ESPECIFICAÇÃO DA DEPENDÊNCIA ESPACIAL

Quando se utiliza modelos econométricos espaciais o objetivo é remover a dependência espacial presente nos resíduos do modelo. Esta tarefa é realizada por meio da introdução de variáveis defasadas espacialmente do lado direito da regressão. Estas podem aparecer na forma de defasagem espacial na variável dependente (Wy); como defasagem nas variáveis explicativas (Wx); ou então como defasagem no termo do erro (Wξ e/ou Wε). Podem ocorrer de forma isolada ou em conjunto. A etapa de especificação consiste na identificação de qual tipo de variável defasada espacialmente deverá ser introduzida ao modelo de econométrico espacial (VIEIRA, 2009; ALMEIDA, 2012).

Existe um conjunto de testes que auxiliam na escolha das defasagens espaciais a serem colocadas na regressão. Almeida (2012) afirma que os testes podem ser divididos em duas categorias: testes difusos e testes focados. Os testes difusos são aqueles cuja hipótese nula verifica se os resíduos são independentes espacialmente contra a hipótese alternativa de que os resíduos são dependentes espacialmente. Entretanto, a hipótese alternativa dos testes difusos não se refere a um modelo econométrico espacial específico. Os Testes focados se caracterizam por empreenderem uma especificação explícita do processo estocástico gerador do erro. Com isso, estes últimos, conseguem fornecer uma indicação na hipótese alternativa do tipo predominante da autocorrelação espacial. Como exemplo de testes difusos temos o Teste I de Moran e o Teste de Kalejian-Robinson (KR). Já como exemplos de testes focados tem-se os baseados nos Multiplicadores de Lagrange (ML), ML para defasagem, ML para o erro, ML robusto para defasagem, ML robusto para o erro.

Dantas (2003) alerta que a validade destes testes exige a aceitação das hipóteses de normalidade e homocedasticidade dos resíduos de MQO, obtidos pelo modelo.

Em função do maior número de detalhes nas informações fornecidas pelos testes focados serão apresentados de forma resumida o Teste ML para defasagem, e o Teste ML para o erro.

2.15.1 Teste ML (defasagem)

O objetivo deste teste é detectar a defasagem espacial da variável dependente, sendo baseado no Multiplicador de Lagrange. Este teste segue a distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade. Por se tratar de um teste assintótico, a estatística ML (defasagem) é mais apropriada para grandes amostras (ALMEIDA, 2012). Apresenta relativa facilidade computacional devido ao fato de que, sob a hipótese nula, pode ser calculado com base nos resíduos da regressão estimada por MQO e pode ser obtido por:

ML(defasagem)=

(

e ' Wy

s

)

{(WX ̂β)' MWX ̂β

s

+tr [W ' W +W

]}

e = vetor de resíduos de mínimos quadrados; W = matriz de pesos espaciais;

y = vetor de observações na variável dependente;

s²= (e'e)/n = estimativa de máxima verossimilhança da variância do modelo

Y=+Xβ+ε;

X = matriz das variáveis independentes;

β = vetor de parâmetros estimados via mínimos quadrados ordinários; e´= transposta de e;

M=I-X(X' X)-1 X';

tr = operador denominado traço da matriz.

Sua hipótese nula é de que o parâmetro do erro autorregressivo espacial seja nulo. Portanto, caso a estatística do teste, seja superior ao ponto crítico da distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade, para um determinado nível de significância α, rejeita-se a hipótese de não autocorrelação espacial nos resíduos do modelo clássico de regressão a este nível.

2.15.2 Teste ML (erro)

Trata-se de um teste do tipo multiplicador de Lagrange para detectar a defasagem espacial nos termos do erro. Segue uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade. Para sua implementação é necessário apenas os resíduos do modelo clássico de regressão estimado por MQO o que representa uma vantagem na sua utilização (ALMEIDA, 2012). A fórmula do teste é dada por:

ML(erro)=

{

e ' We

s

}

tr [W ' W +W

_]

e = vetor de resíduos de mínimos quadrados; e´ = transposta de e;

W = matriz de pesos espaciais;

s²= (e'e)/n = estimativa de máxima verossimilhança da variância do modelo Y=Xβ+ ε; n=número de dados da amostra;

tr = operador denominado traço da matriz;

Sua hipótese nula é de que não existe autocorrelação espacial no termo do erro. Portanto, caso a estatística do teste seja superior ao ponto crítico da distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade, para um determinado nível de significância α, rejeita-se a hipótese de não autocorrelação espacial nos resíduos do modelo clássico de regressão a este nível.

2.15.3 Especificação de Modelos Espaciais

Almeida (2012) descreve o procedimento conhecido como híbrido para especificação de modelos espaciais proposto por Anselin (1996). Este procedimento objetiva discriminar entre o modelo de defasagem espacial autorregressivo SAR e o modelo de defasagem do erro SEM, utilizando a combinação dos testes de ML tradicionais e os ML nas suas versões robustas.

O procedimento segue os seguintes passos:

2. Testa-se a hipótese de ausência de autocorrelação espacial devido a uma defasagem espacial ou a um erro espacial autorregressivo por meio das estatísticas ML(defasagem) e ML(erro);

3. Caso ambos os testes não sejam significativos do ponto de vista estatístico, estima-se o modelo clássico como o modelo mais apropriado. Caso contrário, segue-se para o próximo passo;

4. Se um deles for significativo, estima-se o modelo espacial indicado pela hipótese alternativa do teste. Por exemplo, se ML(defasagem) for significativo, deve- se, inicialmente, estimar o modelo SAR;

5. Caso ambos sejam significativos, estima-se o modelo apontado como o mais significativo pelas versões robustas desses testes ML robusto (defasagem) e ML robusto (erro). Por exemplo, se ML robusto (defasagem) for significativo, escolhe-se o modelo SAR como o mais apropriado. Caso o ML robusto (erro) seja o significativo, adota-se o modelo SEM como o mais apropriado.