Para cada pilar do banco de dados, foi traçado o diagrama de interação N, M (força normal, momento fletor) resistente para a seção transversal do pilar, ou seja, não considerando a esbeltez. Pelos métodos de cálculo dos efeitos de segunda ordem, podem ser extraídos os valores referentes aos efeitos de primeira ordem (M1). O conjunto de pares ordenados (N, M1) representa o diagrama de interação de força normal versus momento de primeira ordem; este diagrama é obtido para cada valor de esbeltez. O resultado previsto segundo o diagrama de interação do pilar esbelto (N, M1), obtido segundo cada um dos três métodos aproximados descritos no item 2.2.1.2, é então comparado ao correspondente resultado experimental. As seções seguintes apresentam os procedimentos adotados para a obtenção dos diagramas correspondentes à resistência da seção transversal (N, M) e ao pilar esbelto (N, M1).
3.2.1 Diagrama de Interação N, M Correspondente à Resistência da Seção Transversal
Para cada pilar em estudo, foi obtido seu diagrama de interação (N, M) correspondente à resistência da seção transversal. O traçado destes diagramas foi feito por meio de uma planilha em Excel elaborada pelo engenheiro civil, atualmente discente do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas da UFMG, Raphael Nonato Cabana Vieira, com colaboração desta autora. Para ilustrar, apresenta-se a seguir a Figura 3.4, contendo diagrama de interação do pilar PCA4-15a (Adorno et al., 2003, ver Tabela 3.1) desenvolvido na planilha citada, variando-se a posição da linha neutra ao longo da seção transversal, como elucidado no item 2.1.5.
Neste estudo, o trecho do diagrama correspondente aos esforços de tração (força normal negativa) será desconsiderado, uma vez que este trabalho se limita aos pilares sob flexo-compressão normal.
Figura 3.4: Diagrama de Interação N, M do pilar PCA4-15a ensaiado por Adorno et al. (2003)
3.2.2 Obtenção de M1 via Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada
O Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada consiste na obtenção do momento fletor total do pilar, somando-se os efeitos de primeira e de segunda ordem, conforme a Equação 2.8.
Considerando que o momento fletor obtido no diagrama de interação N, M seja o momento total (Mtot), tem-se o momento de primeira ordem deste método (M1,Curv):
M1,Curv = Mtot – M2,Curv (3.1)
Na equação acima, M2,Curv é igual a N e2, com e2 dado pela Equação 2.7.
3.2.3 Obtenção de M1 via Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada
No Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada obtém-se o momento fletor total do pilar por meio da Equação 2.10, que é o momento de primeira ordem (M1d,A) majorado de um fator γ igual a:
γ =
𝛼𝑏1− 𝜆2
Na Equação 2.10, substituindo k por seu valor dado na Equação 2.9, e ν por NSd / (Ac fcd), tem-se a Equação 3.2. Mtot = 𝑀1,𝑟𝑖𝑔. 1− ℎ 𝑁𝑑 𝜆2 3840 (ℎ 𝑁𝑑+5 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡) ≥ M1d,A (3.2)
Efetuando algumas transformações matemáticas, chega-se à Equação 3.3:
h ∙ Nd ∙ Mtot ∙ (1 + 𝜆2
3840) + 5 ∙ Mtot² - h ∙ Nd ∙ M1,rig – 5 ∙ M1,rig ∙ Mtot = 0 (3.3) Considerando: K1 = 1 - 𝜆 2 3840 (3.4) K2 = K1 ∙ h ∙ Nd (3.5) Chega-se à Equação 3.6: M1,rig = 𝐾2∙ 𝑀𝑡𝑜𝑡 +5 ∙ 𝑀𝑡𝑜𝑡 2 ℎ ∙ 𝑁𝑑+5 ∙ 𝑀𝑡𝑜𝑡 (3.6)
3.2.4 Obtenção de M1 via Método da Amplificação dos Momentos (ACI 318)
Semelhante ao Método do Pilar-Padrão com Rigidez Aproximada, o momento total é obtido pela multiplicação do momento de primeira ordem por um fator de amplificação, δns, dado pela Equação 2.13. Então, o momento de primeira ordem é obtido pela Equação 3.7.
M1,ACI = 𝑀𝑡𝑜𝑡
𝛿𝑛𝑠
(3.7)
3.3 Diagrama de Interação (N, M
1) para Pilares Esbeltos
Para cada pilar apresentado na Tabela 3.1, traçou-se o diagrama de interação N, M, conforme descrito no item 3.2.1. A fim de se ter unidades consistentes nos eixos horizontal e vertical do
diagrama de interação, os diagramas utilizados nos estudos comparativos foram de pares (N,
M/h), ou seja, o momento fletor foi dividido pela altura da seção transversal na direção fletida.
Dessa forma, obtém-se valores com unidade de força (kN) em ambos os eixos. Esta modificação não altera o formato do diagrama, todavia, facilita a realização das comparações entre os três métodos considerados.
A título de exemplo, apresentam-se, na Tabela 3.2, os resultados obtidos para o pilar PCA4-15a ensaiado por Adorno et al. (2003). Na tabela, as duas primeiras colunas correspondem respectivamente a valores de força normal e momento fletor retirados do diagrama de interação (N, M) conforme mostrado na Figura 3.4; a terceira coluna apresenta os valores de M/h. Sendo assim, o diagrama (N, M/h) foi traçado com os valores da primeira e da terceira colunas da Tabela 3.2. Este diagrama é apresentado na Figura 3.5 e corresponde à série de dados “Interação N, M”.
Tabela 3.2– Obtenção dos Valores M1/h para Traçado dos Diagramas N, M1/h para o pilar PCA4-15a ensaiado por Adorno et al. (2003)
Para os mesmos valores de força normal, foram obtidos os diagramas N, M1/h, onde M1 é o momento de primeira ordem calculado a partir dos métodos aproximados apresentados nos itens 3.2.2 a 3.2.4. As colunas 4 e 5 da Tabela 3.2 representam os valores extraídos pelo Método da Curvatura Aproximada, com os quais se obtiveram os valores da de M1/h, representados na
coluna 6. Nas colunas 7 e 8, têm-se os valores extraídos via Método da Rigidez Aproximada. E
1,05 892,648 74,387 1,746 890,902 74,242 890,471 74,206 891,726 74,311 130,47 1313,455 109,455 217,449 1096,006 91,334 1093,969 91,164 1144,523 95,377 233,01 1610,388 134,199 388,343 1222,046 101,837 1250,079 104,173 1240,489 103,374 340,55 1780,538 148,378 567,584 1212,955 101,080 1294,270 107,856 1182,789 98,566 456,49 1843,097 153,591 760,811 1082,286 90,190 1246,632 103,886 1013,699 84,475 560,38 1861,537 155,128 928,201 933,336 77,778 1183,754 98,646 833,180 69,432 656,62 1831,298 152,608 1001,110 830,188 69,182 1096,047 91,337 645,913 53,826 747,68 1749,793 145,816 1060,168 689,625 57,469 980,769 81,731 460,093 38,341 835,08 1615,442 134,620 1109,566 505,876 42,156 838,993 69,916 285,585 23,799 919,79 1427,228 118,936 1151,853 275,375 22,948 674,792 56,233 133,124 11,094 1002,48 1184,467 98,706 1188,687 -4,220 -0,352 495,479 41,290 13,932 1,161 1093,52 805,010 67,084 1224,968 -419,958 -34,997 270,247 22,521 -62,783 -5,232 1183,93 345,236 28,770 1257,230 -911,994 -75,999 78,019 6,502 -57,692 -4,808 1228,96 84,694 7,058 1272,079 -1187,386 -98,949 13,227 1,102 -17,913 -1,493 1236,86 27,055 2,255 1274,609 -1247,554 -103,963 3,782 0,315 -5,933 -0,494 1240,57 0,007 0,001 1275,788 -1275,781 -106,315 0,001 0,000 -0,002 0,000 M1/h (kNcm/cm) (Curvatura) M1=Mtot / γ (kNcm) (Rigidez) M1/h (tfm/m) (Rigidez) M1=Mtot/δnS (kNcm) (ACI) M1/h (kNcm/cm) (ACI) N (kN) M (kNcm) M/h (kNcm/cm) M 2ªord (kNcm) (Curvatura) M1=Mtot -M2ªord (kNcm) (Curvatura)
os resultados pelo Método da Amplificação dos Momentos, da norma americana ACI 318 (2014), estão nas colunas 9 e 10 da mesma tabela.
Para efeito de comparação, cada pilar possui um único gráfico, no qual foram plotados os quatro diagramas como mostra Figura 3.5, que contém os gráficos obtidos com os valores de N e M1/h
para o pilar PCA4-15a. Vale ressaltar, que a série de dados “Interação N, M” é a única em que se utilizou o valor total do momento fletor, dividido pela altura h (M/h), representando o diagrama de interação da seção transversal. Os diagramas de interação do pilar esbelto, correspondentes às séries “NBR-Curvatura”, “NBR-Rigidez” e “ACI”, foram traçados com os momentos de primeira ordem obtidos por meio destes métodos (M1/h) e, portanto, levam em
conta o índice de esbeltez do pilar.
Plotou-se, também, o ponto referente ao par Nrup, Mrup/h (série de dados “Ruptura Ensaio”),
correspondente aos esforços que levaram à ruptura do pilar durante o ensaio. E, representou-se, ainda, o ponto Nrup, M1rup/h (série de dados “Ruptura M1”), que também se refere aos esforços
que levaram o pilar à ruptura durante o ensaio, porém, sem considerar o efeito de segunda ordem (M1rup = Frup∙ e1). Para o pilar PCA4-15a ensaiado por Adorno et al. (2003), os valores obtidos são mostrados na Tabela 3.3.
Tabela 3.3- Valores dos Pares Nrup, Mrup/h e Nrup, M1rup/h para o pilar PCA4-15a ensaiado por Adorno et al. (2003)
A Figura 3.5, também apresenta a série de dados “Reta_RupM1”. Esta reta passa pela origem do gráfico e pelo ponto “Ruptura M1”, cortando os diagramas N, M1/h dos três métodos
aproximados.
e1 (cm) Nrup (kN)
Ponto de Ruptura (Ensaio)
M1,ensaio/h (kNcm/cm) 69,125 553 161,417 1,5 Mrup,ensaio/h (kNcm/cm)
Figura 3.5: Diagramas de Interação Comparativos para o Pilar PCA4-15a ensaiado por Adorno et al. (2003)
O material completo, contendo os diagramas de interação e pontos de ruptura dos 107 pilares do banco de dados é apresentado no Apêndice B.