálculo é mostrada na Figura 33, abaixo.

Figura 33 - Soma dos 100 primeiros números naturais

Dessa forma, mostrou-se para os alunos uma demonstração simples, que contou com o auxílio da história da Matemática, da fórmula da soma dos termos de uma PA finita.

Soma dos Termos de uma PA

Por fim e para fixar o conteúdo, foram resolvidos outros exemplos mais a 3ª questão da Avaliação Diagnóstica. Finalizando este tópico, vale expressar a satisfação dos alunos a respeito do assunto abordado de forma diferente. Eles perceberam que a Matemática seria mais interessante contada por meio de histórias e demonstrações Matemáticas. Segundo alguns relatos dos alunos, eles disseram que não esquecerão mais desta fórmula.

• Considerações finais

Neste tópico, mais uma vez, ressaltou-se a importância do assunto para o ano escolar e para a OBMEP. Realizou-se um breve resumo da aula e, em seguida, foi informado que haveria uma Avaliação Formativa para verificar a aprendizagem. Informou-se também que seria distribuído um questionário para fins de coleta de dados sobre a OBMEP.