Determina¸c˜ ao de cortes de Benders alternativos

Freq¨uentemente, na solu¸c˜ao dos problemas inteiros de investimento, existem diversas solu¸c˜oes ´

otimas alternativas. Isto ocorre devido a uma s´erie de fatores: ocorrˆencia de investimentos com custos iguais (principalmente transformadores), existˆencia de formas alternativas de distribui¸c˜ao no espa¸co e no tempo dos investimentos e representa¸c˜ao aproximada do subproblema de opera¸c˜ao atrav´es de restri¸c˜oes lineares. Levando em conta esta caracter´ıstica, uma forma de acelerar a convergˆencia do processo consiste em obter todas as solu¸c˜oes poss´ıveis do subproblema de investimento e, para cada solu¸c˜ao, resolver o subproblema de opera¸c˜ao e gerar o respectivo corte, quando pertinente. Desta forma, o n´umero de itera¸c˜oes entre o subproblema de investimento e o(s) subproblema(s) de opera¸c˜ao ´e reduzido, em conjunto com o n´umero de problemas inteiros solucionados.

Quando o problema de investimento distribui os investimentos em diversos est´agios, para a solu¸c˜ao do problema dinˆamico de planejamento, um cuidado adicional deve ser tomado pois, solu¸c˜oes de investimento distintas podem coincidir em alguns est´agios. Neste caso, o n´umero de subproblemas de opera¸c˜ao distintos, relacionados com cada um dos est´agios, ´e reduzido, juntamente com o n´umero de cortes produzidos. Isto pode ser ilustrado atrav´es do sistema exemplo da Figura 4.11. Considere que durante o processo de solu¸c˜ao foram obtidas duas solu¸c˜oes para o subproblema de investimento em dois est´agios, conforme mostra a Tabela 4.1.

Tabela 4.1: Expans˜ao em dois est´agios do sistema da Figura 4.11.

Liga¸c˜ao _{Est´agio 1}Solu¸c˜ao 1_{Est´agio 2 Est´agio 1}Solu¸c˜ao 2_{Est´agio 2}

nab 2 — 1 1

nac — 1 1 —

nbd 1 — 1 —

Para o Est´agio 1, os dois subproblemas de opera¸c˜ao, relacionados com as Solu¸c˜oes 1 e 2 da Tabela 4.1, s˜ao diferentes pois os investimentos s˜ao distintos. Por outro lado, o investimento a ser considerado no Est´agio 2 (que corresponde `a soma dos investimentos dos Est´agios 1 e 2) ´e idˆentico para as duas solu¸c˜oes e, portanto, s´o existe um subproblema de opera¸c˜ao distinto para este est´agio.

Uma outra alternativa de reduzir o n´umero de itera¸c˜oes entre os subproblemas de investi- mento e opera¸c˜ao, consiste em gerar cortes de Benders adicionais, para algumas das alternativas atrativas n˜ao ´otimas obtidas [?]. Isto se baseia no fato de que a evolu¸c˜ao dos investimentos se- lecionados, ao longo das itera¸c˜oes, tem um comportamento relativamente suave, sendo bastante prov´avel que boas alternativas obtidas possam vir a ser a solu¸c˜ao ´otima de algum dos subproble- mas de investimento que seriam resolvidos no futuro. Deste modo, al´em dos cortes produzidos para todas as solu¸c˜oes ´otimas, outros cortes, oriundos das melhores alternativas atrativas, seriam acrescentados e o processo de solu¸c˜ao acelerado.

Algoritmo branch-and-bound

aplicado ao problema de

planejamento

?

5.1

Introdu¸c˜ao

O processo de solu¸c˜ao do problema de planejamento da expans˜ao da capacidade dos sistemas el´etricos, atrav´es da t´ecnica de decomposi¸c˜ao de Benders, envolve a resolu¸c˜ao de um problema de programa¸c˜ao linear inteira mista, durante a solu¸c˜ao do subproblema de investimento. Quando utiliza-se o algoritmo hierarquizado em fases, descrito no Cap´ıtulo 4, isto ocorre somente na Fase III pois, nas fases anteriores, a integralidade das vari´aveis de investimento ´e relaxada e estas s˜ao consideradas cont´ınuas.

Como muitos problemas de otimiza¸c˜ao combinatorial, o subproblema de investimento da Fase III pode ser modelado como um problema linear com restri¸c˜oes adicionais de integralidade para as vari´aveis de investimento. No problema resultante, existe pelo menos uma vari´avel cont´ınua (a vari´avel β) e, assim, o subproblema de investimentos enquadra-se na classe dos problemas de programa¸c˜ao linear inteira mista (ou, apenas, programa¸c˜ao inteira mista) que apresenta diferen¸cas te´oricas importantes com rela¸c˜ao `a programa¸c˜ao linear [?]:

Programa¸c˜ao Linear (PL) – Existem condi¸c˜oes necess´arias e suficientes de otimalidade te- oricamente provadas que podem ser utilizadas para testar eficientemente se uma dada solu¸c˜ao vi´avel ´e uma solu¸c˜ao ´otima ou n˜ao. Estas condi¸c˜oes de otimalidade tˆem sido utili- zadas para desenvolver m´etodos alg´ebricos tais como o m´etodo simplex e outros m´etodos para resolver PLs.

Programa¸c˜ao Inteira Mista (PIM) – N˜ao existem condi¸c˜oes de otimalidade conhecidas para testar se uma dada solu¸c˜ao vi´avel ´e ´otima a n˜ao ser atrav´es da compara¸c˜ao expl´ıcita ou impl´ıcita desta solu¸c˜ao com cada uma das solu¸c˜oes vi´aveis do problema. Este ´e o motivo pelo qual os problemas inteiros de otimiza¸c˜ao s˜ao resolvidos por interm´edio de m´etodos de enumera¸c˜ao que buscam a solu¸c˜ao ´otima no conjunto das solu¸c˜oes vi´aveis.

Para resolver problemas de programa¸c˜ao inteira existem diversos m´etodos mas, ao contr´ario dos problemas lineares, onde poucos algoritmos provaram ser adequados para a esmagadora maioria dos problemas, o sucesso nessa ´area, freq¨uentemente, requer m´etodos habilidosamente especializados para cada aplica¸c˜ao individual [?]. Considerando esse fato, neste trabalho, foi desenvolvido e implementado um algoritmo especializado branch-and-bound para resolver o sub- problema inteiro de investimento. As principais caracter´ısticas desse algoritmo s˜ao as seguintes:

• As vari´aveis de investimento podem assumir qualquer valor inteiro — obviamente, satis- fazendo as restri¸c˜oes do subproblema de investimento.

• Todas as solu¸c˜oes inteiras ´otimas existentes em cada subproblema de investimento s˜ao determinadas.

• O conjunto das melhores alternativas inteiras n˜ao ´otimas ´e, tamb´em, identificado e arma- zenado, sendo testado, no futuro, como poss´ıvel solu¸c˜ao incumbente1 inicial.

• A sele¸c˜ao da vari´avel de separa¸c˜ao e do pr´oximo n´o ´e realizada de modo que seja reduzido o n´umero de n´os que precisam ser examinados. V´arios m´etodos de sele¸c˜ao s˜ao apresentados, inclusive um que emprega uma sensibilidade denominada pseudocusto2_.

• Os pseudocustos s˜ao determinados a partir de informa¸c˜oes que consideram todo o hist´orico das sucessivas solu¸c˜oes dos problemas inteiros.