Potencial de confinamento V (r) - Resultados num´ericos

3.3 Resultados num´ericos

4.2.1 Potencial de confinamento V (r)

Para uma aproxima¸cão simples, ou seja, sem considerar as corre¸cões devido às cargas imagem e sem impureza, o potencial da Eq. 4.5 é representado apenas pelo potencial das bandas de energia, isto é, V (r) = V (ze) = ∆Ee(ze). Quando uma impureza é introduzida

na banda de condu¸c˜ao de um po¸co quˆantico, o estudo das propriedades da impureza inclui na Eq. 4.2 um termo Coulombiano adicional, que representa o potencial da impureza, e pode ser adicionado ao potencial V (r) na forma

V (r) = V (ρe, ze, zim) = ∆Ee(ze) + Ve−im(ρe, ze, zim), (4.7) onde Ve−im(ρe, ze, zim) = − e2 4πεwε0 q ρ2 e+ (ze− zim)2 , (4.8)

é o potencial da impureza em po¸cos quânticos sem efeito de cargas imagem, similar à aproxima¸cão AP0 do Cap´ıtulo 3. A localiza¸cão da impureza é considerada na origem do plano xy e denotada por (0, 0, zim), com ρ2e = x2e+ ye2.

O potencial V (r) que usamos, inclui n˜ao s´o o potencial de confinamento ∆Ee(ze) e o

termo Coulombiano adicional Ve−im(ρe, ze, zim), mas tamb´em o efeito de polariza¸c˜ao do

sistema devido `a diferen¸ca das constantes diel´etricas εGaN e εHf O2 do po¸co GaN/Hf O2.

Assim como desenvolvido nos Cap´ıtulos 2 e 3, este efeito de polariza¸cão é calculado através do método de cargas imagem, cujos efeitos sobre as propriedades da impureza são divididos nesse trabalho em duas categorias:

1. efeito do potencial de auto-energia Σi(zi) sobre a energia do el´etron Ene;

2. efeito da intera¸cão Coulombiana entre elétron e as cargas imagem da impureza, o qual é inclu´ıdo no potencial Ve−im(ρe, ze, zim) da Eq. 4.7.

Assim, o potencial V (r) da Eq. 4.7 fica

V (r) = V (ρe, ze, zim) = ∆Ee(ze) + Σe(ze) + Ve−im(ρe, ze, zim), (4.9)

onde as equa¸cões que representam a contribui¸cão do potencial Σi(zi) estão expl´ıcitas no

4.2 Modelo Te´orico 82

tribui¸c˜ao do potencial Ve−im(ρe, ze, zim) s˜ao obtidas de forma similar ao desenvolvimento

das Eqs. 3.29 a 3.37.

Vamos ponderar sobre o caso do po¸co abrupto de largura L, mostrado na Fig. 3.4, e denotar as regi˜oes I, II e III, desta figura, por C, L e R, respectivamente, em um esquema similar ao mostrado na Fig. 3.5. Considerando que VAB

e−im(ρe, ze, zim) representa

a intera¸cão Coulombiana entre o elétron na região A e a impureza fixa em um ponto zim

na regi˜ao B, temos VCC e−im(ρe, ze, zim) = − ∞ X n=−∞ λne2 4πεwε0 p ρ2 e+ [ze− (−1)nzim− nL]2 , (4.10) VLC e−im(ρe, ze, zim) = − µ 2εw εw+ εb ¶ ∞ X n=0 λne2 4πεwε0 p ρ2 e+ [ze− (−1)nzim− nL]2 , (4.11) VRC e−im(ρe, ze, zim) = − µ 2εw εw+ εb ¶ ∞ X n=0 λne2 4πεwε0 p ρ2 e+ [ze− (−1)nzim+ nL]2 , (4.12) VLR e−im(ρe, ze, zim) = − µ 2εw εw+ εb ¶2 ∞ X n=0 λ2ne2 4πεwε0 p ρ2 e+ [ze− zim− 2nL]2 , (4.13) VRR e−im(ρe, ze, zim) = − µ 2εw εw+ εb ¶2 ∞ X n=0 λ2n+1e2 4πεwε0 p ρ2 e+ [ze+ zim+ (2n + 1)L]2 − e 2 4πεbε0 p ρ2 e+ (ze− zim)2 + λ1e 2 4πεbε0 p ρ2 e+ (ze+ zim− L)2 , (4.14) VLL e−im(ρe, ze, zim) = − µ 2εw εw+ εb ¶2 ∞ X n=0 λ2n+1e2 4πεwε0 p ρ2_{+ [−z} e− zim+ (2n + 1)L]2 − e 2 4πεbε0 p ρ2 e+ (−ze+ zim)2 + λ1e 2 4πεbε0 p ρ2 e+ (−ze− zim− L)2 = VRR e−im(ρe, ze, zim), (4.15) VCL e−im(ρe, ze, zim) = − µ 2εw εw+ εb ¶ ∞ X n=0 λne2 4πεwε0 p ρ2 e+ [ze− (−1)nzim− nL]2

4.2 Modelo Te´orico 83

Figura 4.1: (a) Perfil do potencial devido `as bandas de energia ∆Ee(z) ao longo do eixo z. (b) Perfil do potencial de auto-energia Σe(z) ao longo do eixo z. (c) Perfil do potencial da impureza, com efeito da carga imagem, ao longo do eixo z. (d) Perfil do potencial total de confinamento ao longo do eixo z. = VLC e−h(ρe, ze, zim), (4.16) V_e−imCR (ρe, ze, zim) = − µ 2εw εw+ εb ¶ ∞ X n=0 λne2 4πεwε0 p ρ2 e+ [ze− (−1)nzim+ nL]2 = VRC e−im(ρe, ze, zim), (4.17) VRL e−im(ρe, ze, zim) = − µ 2εw εw+ εb ¶2 ∞ X n=0 λ2ne2 4πεwε0 p ρ2 e+ [ze− zim− 2nL]2 = VLR e−im(re, rh), (4.18)

onde ε0 é a permissividade elétrica do vácuo, ρ2 = x2e+ ye2, e

λn=

µ εw− εb

εw+ εb

¶|n|

. (4.19)

4.2 Modelo Te´orico 84

Figura 4.2: Esquerda: Potencial da impureza Ve−im(ρe, ze, zim), com efeito da carga imagem. Direita: Potencial total de confinamento. Impureza localizada na posi¸c˜ao (0,0,0).

rela¸c˜ao ao plano z = 0.

A Fig. 4.1 ilustra os perfis das contribui¸c˜oes do potencial da Eq. 4.9, ao longo do eixo z do po¸co quˆantico GaN/Hf O2 abrupto, com largura igual a L = 50 nm e impureza

localizada no centro do po¸co (zim = 0). Em (a) o po¸co abrupto representa o potencial

devido às bandas de condu¸cão do semicondutor GaN e do óxido Hf O2 (∆Ee(ze)). O

valor do potencial ∆Ee (= 900 meV) foi estimado a partir de um modelo simples de

afinidade eletrˆonica. Em (b) o potencial imagem de auto-energia Σe(ze) mostra que

o potencial na região do po¸co é atrativo (devido à εw < εb), produzindo cúspides de

pequenas intensidades próximo às interfaces do potencial total, conforme observado em (d). A Fig. 4.2 ilustra o potencial da impureza (Eqs. 4.10 a 4.18) e o potencial total (Eq. 4.9), plotadas em três dimensões.

A energia de liga¸cão elétron-impureza é calculada com as contribui¸cões das cargas imagem apropriadamente consideradas, através da diferen¸ca

En b = En(Ve RL e−im(ρe,ze,zim)6=0)− E e n(VRL e−im(ρe,ze,zim)=0), (4.20)

ou seja, a energia de liga¸cão do elétron com a impureza é exatamente a diferen¸ca entre a energia do elétron confinado no po¸co com impureza e a energia do elétron confinado no po¸co sem a impureza.

4.3 Resultados num´ericos 85

Figura 4.3: Energia de liga¸cão elétron-impureza, calculada por Cen e Bajaj (Ref. [44]), representada pela linha sólida. Os s´ımbolos (×), (△) e (•) representam a energia de liga¸cão do estado fundamental, primeiro e segundo estados excitados, respectivamente.

4.3 Resultados num´ericos

Neste Cap´ıtulo, estudamos estados de impureza em po¸cos quˆanticos GaN/Hf O2 ab-

ruptos, considerando apenas dois regimes de confinamento com rela¸cão à largura do po¸co, ou seja, foram calculadas as energias do elétron e a energia de liga¸cão para o estado fundamental, primeiro e segundo estado excitado, em po¸cos com L = 5 nm e L = 10 nm. As fun¸cões de onda do elétron para estes estados são mostradas no plano yz, sendo o eixo z a dire¸cão de confinamento. As energias do elétron, assim como as energias de liga¸cão, são plotadas em fun¸cão da posi¸cão da impureza zim, que varia de zero a 10 nm, entre a

região central do po¸co e a barreira. Conforme mostra a Fig. 4.1, o po¸co tem simetria a partir da origem, em z = 0, e a referência do potencial V (z) da Eq. 4.9, é tomada com rela¸cão ao n´ıvel zero do potencial ∆Ee(ze) ilustrado na Fig 4.1(a).

Para efeito de compara¸cão, a Fig. 4.3 ilustra o módulo da energia de liga¸cão Eb

calculada por Cen e Bajaj [43], representada pela linha sólida. Os s´ımbolos (×), (△) e (•) representam a energia de liga¸cão do estado fundamental, primeiro e segundo estados excitados, respectivamente, calculadas neste trabalho através da solu¸cão numérica da equa¸cão de Schrödinger dependente do tempo, e incluindo os efeitos de cargas imagem representados pelo potencial Σe(ze) e pelas Eqs. 4.10 a 4.18. Embora o primeiro (△) e o

segundo (•) estado excitado estejam plotados na Fig. 4.4, os mesmos não foram calculados por Cen e Bajaj. Os parâmetros dos semicondutores GaAs e ZnSe usados para calcular as energias de liga¸cão foram os mesmos parâmetros usados por Cen e Bajaj [43].

4.3 Resultados num´ericos 86

Figura 4.4: Proje¸cão nos eixos y e z da fun¸cão de onda do elétron para (a) estado fundamental, (b) primeiro e (c) segundo estado excitado. Em (d) é plotado a proje¸cão do potencial de confinamento ao longo do eixo z. A impureza está localizada no centro do po¸co GaN/Hf O2 de largura L = 5 nm. A linha horizontal em (d) representa o estado fundamental do elétron.

Figura 4.5: Proje¸cão nos eixos y e z da fun¸cão de onda do elétron para (a) estado fundamental, (b) primeiro e (c) segundo estado excitado. Em (d) é plotado a proje¸cão do potencial de confinamento ao longo do eixo z. A impureza está localizada próximo à interface direita do po¸co GaN/Hf O2, de largura L = 5 nm, na posi¸cão zim= 2 nm. A linha horizontal em (d) representa o estado fundamental do elétron.

4.3 Resultados num´ericos 87

Figura 4.6: Proje¸cão nos eixos y e z da fun¸cão de onda do elétron para (a) estado fundamental, (b) primeiro e (c) segundo estado excitado. Em (d) é plotado a proje¸cão do potencial de confinamento ao longo do eixo z. A impureza está localizada na barreira do po¸co GaN/Hf O2, de largura L = 5 nm, na posi¸cão zim= 10 nm. A linha horizontal em (d) representa o estado fundamental do elétron.

As Figs. 4.4, 4.5 e 4.6 ilustram a proje¸cão nos eixos y e z da fun¸cão de onda do elétron, para (a) estado fundamental, (b) primeiro e (c) segundo estado excitado, sendo o eixo z a dire¸cão do confinamento. Em (d) é plotado o perfil do potencial V (z) ao longo do eixo z. As energias do elétron, correspondentes a cada estado, também são mostradas. Os po¸cos GaN/Hf O2 abruptos mostrados nesta figuras têm largura L = 5 nm.

Na Fig. 4.4, a impureza localiza-se no centro do po¸co (zim = 0). Neste caso, o estado

fundamental do elétron está 8.71 meV acima do n´ıvel de referência da energia potencial, em ∆Ee(ze) = 0, e a fun¸cão de onda tem intensidade maior no centro do po¸co, devido ao

efeito das barreiras de potencial. Al´em disso, a massa efetiva do el´etron m∗

en˜ao ´e grande o

suficiente para ocorrer confinamento interfacial, como foi observado para o buraco pesado no Cap´ıtulo 2.

Na Fig. 4.5, a impureza localiza-se pr´oximo `a interface, em zim = 2 nm. Neste caso,

o estado fundamental do elétron está 25.40 meV acima do n´ıvel de referência do potencial ∆Ee(ze), ou seja, 16.96 meV acima do estado fundamental de energia quando zim = 0 nm.

Conseqüentemente, a fun¸cão de onda do estado fundamental mostra-se mais espalhada com rela¸cão ao caso em que a impureza localiza-se no centro do po¸co da estrutura. Este efeito ocorre porque a impureza, localizada em zim = 2 nm, atrai a fun¸cão de onda do

estado fundamental e primeiro estado excitado, no sentido positivo do eixo z, conforme mostra a Fig. 4.5(a)(b).

4.3 Resultados num´ericos 88

Figura 4.7: Esquerda: energia do elétron para (preto) estado fundamental, (vermelho) primeiro e (azul) segundo estado excitado, em fun¸cão da posi¸cão da impureza (zim). Direita: energia de liga¸cão para, (preto) estado fundamental, (vermelho) primeiro e (azul) segundo estado excitado, em fun¸cão da posi¸cão da impureza (zim). Em (a)-(c) o po¸co GaN/Hf O2 tem largura L = 5 nm, em (b)-(d) o po¸co tem largura L = 10 nm.

Na Fig. 4.6, a impureza localiza-se na regi˜ao da barreira, em zim = 10 nm. Neste caso,

o estado fundamental do elétron está 34.94 meV acima do n´ıvel de referência do potencial ∆Ee(ze), ou seja, 26.23 meV acima do estado fundamental de energia quando zim = 0

nm. A fun¸cão de onda do estado fundamental mostra-se mais confinada com rela¸cão ao caso em que a impureza localiza-se no centro do po¸co da estrutura. Este efeito ocorre porque a impureza, localizada em zim = 10 nm, tem pequena influência sobre a fun¸cão

de onda do estado fundamental, primeiro e segundo estado excitado, conforme mostra a Fig. 4.6(a)-(c), respectivamente.

A Fig. 4.7 mostra a dependência da energia do elétron e da energia de liga¸cão com a posi¸cão da impureza, para dois valores da largura de po¸co: L = 5 nm e L = 10 nm. Este gráfico mostra que a energia do estado fundamental cresce assintoticamente até atingir valores com varia¸cões menos acentuadas, a partir de zim ≈ 2 nm e zim ≈ 5 nm, para

po¸cos com larguras L = 5 nm, Fig. 4.7(a) e L = 10 nm, Fig. 4.7(b), respectivamente. Para zim> 2 nm (> 5 nm), em po¸cos com L = 5 nm (L = 10 nm), a energia do el´etron

praticamente não varia com a posi¸cão da impureza, o que indica que o efeito do potencial da impureza é pequeno, quando a impureza localiza-se na região da barreira.

O módulo da energia de liga¸cão (Eq. 4.19) é mostrado nas Figs. 4.7(c) e 4.7(d), para po¸cos com L = 5 nm e L = 10 nm, respectivamente. São plotadas as energias para o estado fundamental (preto), primeiro (vermelho) e segundo (azul) estado excitado. Qualitativamente, em ambos os casos (L = 5 nm e L = 10 nm), a energia de liga¸cão

4.3 Resultados num´ericos 89

Figura 4.8: Centro de massa do elétron em fun¸cão da posi¸cão da impureza (zim). Em (a) o po¸co GaN/Hf O2 tem largura L = 5 nm e em (b) o po¸co tem largura L = 10 nm. O estado fundamental, primeiro e segundo estado excitado são representados pelas cores preta, vermelha e azul, respectivamente.

decresce rapidamente com a posi¸cão da impureza, até uma posi¸cão próxima à interface do po¸co. Quando a impureza localiza-se na região da barreira, a energia de liga¸cão é pequena, embora não nula (∼ 5 meV), para os valores de zim investigados neste trabalho.

A posi¸cão do centro de massa do elétron, em fun¸cão da posi¸cão da impureza, é mos- trada na Fig. 4.8, para po¸cos com (a) L = 5 nm e (b) L = 10 nm. Para po¸cos com L = 5 nm (L = 10 nm), o centro de massa do elétron, estado fundamental (preto), tem deslocamento máximo de aproximadamente 0.12 nm (1.0 nm) quando a impureza localiza- se em zim ≃ 1 nm (3 nm). Deslocando a impureza para a região da barreira, o centro

de massa tende a retornar para o centro do po¸co. O centro de massa do elétron, para (vermelho) primeiro e (azul) segundo estado excitado não sofre influências significativas com o deslocamento da posi¸cão da impureza, em compara¸cão com o estado fundamental. Em conclusão, estudamos estados de impureza em po¸cos quânticos GaN/Hf O2, com

efeito de cargas imagem para dois regimes de confinamento, (i) po¸co com largura igual a 5 nm e (ii) po¸co com largura igual a 10 nm. As energias do elétron, assim como as energias de liga¸cão, são plotadas em fun¸cão da posi¸cão da impureza zim, que varia de

zero a 10 nm, entre a região central do po¸co e a barreira. Os resultados mostram que, considerando os parâmetros dos materiais usados neste trabalho, à medida que a posi¸cão da impureza afasta-se do centro do po¸co, no sentido positivo do eixo z, a fun¸cão de onda do elétron é atra´ıda no mesmo sentido de deslocamento da impureza. A intensidade da atra¸cão diminui quando a posi¸cão da impureza afasta-se da interface, no sentido positivo de z, dentro da região da barreira quântica. Conseqüentemente, a energia do elétron sofre

4.3 Resultados num´ericos 90

varia¸c˜oes insignificantes, entre os intervalos de deslocamento zim, afastando do centro

do po¸co dentro da barreira, assim como a energia de liga¸c˜ao que tende a valores de baixa intensidade (quando comparada com as varia¸c˜oes que as energias sofrem quando a impureza desloca-se dentro do po¸co).

Conclus˜oes Gerais e Perspectivas

Um ramo de pesquisa que tem sido amplamente estudado refere-se à busca por novos materiais óxidos com altas constantes dielétricas, para aplica¸cão em dispositivos semicondutores. Embora o SiO2 apresente boas caracter´ısticas f´ısicas [84], o seu uso cont´ınuo

nos dispositivos semicondutores apresentou limita¸cões fundamentais, como, por exemplo, a elevada corrente de tunelamento que aparece quando se usa este óxido com espessura abaixo de 1.0 nm [7]. O problema sugere que a indústria de dispositivos semicondutores está submetida a exigências tecnológicas necessárias para sua permanência no mercado de dispositivos eletrônicos. O uso de novos materiais dielétricos, que surgiram como pro- postas para solu¸cão deste problema dos nanodispositivos, tem influência direta nas suas propriedades eletrônicas e ópticas. Embora estes problemas estejam bem definidos na literatura, cálculos teóricos de estruturas reais têm sido realizados com algumas aproxima¸cões.

Em nosso trabalho realizamos um estudo de confinamento de portadores em sistemas quˆanticos do tipo po¸cos quˆanticos GaN/Hf O2 e Si/High − k, e demonstramos

que efeitos de cargas imagem modificam fortemente a estrutura eletrônica destes po¸cos quânticos. Propriedades ópticas e eletrônicas destes sistemas foram observadas levando em considera¸cão dois regimes de confinamento: po¸cos largos e estreitos. Estudamos também energia de liga¸cão e energia total de excitons, em po¸cos quânticos abruptos importantes para a indústria de dispositivos eletrônicos e opto-eletrônicos, e estudamos estados de impureza em po¸cos GaN/Hf O2. Em todos os casos estudados, foram consideradas apro-

priadamente todas as contribui¸cões de energia devido a intera¸cões com cargas imagem. O estudo das propriedades eletrônicas e da eficiência das transi¸cões ópticas de po¸cos quânticos dielétricos e po¸cos quânticos baseados em novos materiais de grande importância para aplica¸cão tecnológica, mostrou que po¸cos quânticos com εw < εb podem apresentar

comportamentos diferentes para dois regimes de confinamento distintos, o primeiro em po¸cos estreitos e o segundo em po¸cos largos. Além disso, a eficiência das transi¸cões eletrônicas depende fortemente da combina¸cão dos seguintes parâmetros: massa efetiva mi(zi), profundidade do potencial ∆Ei(zi) e, principalmente, do efeito do potencial de

auto-energia Σi(zi), o qual pode ser estimado pelo fator λ (quando |λ| → 1 o efeito do

Conclus˜oes Gerais e Perspectivas 92

ao confinamento nas regiões interfaciais, afetando desta forma a eficiência das transi¸cões eletrônicas.

O estudo das contribui¸cões das cargas imagem sobre as energias de recombina¸cão, de liga¸cão e energia total de exciton (e − lh e e − hh), em po¸cos quânticos abruptos, estreitos (L = 5 nm) e largos (L = 20 nm), mostrou que modelos simples (AP0) para cálculos de excitons, que desconsideram contribui¸cões nas energias do sistema devido a cargas imagem, podem ser quantitativamente similares a modelos mais precisos (AP2), porque o potencial de auto-energia minimiza a contribui¸cão da correla¸cão em z dos portadores, juntamente com as intera¸cões Coulombianas entre portadores e cargas imagem. Mas isto ocorre apenas para sistemas com εw > εb. Como os po¸cos quânticos mais abordados

na literatura são do tipo po¸cos quânticos dielétricos (estruturas Si/SiO2 e estruturas

constitu´ıdas de semicondutores do grupo III-V e semicondutores do grupo II-VI), com εw > εb, os efeitos ocasionados por cargas imagem n˜ao vˆem sendo comumente abordados.

Entretanto, com o recente interesse em combinar os tradicionais semicondutores com os high − k diel´etricos, tais como heteroestruturas do tipo Si/HfO2(ZrO2), Si/SrT iO3,

Si/Hf SiO4, GaN/Hf O2, entre outros, o estudo das contribui¸c˜oes nas energias destes

sistemas, devido a cargas imagem, torna-se indispens´avel.

O estudo dos estados de impureza em po¸cos quˆanticos GaN/Hf O2, com efeito de

cargas imagem, mostrou que, à medida que a posi¸cão da impureza afasta-se do centro do po¸co, no sentido positivo do eixo z, a fun¸cão de onda do elétron é atra´ıda no mesmo sentido de deslocamento da impureza. A intensidade da atra¸cão diminui quando a posi¸cão da impureza afasta-se da interface, no sentido positivo de z, dentro da região da barreira quântica. Conseqüentemente, a energia do elétron sofre varia¸cões insignificantes, entre os intervalos de deslocamento zim, afastando do centro do po¸co dentro da barreira, assim

como a energia de liga¸c˜ao que tende a valores de baixa intensidade (quando comparada com as varia¸c˜oes que as energias sofrem quando a impureza desloca-se dentro do po¸co).

Os resultados obtidos neste trabalho acrescentam algumas perspectivas a mais para o desenvolvimento de novas pesquisas:

1. estudos de estruturas semicondutoras de baixa dimensionalidade, como fios quânticos, têm atra´ıdo muita aten¸cão nos últimos anos [85], não apenas pelas propriedades eletrônicas e ópticas, mas também devido a importantes aplica¸cões em dispositivos eletrônicos e ópticos. Em fios quânticos, portadores e excitons possuem apenas um grau de liberdade, estando confinados em duas dire¸cões. Isto resulta em caracter´ısticas proeminentes do exciton tais como a elevada energia de liga¸cão e for¸ca de oscilador: a restri¸cão no movimento dos portadores, reduz a distância

Conclus˜oes Gerais e Perspectivas 93

entre o elétron e o buraco, aumentando a intera¸cão Coulombiana entre eles. Com isto, o estudo de confinamento dielétrico [86] em fios quânticos é um tema de grande importância para o entendimento de dispositivos eletrônicos e ópticos baseados em fios quânticos, e acrescenta perspectivas para realiza¸cão de pesquisas relacionadas com cargas imagem em fios quânticos;

2. a f´ısica de pontos quânticos semicondutores é uma das áreas de pesquisa mais in- tensificadas no estudo de heteroestruturas semicondutoras de baixa dimensionalidade [87, 88]. Nestes pontos quânticos, também chamados de átomos artificiais, elétrons e buracos estão confinados em três dire¸cões espaciais, possuindo zero grau de liberdade, dando a ascensão para estados permitidos do sistema quântico. Esta caracter´ıstica faz com que os pontos quânticos sejam qualitativamente diferentes de po¸cos e fios quânticos, o que também acrescenta perspectivas para realiza¸cão de pesquisas relacionadas com cargas imagem nestes sistemas 0D;

3. consideráveis aten¸cões têm sido dadas a heteroestruturas semicondutoras relacionadas a transporte de elétrons [89] na banda de condu¸cão. O estudo de tunelamento de elétrons através de um gate óxido permite o entendimento do funcionamento de dispositivos semicondutores como memórias e capacitores. Portanto, modelos para simula¸cão de dispositivos de tunelamento tornam-se um tema importante para estudo, que pode ser realizado através de modelos de barreiras quânticas, e isto acrescenta perspectivas para realiza¸cão de pesquisas relacionadas com barreiras de tunelamento (simples e dupla) com efeito de potencial imagem de auto-energia.

AP ˆENDICE A

Solu¸cão da Equa¸cão de Schrödinger Dependente do

Tempo

O método de propaga¸cão no tempo imaginário, proposto nas Refs. [77, 78, 79, 80] propõe resolver a equa¸cão de Schrödinger dependente do tempo (Eq. 4.5), e encontrar uma solu¸cão para a fun¸cão de onda

Ψ(r, t + ∆t) = exp · −i∆t_~ µ 1₂P 1 m(r)P + V (r) ¶¸ Ψ(r, t), (A.1)

em um tempo posterior a t (o tempo funciona como um parâmetro de itera¸cão desta equa¸cão).

A Eq. A.1 é do tipo exp(A+B), onde A e B são os operadores cinético e potencial,

No documento Confinamento Dielétrico sus Quântico em (páginas 98-138)