A Tabela 2.1, lista algumas pesquisas acerca dos métodos de obtenção do efeito de segunda ordem em pilares esbeltos de concreto armado disponíveis na literatura. Embora todas as pesquisas listadas nessa tabela tratem do mesmo assunto, vale ressaltar que não existe uniformidade quanto ao tratamento adotado em cada caso, e, consequentemente prejudicando, ou mesmo impossibilitando a comparação dos resultados obtidos em tais pesquisas. Esta falta de uniformidade no tratamento do problema está indicada na segunda coluna da Tabela 2.1. No presente estudo, a comparação tem foco na capacidade de carga do pilar esbelto. Os trabalhos listados na Tabela 2.1 são brevemente descritos na sequência.
Tabela 2.1 – Análise Comparativa adotada em Diversas Pesquisas
Autores Análise Comparativa
Zhou e Hong (2001) Capacidade de carga calculada em função do momento fletor de 1ª ordem versus experimental
Scadelai (2004) Área de armadura calculada a partir de cada método Melo (2009) Força de ruptura calculada versus experimental Enciso (2010) Excentricidade de 2ª ordem obtida por ensaio versus
excentricidades de 2ª ordem calculada Melo et al. (2011) Força de ruptura calculada versus experimental Calixto et al. (2012) Momento fletor de ruptura calculado versus experimental Souza e Silva Junior (2013) Força de ruptura calculada versus força de ruptura obtida
via modelo computacional
Neto et al. (2013) Momento fletor resistente calculado a partir de cada método
Zhou e Hong (2001)
O objetivo do estudo de Zhou e Hong (2001) foi avaliar o erro do modelo (valor experimental / valor calculado) para pilares esbeltos em concreto de alta resistência e de resistência convencional. Os dados de ensaios de pilares foram obtidos na literatura e a capacidade de carga dos pilares observada nos ensaios foi comparada à capacidade calculada por diversos métodos. Dentre os métodos utilizados, estava o Método da Amplificação dos Momentos, do ACI 318 (1995). Neste estudo, a capacidade de carga dos pilares foi tomada como como função da força normal resistente (PR) e do momento fletor resistente de primeira ordem (MR), com a seguinte relação:
R = √𝑃𝑅2+ (𝑀𝑅
ℎ )2
A fim de se obter as estatísticas da variável aleatória erro do modelo, a razão da capacidade de carga R obtida experimentalmente e por meio de métodos aproximados foi calculada.
A média do erro do modelo ficou maior que 1,0 para todos os modelos, mostrando conservadorismo nos métodos. Já o coeficiente de variação, COV, ficou em torno de 20%, o qual os autores consideraram inadequados, em comparação com os valores de COV que as normas consideram aceitáveis para propriedades de materiais, como a resistência à compressão do concreto (fc) e a tensão de escoamento do aço (fy).
Foi feito um estudo comparativo a fim de se verificar a dependência do erro do modelo em função dos parâmetros fc, θ e λ, onde θ = tg-1 (h/e1), ou seja, θ representa a excentricidade
relativa, e1/h.
Segundo Zhou e Hong (2001), no método do ACI 318, o efeito de λ é desprezível em relação aos efeitos de fc e θ sendo, portanto, desprezado. Assim, a média (mξ) e o desvio padrão (σξ) da variável erro do modelo, são descritos pelas seguintes expressões:
mξ = 0,973 + 0,281 θ -0,0034 fc
σξ = 0,166 θ
Pela expressão proposta por Zhou e Hong (2001), vê-se que o desvio padrão é altamente dependente da excentricidade relativa, e assume valor nulo, quando e1/h é igual a zero
(compressão centrada). Isso não é condizente com a realidade, mas, segundo os autores, pode ter ocorrido devido aos pilares analisados terem, em sua maioria, θ > 0,8. Portanto, essas expressões não devem ser aplicadas a pilares com θ < 0,8.
Nos estudos do efeito de fc e θ sobre a média do erro do modelo, o método do ACI se mostrou não conservador para pilares em concreto de alta resistência (Figura 2.15), e o COV aumenta sensivelmente em função de θ (Figura 2.16).
Figura 2.16: Variação do Desvio Padrão de ξ em Função de θ (Zhou e Hong, 2001)
Scadelai (2004)
Scadelai (2004) realizou um trabalho de revisão da norma NBR 6118:2003 (ABNT, 2003). Segundo esse autor, o método aproximado para dimensionamento de pilares que possui formulação mais refinada, dentre os recomendados pela norma, é o Método do Pilar-Padrão Acoplado a Diagramas M-N-1/r. Resultados obtidos com este método em pilares com λ ≤ 90 foram comparados com resultados calculados pelo Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada. A diferença encontrada foi de cerca de 6% a mais na área de armadura calculada pelo método da Rigidez k Aproximada. Esta diferença foi considerada pequena e aceitável pelo autor, pois mesmo com a diferença, o método permaneceu conservador.
O Método do Pilar-Padrão Acoplado a Diagramas M-N-1/r também foi comparado com o Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada. Neste caso, a diferença obtida foi de 12%, o dobro da diferença encontrada no método anterior, ou seja, mais conservador. Tendo em vista a simplicidade deste método, o autor concluiu que seu uso não deve ser descartado, mas deve ser praticado com cautela, a fim de não tornar a estrutura antieconômica.
Comparações em pilares com λ = 140 também foram feitas, obtendo-se valores não conservadores, mas, dentro do que se esperava, já que os métodos da curvatura aproximada e da rigidez aproximada são recomendados pela NBR 6118 apenas para pilares com λ ≤ 90.
Melo (2009)
Melo (2009) realizou um estudo experimental e numérico do comportamento até a ruína de pilares birrotulados de concreto armado submetidos à flexão composta reta. Foram ensaiados 24 pilares, sendo 10 pilares com comprimento ℓ𝑒 = 3,0 m, 7 pilares com ℓ𝑒 = 2,5 m e 7 pilares com ℓ𝑒 = 2,0 m. Os pilares possuíam seção transversal de 250mm x 120mm, resistência do concreto em torno de 40MPa, e taxa geométrica de armadura de 1,57%. A principal variável foi a excentricidade da força aplicada na direção de menor inércia da seção transversal.
De um modo geral, os pilares com excentricidade inicial menor que 18 mm (e1/h = 0,15)
apresentaram valores de força de ruína estimada pelos métodos aproximados menores em comparação com os pilares ensaiados.
O Método do Pilar Padrão com Rigidez k Aproximada apresentou resultados não conservadores na maioria dos pilares ensaiados, principalmente para os pilares com menor comprimento (𝓵𝒆 = 2,0 m). Já para os pilares com maior índice de esbeltez (𝝀 ≅ 93 ), um pouco acima do permitido para o cálculo pelo método, os resultados ficaram muito próximos aos dos ensaios, principalmente para os pilares com excentricidade relativa e1/h ≥ 0,25 (e = 30 mm). O Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada e Método da Amplificação dos Momentos, da norma americana ACI 318 (2002), apresentaram bons resultados em relação aos ensaios.
Enciso (2010)
Enciso (2010) estudou oito pilares através de ensaios experimentais, variando a taxa de armadura longitudinal e a resistência à compressão do concreto, cujas médias foram 49,6 MPa
e 83,6 MPa. Os resultados dos ensaios de quatro destes pilares (apenas os que tinham
fck < 50 MPa) foram comparados com os resultados teóricos. Os valores das excentricidades de segunda ordem obtidos pelo Método da Curvatura Aproximada (série CA-NBR, mostrada nas Figuras 2.17 e 2.18) ficaram mais próximos dos valores experimentais, enquanto o Método da Rigidez Aproximada (série RA-NBR, mostrada nas Figuras 2.17 e 2.18) forneceu menores valores da excentricidade de segunda ordem e2, em relação ao ensaio. Ao se considerar as excentricidades totais, entretanto, a diferença entre os resultados teóricos e experimentais diminuiu, como se vê na Figura 2.18.
Foi também feita a mesma comparação entre as excentricidades de segunda ordem experimentais obtidas em ensaios de outros autores, com valores teóricos calculados pelos métodos aproximados. Nesses casos, os valores teóricos da excentricidade total também ficaram muito próximos dos experimentais, com o Método da Rigidez Aproximada também fornecendo os menores valores.
Figura 2.17: Comparação entre as excentricidades de segunda ordem (Enciso, 2010)
Melo et al. (2011)
O trabalho de Melo et al. (2011) apresenta uma avaliação do desempenho dos métodos aproximados para a determinação dos efeitos de segunda ordem em pilares de concreto armado. Dentre os métodos avaliados, estão aqueles estabelecidos pela norma brasileira NBR 6118 (2003), e pela norma americana ACI 318(2002).
Foram ensaiados 7 pilares de concreto armado rotulados nas extremidades, com ℓ𝑒 = 2,5 m,
seção transversal de 25 cm x 12 cm e resistência à compressão do concreto em torno de 40 MPa. A principal variável dos ensaios foi o ponto de aplicação da força (ou seja, a
excentricidade relativa e1/h), na direção de menor inércia da seção transversal. Os pilares foram
submetidos a um carregamento incremental até a ruptura.
O Método do Pilar Padrão com Rigidez k Aproximada da NBR 6118 apresentou bons resultados de estimativa da força de ruína, principalmente para os pilares com excentricidade relativa e1/h
≥ 0,2 (e1 ≥ 24 mm). O Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada também forneceu bons resultados, porém para pilares com e1 /h ≤ 0,125 (e1 ≤ 15 mm), os valores estimados para a força de ruptura foram bem menores que os medidos nos ensaios. Por outro lado, os resultados mostraram que esse último método superestima a capacidade dos pilares com grandes
excentricidades, tal como verificado no pilar com excentricidade relativa e1/h = 0,5
(e1 = 60 mm).
O Método da Amplificação dos Momentos, da norma ACI 318 (2002) estimou valores menores de força axial de ruptura em relação aos resultados obtidos nos ensaios. Esses valores estimados de carga de ruína foram ainda menores para pilares com excentricidade relativa e1 /h = 0,2
para ambas as normas. A Tabela 2.2 apresenta as estatísticas para a razão força de ruína calculada/ força de ruína experimental. Nesta tabela, os índices NBR(a) e NBR(b) referem-se, respectivamente, aos métodos da Curvatura Aproximada e da Rigidez Aproximada.
Calixto et al. (2012)
Calixto et al. (2012) avaliaram os métodos aproximados de obtenção do efeito de segunda ordem em pilares de concreto armado da NBR 6118 (ABNT, 2007) com relação a resultados de ensaios de pilares encontrados na literatura. Foram incluídos pilares em concretos de fc > 55MPa, além dos concretos de resistência convencional, menor que 55 MPa. Para cada pilar, calculou-se a relação entre o momento fletor de ruptura obtido nos ensaios e o estimado pelos métodos aproximados na NBR 6118:2007. As estatísticas desta relação estão mostradas nas Tabelas 2.3 e 2.4 respectivamente.
Tabela 2. 3 – Estatísticas da Relação Momento de Ruptura Experimental / Momento de Ruptura Estimado para Pilares com fc ≤ 55 MPa (Calixto et al., 2012)
Tabela 2. 4– Resultados Estatísticos da Relação Momento de Ruptura Experimental / Momento de Ruptura Estimado para Pilares com fc > 55 MPa (Calixto et al., 2012)
Em 51 pilares com fc ≤ 55MPa, o Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada se mostrou mais conservador que o Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada. Em 65 pilares com fc > 55MPa, os dois métodos aproximados tiveram a média e a mediana da relação Experimental / Calculado maiores que 1,0. Em termos de dispersão, o coeficiente de variação (COV) do Método da Rigidez Aproximada ficou menor tanto para os pilares com fc ≤ 55MPa, quando para fc > 55MPa.
Média 0,962 1,051 Mediana 0,978 1,073 Desvio Padrão 0,178 0,173 COV 18,55% 16,43% Curvatura Aproximada Parâmetros Rigidez Aproximada Me xpe rime ntal/Mcalculado
Média 1,026 1,146
Mediana 1,012 1,125
Desvio Padrão 0,184 0,173
COV 17,94% 15,09%
Me xpe rime ntal/Mcalculado Parâmetros Curvatura
Aproximada
Rigidez Aproximada
Souza e Silva Junior (2013)
Souza e Silva Junior (2013) apresentaram os resultados de um estudo paramétrico de avaliação da precisão dos métodos aproximados para obtenção dos efeitos locais de segunda ordem de pilares prescritos pela NBR 6118:2007 em relação a um modelo computacional que considera, de forma mais precisa, a não linearidade física e geométrica.
Nesse estudo, foram analisados 80 pilares com valores do índice de esbeltez, λ, de 25 a 100, taxas geométricas de armadura longitudinal de 1% a 4% e excentricidades relativas de primeira ordem (e1/h) de 0,05 a 0,40, correspondentes à maioria das situações de interesse prático de
projeto. Embora a NBR 6118 restrinja a utilização dos métodos aproximados apenas a pilares medianamente esbeltos, ou seja, com λ ≤ 90, utilizou-se nas simulações pilares com λ de até 100 em caráter exploratório. A força normal de ruptura calculada pelos métodos aproximados foi comparada com a força obtida no modelo computacional.
Os resultados sugerem uma maior precisão do Método da Curvatura Aproximada quando comparado com o Método da Rigidez Aproximada que, por sua vez, apresentou resultados mais conservadores. O nível de precisão dos métodos foi considerado como sendo o quanto a formulação mais se aproximou do modelo computacional utilizado.
Ainda com base no estudo paramétrico, os autores fizeram uma proposta de melhoria da equação do Método da Curvatura Aproximada. Tendo em vista a forte influência observada do índice de esbeltez λ sobre o comportamento do método, Souza e Silva Junior (2013) sugerem que a fórmula da curvatura seja multiplicada por um fator K, que depende do índice de esbeltez, tornando-se: 1 r = 0,005 K h (ν+0,5)
≤
0,005 K h onde: K = 1,0 quando λ≤ 50; K = 1 1+ 𝜆−50 40quando 50 < λ≤ 90 e h ≤ 30cm ou e
1/h ≥ 0,10.Neto et al. (2013)
O trabalho de Neto et al. (2013) consiste na análise do comportamento de pilares de extremidade de concreto armado, por meio de exemplos de cálculo, variando-se o comprimento do pilar e as cargas sobre ele, com base nas especificações da norma NBR 6118:2007.
Comparando-se o Método do Padrão com Curvatura Aproximada e o Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada por meio de planilhas digitais, os valores obtidos de momento fletor total resistente foram bastante próximos para pilares com 𝓵𝒆 = 5,0 m sob força normal igual a 500 kN. Porém, em pilares mais esbeltos, com λ acima de aproximadamente 60, e com o aumento da força normal aplicada, os resultados obtidos a partir dos dois métodos aproximados são bastante distintos, sendo que o Método da Rigidez Aproximada forneceu valores maiores de momento fletor, sendo, portanto, menos conservador.