DIAGNÓSTICOS NOS MCRL

A partir da obtenção do modelo de regressão ajustado, é necessário verificar se não ocorreram problemas em seu ajuste.

observações que possuem um grande resíduo em relação às demais observações; violação dos pressupostos para os erros ou para as estruturas das médias; e a ocorrência de observações que se retiradas da análise provocam variações consideráveis seja no conjunto de valores ajustados seja nos parâmetros estimados, conhecidas por observações influentes.

Diagnóstico em modelos de regressão se refere ao conjunto de técnicas gráficas e análise dos resíduos utilizadas para verificar os pressupostos de adequação e validade do modelo.

2.12.1 Matriz Chapéu ou Hat Matrix

Em modelos lineares ajustados por mínimos quadrados, é muitas vezes útil determinar o grau de influência ou de alavancagem que cada valor de um valor observado yj pode ter sobre cada valor ajustado

y.̂

A relação entre o valor

observado yi e o seu valor ajustado

ŷ

_i é particularmente simples de interpretar, e

pode revelar valores extremos multivariados entre as variáveis independentes que poderiam ser difíceis de detectar. A informação desejada está disponível na matriz chapéu, a qual mostra cada valor ajustado

ŷ

_i como uma combinação linear dos valores observados yj (HOAGLIN e WELSCH, 1978).

Se y=Xβ+ε, onde X é n x (k+1), de posto k+1<n, então o valor de ̂β =[ ̂β0,̂β1,..., ̂βk]' que minimiza a soma do quadrado dos resíduos é igual a

̂β=( X ' X )−1

X ' y , chamado de estimador de mínimos quadrados. O vetor de

valores preditos, ̂y= X ̂β , pode ser descrito como:

̂y= X ̂β= X ( X ' X )−1

X ' y ₍₂₀₎

̂y=Hy ₍₂₁₎

Onde H = X (X ' X )−1

em y porque ela transforma y (o vetor de respostas) em ̂y (vetor de valores

ajustados ou seja, coloca o chapéu em y). Trata-se de uma matriz simétrica e idempotente ou seja, a partir da multiplicação de H por X obtém-se X:

HX = X ( X ' X )−1_{X ' X =X}

(22)

Os elementos da diagonal principal desta matriz, designados de hii (efeito

alavanca ou leverage)medem o quão distante a observação yi está das demais n-1

observações no espaço definido pelas variáveis explicativas do modelo. Vale ressaltar que hii dependem apenas dos valores das variáveis explicativas

relacionadas à matriz X, ou seja, não possui relação com os elementos do vetor das variáveis explicadas y.

A ocorrência deste tipo de situação está associada à existência de observações cujos valores das variáveis explicativas se distanciam dos valores das demais observações que compõem a amostra. Estas observações tem a capacidade de atrair as superfícies ajustadas para próximo de si funcionando como o ponto de apoio de uma alavanca.

Portanto, o elemento hii representa uma medida de alavanca da i-ésima

observação, então se hii for grande o valor da variável explicativa associado a i-

ésima observação será atípico, ou seja, estará distante do valor médio da variável explicativa, o que poderá ter influência no cálculo dos coeficientes da regressão. Ressalta-se entretanto que um ponto de alavanca não necessariamente será um

outlier.

2.12.2 Análise dos Resíduos

A análise dos resíduos está entre as técnicas utilizadas para realização de diagnóstico de problemas nos modelos. Os erros verdadeiros εi são desconhecidos

num modelo de regressão

ε

_i

=Y

_i

−E (Y

_i

)

, e atendem ao pressuposto de que

ε∼Normal (0,σ

2

).

que podem ser considerados os erros observados. Os resíduos apresentam as seguintes propriedades: Média:

_̄e=∑

e

i

n

=0

(23) Variância:

∑(e

i

−̄e)

2

n−2

=

∑e

_i2

n−2

=

SQ

_Res

n−2

=QM

Res (24)

Caso o modelo esteja adequado, o Quadrado Médio dos Resíduos (QMRes) é

um estimador não tendencioso da variância do erro (σ²).

O vetor de resíduos também pode ser expresso da seguinte forma:

e=Y − ̂Y =Y −HY =( I−H )Y

₍₂₅₎

Pode-se mostrar que Var(e)=(I-H) σ². Assim, Var(ei)= σ²(1-hii), ou seja, Var(ei) é

dada pelo i-ésimo termo da diagonal de (I-H) σ². Pode-se estimar a variância substituindo-se σ² pelo QMRes. Os termos fora da diagonal de (I-H) σ² correspondem

às covariâncias dos resíduos.

Diferentemente dos erros, os resíduos não são independentes e em virtude disso não podem ser utilizados em testes formais baseados em amostras aleatórias com observações independentes. Além disso, os resíduos também não são identicamente distribuídos (uma vez que as suas variâncias não são iguais), e dependem de σ², a variância desconhecida dos erros aleatórios. Em virtude destes fatos, é comum serem utilizados no diagnóstico dos resíduos as suas formas padronizadas.

Normalizando o resíduo pela distribuição normal obtém-se:

E

_i

√σ

2

(1−h

_ii

)∩Ν (0,1)

(26)

Substituindo a variância desconhecida σ² pelo seu estimador QMRes, são

obtidos aquilo que se designam resíduos padronizados ou resíduos internamente padronizados:

R

_i

=

E

i

√QM

_Res

(1−h

_ii

)

(27)

Caso o modelo de regressão esteja correto, todos os resíduos terão a mesma variância e serão adequados para a verificação da normalidade e homocedasticidade dos erros. Observações com valores absolutos maiores que 2 para os resíduos padronizados podem ser considerados pontos discrepantes ou mal ajustados. Os resíduos padronizados não apresentam distribuição t-Student pois o resíduo de cada observação não é independente da variância estimada. Para superar esta dificuldade pode-se substituir a variância estimada pelo erro quadrático correspondente ao modelo sem a i-ésima observação.

Os resíduos externamente Studentizados, ou resíduos Studentizados podem ser obtidos a partir de:

T

_i

=

Y

i

− ̂Y

i

√QM

_Res(−i)

(1−h

_ii

)

(28)

O índice i indica que a i-ésima observação foi excluída. Estes resíduos são utilizados para verificar se existem diferenças significativas entre os valores observados com e sem a i-ésima observação.

2.12.3 Distância de Cook

A estatística de Cook pode ser definida como uma medida para avaliar qual é o nível de influência isolada de uma observação suspeita sobre as estimativas de uma regressão. Em termos computacionais, a Distância de Cook mede a distância entre os coeficientes estimados com e sem a observação suspeita (ALMEIDA, 2012)

Formalmente, distância de Cook é uma medida de distância quadrática entre o estimador de mínimos quadrados ̂β obtido com base nos n elementos amostrais

e o estimador de mínimos quadrados ̂β_{(̂i )} , calculado sem considerar os resultados verificados para o i-ésimo elemento (TACONELI, 2010):

D_i=(̂β(̂i )−̂β)X ' X (̂β(̂i )−̂β)

p QM_Res (29)

Pontos com valores elevados para Di influenciam fortemente a estimação por

mínimos quadrados de ̂β. Usualmente considera-se pontos para os quais Di>1

como influentes. Uma forma equivalente de Di é apresentada na sequência:

D_i=

(

ei

√

QM_Resh_ii

)

2

(

h_ii 1−h_ii

)

1 p, (30)

Nas equações acima:

ei é o resíduo bruto (a diferença entre o valor observado e o valor ajustado pelo

modelo proposto);

QMRes é o erro médio quadrático do modelo de regressão;

hii é o i-ésimo elemento da diagonal da matriz de projeção X ( X ' X )−1X ' ;

p é o número de parâmetros ajustados no modelo.

2.13 CONSEQUÊNCIAS DOS EFEITOS ESPACIAIS SOBRE OS

No documento Efeitos espaciais em mercados de terras rurais: modelagem, validação e avaliação de desempenho (páginas 47-52)