4.6 TRATAMENTO DOS DADOS
4.6.2 Determinações e transformações entre os sistemas locais de referência
Para cada segmento corporal foram determinadas a sua localização e orientação em função do tempo, a partir das coordenadas tridimensionais dos marcadores. A localização de cada segmento foi definida pela posição tridimensional do seu centro de massa. Na tomada estática cada segmento corporal foi associado um sistema local anatômico definindo com origem no seu centro de massa do segmento, e eixos coordenados com direções coincidentes com as direções dos eixos anatômicos longitudinal, sagital e transversal, dados pelas matrizes dos seus vetores básicos, descritos em relação ao sistema global. Os cálculos da construção de cada sistema local anatômico estão descritas a seguir, em função dos pontos anatômicos.
O sistema local anatômico da cabeça foi determinado em cada frame, dados pelos vetores básicos ih, jh e kh, dado por:
ih= Pmh-TA |Pmh-TA| jh= (ZAe-ZAd)×ih |(ZAe-ZAd)×ih| kh=ih×jh (2)
Onde Pmh é dado por:
Pmh=(C7+IJ)/2 (3)
O sistema local anatômico do tórax foi determinado em cada frame, dados pelos vetores básicos it, jt e kt, dado por:
it= CAQ-Pmt |CAQ-Pmt|
jt= (ACe-ACd)×it |(ACe-ACd)×it|
kt=it×jt (4)
Onde Pmt é dado por:
Pmt=(ACd+ACe)/2 (5)
O sistema local anatômico do braço direito foi determinado dados pelos vetores básicos ia, ja e ka, dado por:
ia=
CACd-CAOd |CACd-CAOd| ja=
(MEd-CAOd)×(LEd-CAOd)
|(MEd-CAOd)×(LEd-CAOd)| ka=ia×ja (6)
O sistema local anatômico do antebraço direito foi determinado dados pelos vetores básicos if, jf e kf, dado por:
if=
CAPd-CACd
|CAPd-CACd| jf=
(USd-CACd)×(RSd-CACd)
|(USd-CACd)×(RSd-CACd)| kf=if×jf (7)
O sistema local anatômico da coxa direita foi determinado dados pelos vetores básicos ith, jth e kth, dado por:
ith=
CAJd-CAQd
|CAJd-CAQd| jth=
(MCd-CAQd)×(LCd-CAQd)
|(MCd-CAQd)×(LCd-CAQd)| kth=ith×jth (8)
O sistema local anatômico da perna direita foi determinado dados pelos vetores básicos ish, jsh e ksh, dado por:
ish=
CATd-CAJd
|CATd-CAJd| jsh=
(MMd-TTd)×(LMd-TTd)
|(MMd-TTd)×(LMd-TTd)| ksh=ish×jsh (9)
Os sistemas anatômicos referentes ao lado esquerdo foram calculados de forma similar, utilizando os marcadores correspondentes.
A figura a seguir representa o sistema local anatômico no segmento antebraço, para melhor visualização.
Figura 8: Representação do sistema local anatômico no segmento antebraço
Para a realização da tomada dinâmica foram retirados todos os marcadores anatômicos dos membros, permanecendo apenas os marcadores técnicos nas cruzes; todos os marcadores anatômicos do tórax, exceto os marcadores acrômio (AC), processo espinhoso da 7ª vértebra cervical (C7), incisura jugular do osso esterno (IJ) e espinha ilíaca ântero-superior (ASIS). Assim, na tomada dinâmica apenas permaneceram registrados em todos os frames os marcadores anatômicos necessários para a construção do sistema local anatômico da cabeça e tronco.
Para determinação do sistema local anatômico dos membros durante a tomada dinâmica, foi definido também um sistema local técnico em cada membro na tomada estática, construído a partir dos pontos fixados nas cruzes, dado também pela matriz dos seus vetores básicos.
O sistema local técnico do braço e da coxa foi determinado em cada frame, dados pelos vetores básicos i, j e k, dado por:
i= c1-c2
|c1-c2| j=
i×(c3-c2)
|i×(c3-c2)| k= i×j (10)
O sistema local técnico do antebraço foi determinado em cada frame, dados pelos vetores básicos i, j e k, dado por:
i= c1-c3
|c1-c3| j=
i×(c1-c2)
|i×(c1-c2)| k= i×j (11)
O sistema local técnico da perna foi determinado em cada frame, dados pelos vetores básicos i, j e k, dado por:
i= c3-c2
|c3-c2| j=
i×(c1-c2)
|i×(c1-c2)| k= i×j (12)
O cálculo dos sistemas técnico são referentes ao do lado direito e esquerdo. A figura a seguir representa o sistema local técnico no segmento antebraço, para melhor visualização.
Figura 9: Representação do sistema local técnico no segmento antebraço
Considerando os segmentos como corpos rígidos, admitiu-se que orientação relativa entre os sistemas locais anatômicos e técnicos de um mesmo segmento não se altera durante o movimento. Na tomada dinâmica foram determinados os sistemas locais técnicos de cada membro em cada frame, descritos em relação ao sistema global, e calculados os sistemas locais anatômicos, também em cada frame, pela matriz de rotação do sistema do técnico para o sistema anatômico, determinada na tomada estática. A matriz de transformação entre os dois sistemas na tomada estática é dada por:
TA
[m] = G[ae] · G[te]-1 (13)
Onde:
TA[m] = matriz de transformação do sistema local técnico para o sistema local
anatômico;
G
[ae] = matriz dos vetores básicos do sistema local anatômico na tomada estática, descrita em relação ao sistema global;
G
[te] = matriz dos vetores básicos do sistema local técnico na tomada estática, descrita em relação ao sistema global.
Na tomada dinâmica, a matriz do sistema anatômica G[ad] de cada segmento em cada frame, é obtida a partir da matriz transformação TA[m] e da matriz dos vetores básicos do sistema técnico, construída em cada frame, dada pela seguinte equação:
G
[ad] = TA[m] · G[td] (14)
Onde:
G
[ad] = matriz dos vetores básicos do sistema local anatômico na tomada dinâmica em relação ao sistema global;
G
[td] = matriz dos vetores básicos do sistema local técnico na tomada dinâmica em relação ao sistema global.
As posições dos pontos retirados na tomada dinâmica necessários para calcular os centros articulares, podem ser determinadas pelos vetores posição dos centros articulares na tomada estática, descritos em relação ao sistema técnico, que é invariante em todos os frames. Para isto, utiliza-se o vetor posição destes centros articulares descritos em relação ao sistema global na tomada estática, o vetor posição da origem do sistema técnico na tomada estática, em relação ao sistema global, e a matriz de transformação do sistema global para o técnico, pela equação a seguir:
T
Onde:
T
[mCA] = vetor posição do centro articular em relação ao sistema local técnico, na tomada estática;
[te] = matriz dos vetores básicos do sistema local técnico na tomada estática;
G[CAe] = vetor posição do centro articular em relação ao sistema global, na tomada
estática;
G
[ote] = vetor posição da origem do sistema local técnico em relação ao sistema global, na tomada estática.
Assim, a posição de cada centro articular em relação ao sistema global em cada frame é obtida a partir do vetor posição destes centros articulares em relação ao sistema técnico, obtidos na tomada estática e que é invariante, da matriz de rotação do sistema técnico para o sistema global em cada frame, e o vetor posição da origem do sistema técnico, dados por:
G
[CAd] = ([td] · T[mCA]) + G[ote] (16)
Onde:
[CAd] = vetor posição dos centros articulares na tomada dinâmica, em relação ao sistema global;.
[td] = matriz de rotação do sistema local técnico para o sistema global em cada
frame na tomada dinâmica;
[otdi] = vetor posição da origem do sistema local técnico em cada frame na tomada
dinâmica.
4.7 CONSTRUÇÃO DO ELIPSÓIDE HOMOGÊNEO EQUIVALENTE
Segundo Marion e Thornton (1995), dois corpos quaisquer que apresentem a mesma massa e os mesmos momentos principais de inércia, irão se movimentar exatamente da mesma maneira, estando sob ação das mesmas forças, apesar de apresentarem formas diferentes. Assim, na metodologia proposta por Mercadante (2000), o elipsóide homogêneo equivalente, construído em cada instante da movimentação do corpo humano, em função do elipsóide central de inércia e do centro de massa desse corpo deve apresentar a mesma massa e os mesmos três
momentos principais centrais de inércia que o corpo humano, sendo o centro do elipsóide coincidente com o centro de massa do corpo, e os eixos principais centrais do elipsóide devem apresentar direções coincidentes com as direções dos eixos principais centrais de inércia do corpo humano.
Figura 10: Representação do elipsóide central de inércia do corpo (extraído de Mercadante (2000)).
Os procedimentos para construção do elipsóide homogêneo equivalente ao corpo são realizados em cada instante da movimentação. Inicialmente foram determinadas as localizações tridimensionais do centro de massa do corpo em cada
frame, definindo o centro do elipsóide e sua localização em função do tempo. A
seguir, um modelo mecanicamente equivalente de seis massas pontuais foi construído para cada segmento corporal. Foram escolhidas seis massas para representar de forma semelhante o segmento e facilitar a determinação de suas posições em função do sistema local anatômico. O corpo todo passa a ser representado por 60 massas pontuais, permitindo determinar os momentos e produtos centrais de inércia, a partir das definições destes para o conjunto de pontos, que permitem determinar o tensor central de inércia do modelo. A partir do tensor central de inércia do modelo foram calculadas as direções dos eixos principais centrais de inércia, que determinaram as direções do sistema que define
sua orientação. Por este tensor também são calculados os comprimentos dos eixos principais do elipsóide homogêneo equivalente. Estes procedimentos foram realizados segundo proposto por Mercadante (2000), e serão descritos a seguir.
O centro de massa do corpo humano é dado pela somatória do produto da massa (mi) pelo vetor posição (ri) de cada segmento i, dividido pelo somatório da
massa (m), de todos os segmentos do corpo, dado por:
r⃑cm=∑ mi·r⃑i
∑ M (17)
Onde:
r⃑cm= vetor posição do centro de massa
mi = massa do segmento i
r⃑i = vetor posição do segmento i
M = massa total do modelo fisico do sujeito.
O vetor ri do centro de massa de cada segmento é calculado a partir dos
vetores-posição dos centros articulares, segundo as proporções apresentadas pelo modelo antropométrico.
Cada uma das seis massas mk tem massa igual a 1/6 da massa do segmento,
sendo posicionadas duas a duas simétricas em relação ao centro de massa, sobre cada um dos eixos coordenados do sistema local anatômico. A escolha de seis massas pontuais justifica-se por ser simétrica, por estarem posicionados sobre os eixos anatômicos, facilitando o cálculo de suas posições tridimensionais, e por manter um certa similaridade com a forma do segmento.
A figura a seguir representa as seis massas pontuais do segmento no segmento antebraço, para melhor visualização
Figura 11: Representação das seis massas pontuais do segmento no segmento antebraço.
A localização de cada massa em relação ao sistema local anatômico do segmento é definida pela distância dk entre a massa e o centro de massa do
segmento. Sendo m1 e m2 localizadas sobre o eixo longitudinal, m3 e m4 sobre o eixo
sagital, m5 e m6 sobre o eixo transversal, suas coordenadas em relação ao sistema
local anatômico são dadas por:
m1(S)=(d1,0,0); m2(S)=(-d1,0,0); m3(S)=(0,d3,0);
m4(S)=(0,-d3,0); m5(S)=(0,0,d5); m6(S)=(0,0,-d5)
(18)
Pela definição de momento de inércia, os momentos principais de inércia do segmento, Itp Ilp Isp, que correspondem também aos momentos do conjunto das seis
Itp= M 3 · (d3 2 +d52); Il p = M 3 · (d5 2 +d1 2 ); Isp= M 3 · (d1 2 +d32) (19)
Desta forma, obtemos um sistema de três equações e três incógnitas, e sua solução nos fornece os valores das distâncias d1, d3, d5, dados por:
d12= 3 2·M · (-It p +Ilp+Isp); d3 2 = 3 2·M · (It p -Ip+Is p ); d52= 3 2·M · (It p +Ilp-Isp); (20)
As localizações das 60 massas pontuais que compõem o novo modelo físico representativo do corpo todo estão descritas em relação ao sistema local anatômico de cada segmento. Para determinar o vetor posição de cada massa pontual descrito em relação ao sistema global em cada frame é aplicada uma mudança de base pela matriz transformação do sistema anatômico para global, com origem no centro de massa do corpo.
O tensor central de inércia TC do corpo é definido pela matriz dos produtos e
momentos de inércia deste corpo em relação ao centro de massa dado por:
Tc= I̅xx Pxy Pzx Pxy I̅yy Pyz Pzx Pyz I̅zz (21) Onde:
I̅xx, I̅yy, I̅zz = momentos centrais de inércia do corpo em relação aos eixos x, y e z de
um sistema fixo ao corpo, com origem no centro de massa;
Pxy, Pyz, Pzx = produtos centrais de inércia do corpo em relação aos eixos de um
sistema fixo ao corpo, com origem no centro de massa.
As definições de momento e produto de inércia são dadas conforme as equações 22 e 23 a seguir: I̅xx= ∑ mj· yj2+z j 2 ; I̅ yy= ∑ mj· zj2+xj2 ; I̅zz= ∑ mj· xj2+yj 2 (22) Pxy= ∑ mj·xj·yj; Pyz= ∑ mj·yj·zj; Pzx= ∑ mj·zj·xj (23) Onde:
j = índice das 60 massas pontuais
xj, yj, zj = coordenadas das massas mj em relação ao sistema global com origem no
centro de massa;
I̅xx, I̅yy, I̅zz = momentos centrais de inércia do corpo em relação aos eixos de um
sistema fixo ao corpo, com origem no centro de massa;
Pxy, Pyz, Pzx = produtos centrais de inércia do corpo em relação aos eixos de um
sistema fixo ao corpo, com origem no centro de massa.
Com o tensor T(C) escrevemos a equação matricial do elipsóide central de
inércia na forma: (x, y, z)· I̅xx Pxy Pxz Pxy I̅yy Pyz Pxz Pyz I̅zz · x y z =1 (24) Onde:
x, y, z = coordenadas de um ponto da superfície do elipsóide central de inércia, em relação ao sistema local móvel.
O tensor TC está descrito a um sistema global com origem no centro de
massa do corpo, para determinamos o sistema fixo ao corpo que define sua orientação é necessário encontrar as direções dos eixos principais do elipsóide descrito na equação acima. Uma das maneiras para encontrar essas direções é realizando a decomposição por valor singular do tensor TC. Essa fornece uma matriz
diagonalizada, onde os elementos não nulos da matriz são chamados autovalores do tensor, e correspondem aos momentos principais centrais de inércia, isto é em relação aos eixos definidos pela matriz de autovetores, denominada matriz U, que definem as direções do sistema fixo ao corpo. As definições de autovalor e autovetor de uma matriz, bem como a decomposição por valor singular, podem ser encontrados em Boldrini et al. (1986).
O elipsóide central de inércia do corpo é um objeto imaginário. O elipsóide geométrico apresenta eixos a, b e c que são medidas de comprimento, enquanto no elipsóide de inércia, os tamanhos dos semi-eixos são determinados por 1⁄ IL,
sendo IL o momento de inércia do corpo em relação a um eixo L qualquer.
Associamos uma unidade a esse valor que define os tamanhos dos semi-eixos nas direções L, ficando o elipsóide definido. Desta forma, montamos um sistema composto por três equações e três incógnitas, que fornece os valores de a, b e c, como sendo: a2= 5 2·M· -I̅XX p +I̅YY p +I̅ZZ p ; b2= 5 2·M· I̅XX p -I̅YYp +I̅ZZp ; c2= 5 2·M· I̅XX p +I̅YYp -I̅ZZp (25)
Onde: o escalar 5 é um fator de escala que determina o tamanho do elipsóide a, b, c = semi-eixos principais do elipsóide de Legendre;
I̅xx p , I̅yy p , I̅zz p