Estudo Comparativo de Métodos Aproximados para Análise do Efeito de Segunda Ordem em Pilares Esbeltos de Concreto Armado sob Flexão Composta Reta

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

Estudo Comparativo de Métodos Aproximados para Análise do Efeito de

Segunda Ordem em Pilares Esbeltos de Concreto Armado sob Flexão

Composta Reta

Erika Marinho Meireles Leitão

Leitão, Erika Marinho Meireles.

L533e Estudo comparativo de métodos aproximados para análise do efeito de segunda ordem em pilares esbeltos de concreto armado sob flexão composta reta [manuscrito] / Erika Marinho Meireles Leitão. - 2016. vii, 111 f., enc.: il.

Orientador: José Márcio Fonseca Calixto. Coorientadora: Sofia Maria Carrato Diniz.

Dissertação (mestrado) Universidade Federal de Minas Gerais, Escola de Engenharia.

Apêndices: 68-111.

Bibliografia: f. 65-67.

1. Engenharia de estruturas - Teses. 2. Concreto armado - Teses. 3. Colunas - Teses. 4. Estabilidade estrutural - Teses. 5. Flexão

(Engenharia civil) - Teses. I. Calixto, José Márcio Fonseca, 1957-. II. Diniz, Sofia Maria Carrato. III. Universidade Federal de Minas Gerais. Escola de Engenharia. IV. Título.

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

“ESTUDO COMPARATIVO DE MÉTODOS APROXIMADOS PARA ANÁLISE DO EFEITO DE SEGUNDA ORDEM EM PILARES ESBELTOS DE

CONCRETO ARMADO SOB FLEXÃO COMPOSTA RETA”

Erika Marinho Meireles Leitão

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de "Mestre em Engenharia de Estruturas".

Comissão avaliadora:

__________________________________ Prof. Dr. José Márcio Fonseca Calixto EE-UFMG (Orientador)

__________________________________ Prof.ª Dr.ª Sofia Maria Carrato Diniz EE-UFMG (Coorientadora)

__________________________________ Prof. Dr. Sebastião Salvador Real Pereira EE-UFMG

__________________________________ Prof. Dr. Sergio Hampshire de Carvalho Santos POLI - UFRJ

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por iluminar meus caminhos, me mostrar as oportunidades e por fazer minha fé aumentar cada vez mais.

Aos meus pais, agradeço pelo imenso amor, suporte e por serem aqueles que mais incentivam e acreditam no meu trabalho. Agradeço por serem aqueles em quem me espelho, tentando ser cada dia melhor.

Às minhas irmãs, por todo o carinho e amizade e pelas risadas e momentos de alegria.

Ao Bernardo, com quem aprendo diariamente a ser mais perseverante e dedicada, agradeço por seu amor e por ser um exemplo para mim.

Aos meus avós, pelo carinho, incentivo e orações.

Aos professores José Marcio Fonseca Calixto e Sofia Maria Carrato Diniz por se dedicarem a este trabalho e me orientar com tanta sabedoria, bom humor e paciência. Obrigada por todos os ensinamentos, conselhos e amizade.

À UFMG, em especial aos professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas, pelo ensino de qualidade.

A todos os meus alunos, pela oportunidade de passar adiante meus conhecimentos adquiridos. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ensino Superior (CAPES), pelo apoio financeiro.

“... Mas ele desconhecia Esse fato extraordinário: Que o operário faz a coisa E a coisa faz o operário. (...) Tudo, tudo o que existia Era ele quem o fazia Ele, um humilde operário Um operário que sabia Exercer a profissão...”

RESUMO

A análise dos efeitos de segunda ordem em pilares esbeltos de concreto armado deve assegurar que, para as combinações mais desfavoráveis de ações, não ocorra perda de estabilidade e esgotamento da capacidade resistente. Para isso, a NBR 6118:2014 (ABNT, 2014) estabelece que a não linearidade física dos materiais, juntamente com a não linearidade geométrica, sejam consideradas no projeto de pilares. Estas não linearidades levam a efeitos de segunda ordem na estrutura e, para calculá-los, a norma brasileira permite utilizar alguns métodos aproximados. Dada a importância dos pilares na integridade estrutural, os métodos aproximados devem ser capazes de representar adequadamente a capacidade resistente de tais componentes estruturais.

Este trabalho apresenta um estudo comparativo do desempenho de três métodos aproximados aplicados a pilares esbeltos submetidos à flexão composta reta: (i) Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada, (ii) Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada, e (iii) Método da Amplificação dos Momentos, da norma americana ACI 318 (2014). Neste trabalho, os resultados teóricos obtidos segundo cada modelo de cálculo são comparados a resultados experimentais de pilares esbeltos. Para tal, foram compilados dados de diversos ensaios realizados em pilares esbeltos de concreto armado encontrados na literatura. A comparação foi feita por meio da representação dos resultados no traçado no Diagrama de Interação do pilar esbelto N, M1, onde M1 é o momento de primeira ordem.

Os resultados são expostos e discutidos por meio de tabelas e gráficos, nos quais é possível observar as diferenças encontradas entre resultados experimentais e teóricos, chegando, assim, à descrição estatística da variável “erro do modelo”, informação requerida na análise de confiabilidade de pilares esbeltos e na calibração de normas técnicas.

Os critérios da NBR 6118:2014 apresentaram desempenho inferior ao do ACI 318 com relação à segurança. Dentre os métodos da norma brasileira, o Método da Curvatura Aproximada se mostrou mais conservador que o Método da Rigidez Aproximada. O estudo também apresenta a forma como os resultados dos métodos são influenciados pela variação de parâmetros geométricos como o índice de esbeltez e excentricidade de aplicação da força normal.

Palavras-chave: Concreto armado; pilares esbeltos; flexão composta reta; diagrama de

ABSTRACT

Analysis of second order effects on slender reinforced concrete (RC) columns must ensure that, for the most unfavorable load combinations, loss of stability and exhaustion of strength capacity will not occur. For this reason, NBR 6118:2014 (ABNT, 2014) establishes that the material and geometrical nonlinearities must be considered in the design of columns. These nonlinearities lead to second order effects in the structure and to calculate them, the Brazilian code allows the use of some approximate methods. Given the importance of the columns and their stability, approximate methods must be able to provide safe solutions for the design.

This work presents a comparative study of the performance of three approximate design methods for slender RC columns under combined compression and uniaxial bending: (i) Approximate Curvature Method, (ii) Approximate Stiffness Method, and (iii) Moment Magnifier Method, prescribed by ACI 318 (2014). The theoretical results obtained according to each code model are compared with experimental results of slender columns. To this end, data from several test results of slender RC columns were compiled from the literature. The comparison was made in terms of the Interaction Diagram N, M.

The results are presented and discussed using tables and graphs, in which the differences between the experimental test results and model predictions can be observed. This analysis has led to a statistical description of the variable "model error" usually employed in the analysis of reliability and in design codes’ calibration.

ACI model is more conservative than both NBR 6118:2014 (ABNT, 2014) approximate design models. Among these Brazilian code models, the Approximate Curvature Method was more conservative than the Approximate Stiffness Method. The study also shows how the results of these methods are influenced by varying slender column geometric parameters such as the slenderness ratio and eccentricity of the axial force.

Keywords: Reinforced concrete; slender columns; compression plus uniaxial bending;

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Situações de Projetos de Pilares (Scadelai, 2004) ... 6

Figura 2.2: Diagramas tensão-deformação: compressão axial (Collins et al., 1993) ... 8

Figura 2.3: Diagrama Tensão-Deformação Idealizado do Concreto (NBR 6118:2014) ... 8

Figura 2.4: Diagrama Tensão-Deformação do Aço (Borges, 1999)... 9

Figura 2.5: Diagrama Tensão-Deformação Simplificado do Aço (NBR 6118:2014) ... 9

Figura 2.6: Pilares Sob Efeito de 2ª Ordem ... 10

Figura 2.7: Carga Excêntrica Gerando Flexão Composta Reta ... 11

Figura 2.8: Carga Excêntrica Gerando Flexão Composta Reta ... 12

Figura 2.9: Exemplo de Diagrama de Interação N, M ... 12

Figura 2.10: Comprimento de Flambagem (Enciso, 2010) ... 13

Figura 2.11: Núcleo Central de Inércia ... 14

Figura 2.12: Método Geral Aplicado por meio de Carregamentos Progressivos ... 17

Figura 2.13: Método Geral Aplicado por meio de Excentricidades Progressivas ... 18

Figura 2.14: Critérios de Falha do Pilar (Diniz e Frangopol, 1997) ... 22

Figura 2.15: Variação da Média de ξ em Função de fc (Zhou e Hong, 2001) ... 25

Figura 2.16: Variação do Desvio Padrão de ξ em Função de θ (Zhou e Hong, 2001) ... 26

Figura 2.17: Comparação entre as excentricidades de segunda ordem (Enciso, 2010) ... 28

Figura 2.18: Comparação entre as excentricidades totais (Enciso, 2010) ... 28

Figura 3.1: Histograma Número de Pilares versus fc ... 37

Figura 3.2: Histograma Número de Pilares versus λ ... 37

Figura 3.3: Histograma Número de Pilares versus e1 /h ... 37

Figura 3.4: Diagrama de Interação N, M do pilar PCA4-15a ensaiado por Adorno et al. (2003) ... 39

Figura 3.5: Diagramas de Interação Comparativos para o Pilar PCA4-15a ensaiado por Adorno et al. (2003) ... 43

Figura 4.1: Histogramas do erro do modelo, ξ, correspondentes aos três métodos considerados: (a) Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada, (b) Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada e (c) Amplificação dos Momentos. ... 51

Figura 4.2: Gráficos de Dispersão ξ versus fc ... 52

Figura 4.3: Gráficos de Dispersão ξ versus λ ... 53

Figura 4.5: Histogramas de ξ versus λ ... 56

Figura 4.6: Histogramas de ξ versus e1/h ... 57

Figura 4.7: Diagramas de Interação Comparativos de Pilares Fictícios ... 59

Figura 4.8: Diagramas de Interação e Reta do Momento Mínimo do Pilar Fictício PFT-740/64,1 ... 61

Figura B.1: Diagramas de Interação dos Pilares Ensaiados por Adorno et al. (2003) ... 76

Figura B.2: Diagramas de Interação dos Pilares Ensaiados por Claeson e Gylltoft (1998) ... 79

Figura B.3: Diagramas de Interação dos Pilares Ensaiados por Dantas (2006) ... 80

Figura B.4: Diagramas de Interação dos Pilares Ensaiados por Enciso (2010) ... 82

Figura B.5: Diagramas de Interação dos Pilares Ensaiados por Galano e Vignoli (2008) ... 88

Figura B.6: Diagramas de Interação dos Pilares Ensaiados por Lee e Son (2000) ... 91

Figura B.7: Diagramas de Interação dos Pilares Ensaiados por Lima Júnior (2003) ... 93

Figura B.8: Diagramas de Interação dos Pilares Ensaiados por Lloyd e Rangan (1996) ... 98

Figura B.9: Diagramas de Interação dos Pilares Ensaiados por Melo (2009) ... 103

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Análise Comparativa adotada em Diversas Pesquisas... 24

Tabela 2.2–Estatísticas da Força de Ruína Calculada versus Experimental (Melo et al., 2011) ... 29

Tabela 2. 3 – Estatísticas da Relação Momento de Ruptura Experimental / Momento de Ruptura Estimado para Pilares com fc ≤ 55 MPa (Calixto et al., 2012) ... 30

Tabela 2. 4– Resultados Estatísticos da Relação Momento de Ruptura Experimental / Momento de Ruptura Estimado para Pilares com fc > 55 MPa (Calixto et al., 2012) ... 30

Tabela 3.1– Banco de Dados de Pilares ... 33

Tabela 3.2– Obtenção dos Valores M1/h para Traçado dos Diagramas N, M1/h para o pilar PCA4-15a ensaiado por Adorno et al. (2003) ... 41

Tabela 3.3- Valores dos Pares Nrup, Mrup/h e Nrup, M1rup/h para o pilar PCA4-15a ensaiado por Adorno et al. (2003) ... 42

Tabela 3.4 – Distância da Origem ao Diagrama de Interação N, M1/h segundo cada método considerado e da Origem ao ponto “Ruptura M1” para o pilar PCA4-15a ... 43

Tabela 3.5– Erro do modelo ξ, para o pilar PCA4-15a, associado a cada método aproximado ... 44

Tabela 3.6– Banco de Dados dos Pilares Fictícios ... 45

Tabela 4.1- Erro do Modelo de cada Pilar para os Métodos Aproximados em Análise ... 47

Tabela 4.2– Estatísticas da Variável Erro do Modelo, ξ ... 49

Tabela A.1: Banco de Dados de Pilares Completo ... 69

LISTA DE SÍMBOLOS

A Área da seção transversal Ac Área da seção de concreto

Cm Fator que depende das condições de contorno do pilar fc Resistência à compressão do concreto

fcd Resistência de cálculo à compressão do concreto fck Resistência característica à compressão do concreto e1 Excentricidade de primeira ordem

e2 Excentricidade de segunda ordem E Módulo de elasticidade longitudinal Ec Módulo de elasticidade do concreto

Es Módulo de elasticidade do aço das armaduras h Altura da seção transversal

i Raio de giração

I Momento de inércia da seção transversal

Ig Momento de inércia da seção transversal bruta do pilar Ise Momento de inércia da seção transversal das armaduras

k Rigidez do pilar

le Comprimento de flambagem da peça M1 Momento fletor de primeira ordem M2 Momento fletor de segunda ordem M1d,mín Momento mínimo de 1ª ordem MSd,tot Momento solicitantetotal máximo MRd,tot Momento resistentetotal máximo Nd Força de compressão de projeto Nu Força normal de ruptura

Pc Carga crítica de flambagem Pu Força aplicada ao pilar

xLN Profundidade da linha neutra na seção transversal 1

r Curvatura do eixo da barra

αb Fator que depende das condições de contorno do pilar βd Efeito das cargas de longa duração

γ Fator de segurança do Método da Rigidez Aproximada

δns Fator de majoração do Método da Amplificação dos Momentos

εc2 Deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico

εcu Deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura

λ Índice de Esbeltez

λ1 Valor limite da esbeltez ν Força normal adimensional

ξ Erro do modelo

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas ACI American Concrete Institute

COV Coeficiente de Variação NBR Norma Brasileira

SUMÁRIO

2.1 Conceitos Básicos sobre Pilares ... 6

2.1.1 Classificação de Pilares quanto às Solicitações ... 6

2.1.2 Não Linearidade Física ... 7

2.1.3 Não Linearidade Geométrica ... 10

2.1.4 Flexão Composta Reta ... 10

2.1.5 Diagrama de Interação N, M da Seção Transversal ... 11

2.1.6 Comprimento de Flambagem e Índice de Esbeltez ... 13

2.1.7 Núcleo Central de Inércia ... 14

2.2 Projeto de Pilares em Concreto Armado ... 14

2.2.1 Análise de Pilares sob Flexão Composta ... 16

2.2.1.1 Método Geral ... 17

2.2.1.2 Métodos Aproximados ... 18

2.3 Variável Erro do Modelo ... 21

2.4 Pesquisas Realizadas sobre Métodos de Obtenção do Efeito de Segunda Ordem em Pilares submetidos à Flexão Composta Reta ... 23

3 METODOLOGIA ... 33

3.1 Banco de Dados de Pilares ... 33

3.2 Diagrama de Interação (N, M1) para Pilares Esbeltos ... 38

3.2.1 Diagrama de Interação N, M Correspondente à Resistência da Seção Transversal 38 3.2.2 Obtenção de M1 via Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada... 39

3.2.3 Obtenção de M1 via Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada ... 39

3.2.4 Obtenção de M1 via Método da Amplificação dos Momentos (ACI 318) ... 40

3.3 Diagrama de Interação (N, M1) para Pilares Esbeltos ... 40

3.4 Obtenção da Variável Aleatória “Erro do Modelo” ... 43

3.5 Estudo do Comportamento dos Métodos em Função do Índice de Esbeltez ... 45

4 RESULTADOS E ANÁLISES ... 47

4.1 Erro do Modelo ... 47

4.2 Influência do Índice de Esbeltez nos Métodos Aproximados ... 58

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ... 62

5.1 Conclusões ... 63

5.2 Sugestões para Trabalhos Futuros ... 64

6 REFERÊNCIAS ... 65

APÊNDICE A - BANCO DE DADOS DE PILARES...68

APÊNDICE B - DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO ... 74

APÊNDICE C - BANCO DE DADOS DOS PILARES FICTÍCIOS ... 104

1

INTRODUÇÃO

Este capítulo contém a apresentação deste trabalho, os objetivos e justificativa para sua realização.

1.1 Considerações Gerais

A maior parte das estruturas construídas no Brasil são em concreto armado. A demanda por aumento de áreas livres e a idealização de projetos arquitetônicos mais arrojados têm imposto um desempenho estrutural cada vez maior. Para se alcançar estas vantagens arquitetônicas, tem-se utilizado elementos estruturais com tem-seções transversais menores, resultando em peças de maior esbeltez.

Uma vez que os pilares, juntamente com as vigas, formam pórticos que devem resistir às ações verticais e horizontais atuantes, é preciso ter cuidado para que o aumento de esbeltez das peças não comprometa a estabilidade global da estrutura. Isto requer procedimentos de projeto estrutural adequados e um maior conhecimento do comportamento dos materiais envolvidos.

A utilização do concreto de alta resistência (CAR) tem aumentado em ritmo acelerado ao longo dos últimos trinta anos. O CAR encontrou sua principal aplicação nos pilares dos pavimentos mais baixos de edifícios altos. Nestes casos, as grandes seções transversais e pequenas excentricidades do carregamento tornam os efeitos de segunda ordem insignificantes (Diniz e Frangopol, 2003). No entanto, estudos econômicos têm mostrado que os pilares em CAR também são viáveis para edifícios baixos e de altura média, em especial se a taxa mínima de armadura longitudinal é utilizada (Smith e Rad, 1989). No contexto destes avanços, o Brasil já começa a utilizar o CAR, sendo que a atual versão da norma ABNT NBR 6118:2014 (ABNT, 2014) – Projeto de Estruturas de Concreto passou a abranger, além dos concretos do grupo I de resistência (C20 a C50), os concretos do grupo II (C55 a C90).

A despeito das vantagens que o CAR apresenta, ainda existem questões que devem ser adequadamente avaliadas para o uso deste material em pilares esbeltos. Com o resultante aumento da esbeltez no caso de pilares em CAR, os efeitos de segunda ordem tornam-se mais relevantes. Ou seja, quando surgem deslocamentos transversais nos pilares, a interação destes deslocamentos com a força axial resulta no surgimento de momentos fletores de segunda ordem que levam a novos deslocamentos que, por sua vez, podem levar ao esgotamento da capacidade resistente do pilar ou à instabilidade. As três possíveis trajetórias, do carregamento inicial até a falha, estão apresentadas na Figura 1.1: (i) trajetória A, para pilares curtos correspondendo à falha do material; (ii) trajetória B, para pilares esbeltos com falha do material; e (iii) trajetória C, para pilares esbeltos com falha por instabilidade.

Figura 1.1: Diagrama de Interação da Seção Transversal de Concreto Armado Mostrando o Comportamento de Pilares Curtos e Esbeltos até a Ruptura (Park e Paulay, 1975)

A instabilidade de pilares de concreto armado é um estado limite último que pode ocorrer em elementos submetidos à flexo-compressão. Por isso, ao se projetar pilares esbeltos, é importante considerar, além da não linearidade física, que decorre das equações constitutivas não lineares do aço e do concreto, a não linearidade geométrica.

A NBR 6118:2014 (ABNT, 2014) apresenta métodos aproximados de determinação dos efeitos locais de segunda ordem em pilares submetidos à flexo-compressão normal que levam em conta os dois tipos de não-linearidade de maneira aproximada.

Neste trabalho, são considerados pilares esbeltos que atingiram a ruptura devido à falha do material, sem ocorrência do estado limite último de instabilidade, em conformidade com a trajetória B, mostrada na Figura 1.1. Um banco de dados contendo informações de diversos ensaios experimentais disponíveis na literatura para pilares esbeltos em concreto armado sujeitos à flexão composta reta é compilado nesta pesquisa. O cálculo dos efeitos locais de segunda ordem destes pilares será efetuado pelos dois métodos aproximados da norma brasileira que, segundo Scadelai e Pinheiro (2003), são os mais utilizados: o Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada e o Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada. A título de comparação, também será utilizado o Método da Amplificação dos Momentos, da norma americana ACI 318 (2014).

Uma especial atenção será dada à comparação entre resultados experimentais e teóricos com vistas à determinação da adequação dos modelos considerados, o que pode ser feito a partir do estudo da variável aleatória erro do modelo. Esta variável representa a razão resultado experimental/ resultado teórico, para cada modelo de cálculo, sendo que a descrição estatística do erro do modelo é informação requerida na avaliação dos níveis de confiabilidade implícitos no projeto de pilares em concreto armado.

O erro do modelo associado a um determinado método de cálculo depende do critério de falha adotado, o qual deve representar a trajetória do carregamento até a falha, ou seja, da solicitação inicial até a envoltória da resistência definida pelo diagrama de interação da seção transversal, ou pelo diagrama de interação do pilar esbelto. Os critérios podem ser: (i) força normal constante; (ii) momento fletor constante; (iii) excentricidade constante; e (iv) distância mínima. Em uma análise de confiabilidade, a consideração da resistência do pilar esbelto a partir do diagrama de interação do pilar esbelto, diagrama N, M1 (e não do diagrama de interação da

seção transversal, diagrama N, M) apresenta vantagens (Diniz e Frangopol, 1997). Assim, uma etapa importante da pesquisa aqui apresentada é a obtenção do diagrama de interação do pilar esbelto, diagrama N, M1. Para cada método considerado, e a partir do correspondente diagrama

de interação da seção transversal, um diagrama de interação N, M1 é obtido para cada valor da

Com o diagrama de interação N, M1 de cada método será avaliada, também, a posição relativa

do ponto Nu, M1, referente ao par de esforços solicitantes que levou o pilar à ruína durante o

ensaio, a fim de se estudar a adequação de cada método.

1.2 Objetivos

Diante deste cenário, este trabalho tem como objetivos:

 Estudar e analisar os principais métodos aproximados de obtenção dos efeitos de 2ª ordem em pilares sujeitos à flexão composta reta;

 Implementar computacionalmente um procedimento para obtenção do diagrama de interação de pilares esbeltos, diagrama N, M1;

 Compilar um banco de dados relativo a resultados experimentais, disponíveis na literatura, de ensaios de pilares esbeltos em concreto armado sujeitos à flexão composta reta;

 Obter as estatísticas da variável aleatória erro do modelo, que representa a razão resultado experimental/ resultado teórico, para cada modelo de cálculo;

 Estudar os efeitos de parâmetros geométricos, como o índice de esbeltez e a excentricidade relativa, nos resultados obtidos por meio dos métodos aproximados.

1.3 Justificativa

O cuidado no projeto de pilares é fundamental para garantir a estabilidade e segurança de uma estrutura. Com os concretos do grupo II de resistência sendo, agora, abrangidos pela norma brasileira NBR 6118:2014 (ABNT, 2014), o estudo de pilares esbeltos faz-se ainda mais importante e, como consequência, o cálculo dos efeitos de segunda ordem deve ter uma atenção especial.

Uma vez que os métodos aproximados recomendados pela norma brasileira NBR 6118:2014 são amplamente utilizados para obtenção destes efeitos, torna-se importante avaliar a adequação de tais métodos. Mais ainda, dentro da filosofia da calibração de normas para níveis prescritos de confiabilidade, o conhecimento dos níveis implícitos em um determinado procedimento de projeto é requerido (Diniz, 2008). Assim, a descrição estatística da variável

aleatória erro do modelo, associada ao modelo empregado na determinação da resistência do pilar esbelto deve ser conhecida.

2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo são apresentados conceitos básicos e recomendações de norma para projeto de pilares de concreto armado, apresentação da variável erro do modelo e um resumo de pesquisas realizadas sobre métodos de obtenção do efeito de segunda ordem em pilares submetidos à flexão composta reta.

2.1 Conceitos Básicos sobre Pilares

2.1.1 Classificação de Pilares quanto às Solicitações

As solicitações às quais os pilares estão sujeitos dependem da posição que eles ocupam na estrutura. Quando os pilares estão submetidos somente às cargas gravitacionais (peso próprio, sobrecarga), as situações de projetos classificam estes em três tipos diferentes, descritos a seguir, e mostrados na Figura 2.1.

 Pilar intermediário ou interno fica submetido à compressão simples, ou seja, sem excentricidade de carga;

 Pilar de extremidade ou de borda: submetido à flexão composta reta, que decorre da interrupção, sobre o pilar, da viga perpendicular à borda ou extremidade. Neste caso além da força normal existe um momento fletor em uma direção;

 Pilar de canto: submetido à flexão composta oblíqua, que decorre da interrupção das vigas perpendiculares às bordas do pilar. Nesta situação, além da força normal, existem dois momentos fletores ortogonais.

2.1.2 Não Linearidade Física

Um material tem comportamento não linear quando não existe proporcionalidade entre tensão e deformação, ou seja, não obedece à Lei de Hooke. A não linearidade física é uma propriedade intrínseca do material, diferentemente da não linearidade geométrica apresentada adiante. Ela pode ocorrer mesmo na teoria de primeira ordem, ou seja, na configuração indeformada da estrutura.

O diagrama tensão-deformação do concreto não confinado é não linear e varia conforme as classes de resistência. Observa-se na Figura 2.2, que concretos de maior resistência apresentam comportamento linear até níveis de tensão maiores do que os concretos de menores resistências; porém são mais frágeis. O trecho descendente da curva tensão-deformação em todos os casos representa uma plastificação do concreto.

O gráfico da Figura 2.2 transmite a ideia de que, para concretos de menor resistência, o pico de tensão ocorra para deformações em torno de 0,002, e este valor aumenta gradativamente para resistências maiores. Contudo, sabe-se que esta relação não depende apenas da resistência do concreto, mas também de sua idade, e da velocidade e duração do carregamento.

De acordo com a NBR 6118:2014 (ABNT, 2014), para tensões de compressão menores que 0,5

fc, pode-se admitir relação linear entre tensões e deformações do concreto. Para análises no

estado limite último, diagramas tensão-deformação idealizados (Figura 2.3) são usualmente utilizados.

Figura 2.2: Diagramas tensão-deformação: compressão axial (Collins et al., 1993)

Figura 2.3: Diagrama Tensão-Deformação Idealizado do Concreto (NBR 6118:2014)

Neste gráfico, os valores de εc2 (deformação específica de encurtamento do concreto no início

respectivamente, 0,002 e 0,0035 para concretos de classes até C50. Para as classes C55 a C90,

εc2 e εcu são calculados conforme as Equações 2.1 e 2.2.

εc2 = 0,002 + 0,085 ∙ 10-3 ∙ (fck – 50)0,53 (2.1)

εcu = 0,0026 + 0,035 ∙ [(90 - fck) / 100]4 (2.2)

Para os aços mais utilizados na construção civil, o diagrama tensão-deformação é linear até que se atinja a tensão de escoamento, a partir da qual se forma um patamar de escoamento bem definido, como mostrado na Figura 2.4. Para o cálculo nos estados limites último e de serviço, a NBR 6118:2014 permite o uso do diagrama simplificado apresentado na Figura 2.5, para os aços com e sem patamar de escoamento.

Figura 2.4: Diagrama Tensão-Deformação do Aço (Borges, 1999)

2.1.3 Não Linearidade Geométrica

A não linearidade é chamada de geométrica quando mudanças na geometria da estrutura levam a uma relação força-deslocamento não linear, mesmo quando o material apresenta comportamento elástico-linear. Quando os deslocamentos são muito pequenos, este efeito pode ser desconsiderado e as equações de equilíbrio podem ser escritas em relação à posição indeformada da estrutura; neste caso, é utilizada a teoria de 1ª ordem. No projeto de pilares, é imprescindível levar em conta a não linearidade geométrica, pois desprezando-a, pode se obter resultados discrepantes.

Segundo a NBR 6118:2014 (ABNT, 2014), a ação das cargas verticais e horizontais leva a deslocamentos horizontais dos nós da estrutura, resultando no surgimento de efeitos globais de 2ª ordem. Ao se considerar as barras da estrutura isoladamente, como um lance de pilar cujo eixo não se mantem retilíneo, estes efeitos são chamados de efeitos locais de 2ª ordem, conforme mostra a Figura 2.6.

Figura 2.6: Pilares Sob Efeito de 2ª Ordem

2.1.4 Flexão Composta Reta

A flexão composta ocorre em peças solicitadas pela ação de momentos fletores e forças normais, simultaneamente. Quando a linha de ação da carga que atua perpendicularmente à

seção transversal, Nd, não coincide com o eixo do pilar, surgem momentos fletores decorrentes

desta excentricidade, e. Quando o vetor momento fletor atua segundo um dos eixos principais de inércia, esta condição é denominada flexão composta reta, como mostrado na Figura 2.7.

Figura 2.7: Carga Excêntrica Gerando Flexão Composta Reta

Na flexão composta reta, há apenas uma componente do momento fletor na seção transversal, atuando segundo um eixo principal de inércia. No caso em que a resultante de momento tem componentes em relação aos dois eixos principais de inércia, tem-se a flexão composta oblíqua.

Neste trabalho são abordados somente os casos de pilares sob flexão composta reta.

2.1.5 Diagrama de Interação N, M da Seção Transversal

Na flexão composta reta, a força normal atua sobre um dos eixos principais de inércia, como mostrado no item anterior. Porém, a força normal pode estar em qualquer posição sobre este eixo, inclusive fora da seção. Para cada ponto de aplicação desta força, tem-se uma posição da linha neutra (Figura 2.8).

Figura 2.8: Carga Excêntrica Gerando Flexão Composta Reta

Sendo assim, para cada valor da profundidade da linha neutra, xLN, tem-se um par força normal

e momento fletor resistentes (N, M). Situando a linha neutra em diversas posições, tem-se vários pares N, M, que definem o Diagrama de Interação N, M da seção transversal, cujo formato é semelhante ao da Figura 2.9.

A resistência da seção transversal fica definida pelo seu correspondente Diagrama de Interação

N, M, ou seja, todos os pares de esforços solicitantes (N, M) simultâneos dentro da envoltória

definida pelo Diagrama de Interação.

2.1.6 Comprimento de Flambagem e Índice de Esbeltez

O comprimento de flambagem, ou comprimento efetivo (le) de um pilar depende de suas

vinculações na base e no topo, conforme Figura 2.10.

Figura 2.10: Comprimento de Flambagem (Enciso, 2010)

Já o índice de esbeltez é a razão entre este comprimento de flambagem e o raio de giração, conforme a Equação 2.3. λ = 𝑙𝑒 𝑖

I é o momento de inércia da seção transversal (inércia mínima); A é a área da seção transversal;

2.1.7 Núcleo Central de Inércia

O núcleo central de inércia é o lugar geométrico da seção transversal do pilar, tal que, se nele for aplicada uma carga de compressão, toda a seção estará comprimida. A Figura 2.11 ilustra o núcleo central de inércia de peças de concreto no Estádio I, sem armadura, que se encontra dentro da região delimitada pelo losango mostrado.

Figura 2.11: Núcleo Central de Inércia

Nos pilares de concreto armado deste trabalho, tem-se a força normal aplicada com excentricidade em apenas uma direção (direção de h). Sendo assim, se a força for aplicada com uma excentricidade de primeira ordem (e1) a uma distância menor que h/6 em relação ao

centroide da seção, ou seja, e1/h ≤ 1/6, a seção estará muito provavelmente quase toda

comprimida.

2.2 Projeto de Pilares em Concreto Armado

Conforme exposto anteriormente, quando a linha de ação da carga não coincide com o eixo do pilar, há excentricidade de 1ª ordem. Existe ainda a excentricidade acidental, que se deve ao desaprumo ou falta de retilineidade do eixo do pilar, e quando o pilar é esbelto surge a excentricidade local de 2ª ordem. Estes efeitos amplificam os resultados obtidos numa análise de 1ª ordem, já que a análise do equilíbrio deve ser feita na configuração deformada.

Para levar em conta a excentricidade acidental causada pelas imperfeições locais em estruturas reticuladas, a NBR 6118 (ABNT, 2014) permite a consideração de um momento mínimo de 1ª ordem, dado pela Equação 2.4.

M1d,mín = Nd (0,015 + 0,03h) (2.4)

onde:

h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros; Nd é a força de compressão de projeto.

A imposição desse momento mínimo implica a consideração de uma excentricidade mínima de 1ª ordem e, a ele, devem ser acrescidos os momentos de 2ª ordem.

Para efeito de cálculo, a NBR 6118 (ABNT, 2014) permite que os efeitos globais de 2ª ordem sejam desprezados quando o acréscimo nas reações e solicitações, em relação à teoria de 1ª ordem, não excedam 10%. Neste caso, a estrutura é considerada de nós fixos, e basta considerar os efeitos locais de 2ª ordem.

Estes efeitos locais de 2ª ordem em um pilar podem ser desprezados quando seu índice de esbeltez for menor que λ1 (valor limite da esbeltez), dado por:

35 ≤ λ1=

25+12,5 𝑒1_ℎ

𝛼𝑏 ≤ 90, (2.5)

onde e1 é a excentricidade de primeira ordem na direção h. Os valores de αb devem ser obtidos

conforme as seguintes condições:

 Pilares biapoiados sem forças transversais:

0,4 ≤ αb = 0,6 + 0,4 x

𝑀𝐵

𝑀𝐴 ≤ 1,0

onde MA e MB são momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado

para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo,

 Pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura: αb = 1,0  Pilares em balanço: 0,85 ≤ αb = 0,8 + 0,2 x 𝑀𝐶 𝑀_𝐴

onde MA é o momento de 1ª ordem no engaste; e MC é o momento de 1ª ordem no

meio do pilar em balanço.

 Pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo

M1d,mín (Equação 2.4):

αb = 1,0

Neste trabalho, todos os pilares analisados são biapoiados e, com o mesmo valor de momento fletor nas duas extremidades, ou seja, MA = MB, portanto, αb = 1,0 em todos os casos em estudo.

Segundo Scadelai (2004), os pilares podem ser classificados quanto à esbeltez, conforme segue:  Pilares robustos ou pouco esbeltos: λ ≤ λ1;

 Pilares de esbeltez média: λ1 < λ ≤ 90;

 Pilares esbeltos ou muito esbeltos: 90 < λ ≤ 140;  Pilares excessivamente esbeltos: 140 < λ ≤ 200.

No caso de pilares sujeitos à flexão composta reta, em que os efeitos locais de 2ª ordem devem ser considerados, seus valores podem ser obtidos pelo Método Geral ou por Métodos Aproximados, que serão apresentados adiante.

2.2.1 Análise de Pilares sob Flexão Composta

Uma barra sujeita à flexão simples ou composta se deforma até atingir equilíbrio, sendo a sua configuração deformada denominada linha elástica. Para um material que obedeça a Lei de Hooke, a curvatura do eixo da barra, na posição deformada, de forma simplificada, é dada pela Equação 2.6. Como o momento M varia ao longo da barra, a linha elástica tem curvatura variável.

1 r = d2y dx2 = - M EI (2.6)

Para a análise de pilares de concreto armado submetidos à flexo-compressão, é essencial definir uma relação entre a curvatura e os esforços, por meio de diagramas de interação força normal – momento fletor – curvatura (diagramas M, N,1/r), que são a base para uma verificação de estabilidade.

Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), no caso de pilares sujeitos à flexão composta reta, os efeitos de 2ª ordem podem ser obtidos pelo Método Geral ou por Métodos Aproximados.

2.2.1.1 Método Geral

O Método Geral consiste na análise não linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra considerando-se, inclusive, a armadura presente em cada seção. Leva-se em conta a relação momento-curvatura real em cada seção discretizada, enquanto a não linearidade geométrica é considerada de maneira aproximada. Para se determinar a carga crítica, o carregamento é aplicado por incrementos progressivos e, para cada etapa, calcula-se o deslocamento correspondente ao efeito de 2ª ordem, em uma determinada seção. Este valor é utilizado no cálculo do momento da etapa posterior. O valor crítico é aquele para o qual o diagrama carga versus deslocamento tende assintoticamente, como exemplificado na Figura 2.12.

(Scadelai, 2004)

O Método Geral também pode ser utilizado com acréscimos de excentricidades, obedecendo à mesma sequência citada anteriormente, mas com cargas constantes e excentricidades de 1ª ordem variáveis. O valor crítico da excentricidade é o valor assintótico do diagrama excentricidade versus deslocamento, da Figura 2.13.

Figura 2.13: Método Geral Aplicado por meio de Excentricidades Progressivas (Scadelai, 2004)

De acordo com Enciso (2010), a utilização deste método se justifica pela qualidade dos seus resultados, que retratam com maior precisão o comportamento real da estrutura. Contudo, segundo Santos (2009), este é um método complexo, que, para ser aplicado, necessita do uso de ferramentas computacionais. Para aplicá-lo, é necessário conhecer toda a geometria da seção transversal do pilar, incluindo informações sobre a disposição da armadura. Isso faz com que este método não seja prático para dimensionamento, uma vez que o objetivo do dimensionamento é determinar a armadura. Sendo assim, este método é pouco usual e, por isso, não será avaliado neste trabalho. Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), o Método Geral é obrigatório apenas para verificação de pilares com λ > 140.

2.2.1.2 Métodos Aproximados

Os métodos aproximados prescritos pela NBR 6118 (ABNT, 2014) são baseados no Pilar-Padrão. Apresentam-se, a seguir, os dois métodos aproximados mais utilizados para pilares

sujeitos à flexão composta reta. Na sequência, detalha-se o Método da Amplificação dos Momentos, que é prescrito pela norma americana ACI 318 (2014).

 Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada:

Este método restringe-se a pilares com λ ≤ 90, seção transversal constante e armadura simétrica e constante ao longo do eixo. Para se levar em conta a não linearidade geométrica de forma aproximada, supõe-se que a configuração da barra seja senoidal. Já a não linearidade física é considerada por meio de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. A excentricidade de 2ª ordem é dada por:

e

=

le2

10 1

r (2.7)

Logo, o momento total máximo no pilar é dado pela seguinte equação:

Md,tot = (αbM1d,A + Nd le2 10 1 r) ≥ M1d,A ≥ M1d,mín (2.8) Onde: 1 r = 0,005 h (ν+0,5)

≤

h é a curvatura na seção crítica;

h é a altura da seção na direção considerada; ν = NSd / (Ac fcd) é a força normal adimensional;

M1d,A é o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA, que segue as mesmas definições dadas

anteriormente.

 Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada:

O uso deste método também é restrito a pilares com λ≤90, seção transversal retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo do eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de maneira aproximada, supondo a deformada senoidal da barra, enquanto a física é levada em conta por meio da expressão aproximada da rigidez:

k = 32 (1 + 5 MRd,tot

onde o momento solicitantetotal máximo é dado pela Equação 2.10. Em um processo de dimensionamento MRd,tot (momento resistente) é tomado igual a MSd,tot.

MSd,tot = αbM1d,A

1− _{120 k/ν}λ2 ≥ M1d,A (2.10)

Observa-se que a rigidez k e o momento MRd,tot são dependentes entre si. Portanto, pode-se

optar por um cálculo iterativo, no qual duas ou três iterações são suficientes, ou utilizar a formulação direta (Equação 2.11) sugerida pela NBR 6118 (ABNT, 2014), que pode ser usada em casos de dimensionamento. a 𝑀_{𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡}2 + b 𝑀_{𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡} + c = 0 → 𝑀_{𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡} = −𝑏+ √𝑏²−4 𝑎 𝑐 2𝑎 (2.11) Onde: a = 5h; b = h² ∙ Nd - 𝑵𝒅𝒍𝒆𝟐 𝟑𝟐𝟎 – 5h ∙ αb∙ M1d,A c = -Nd ∙ h² ∙ αb∙ M1d,A

 Método da Amplificação dos Momentos:

Este método consiste na obtenção do momento fletor total Mtot (efeitos de primeira e de segunda

ordem), por meio da amplificação do momento fletor de primeira ordem, utilizando um fator de majoração δns: Mtot = δns M1,ACI (2.12) onde: δns = 𝐶𝑚 1− 𝑃𝑢 0,75 𝑃𝑐 ≥ 1,0 (2.13) sendo que:

Cm é um fator semelhante a αb, assumido igual a 1,0 para pilares biapoiados;

Pu é a força axial aplicada;

Pc é a carga crítica de flambagem, igual a Pc = π²EI / le².

Na expressão de Pc, a rigidez EI, segundo o ACI 318 (2014), pode ser dada pela Equação 2.14

quando se conhece a armadura do pilar, ou pela Equação 2.15, de forma simplificada:

EI = (0,2𝐸𝑐𝐼𝑔+ 𝐸𝑠𝐼𝑠𝑒)

1+ 𝛽𝑑 (2.14)

EI = 0,4 𝐸𝑐𝐼𝑔

1+ 𝛽𝑑 (2.15)

Onde:

Ig é o momento de inércia da seção transversal bruta do pilar;

Es é o módulo de elasticidade do aço das armaduras;

Ise é o momento de inércia da seção transversal das armaduras;

βd é o efeito das cargas de longa duração;

Ec é o módulo de elasticidade do concreto, dado pela Equação 2.16, como sugere o ACI 318

(2014):

Ec = 4700 √𝑓_𝑐, (MPa) (2.16)

Neste trabalho, o cálculo da rigidez é efetuado com a Equação 2.15 para se aproximar mais dos métodos brasileiros, em que os cálculos são realizados sem se considerar a armadura existente no pilar. Para a comparação das resistências previstas segundo métodos aproximados e resultados experimentais para ensaios de curta duração, o parâmetro βd é tomado como nulo.

2.3 Variável Erro do Modelo

Para realizar a calibração de normas de projeto é necessário o conhecimento das estatísticas da variável aleatória erro do modelo, ξ, referente a cada método de cálculo utilizado na avaliação da resistência do pilar. Tais estatísticas podem ser obtidas através da relação resistência experimental / resistência calculada.

O erro do modelo, ξ, associado a um determinado método de cálculo depende do critério de falha adotado, o qual deve representar a trajetória do carregamento até a falha (Diniz e Frangopol, 1997). A Figura 2.14 mostra quatro trajetórias até a falha, ou seja, da solicitação Ns,

Ms (ponto L) até a envoltória da resistência definida pelo diagrama de interação N, M. Os

critérios podem ser: (i) força normal constante (trajetória LD); (ii) momento fletor constante (trajetória LA); (iii) excentricidade constante (trajetória LC); e (iv) distância mínima (trajetória LB).

Segundo Diniz e Frangopol (1997), a maior parte dos estudos realizados sobre análise de confiabilidade de pilares em concreto armado adota o critério de falha correspondente à hipótese “excentricidade constante”. Isso implica em uma correlação linear perfeita entre força normal e momento fletor. Ademais, vale ressaltar que esta é a condição usualmente adotada em normas de projeto.

Figura 2.14: Critérios de Falha do Pilar (Diniz e Frangopol, 1997)

No estudo de pilares esbeltos, duas alternativas podem ser utilizadas na representação da resistência do pilar. A primeira delas — e também a mais difundida — é a consideração dos efeitos totais (de primeira e segunda ordem) que resultarão em se atingir a resistência da seção transversal; já na segunda, a resistência é definida como aquela associada ao pilar esbelto (e não à resistência da seção transversal). Conforme discutido em Diniz e Frangopol (1997), a segunda alternativa apresenta vantagens na sua utilização em análises de confiabilidade, pois

permite que as variáveis “resistência do pilar” e “carregamento atuante” possam ser consideradas como não correlacionadas, assim como permite a utilização do critério de falha correspondente a “excentricidade constante”.

Neste sentido, se, do momento total for extraído o valor do momento de segunda ordem, obtido por um método aproximado, resta apenas o momento de primeira ordem, M1. Dessa forma, para

uma carga axial N, a distância do ponto N, M1 até o ponto correspondente na curva N, M, traduz

o efeito de segunda ordem. Sendo assim, quanto mais distantes estiverem os pontos N, M1 e N,

M entre si, maior é o efeito de segunda ordem calculado.

A partir das estatísticas da variável erro do modelo, pode-se desenvolver uma análise do nível de conservadorismo correspondente aos métodos considerados nesta pesquisa.

2.4 Pesquisas Realizadas sobre Métodos de Obtenção do Efeito de Segunda

Ordem em Pilares submetidos à Flexão Composta Reta

A Tabela 2.1, lista algumas pesquisas acerca dos métodos de obtenção do efeito de segunda ordem em pilares esbeltos de concreto armado disponíveis na literatura. Embora todas as pesquisas listadas nessa tabela tratem do mesmo assunto, vale ressaltar que não existe uniformidade quanto ao tratamento adotado em cada caso, e, consequentemente prejudicando, ou mesmo impossibilitando a comparação dos resultados obtidos em tais pesquisas. Esta falta de uniformidade no tratamento do problema está indicada na segunda coluna da Tabela 2.1. No presente estudo, a comparação tem foco na capacidade de carga do pilar esbelto. Os trabalhos listados na Tabela 2.1 são brevemente descritos na sequência.

Tabela 2.1 – Análise Comparativa adotada em Diversas Pesquisas

Autores Análise Comparativa

Zhou e Hong (2001) Capacidade de carga calculada em função do momento fletor de 1ª ordem versus experimental

Scadelai (2004) Área de armadura calculada a partir de cada método Melo (2009) Força de ruptura calculada versus experimental Enciso (2010) Excentricidade de 2ª ordem obtida por ensaio versus

excentricidades de 2ª ordem calculada Melo et al. (2011) Força de ruptura calculada versus experimental Calixto et al. (2012) Momento fletor de ruptura calculado versus experimental Souza e Silva Junior (2013) Força de ruptura calculada versus força de ruptura obtida

via modelo computacional

Neto et al. (2013) Momento fletor resistente calculado a partir de cada método

Zhou e Hong (2001)

O objetivo do estudo de Zhou e Hong (2001) foi avaliar o erro do modelo (valor experimental / valor calculado) para pilares esbeltos em concreto de alta resistência e de resistência convencional. Os dados de ensaios de pilares foram obtidos na literatura e a capacidade de carga dos pilares observada nos ensaios foi comparada à capacidade calculada por diversos métodos. Dentre os métodos utilizados, estava o Método da Amplificação dos Momentos, do ACI 318 (1995). Neste estudo, a capacidade de carga dos pilares foi tomada como como função da força normal resistente (PR) e do momento fletor resistente de primeira ordem (MR), com a seguinte relação:

R = √𝑃_𝑅2_{+ (}𝑀𝑅

ℎ ) 2

A fim de se obter as estatísticas da variável aleatória erro do modelo, a razão da capacidade de carga R obtida experimentalmente e por meio de métodos aproximados foi calculada.

A média do erro do modelo ficou maior que 1,0 para todos os modelos, mostrando conservadorismo nos métodos. Já o coeficiente de variação, COV, ficou em torno de 20%, o qual os autores consideraram inadequados, em comparação com os valores de COV que as normas consideram aceitáveis para propriedades de materiais, como a resistência à compressão do concreto (fc) e a tensão de escoamento do aço (fy).

Foi feito um estudo comparativo a fim de se verificar a dependência do erro do modelo em função dos parâmetros fc, θ e λ, onde θ = tg-1 (h/e1), ou seja, θ representa a excentricidade

relativa, e1/h.

Segundo Zhou e Hong (2001), no método do ACI 318, o efeito de λ é desprezível em relação aos efeitos de fc e θ sendo, portanto, desprezado. Assim, a média (mξ) e o desvio padrão (σξ) da

variável erro do modelo, são descritos pelas seguintes expressões:

mξ = 0,973 + 0,281 θ -0,0034 fc

σξ = 0,166 θ

Pela expressão proposta por Zhou e Hong (2001), vê-se que o desvio padrão é altamente dependente da excentricidade relativa, e assume valor nulo, quando e1/h é igual a zero

(compressão centrada). Isso não é condizente com a realidade, mas, segundo os autores, pode ter ocorrido devido aos pilares analisados terem, em sua maioria, θ > 0,8. Portanto, essas expressões não devem ser aplicadas a pilares com θ < 0,8.

Nos estudos do efeito de fc e θ sobre a média do erro do modelo, o método do ACI se mostrou

não conservador para pilares em concreto de alta resistência (Figura 2.15), e o COV aumenta sensivelmente em função de θ (Figura 2.16).

Figura 2.16: Variação do Desvio Padrão de ξ em Função de θ (Zhou e Hong, 2001)

Scadelai (2004)

Scadelai (2004) realizou um trabalho de revisão da norma NBR 6118:2003 (ABNT, 2003). Segundo esse autor, o método aproximado para dimensionamento de pilares que possui formulação mais refinada, dentre os recomendados pela norma, é o Método do Pilar-Padrão Acoplado a Diagramas M-N-1/r. Resultados obtidos com este método em pilares com λ ≤ 90 foram comparados com resultados calculados pelo Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada. A diferença encontrada foi de cerca de 6% a mais na área de armadura calculada pelo método da Rigidez k Aproximada. Esta diferença foi considerada pequena e aceitável pelo autor, pois mesmo com a diferença, o método permaneceu conservador.

O Método do Pilar-Padrão Acoplado a Diagramas M-N-1/r também foi comparado com o Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada. Neste caso, a diferença obtida foi de 12%, o dobro da diferença encontrada no método anterior, ou seja, mais conservador. Tendo em vista a simplicidade deste método, o autor concluiu que seu uso não deve ser descartado, mas deve ser praticado com cautela, a fim de não tornar a estrutura antieconômica.

Comparações em pilares com λ = 140 também foram feitas, obtendo-se valores não conservadores, mas, dentro do que se esperava, já que os métodos da curvatura aproximada e da rigidez aproximada são recomendados pela NBR 6118 apenas para pilares com λ ≤ 90.

Melo (2009)

Melo (2009) realizou um estudo experimental e numérico do comportamento até a ruína de pilares birrotulados de concreto armado submetidos à flexão composta reta. Foram ensaiados 24 pilares, sendo 10 pilares com comprimento ℓ_𝑒 = 3,0 m, 7 pilares com ℓ_𝑒 = 2,5 m e 7 pilares com ℓ_𝑒 = 2,0 m. Os pilares possuíam seção transversal de 250mm x 120mm, resistência do concreto em torno de 40MPa, e taxa geométrica de armadura de 1,57%. A principal variável foi a excentricidade da força aplicada na direção de menor inércia da seção transversal.

De um modo geral, os pilares com excentricidade inicial menor que 18 mm (e1/h = 0,15)

apresentaram valores de força de ruína estimada pelos métodos aproximados menores em comparação com os pilares ensaiados.

O Método do Pilar Padrão com Rigidez k Aproximada apresentou resultados não conservadores na maioria dos pilares ensaiados, principalmente para os pilares com menor comprimento (𝓵_𝒆 = 2,0 m). Já para os pilares com maior índice de esbeltez (𝝀 ≅ 93 ), um pouco acima do permitido para o cálculo pelo método, os resultados ficaram muito próximos aos dos ensaios, principalmente para os pilares com excentricidade relativa e1/h ≥ 0,25 (e = 30 mm). O Método

do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada e Método da Amplificação dos Momentos, da norma americana ACI 318 (2002), apresentaram bons resultados em relação aos ensaios.

Enciso (2010)

Enciso (2010) estudou oito pilares através de ensaios experimentais, variando a taxa de armadura longitudinal e a resistência à compressão do concreto, cujas médias foram 49,6 MPa

e 83,6 MPa. Os resultados dos ensaios de quatro destes pilares (apenas os que tinham

fck < 50 MPa) foram comparados com os resultados teóricos. Os valores das excentricidades de

segunda ordem obtidos pelo Método da Curvatura Aproximada (série CA-NBR, mostrada nas Figuras 2.17 e 2.18) ficaram mais próximos dos valores experimentais, enquanto o Método da Rigidez Aproximada (série RA-NBR, mostrada nas Figuras 2.17 e 2.18) forneceu menores valores da excentricidade de segunda ordem e2, em relação ao ensaio. Ao se considerar as

excentricidades totais, entretanto, a diferença entre os resultados teóricos e experimentais diminuiu, como se vê na Figura 2.18.

Foi também feita a mesma comparação entre as excentricidades de segunda ordem experimentais obtidas em ensaios de outros autores, com valores teóricos calculados pelos métodos aproximados. Nesses casos, os valores teóricos da excentricidade total também ficaram muito próximos dos experimentais, com o Método da Rigidez Aproximada também fornecendo os menores valores.

Figura 2.17: Comparação entre as excentricidades de segunda ordem (Enciso, 2010)

Melo et al. (2011)

O trabalho de Melo et al. (2011) apresenta uma avaliação do desempenho dos métodos aproximados para a determinação dos efeitos de segunda ordem em pilares de concreto armado. Dentre os métodos avaliados, estão aqueles estabelecidos pela norma brasileira NBR 6118 (2003), e pela norma americana ACI 318(2002).

Foram ensaiados 7 pilares de concreto armado rotulados nas extremidades, com ℓ_𝑒 = 2,5 m,

seção transversal de 25 cm x 12 cm e resistência à compressão do concreto em torno de 40 MPa. A principal variável dos ensaios foi o ponto de aplicação da força (ou seja, a

excentricidade relativa e1/h), na direção de menor inércia da seção transversal. Os pilares foram

submetidos a um carregamento incremental até a ruptura.

O Método do Pilar Padrão com Rigidez k Aproximada da NBR 6118 apresentou bons resultados de estimativa da força de ruína, principalmente para os pilares com excentricidade relativa e1/h

≥ 0,2 (e1 ≥ 24 mm). O Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada também forneceu

bons resultados, porém para pilares com e₁ /h ≤ 0,125 (e₁ ≤ 15 mm), os valores estimados para a força de ruptura foram bem menores que os medidos nos ensaios. Por outro lado, os resultados mostraram que esse último método superestima a capacidade dos pilares com grandes

excentricidades, tal como verificado no pilar com excentricidade relativa e₁/h = 0,5

(e₁ = 60 mm).

O Método da Amplificação dos Momentos, da norma ACI 318 (2002) estimou valores menores de força axial de ruptura em relação aos resultados obtidos nos ensaios. Esses valores estimados de carga de ruína foram ainda menores para pilares com excentricidade relativa e₁ /h = 0,2

para ambas as normas. A Tabela 2.2 apresenta as estatísticas para a razão força de ruína calculada/ força de ruína experimental. Nesta tabela, os índices NBR(a) e NBR(b) referem-se, respectivamente, aos métodos da Curvatura Aproximada e da Rigidez Aproximada.

Calixto et al. (2012)

Calixto et al. (2012) avaliaram os métodos aproximados de obtenção do efeito de segunda ordem em pilares de concreto armado da NBR 6118 (ABNT, 2007) com relação a resultados de ensaios de pilares encontrados na literatura. Foram incluídos pilares em concretos de fc >

55MPa, além dos concretos de resistência convencional, menor que 55 MPa. Para cada pilar, calculou-se a relação entre o momento fletor de ruptura obtido nos ensaios e o estimado pelos métodos aproximados na NBR 6118:2007. As estatísticas desta relação estão mostradas nas Tabelas 2.3 e 2.4 respectivamente.

Tabela 2. 3 – Estatísticas da Relação Momento de Ruptura Experimental / Momento de Ruptura Estimado para Pilares com fc ≤ 55 MPa (Calixto et al., 2012)

Tabela 2. 4– Resultados Estatísticos da Relação Momento de Ruptura Experimental / Momento de Ruptura Estimado para Pilares com fc > 55 MPa (Calixto et al., 2012)

Em 51 pilares com fc ≤ 55MPa, o Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada se

mostrou mais conservador que o Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada. Em 65 pilares com fc > 55MPa, os dois métodos aproximados tiveram a média e a mediana da relação

Experimental / Calculado maiores que 1,0. Em termos de dispersão, o coeficiente de variação (COV) do Método da Rigidez Aproximada ficou menor tanto para os pilares com fc ≤ 55MPa,

quando para fc > 55MPa.

Média 0,962 1,051 Mediana 0,978 1,073 Desvio Padrão 0,178 0,173 COV 18,55% 16,43% Curvatura Aproximada Parâmetros Rigidez Aproximada Me xpe rime ntal/Mcalculado

Média 1,026 1,146

Mediana 1,012 1,125

Desvio Padrão 0,184 0,173

COV 17,94% 15,09%

Me xpe rime ntal/Mcalculado

Parâmetros Curvatura Aproximada

Rigidez Aproximada

Souza e Silva Junior (2013)

Souza e Silva Junior (2013) apresentaram os resultados de um estudo paramétrico de avaliação da precisão dos métodos aproximados para obtenção dos efeitos locais de segunda ordem de pilares prescritos pela NBR 6118:2007 em relação a um modelo computacional que considera, de forma mais precisa, a não linearidade física e geométrica.

Nesse estudo, foram analisados 80 pilares com valores do índice de esbeltez, λ, de 25 a 100, taxas geométricas de armadura longitudinal de 1% a 4% e excentricidades relativas de primeira ordem (e1/h) de 0,05 a 0,40, correspondentes à maioria das situações de interesse prático de

projeto. Embora a NBR 6118 restrinja a utilização dos métodos aproximados apenas a pilares medianamente esbeltos, ou seja, com λ ≤ 90, utilizou-se nas simulações pilares com λ de até 100 em caráter exploratório. A força normal de ruptura calculada pelos métodos aproximados foi comparada com a força obtida no modelo computacional.

Os resultados sugerem uma maior precisão do Método da Curvatura Aproximada quando comparado com o Método da Rigidez Aproximada que, por sua vez, apresentou resultados mais conservadores. O nível de precisão dos métodos foi considerado como sendo o quanto a formulação mais se aproximou do modelo computacional utilizado.

Ainda com base no estudo paramétrico, os autores fizeram uma proposta de melhoria da equação do Método da Curvatura Aproximada. Tendo em vista a forte influência observada do índice de esbeltez λ sobre o comportamento do método, Souza e Silva Junior (2013) sugerem que a fórmula da curvatura seja multiplicada por um fator K, que depende do índice de esbeltez, tornando-se: 1 r = 0,005 K h (ν+0,5)

≤

quando 50 < λ≤ 90 e h ≤ 30cm ou e

Neto et al. (2013)

O trabalho de Neto et al. (2013) consiste na análise do comportamento de pilares de extremidade de concreto armado, por meio de exemplos de cálculo, variando-se o comprimento do pilar e as cargas sobre ele, com base nas especificações da norma NBR 6118:2007.

Comparando-se o Método do Padrão com Curvatura Aproximada e o Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada por meio de planilhas digitais, os valores obtidos de momento fletor total resistente foram bastante próximos para pilares com 𝓵_𝒆 = 5,0 m sob força normal igual a 500 kN. Porém, em pilares mais esbeltos, com λ acima de aproximadamente 60, e com o aumento da força normal aplicada, os resultados obtidos a partir dos dois métodos aproximados são bastante distintos, sendo que o Método da Rigidez Aproximada forneceu valores maiores de momento fletor, sendo, portanto, menos conservador.

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METODOLOGIA

Neste capítulo, é apresentado o banco de dados de pilares esbeltos compilado neste estudo com vistas à verificação da adequação de três métodos aproximados utilizados na consideração dos efeitos de segunda ordem. Também são apresentados os procedimentos adotados para o traçado do diagrama de interação N, M1 de pilares esbeltos e a obtenção da

variável erro do modelo associada a cada um dos métodos analisados.

3.1 Banco de Dados de Pilares

Para se avaliar a consistência das formulações dos métodos aproximados de obtenção do efeito de segunda ordem, descritas no item 2.2.1.2, foi compilado um banco de dados compreendendo resultados de ensaios encontrados na literatura de 107 pilares esbeltos em concreto armado. Nestes ensaios foram utilizados pilares birrotulados sujeitos à flexão normal composta (excentricidade inicial e1) fabricados com concretos dos grupos I e II de resistência, sem efeito

de confinamento. Para a montagem deste banco de dados, foram coletadas as características geométricas de cada pilar, as características básicas do concreto e do aço utilizados e os resultados experimentais.

A Tabela 3.1 apresenta um resumo dos dados dos pilares. O banco de dados completo, contendo detalhes provenientes dos ensaios experimentais está apresentado no Apêndice A.

Tabela 3.1– Banco de Dados de Pilares

Autor Pilar Le (cm) b (cm) h (cm) λ AsL fc (MPa) e1 (cm) Frup (kN) Mrup (kN.m) e2 (cm) e1/h ADO RNO et a l. (2 0 0 3 ) PCA4-15a 200 25 12 57,7 4 ϕ10 36,9 1,5 553 19,37 2,00 0,125 PCA4-15b 200 25 12 57,7 4 ϕ10 40,0 1,5 566 17,45 1,58 0,125 PCA4-20 200 25 12 57,7 4 ϕ10 40,0 2,0 460 14,35 1,12 0,167 PCA4-25 200 25 12 57,7 4 ϕ10 42,5 2,5 360 12,94 1,10 0,208 PCA4-30a 200 25 12 57,7 4 ϕ10 39,3 3,0 291 13,98 1,80 0,250 PCA4-30b 200 25 12 57,7 4 ϕ10 39,3 3,0 298 14,05 1,72 0,250