um termo coulombiano adicional que represente o potencial da impureza. O Hamilto- niano para um el´etron confinado em uma nanoestrutura, consistente com a aproxima¸c˜ao da massa efetiva e a fun¸c˜ao envelope, na presen¸ca de uma impureza, ´e o Hamiltoniano padr˜ao para um el´etron confinado em um po¸co quˆantico simples mais o termo devido `a intera¸c˜ao coulombiana, ou seja:
H = − ~ 2 2m∗∇ 2 + ∆E (z) − e 2 4πεr, (1.29)
onde e representa a carga do el´etron e r ´e a posi¸c˜ao do el´etron com rela¸c˜ao `a impureza, definida por:
r2 = x2+ y2+ (z − rd)2, (1.30)
onde rd representa a posi¸c˜ao da impureza ao longo da dire¸c˜ao z de crescimento do po¸co
quˆantico. Por conveniˆencia, ´e considerado nesta equa¸c˜ao que a posi¸c˜ao da impureza coincide com a origem do plano xy. Note-se tamb´em que a massa efetiva ´e considerada constante na Eq. 1.21 para simplificar a an´alise do sistema.
M´etodos de solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger tˆem focado basicamente dois tipos de aproxima¸c˜oes. A primeira destas aproxima¸c˜oes baseia-se na expans˜ao da fun¸c˜ao de onda do el´etron como uma combina¸c˜ao linear de fun¸c˜oes Gaussianas [25, 26]. Esta t´ecnica pos- sui uma boa aproxima¸c˜ao para calcular propriedades de impurezas em po¸cos quˆanticos simples. A generaliza¸c˜ao desta t´ecnica para estruturas mais complexas n˜ao ´e, entre- tanto, trivial. A segunda aproxima¸c˜ao baseia-se no princ´ıpio variacional. Neste m´etodo ´e escolhida uma fun¸c˜ao de onda cuja forma funcional possa conter um ou mais parˆametros, que s˜ao obtidos minimizando a energia do n´ıvel eletrˆonico. Embora estes sejam os m´etodos comumente usados na literatura, neste trabalho ser´a aplicado um m´etodo para solucionar a equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo que se baseia em propaga¸c˜ao no tempo imagin´ario.
1.6
Diel´etricos em nanoestruturas
A fabrica¸c˜ao de nanodispositivos requer usualmente a combina¸c˜ao de semicondutores com metais, isolantes e mol´eculas em um pequena regi˜ao do espa¸co. O comportamento destes sistemas depende fortemente de aplica¸c˜ao de campo el´etrico, e muitos problemas interessantes est˜ao relacionados a propriedades diel´etricas dos materiais que o constituem,
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas 24
tais como:
• energia de liga¸c˜ao de um portador com a impureza; • energia de liga¸c˜ao de um exciton;
• efeito de carga imagem sobre n´ıveis de energia dos portadores;
• efeito de carga imagem sobre energia de liga¸c˜ao de excitons e impurezas; • propriedades ´opticas;
• propriedades de transporte.
Desta forma, a simula¸c˜ao de nanoestruturas em escala nanom´etrica torna-se um pro- blema muito importante para desenvolvimento de nanotecnologias.
Desde a fabrica¸c˜ao do primeiro transistor, os diel´etricos vˆem sendo fundamentais na fabrica¸c˜ao e opera¸c˜ao de dispositivos, bem como no uso como isolantes de interconectores. As aplica¸c˜oes mais comuns dos diel´etricos est˜ao relacionadas `as importantes fun¸c˜oes que estes desempenham em circuitos integrados como porta diel´etrica, elemento de mem´oria dinˆamica de acesso randˆomico e isolantes em transistores (ver Fig. 1.4). Com a miniatu- riza¸c˜ao das dimens˜oes dos dispositivos, e o conseq¨uente incremento em seu desempenho, seguido da redu¸c˜ao do consumo de energia e o aumento da demanda da ordem de 15%, a nanotecnologia requer destes diel´etricos incrementos significativos em seus desempenhos nos dispositivos nanoestruturados. Alguns fatores s˜ao levados em conta no processo de sele¸c˜ao do material diel´etrico a ser escolhido [7]:
• estabilidade termodinˆamica sobre Si;
• compatibilidade qu´ımica da porta diel´etrica e da porta de contato;
• influˆencia da estrutura eletrˆonica sobre as correntes de fuga atrav´es da interface semicondutor-diel´etrico e sobre a eficiˆencia do transistor;
• caracter´ısticas das propriedades de transporte; • forma¸c˜ao de defeitos na estrutura;
• compatibilidade qu´ımica no canal do Transistor de Efeito de Campo (FET: Field Effect Transistor ).
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas 25
Para todas as portas diel´etricas finas a interface com o sil´ıcio desempenha um papel importante, sendo, em muitos casos, um fator dominante na determina¸c˜ao das proprieda- des el´etricas. O uso cont´ınuo do amorfo SiO2(di´oxido de sil´ıcio) como porta diel´etrica vem
oferecendo vantagens (nas ´ultimas trˆes d´ecadas) no processo de fabrica¸c˜ao de dispositivos CMOS (Metal Oxide Semiconductor ) devido `as propriedades oferecidas por este diel´etrico (estabilidade termodinˆamica quando em contato com Si, interface Si/SiO2 e isolamento
el´etrico de qualidade). Apesar de todos estes benef´ıcios propiciados pelo diel´etrico SiO2,
o seu uso cont´ınuo come¸cou a ter limita¸c˜oes fundamentais, aproximando-se de um limite te´orico de miniaturiza¸c˜ao. O principal problema concerne na corrente de tunelamento atrav´es do diel´etrico para uma determinada tens˜ao aplicada ao dispositivo. Para um dis- positivo t´ıpico, a corrente de tunelamento aceit´avel atrav´es de um diel´etrico SiO2 com
15 ˚A de espessura, e submetido a uma tens˜ao de 1 V , ´e pr´oxima de 1 A/cm2. Visto que
o mecanismo de transporte dominante atrav´es de um filme de SiO2 com uma espessura
pr´oxima de 30 ˚A ´e o tunelamento direto de el´etrons ou buracos, a corrente de tunelamento cresce exponencialmente com o decr´escimo da espessura do diel´etrico [7]. De um ponto de vista fundamental, foi sugerido que 7 ˚A ´e a espessura f´ısica limite para o SiO2, devido
`a forma¸c˜ao de um ´oxido SiOx de ∼ 3.5 ˚A na regi˜ao interfacial da nanoestrutura Si/SiO2
[27].
O problema exposto sugere que a ind´ustria de dispositivos semicondutores est´a sub- metida a exigˆencias tecnol´ogicas necess´arias para sua permanˆencia no mercado de dispo- sitivos eletrˆonicos. Solu¸c˜oes para este problema tˆem sido amplamente propostas na literatura [7, 27, 28, 29, 30]. Entre outras, surgem, como solu¸c˜oes, substituir a porta diel´etrica por outro material ou executar/realizar mudan¸cas na geometria do dispositivo. Todas essas solu¸c˜oes s˜ao fisicamente vi´aveis, embora a escolha por uma nova solu¸c˜ao venha a ser definida por fatores econˆomicos. Entretanto, cabe ao pesquisador direcionar a escolha por uma alternativa que seja econˆomica e vi´avel, por meio de pesquisas que visam caracterizar novos materiais alternativos. Muitos ´oxidos tˆem sido investigados como po- tenciais candidatos para solu¸c˜ao deste problema. Tais materiais diel´etricos possuem, em geral, constante diel´etrica maior que a constante diel´etrica do SiO2 (εSiO2 = 3.9ε0). Esta
procura por novos materiais gerou, como resultado, o interesse em uma grande quantidade de materiais, dentre os quais destacaram-se aqueles apresentados na Tabela 1.1, alguns dos quais j´a utilizados como porta diel´etrica.
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas 26
Tabela 1.1: Propriedades relevantes dos materiais candidatos. Referˆencia [7] Constante Gap ∆EC (eV )
Material Diel´etrica (ε/ε0) Eg (eV ) com Si
SiO2 3.9 8.9 3.2 Si3N4 7 5.1 2.0 Al2O3 9 8.7 2.8 Y2O3 15 5.6 2.3 T a2O5 26 4.5 1-1.5 T iO2 80 3.5 1.2 Hf O2 25 5.7 1.5 ZrO2 25 7.8 1.4
1.6.1
Potencial eletrost´atico em meio diel´etrico
O uso de materiais diel´etricos em nanoestruturas tem influˆencia direta nas suas pro- priedades eletrˆonicas e ´opticas. Embora estes problemas estejam bem definidos na lite- ratura, c´alculos te´oricos de estruturas reais tˆem sido realizados com algumas aproxima¸c˜oes. No caso de um po¸co quˆantico, alguns trabalhos usam o mesmo valor de massa efetiva e constante diel´etrica para os materiais do po¸co e da barreira, evitando desta forma difi- culdades te´oricas relacionadas a propriedades diel´etricas desta estrutura [31, 32, 33].
Em nanoestruturas formadas por materiais com constantes diel´etricas diferentes, a intera¸c˜ao Coulombiana ´e significativamente alterada [34]. Este efeito ´e causado pela redu¸c˜ao efetiva da constante diel´etrica com a penetra¸c˜ao do campo el´etrico no material de constante diel´etrica menor, sendo denominado de confinamento diel´etrico, em um trabalho proposto por Kumagai e Takagahara [35]. Portanto, se faz necess´ario investigar a intera¸c˜ao Coulombiana de uma carga pontual inserida em um meio diel´etrico. A energia de intera¸c˜ao entre duas cargas q e q′ localizadas, respectivamente, nas posi¸c˜oes r e r′ ´e
igual a
V (r, r′) = qφ(r − r′), (1.31)
onde φ ´e obtido a partir da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson
∇r· (ε(r)ε0∇rφ(r)) = −q′δ (r − r′) . (1.32)
Em um material homogˆeneo, onde a constante diel´etrica n˜ao muda, a energia de intera¸c˜ao ´e igual a
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas 27
Vb(r − r′) =
qq′
4πεbε |r − r′|
. (1.33)
Quando o material ´e n˜ao homogˆeneo, V (r, r′) difere de V
b(r − r′). Logo, a in-
tera¸c˜ao Coulombiana em heteroestruturas formadas com materiais de diferentes constan- tes diel´etricas pode ser fortemente modificada. Outra conseq¨uˆencia importante se deve ao fato de que a energia eletrost´atica da carga pontual depende de sua posi¸c˜ao r. De fato, a carga pontual polariza o meio diel´etrico, induzindo polariza¸c˜ao de cargas nas superf´ıcies e nas interfaces do sistema. Portanto, h´a uma intera¸c˜ao entre a carga pontual e o meio polarizado, a qual depende da posi¸c˜ao da carga pontual com rela¸c˜ao `as superf´ıcies e `as interfaces do sistema. Esta energia de intera¸c˜ao ´e denominada auto-energia Σ(z), por- que o potencial ´e induzido pela presen¸ca da pr´opria carga pontual no meio diel´etrico. A auto-energia Σ(z) devido `a diferen¸ca na constante diel´etrica da heteroestrutura pode ser inclu´ıda no Hamiltoniano Hself
Hi,self = − ~2 2 d dzi 1 m∗ i d dzi + ∆Ei(zi) + Σi(zi), (1.34)
do el´etron (i = e) e do buraco (i = h) confinado em um po¸co quˆantico, atrav´es do m´etodo de carga imagem.
No c´alculo da energia total de excitons, confinados em po¸cos quˆanticos com diferentes constantes diel´etricas, tˆem que ser levadas em considera¸c˜ao, al´em da auto energia do el´etron e do buraco, as seguintes intera¸c˜oes:
1. intera¸c˜ao coulombiana el´etron-buraco;
2. intera¸c˜ao coulombiana do el´etron com as imagens do buraco; 3. intera¸c˜ao coulombiana do buraco com as imagens do el´etron.
A an´alise destas intera¸c˜oes precisa levar em conta as respectivas posi¸c˜oes do el´etron ze e
do buraco zh dentro e fora do po¸co quˆantico10.
10O c´alculo da energia total do exciton levando em considera¸c˜ao estas intera¸c˜oes ser´a bem definido no