Confinamento Dielétrico sus Quântico em

(1)

Universidade Federal do Cear´a Centro de Ciˆencias

Departamento de F´ısica

Curso de Pós-Graduação em F´ısica

Confinamento Diel´

etrico versus Quˆ

antico

em Nanoestruturas

Teldo Anderson da Silva Pereira

Tese de Doutorado

Orientador:

Prof. Dr. Gil de Aquino Farias

Fortaleza

(2)

Universidade Federal do Cear´a Centro de Ciˆencias

Departamento de F´ısica

Curso de Pós-Graduação em F´ısica

Teldo Anderson da Silva Pereira

Confinamento Diel´

etrico versus Quˆ

antico

em Nanoestruturas

Tese apresentada ao Curso de

Pós-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Federal do Ceará como parte dos requisitos para a obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em F´ısica.

Orientador:

Prof. Dr. Gil de Aquino Farias

Fortaleza

(3)

(4)

`

A minha fam´ılia:

(5)

Agradecimentos

Ninguém consegue muita coisa sem a contribui¸cão dos outros, e a cria¸cão desta tese não foi uma exce¸cão. Fui aben¸coado com o incentivo e a ajuda de muitas pessoas maravilhosas e talentosas, desde o momento em que decidi trilhar o caminho dos estudos, passando por

vários processos de forma¸cão, que nunca poderei agradecer a todos. Mas gostaria de agradecer a algumas pessoas a quem devo muito, e antes de tudo agrade¸co a Deus pela ben¸cão de tê-las em meu caminho.

Esta tese nunca poderia ser escrita sem a orienta¸c˜ao do professor Dr. Gil de Aquino

Farias, a quem sou muito grato pela paciência, e pela valiosa amizade e confian¸ca. Agrade¸co ao professor José Alexander de King Freire, pela co-orienta¸cão no trabalho e pela amizade dedicada ao longo destes anos.

Sou grato tamb´em ao professor Valder Nogueira Freire, pelas constantes discuss˜oes e

cr´ıticas construtivas do trabalho e pela confian¸ca.

Agrade¸co ao professor Jeanlex Soares de Sousa, pela contribui¸c˜ao no trabalho, e prin-cipalmente pelo conv´ıvio e amizade ao longo destes anos.

Ao professor José Soares Andrade Jr., coordenador da pós gradua¸cão do Departamento

de F´ısica.

Ao professor Josué Mendes Filho, pela admira¸cão e o exemplo de dedica¸cão ao meio acadêmico.

Ao professor e amigo Alberto Sebastião de Arruda, pela forma¸cão na gradua¸cão e

principalmente pela confian¸ca e amizade adquiridas ao longo dos anos.

As secret´arias Rejane e Ana Cleide por serem sempre prestativas e amigas.

Agrade¸co em especial aos amigos que aqui em Fortaleza me ajudaram a conter a saudade que sinto de minha cidade natal.

Aos amigos do grupo, Ewerton Wagner, Ricardo Pires, Francisco Franciné, Marilza Gusmão, Marcelo Zimmer, Erlania, Luciana Magalhães, Erivelton Fa¸canha, Andrei, pelos cinco anos e meio de boa convivência, respeito e principalmente pelos bons momentos compartilhados no meio acadêmico.

(6)

Aparecida, Tamara, Milene, Juliana e C´ıntia; aos amigos de São Luis: Rivelino Cunha e fam´ılia, Lucilene Pereira; aos amigos de Teresina: Tayroni Francisco e Sandra Alves; aos amigos do Pará: Roberval e Fabricio Potiguar; à amiga paraibana Joelma; ao amigo

sergipano Cristiano; e `as paulistas Daniela Maionchi e Sofia Helena.

Meu agradecimento mais que especial vai para minha fam´ılia e minha doce Rosinha, por tudo que sou nesta vida.

Ao CNPq pelo apoio financeiro.

E finalmente a Deus por me fazer perseverar em todos os desafios, por ter me dado a certeza de que Nele posso todas as coisas, mesmo sendo pequeno diante das dificuldades e dos inimigos. Eu e Deus no cora¸cão, somos a maioria absoluta. Agrade¸co por ter dado propósito à minha existência, por tudo o que tenho e tudo o que sou, por saciar a minha

(7)

Resumo

Esse trabalho tem por objetivo estudar sistemas quˆanticos de baixa dimensionali-dade do tipo po¸cos quˆanticos GaN/Hf O2 e Si/High− k. Investigamos propriedades

eletrônicas, ópticas e estados de impurezas em po¸cos quânticos GaN/Hf O2, levando em

considera¸cão efeito de cargas imagem devido à descontinuidade das constantes dielétricas dos materiais do po¸co (εw) e da barreira (εb) destas estruturas. Primeiramente estudamos

os efeitos do potencial imagem de auto-energia sobre as propriedades ópticas e eletrônicas de po¸cos quânticos abruptos e não abruptos. Nossos resultados mostram que o efeito do

potencial imagem de auto-energia modifica fortemente as estruturas eletrônicas de po¸cos quânticos, podendo variar a energia de recombina¸cão dos portadores em até 100 meV. Além disso, o modelo ideal (En ∼ n2/L2) de po¸cos quânticos não é válido para algumas

estruturas comεw < εb, devido ao confinamento de portadores na regi˜ao da interface. A

energia de liga¸cão e a energia total do exciton são estudadas em po¸cos quânticos abruptos com εw < εb e εw > εb, dando ênfase a efeitos causados por cargas imagem: potencial

de auto-energia e intera¸cão do elétron (buraco) com as imagens do buraco (elétron). Os resultados mostram que, considerando os parâmetros dos materiais usados neste trabalho,

modelos simples (que não consideram efeito de cargas imagem) para cálculos de excitons são inadequados para estudar sistemas com εw < εb, visto que modelos mais precisos

(que incluem todas as contribui¸c˜oes devido `as cargas imagem) apresentam resultados com diferen¸cas significativas, em torno de _∼ 80 meV, entre modelos simples e modelos mais

precisos. Finalmente, estudamos a intera¸cão entre elétron-impureza em po¸cos quânticos GaN/Hf O2 abruptos. Os cálculos consideram simultaneamente todas as contribui¸cões

de energias causadas pela diferen¸ca entre as constantes diel´etricas de GaN (εGaN =9.5)

e Hf O2 (εHf O2 =25). Os resultados mostram que, considerando os parˆametros dos

ma-teriais usados neste trabalho, à medida que a posi¸cão da impureza afasta-se do centro do po¸co, no sentido positivo do eixo z, a fun¸cão de onda do elétron é atra´ıda no mesmo sentido de deslocamento da impureza. A intensidade da atra¸cão diminui quando a posi¸cão da impureza afasta-se da interface, no sentido positivo dez, dentro da região da barreira

(8)

Abstract

We study in this work the low dimensional quantum well systems (QW) ofGaN/Hf O2 and Si/High−k. In GaN/Hf O2 QW, we analyze not only the electronic and optic properties but also impurity states of this system. Moreover, we consider the image charge effects. This is due to discontinuity of materials dielectric constant of well (εw) and barriers (εb) of this structures. At first, we analyze the image potential effects of self-energy in electronic and optic proprieties of abrupt and non-abrupt QWs. We observed that the electronic structure of QW is strongly modified by the image potential effect of self-energy. It is found that the recombination energy of carriers can change up to 100 meV. Moreover, we observed that the ideal model (En ∼ n2/L2) of QWs is not

valid for some structures with εw < εb due to confinement of carries in the interface. Second, exciton binding and exciton total energy in εw < εb and εw > εb abrupt QWs are studied giving more importance on effect caused by image charges, for example, self energy potential and interactions among electron (hole) and the image charges of hole (electron). Considering the materials and parameters used in this work, we observed that simple models used to evaluate exciton, which do not consider image charge effects, are not appropriated to study systems withεw < εb since appropriated models, which consider all image charge effects, present results with significative changes, around 80 meV, with regard to the simplest models. Finally, impurity states are studied in abruptGaN/Hf O2 QWs. We considered all the energy contributions caused by the change between the dielectric constant of GaN (εGaN =9.5) and Hf O2 (εHf O2 =25) simultaneously. The

(9)

Os que confiam no Senhor serão como o monte de Sião, que não se abala, mas permanece para sempre.

(10)

Sum´

ario

Lista de Figuras iv

Lista de Tabelas 1

1 Introdu¸c˜ao 2

1.1 Dispositivos semicondutores: uma vis˜ao no contexto hist´orico . . . 2

1.2 Nanotecnologia . . . 5

1.2.1 Importˆancias e aplica¸c˜oes . . . 7

1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas . . . 8

1.3.1 Bandas de energia . . . 9

1.3.2 Teoria da massa efetiva . . . 11

1.3.3 Confinamento de portadores . . . 12

1.4 Excitons em nanoestruturas . . . 18

1.5 Impurezas em nanoestruturas . . . 20

1.6 Diel´etricos em nanoestruturas . . . 23

1.6.1 Potencial eletrost´atico em meio diel´etrico . . . 26

1.7 Escopo da tese . . . 28

2 Propriedades eletrônicas e ópticas de po¸cos quânticos GaN/Hf O2 e Si/High−k 30 2.1 Introdu¸cão . . . 31

2.2 Modelo Te´orico . . . 32

2.2.1 Po¸cos abruptos . . . 36

2.2.2 Po¸cos n˜ao abruptos . . . 36

2.2.3 Adi¸c˜ao de campo el´etrico . . . 38

2.3 Po¸cos quˆanticos GaN/Hf O2 . . . 39

2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High₋k . . . 45

3 Excitons: Confinamento Dielétrico versus Quântico 55 3.1 Introdu¸cão . . . 56

(11)

3.2.1 Potencial Imagem e Energia de Liga¸c˜ao do Exciton . . . 61

3.2.2 M´etodo do Potencial Efetivo . . . 68

3.3 Resultados num´ericos . . . 70

4 Intera¸cão Elétron-impureza em po¸cos quânticos GaN/Hf O2 77 4.1 Introdu¸cão . . . 78

4.2 Modelo Te´orico . . . 79

4.2.1 Potencial de confinamento V(r) . . . 81

4.3 Resultados num´ericos . . . 85

Conclusões Gerais e Perspectivas 91 Apêndice A 94 Solu¸cão da Equa¸cão de Schrödinger Dependente do Tempo . . . 94

Apˆendice B 100 Artigos publicados . . . 100

Trabalhos apresentados em Congressos Internacionais . . . 100

Trabalhos apresentados em Congressos Nacionais . . . 101

(12)

Lista de Figuras

1.1 Fotografia do primeiro transistor bipolar de contato criado em dezembro de 1947,

por pesquisadores da Bell Labs. Foto retirada da Referˆencia [9].. . . 3 1.2 Fotografia do primeiro circuito integrado desenvolvido por J. Kilby, em 1958.

Foto retirada do site: http://www.uib.es/c-calculo/scimgs/fc/tc1/historia.html

(último acesso em junho de 2006). . . 3 1.3 Representa¸cão gráfica da lei de Moore para dupli¸cão de transistor em um circuito

integrado a cada dois anos. Foto retirada do site: http://www.physics.udel.edu

(último acesso em junho de 2006). . . 4 1.4 Estrutura simples de um dispositivo eletrônico. Os três terminais são

normal-mente indicados como G, S e D, seguindo a terminologia anglo-sax˜a de gate

(porta), source (fonte) e drain (dreno), respectivamente.. . . 5 1.5 (Esquerda) dimensões representativas de algumas espécies t´ıpicas, em suas várias

escalas. (Direita) regi˜ao de dom´ınio da nanotecnologia, comparada com uma

faixa que compreende desde macroestruturas até dimensões subatômicas (escala

logar´ıtmica). Figuras retiradas das Referˆencias [8 e 9] . . . 7 1.6 Fotos de alguns dispositivos constitu´ıdos de nanoestruturas semicondutoras e

aplica¸c˜oes. Retirada do site http://www.intel.com (´ultimo acesso em junho de

2006).. . . 8 1.7 (a) Forma¸cão de bandas de n´ıveis de energia devido à aproxima¸cão dos átomos

em um sólido. (b) Bandas de valência e condu¸cão em semicondutores (as regiões

hachuriadas representam a ocupa¸c˜ao de el´etrons emT >0 K). . . 10 1.8 Perfis de potenciais de confinamento de portadores em nanoestruturas. Em (a)

perfil de confinamento de um po¸co quˆantico e em (b) perfil do potencial de

confinamento de um fio ou ponto quântico. . . 13 1.9 Estrutura f´ısica de um po¸co quântico de GaN/Hf O2 e representa¸cão do

mo-vimento de um portador no plano do po¸co. Figura reproduzida a partir da

Referência [15]. . . 15 1.10 Diagrama esquemático das curvas de dispersão (kx,y) no plano xy e estrutura

(13)

1.11 Representa¸cão esquemática de gera¸cão de excitons. Figura reproduzida a partir

da Referência [15]. . . 19 1.12 (a) Representa¸cão esquemática de um par elétron-buraco, firmemente ligado,

formando um exciton de Frenkel. (b) Representa¸c˜ao esquem´atica de um par

el´etron-buraco, fracamente ligado, formando um exciton de Wannier-Mott.

Fi-gura reproduzida a partir da Referˆencia [19].. . . 20 1.13 Esquerda: modelo esquem´atico de um Cristal de Si dopado com impurezas

substitucionaisGa(aceitador) eAs(doador). Direita: representa¸c˜ao esquem´atica

dos n´ıveis de impurezas no gap de semicondutores dopados. EceEvrepresentam

as energias m´ınimas e máximas das bandas de condu¸cão e valência,

respectiva-mente. Figura reproduzida a partir da Referência [10]. . . 21 1.14 (a) Representa¸cão esquemática do efeito da largura do po¸co quântico sobre a

fun¸cão de onda do portador. (b) Representa¸cão esquemática do efeito da posi¸cão

de impureza sobre a fun¸c˜ao de onda do portador. Figura reproduzida a partir

da Referência [15]. . . 22 2.1 Perfil do po¸co quântico. Linha sólida representa po¸co não abrupto, linha

trace-jada representa po¸co abrupto e as linhas pontilhadas s˜ao as fun¸c˜oes de onda do

portador (z1 =−a;z2 =−(a−σ);z3= (a−σ); z4 =a). . . 33

2.2 Po¸co quˆantico GaN/Hf O2. (a) Potencial de confinamento ∆Ee(ze) em eV; (b)

Representa¸c˜ao do potencial de auto-energia Σi(zi) em meV. Perfil do potencial

de confinamento para el´etrons e buracos, em (c) sem campo el´etricoVi

T = ∆Ei+ Σi(zi) e em (d) com campo elétrico de 200kV /cm,V_Ti = ∆Ei+Σi(zi)±eF zi. As fun¸cões de onda do elétron e do buraco estão representadas pela linha vermelha

no gr´afico (c) e (d) e a linha horizontal em azul representa o estado fundamental

de energia do portador.. . . 40 2.3 N´ıveis de energia dos portadores no estado fundamental em fun¸c˜ao da largura

do po¸co para (a) el´etrons, (b) buraco leve e (c) buraco pesado. Linhas preta,

vermelha e azul representam, respectivamente, interfaces com espessura de 0.0

nm (abrupta), 0.5 nm e 1.0 nm. . . 41 2.4 Fun¸cão de onda dos portadores em unidades arbitrárias: elétron (linha preta),

buraco leve (linha vermelha) e buraco pesado (linha azul). As fun¸c˜oes de onda

dos gr´aficos acima, em (a) e (c), s˜ao de po¸cos estreitos com 5 nm; abaixo, em

(14)

2.5 Efeito Stark sobre a energia de recombina¸c˜ao ∆ER para po¸cos com largura de

(a)-(c) 5 nm e (b)-(d) 20 nm. (a)-(b) Energia de recombina¸c˜ao de el´etron-buraco

leve e (c)-(d) energia de recombina¸c˜ao de el´etron-buraco pesado. Linha preta

representa interface abrupta e linha vermelha interface de 1.0 nm. Para efeitos

de compara¸cão, os s´ımbolos¤₍_σ _{= 0.0 nm) e}_◦₍_σ _{= 1.0 nm) são plotados para} representar a energia de recombina¸cão sem efeito do potencial de auto-energia. . 44 2.6 Superposi¸cão das fun¸cões de onda do elétron e do buraco versus largura do

po¸co, (a)-(c) elétron-buraco leve e (b)-(d) elétron buraco pesado, para po¸cos não

polarizados (esquerda) e polarizados por um campo el´etrico de intensidade igual

a 200 kV/cm (direita). As interfaces consideradas s˜ao: abrupta (preto), 0.5 nm

(vermelho) e 1.0 nm (azul). Para efeito de compara¸c˜ao, resultados sem efeito

do potencial de auto-energia, para po¸cos não polarizados também são inclu´ıdos:

σ = 0.0 nm (¤_),_σ _{= 0}_._{5 nm (}△_{) and}_σ _{= 1}_._{0 nm (}_×_). _{. . . 44} 2.7 Potencial de condu¸c˜ao ∆Ee(ze), potencial de auto-energia Σe(ze) e potencial de

confinamentoVT(z) sem efeito de campo el´etrico, para po¸cos abruptos GaAs/Al0.3Ga0.7As

(topo esquerda),Si/Hf O2(base esquerda),Si/SiO2(topo direita) eSi/SrT iO3

(base direita) com 5 nm de largura. Fun¸c˜oes de onda est˜ao plotadas com linha

vermelha. . . 46 2.8 Energia de recombina¸cão em fun¸cão da largura do po¸co, para po¸cos quânticos

ab-ruptos. (a) Energia de recombina¸c˜ao do portador el´etron-buraco pesadoE_R,(∆E)e−hh , calculada para os portadores confinados no potencial ∆Ei(zi). (b) Energia de

recombina¸c˜ao do portador el´etron-buraco pesadoEe_R,(V−hh

T), calculada para os

por-tadores confinados no potencialVT = ∆Ei(zi) + Σi(zi). Ainda em (b), triˆangulo

e c´ırculos representam a energia de recombina¸c˜ao do el´etron-buraco pesado,

con-finados no po¸co Si/Hf O2 eSi/SrT iO3 respectivamente, com interface n˜ao

ab-rupta de 0.5 nm e sem o efeito do potencial Σi(zi). (c) Efeito efetivo do potencial

de auto-energia ∆ER = E_R,(Ve−hh_T₎ −E_R,(∆E)e−hh . As cores preta, vermelha, azul e verde representam, respectivamente, os po¸cosSi/SrT iO3,Si/Hf O2,Si/SiO2 e

(15)

2.9 A esquerda, n´ıveis de energia dos portadores no estado fundamental em fun¸c˜` ao

da largura do po¸co Si/SrT iO3 para (a) el´etrons, (b) buraco leve e (c) buraco

pesado. Linhas preta, vermelha e azul representam, respectivamente, interface

com espessura de 0.0 nm (abrupta), 0.5 nm e 1.0 nm. Na direita, fun¸c˜ao de

onda dos portadores em unidades arbitr´arias: el´etron (linha preta), buraco leve

(linha vermelha) e buraco pesado (linha azul). Em (d) as fun¸c˜oes de onda est˜ao

confinadas em po¸cos estreitos com largura de 5 nm e interface de 1.0 nm. Em

(e) as fun¸c˜oes de onda est˜ao confinadas em po¸cos largos com largura de 20 nm

e interface de 1.0 nm.. . . 50 2.10 Perfis de potencial totalVT(z) com campo el´etrico de 200 kV/cm, para el´etron e

buraco confinados em po¸cos quˆanticos de 20 nm de largura: (a)GaAs/Al0.3Ga0.7As,

(b)Si/Hf O2, (c)Si/SiO2 e (d)Si/SrT iO3. Fun¸c˜oes de onda do estado

funda-mental est˜ao plotadas com linhas vermelhas. . . 50 2.11 Efeito Stark sobre a energia de recombina¸c˜ao ER para po¸cos Si/SiO2 (topo) e

Si/Hf O2 (base) com largura de (a)-(c) 5 nm e (b)-(d) 20 nm. Esquerda: energia

de recombina¸cão de elétron-buraco leve. Direita: energia de recombina¸cão de

el´etron-buraco pesado. Linha preta representa interface abrupta e linha vermelha

interface de 1.0 nm. Para efeitos de compara¸c˜ao, os s´ımbolos ¤ ₍_σ _{= 0.0 nm)}

e _◦ (σ = 1.0 nm) são plotados para representar a energia de recombina¸cão sem efeito do potencial de auto-energia. . . 52 2.12 Superposi¸cão das fun¸cões de onda do elétron e do buraco versus largura do

po¸co, (a) el´etron-buraco leve e (b) el´etron-buraco pesado, confinados nos po¸cos

Si/SrT iO3 (topo), Si/Hf O2 (base esquerda) e Si/SiO2 (base direita). As

in-terfaces consideradas s˜ao: abrupta (preto), 0.5 nm (vermelho) e 1.0 nm (azul).

Para efeito de compara¸c˜ao, resultados sem efeito do potencial de auto-energia,

para po¸cos não polarizados, também são incluidos: σ= 0.0 nm (¤_),_σ_{= 0}_._{5 nm}

(△_{) and} _σ _{= 1}_._{0 nm (}_×_). . . . 53 3.1 (a) Diagrama esquem´atico de um exciton em um material cristalino

tridimensio-nal, com o buraco (c´ırculo cheio pr´oximo ao centro) e el´etron separados pelo raio

de Bohrλ, orbitando o centro de massa. (b) Diagrama de bandas de energia de

um exciton em material tridimensional. . . 57 3.2 (a) Representa¸c˜ao esquem´atica do confinamento de exciton por barreiras de um

po¸co quˆantico abrupto. (b) Diagrama de bandas de energia do po¸co quˆantico

(16)

3.3 Aspecto de confinamento de uma fun¸c˜ao de onda Ψe e o potencial φ em uma

estrutura de po¸co quântico. A parte cinza representa a penetra¸cão da fun¸cão de

onda e do potencial eletrostático. Figura reproduzida a partir da Referência [35]. 62 3.4 (a) diagrama esquemático de uma estrutura quântica dielétrica. (b) configura¸cão

t´ıpica de uma carga real localizada no po¸co e as imagens geradas por ela. (c)

carga real localizada na barreira da direita e (d) na barreira da esquerda. Figura

reproduzida a partir da Referência [35]. . . 63 3.5 Correla¸cão em z das posi¸cões do elétron ze e do buracozh nas regiões L, C e R

do po¸co quântico.. . . 67 3.6 Energia de liga¸cão do exciton calculada por Kumagai e Takagahara (Referência

[35]), representada pela linha sólida. Os s´ımbolos (_×) representam a energia de liga¸cão do exciton, calculada neste trabalho, usando método do potencial efetivo,

com os mesmo parâmetros do po¸coGaAs/ZnSeusado por Kumagai e Takagahara. 70 3.7 Diferen¸ca na energia de recombina¸cão ∆E_Re−h(a) elétron-buraco leve e (b) elétron

buraco pesado para diferentes larguras de po¸co: (+) L=5 nm, (_•) L=10 nm e (△₎ _L_{=15 nm.} _{. . . 72} 3.8 Energia de recombina¸cão elétron buraco-leve (vermelho) e elétron-buraco pesado

(preto) em fun¸c˜ao da largura do po¸co L e com efeito do potencial Σi(zi). Os

po¸cos abruptos considerados s˜ao: (a)GaN/Hf O2, (b)Si/Hf O2, (c)Si/SiO2 e

(d) Si/SrT iO3.. . . 72

3.9 Valor absoluto da energia de liga¸cão _|Eb|do exciton (a)-(b) elétron-buraco leve e (c)-(d) elétron buraco pesado, confinado em po¸cos com larguras de (a)-(c)L=

5 nm e (b)-(d) L= 20 nm. Três diferentes aproxima¸cões para o cálculo de _|Eb| são consideradas: AP0(¤_),_AP1₍_◦_{) e}_AP2₍_×_). _{. . . 73} 3.10 Diagrama esquemático das intera¸cões entre os portadores e as cargas imagem.

Quando εb > εw as cargas imagem tˆem sinal oposto ao sinal do portador, que

sente um potencial atrativo na região do po¸co devido à intera¸cão com as cargas

imagem que ele produz e um potencial repulsivo devido `a intera¸c˜ao com as cargas

imagem geradas pelo outro portador. Quandoεb< εw a situa¸c˜ao se inverte. . . 74

4.1 (a) Perfil do potencial devido `as bandas de energia ∆Ee(z) ao longo do eixo z.

(b) Perfil do potencial de auto-energia Σe(z) ao longo do eixo z. (c) Perfil do

potencial da impureza, com efeito da carga imagem, ao longo do eixo z. (d)

Perfil do potencial total de confinamento ao longo do eixo z. . . 83

4.2 Esquerda: Potencial da impurezaVe−im(ρe, ze, zim), com efeito da carga imagem.

(17)

4.3 Energia de liga¸c˜ao el´etron-impureza, calculada por Cen e Bajaj (Ref. [44]),

re-presentada pela linha s´olida. Os s´ımbolos (_×), (△_{) e (}_•_{) representam a energia} de liga¸c˜ao do estado fundamental, primeiro e segundo estados excitados,

respec-tivamente. . . 85 4.4 Proje¸cão nos eixos y e z da fun¸cão de onda do elétron para (a) estado

funda-mental, (b) primeiro e (c) segundo estado excitado. Em (d) ´e plotado a proje¸c˜ao

do potencial de confinamento ao longo do eixo z. A impureza est´a localizada

no centro do po¸coGaN/Hf O2 de larguraL= 5 nm. A linha horizontal em (d)

representa o estado fundamental do elétron. . . 86 4.5 Proje¸cão nos eixos y e z da fun¸cão de onda do elétron para (a) estado

do potencial de confinamento ao longo do eixo z. A impureza est´a localizada

pr´oximo `a interface direita do po¸co GaN/Hf O2, de largura L = 5 nm, na

posi¸c˜ao zim= 2 nm. A linha horizontal em (d) representa o estado fundamental

do elétron. . . 86 4.6 Proje¸cão nos eixos y e z da fun¸cão de onda do elétron para (a) estado

do potencial de confinamento ao longo do eixoz. A impureza est´a localizada na

barreira do po¸coGaN/Hf O2, de larguraL= 5 nm, na posi¸c˜aozim= 10 nm. A

linha horizontal em (d) representa o estado fundamental do el´etron. . . 87

4.7 Esquerda: energia do el´etron para (preto) estado fundamental, (vermelho)

pri-meiro e (azul) segundo estado excitado, em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza (zim).

Direita: energia de liga¸c˜ao para, (preto) estado fundamental, (vermelho)

pri-meiro e (azul) segundo estado excitado, em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza (zim).

Em (a)-(c) o po¸co GaN/Hf O2 tem largura L = 5 nm, em (b)-(d) o po¸co tem

largura L= 10 nm. . . 88 4.8 Centro de massa do elétron em fun¸cão da posi¸cão da impureza (zim). Em (a) o

po¸co GaN/Hf O2 tem largura L = 5 nm e em (b) o po¸co tem largura L = 10

nm. O estado fundamental, primeiro e segundo estado excitado s˜ao representados

(18)

Lista de Tabelas

1.1 Propriedades relevantes dos materiais candidatos. Referˆencia [7] . . . 26 2.1 Potencial de confinamento ∆Ei(zi) devido `as bandas de energia. Qi representa

o band-off-set de condu¸cão (i=e) e valência (i=h). . . 34 2.2 Interpola¸cão linear entre a constante dielétrica da barreiraεb e a constante

diel´etrica do po¸co εw. . . 37

2.3 Parâmetros dos materiais. Referências [57, 59]. . . 40 2.4 Parâmetros dos materiais. Referências [33, 38, 58, 62] . . . 47

3.1 Compara¸c˜ao da energia total do exciton el´etron-buraco leve, calculada com

dife-rentes aproxima¸cões. AP0 não considera nenhuma contribui¸cão devido a efeitos

de cargas imagem, AP1 considera apenas corre¸c˜ao devido ao potencial de

auto-energia,AP2 inclui todas as intera¸c˜oes relacionadas a cargas imagem. A energia

total do exciton ´e calculada para po¸cos estreitos (L= 5.0 nm) e largos (L= 20

nm). . . 75 3.2 Compara¸c˜ao da energia total do exciton el´etron-buraco pesado, calculada com

diferentes aproxima¸cões. AP0 não considera nenhuma contribui¸cão devido a

efeitos de cargas imagem, AP1 considera apenas corre¸c˜ao devido ao potencial

de auto-energia, AP2 inclui todas as intera¸c˜oes relacionadas `a cargas imagem.

A energia total do exciton ´e calculada para po¸cos estreitos (L= 5.0 nm) e largos

(19)

2

1 Introdu¸

c˜

ao

“...as pessoas me falam sobre miniaturiza¸cão e o quanto ela tem progredido nos dias de hoje. Elas me falam de motores elétricos com o tamanho de uma unha do seu dedo mindinho. E que há um dispositivo no mercado, dizem elas, com o qual se pode escrever o Pai Nosso na cabe¸ca de um alfinete. Mas isso não é nada: é o passo mais primitivo e hesitante na dire¸cão que eu pretendo discutir. É um novo mundo surpreendentemente pequeno. No ano 2000, quando olharem para esta época, elas se perguntarão por que antes de 1960 ninguém come¸cou a se movimentar seriamente nessa dire¸cão.” Richard Feynman Trecho de discurso proferido em 1960

1.1 Dispositivos semicondutores: uma vis˜

ao no

con-texto hist´

orico

O decurso histórico do desenvolvimento dos dispositivos eletrônicos teve in´ıcio em 1874, quando Karl Ferdinand Braun (1850-1918) construiu um retificador com um cris-tal de P bS [1], soldado com um fio metálico (diodo de ponta de contato) e observou

uma altera¸cão no fluxo de corrente total como fun¸cão da polariza¸cão da tensão aplicada e das condi¸cões da superf´ıcie do material, descobrindo assim o caráter assimétrico da condu¸cão elétrica entre metais e semicondutores. Desde então, importantes avan¸cos em pesquisas relacionadas com a f´ısica da matéria condensada possibilitaram a constru¸cão de

novos dispositivos que se tornavam cada vez mais eficientes e com not´aveis aplicabilidades tecnol´ogicas.

Durante todos estes anos destacaram-se algumas pesquisas que conduziram ao atual avan¸co tecnol´ogico que vivemos nos dias de hoje. O in´ıcio do s´eculo XX, por sua vez, foi

fundamental para o desenvolvimento da microeletrônica, pois houve um enorme progresso na teoria f´ısica, com o desenvolvimento da mecânica quântica, por Bohr, de Broglie, Heisenberg, Schrödinger e outros, notadamente durante os anos 20. Em paralelo a este fato, foi proposto um primeiro conceito de desenvolvimento de um transistor de efeito de

(20)

1.1 Dispositivos semicondutores: uma vis˜ao no contexto hist´orico 3

Figura 1.1: Fotografia do primeiro transistor bipolar de contato criado em dezembro de 1947, por pesquisadores da Bell Labs. Foto retirada da Referˆencia [9].

Figura 1.2: Fotografia do primeiro circuito integrado desenvolvido por J. Kilby, em 1958. Foto retirada do site: http://www.uib.es/c-calculo/scimgs/fc/tc1/historia.html (´ultimo acesso em junho de 2006).

de 1930. Durante a década de 40 a eletrônica tinha por base as válvulas termoiônicas e

relés eletro-mecânicos. Mas as válvulas termoiônicas eram frágeis, dispendiosas e de alto consumo de energia, enquanto os relés eletro-mecânicos tinham comuta¸cão muito lenta. Estas limita¸cões incentivaram novas pesquisas em torno dos semicondutores sil´ıcio (Si) e germânio (Ge).

Em 1940, R. Ohi identifica, pela primeira vez, semicondutores de Si tipo p e tipo n. No mesmo ano, J. Scaff e H. Theuerer mostram que o n´ıvel e o tipo de condutividade do Sise devem à presen¸ca de tra¸cos de impurezas, e este resultado demonstrou a importância da adi¸cão de impurezas nas amostras semicondutoras para fabrica¸cão de dispositivos

se-micondutores. Assim, as pesquisas baseadas nestes semicondutores conduziram à cria¸cão das primeiras jun¸cõesp₋n e transistores bipolares no fim da década de 40 (Fig. 1.1).

Na década de 50, o efeito de resistência negativa em jun¸cões p₋naltamente dopadas foi observado por Esaki [2], levando à descoberta do efeito quântico de tunelamento. A

(21)

1.1 Dispositivos semicondutores: uma vis˜ao no contexto hist´orico 4

Figura 1.3: Representa¸cão gráfica da lei de Moore para dupli¸cão de transistor em um circuito integrado a cada dois anos. Foto retirada do site: http://www.physics.udel.edu (último acesso em junho de 2006).

capacitor e um resistor, interconectados atrav´es de fios soldados nos contatos (Fig. 1.2), abrindo caminho para o desenvolvimento de circuitos integrados (CI). Outra contribui¸c˜ao

importante de Esaki (co-autoria de Tsu) [3, 4], foi a cria¸c˜ao de heteroestruturas, em 1969-70, que separavam el´etrons de impurezas ionizadas, de forma a reduzir o espalhamento Coulombiano e aumentar a mobilidade dos portadores.

Em 1965 Gordon Moore [5], um dos fundadores da Intel, percebeu que o n´umero de

transistores dos circuitos integrados cresceria exponencialmente, dobrando a cada dois anos (atualmente observa-se este crescimento a cada um ano e meio), e previu que esta tendˆencia deveria continuar. A esta tendˆencia denominou-se lei de Moore (Fig. 1.3).

O desenvolvimento e aperfei¸coamento de t´ecnicas de crescimento de filmes finos, com

alta qualidade, tais como deposi¸cão por epitaxia do tipo MBE [6] (Molecular Beam Epitaxy) e deposi¸cão por vapor qu´ımico do tipo MOCVD (Metalorganic Chemical Va-por Deposition), não só tornou poss´ıvel o grande avan¸co de dispositivos semicondutores a partir de meados da década de 70, com a fabrica¸cão de estruturas de heterojun¸cões de

semicondutores dos grupos III-V e outros, como tamb´em manteve a lei de Moore vigente at´e os dias atuais.

Os conhecimentos acumulados no decorrer destes anos possibilitaram integrar grandes quantidades de circuitos sobre um mesmo substrato semicondutor. A funcionalidade e o

benef´ıcio do dispositivo estão diretamente relacionados ao número de circuitos integrados no substrato semicondutor. A diminui¸cão das dimensões dos dispositivos aumenta o seu desempenho e reduz o consumo de energia, e esta equa¸cão econômica explica a imensa evolu¸cão registrada na eletrônica, nas últimas quatro décadas, valendo-se da tecnologia

(22)

1.2 Nanotecnologia 5

P - Si P - Si

N - Si Metal

Porta dielétrica: SiO2 Terminal

Dreno

Terminal Fonte Terminal

Porta

Figura 1.4: Estrutura simples de um dispositivo eletrônico. Os três terminais são normalmente indicados como G, S e D, seguindo a terminologia anglo-saxã degate (porta), source (fonte) e drain (dreno), respectivamente.

dos dispositivos foram diminuindo, as portas dielétricas precisaram ser mais finas, e o uso cont´ınuo do dióxido de sil´ıcio SiO2, como material de porta dielétrica nos dispositivos1,

come¸cou a ter limita¸cões fundamentais devido a correntes de tunelamento através do óxido (Fig. 1.4). Este problema chamou a aten¸cão dos pesquisadores, que estudaram

intensivamente novos materiais nos ´ultimos cinco anos com o objetivo de encontrar um substituto para SiO2 nas nanoestruturas, e com isto manter a miniaturiza¸c˜ao por mais

algum tempo.

1.2 Nanotecnologia

O entendimento do comportamento de materiais em escala nanom´etrica (10−9 _metros)

ocasionou uma revolu¸cão na ciência e na tecnologia. Materiais em escala nanométrica

apresentam novos comportamentos e/ou propriedades diferentes daquelas que geralmente

apresentam em escala macrosc´opica2_{. Ao ramo da ciˆencia que estuda esses materiais/comportamentos}

foi atribu´ıdo o nome de nanociˆencia, e sua aplica¸c˜ao de nanotecnologia.

O dom´ınio da nanotecnologia encontra-se compreendido entre 0.1 a 100 nm, regi˜ao

onde as propriedades dos materiais são determinadas e podem ser controladas. Embora as ciências dos átomos, moléculas e da matéria, desde a micro até à macroestrutura já estejam bem estabelecidas e fundamentadas, a nanotecnologia ainda se encontra na sua fase inicial, visto que há muito a ser compreendido sobre o comportamento dos materiais

1_{Um dispositivo t´ıpico consiste de um substrato de} _Si_tipo-_n_{, coberto por uma camada de}_SiO

2 que

serve como isolante entre a superf´ıcie deSi(100) e um eletrodo met´alico (porta).

(23)

em escala nanométrica [8, 9] (ver Fig. 1.5). A nanotecnologia desponta claramente como uma área de pesquisa e desenvolvimento muito ampla e multidisciplinar, uma vez que se baseia nos mais diversificados tipos de materiais (pol´ımeros, cerâmicas, metais,

semi-condutores, biomateriais), estruturados em escala nanométrica. A habilidade de medir, manipular e organizar a matéria em nanoescala, e os novos fenômenos apresentados pelos materiais nanoestruturados, como aqueles causados pelo confinamento de tamanho, são descobertas cient´ıficas importantes que come¸cam a apontar para os poss´ıveis avan¸cos que

serão alcan¸cados pela ciência num futuro próximo.

Nos dias atuais, a nanotecnologia vem atraindo interesse de in´umeros grupos de pes-quisas em todo o mundo, devido ao seu enorme potencial de aplica¸c˜ao nos mais varia-dos setores industriais e ao impacto que seus resultavaria-dos podem dar ao desenvolvimento

tecnológico e econômico, podendo até servir de base para um desenvolvimento local inte-grado e sustentável, conforme previsto nas Agendas 21 global e locais3_{. Neste contexto,}

existe uma infinidade de áreas onde a nanotecnologia pode oferecer uma contribui¸cão significativa, algumas das quais já possuem produtos sendo comercializados. O Brasil

tem procurado não ficar fora do cenário internacional deste desenvolvimento tecnológico, e o governo come¸cou um esfor¸co conjunto nesta área, em 2001, conhecido como Iniciativa Brasileira em Nanotecnologia, formando redes de pesquisas cooperativas neste tema, que conta com a participa¸cão de várias institui¸cões de pesquisa e ensino em todo o Pa´ıs. Em

muitos casos, estas institui¸cões têm expandido suas fronteiras para se integrar a centros de excelência em nanotecnologia nos Estados Unidos, na Europa, China, América Latina e no Japão.

O presente trabalho ´e um esfor¸co do Grupo de Pesquisa em Semicondutores do

Depar-tamento de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Federal do Ceará, o qual fez parte de uma destas redes de pesquisa, a Rede Cooperativa para Pesquisa em Nanodispositivos Semicondutores e Materiais Nanoestruturados (NanoSemiMat). A rede NanoSemiMat faz parte de uma estratégia de fomento à pesquisa cooperativa iniciada pelo CNPq desde 2000,

e que culminou, em novembro de 2001, com a forma¸cão de 4 redes temáticas associadas à área de Nanociência e Nanotecnologia. Atualmente, o Grupo faz parte da Rede Nacional de NanoBiotecnologia e Sistemas Nanoestruturados (NanoBioEstruturas). Nesta rede, o Grupo integra atividades em pesquisa básica e aplica¸cões em semicondutores 0-3D, dando

ênfase à integra¸cão de semicondutores com materiais bio-orgânicos e novos óxidos para o desenvolvimento de biosensores e dispositivos optoeletrônicos.

(24)

Macroes

trutura

+3 +2 +1 0 -1 -3 -5 -7 -9 -11

mm

mm nm Å -13 -15

Subatômica

Nível de estrutura Escala

1.000 m 1 m 1/1.000 m 1/1.000.000 m 1/1.000.000.000 m Diâmetro do átomo 1/1.000.000.000.000 m Diâmetro do núcleo atômico 1/1.000.000.000.000.000 m

microes

trutura

atômica

/cris

talográfica

Domíniodananotecnologia

(0,1-100nm)

Figura 1.5: (Esquerda) dimensões representativas de algumas espécies t´ıpicas, em suas várias es-calas. (Direita) região de dom´ınio da nanotecnologia, comparada com uma faixa que compreende desde macroestruturas até dimensões subatômicas (escala logar´ıtmica). Figuras retiradas das Referências [8 e 9]

1.2.1 Importˆ

ancias e aplica¸c˜

oes

O crescente desenvolvimento tecnológico e industrial caracter´ıstico do mundo globa-lizado traz consigo alguns problemas dif´ıceis de serem resolvidos. Um deles é a procura de uma alternativa economicamente viável, respeitando os limites naturais, para a produ¸cão e consumo de energia elétrica. O aumento das necessidades energéticas da sociedade atual

e a importância do impacto da pol´ıtica adotada para a sociedade e o meio ambiente, levam a optar por uma fonte de energia que possa suprir as necessidades da humanidade de forma inesgotável e servir de base para um desenvolvimento local integrado e sustentável.

A produ¸cão e consumo de energia elétrica, especialmente no Brasil, não vem

acompa-nhando o ritmo de desenvolvimento econômico nos últimos anos, tendo como conseqüências recentes oblack-out (apagão) que se tornou uma realidade vivida pela sociedade brasileira. Desta forma, a energia elétrica tem-se mostrado altamente relevante para o desenvolvi-mento da na¸cão, e um caminho para amenizar os problemas relacionados à gera¸cão e

consumo de energia ´e a busca pelo uso de energias alternativas, bem como a utiliza¸c˜ao de dispositivos altamente eficientes.

Por um lado, a energia el´etrica obtida a partir da convers˜ao de energia solar vem ganhando destaque, no contexto atual em que os problemas ambientais se agravam, tendo

(25)

1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 8

Figura 1.6: Fotos de alguns dispositivos constitu´ıdos de nanoestruturas semicondutoras e aplica¸c˜oes. Retirada do site http://www.intel.com (´ultimo acesso em junho de 2006).

que apresenta vantagens como fácil armazenamento, baixo custo de instala¸cão, baixo n´ıvel de agressão ambiental e não necessita de linhas de transmissão que agridem o meio em que é instalado.

Por outro lado, uma forma de contornarmos o quadro ´e a busca de consumo econˆomico

da energia elétrica, o que pode ser realizado através do desenvolvimento de dispositivos eletrônicos emissores de luz (lâmpadas para ilumina¸cão, etc) e equipamentos eletrônicos constitu´ıdos de circuitos integrados altamente eficientes e econômicos (Fig. 1.6).

A produ¸c˜ao de dispositivos fotovoltaicos e dispositivos emissores de luz tem in´ıcio

invariavelmente na investiga¸cão das propriedades ópticas e eletrônicas dos materiais a serem empregados para cria¸cão destes dispositivos, que se constituem de nanoestruturas semicondutoras. O seu entendimento teórico requer a aplica¸cão de teorias quânticas para o cálculo das propriedades de confinamento, ópticas e de transporte de portadores em

po¸cos, fios e pontos quˆanticos, em conjunto com as teorias do eletromagnetismo cl´assico.

1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas

(26)

provenientes de pesquisas multidisciplinares (que estabelecem um relacionamento entre as áreas da f´ısica, qu´ımica, matemática, biociências, ciências de materiais, engenharia eletrônica e engenharia da computa¸cão) e pelo desenvolvimento de novos conceitos sobre

dispositivos.

1.3.1 Bandas de energia

Algumas propriedades de elétrons em cristais são fundamentais para a compreensão

dos mecanismos responsáveis pela corrente elétrica no material semicondutor e, portanto, por sua aplica¸cão na nanotecnologia. Elétrons em um átomo isolado ocupam estados quânticos estacionários, distribu´ıdos em n´ıveis de energia discretos e quantizados, corres-pondendo aos orbitais atômicos 1s, 2s, 3s, 3p,..., obedecendo ao Princ´ıpio de Exclusão

de Pauli. Se trouxermos um átomo isolado para próximo de outro, os n´ıveis de energia de cada átomo serão levemente perturbados devido à presen¸ca do átomo vizinho. Além disso, um elétron que está no n´ıvel 1s de um desses átomos também pode ocupar o n´ıvel 1s do outro átomo, possuindo duas fun¸cões de onda distintas com a mesma energia, ou

degenerescˆencia dupla.

Se aproximarmos um grande número de átomos, teremos também um grande número de n´ıveis próximos uns dos outros, e a intera¸cão entre eles ocasionará uma quebra de degenerescência, formando uma banda de energia quase cont´ınua. Em um sistema de

três átomos, todos os n´ıveis são triplamente degenerados; com quatro átomos os n´ıveis apresentam degenerescência de ordem quatro, e assim por diante. Se considerarmos N átomos próximos, cada n´ıvel atômico será expandido em N n´ıveis distintos.

Como conseqüência do grande número de átomos presentes em um cristal (N _∼1023₎

e do arranjo periódico destes átomos formando a rede cristalina, os estados energéticos que descrevem o cristal se organizam de forma peculiar através do surgimento de faixas cont´ınuas destes estados, porém limitadas e separadas umas das outras por faixas de energias proibidas. As faixas de energias permitidas são as chamadas bandas de energia.

`

As faixas de energias proibidas d´a-se o nome de gap, ver Fig. 1.7(a). Em um cristal, semicondutor apenas na temperatura T = 0 K, a ´ultima banda de energia, denominada

banda de valência, está completamente cheia. Quando a temperatura aumenta, os elétrons da banda de valência ganham energia suficiente para passar à banda seguinte,

(27)

Bandas de Energia

Gap Níveis

Discretos

Distânciarentre os átomos

Energ

ia

0

E

k

Banda de condução

Banda de valência

Eg

Ec

Ev

(a) (b)

EF

el

lh hh

Figura 1.7: (a) Forma¸cão de bandas de n´ıveis de energia devido à aproxima¸cão dos átomos em um sólido. (b) Bandas de valência e condu¸cão em semicondutores (as regiões hachuriadas representam a ocupa¸cão de elétrons emT >0 K).

um material semicondutor, representado pelo gráfico da energiaE versus o vetor de onda k. Isso é facilmente verificado, em primeira aproxima¸cão, se utilizarmos como exemplo a energia de um elétron livre, a qual é dada por

E = ~

2

2m0

k2, (1.1)

onde m0 ´e a massa do el´etron livre.

Os elétrons na banda de condu¸cão e os buracos na banda de valência produzem cor-rente elétrica sob a a¸cão de um campo externo. A condutividade do material depende do número de elétrons que passa para a banda de condu¸cão. Esse número é tanto maior

(28)

1.3.2 Teoria da massa efetiva

Para entender as propriedades elétricas de um material semicondutor é necessário estudar o comportamento de elétrons dentro do material quando este é submetido a um campo elétrico externo. O elétron, descrito por um pacote de onda, movimenta-se em um cristal com velocidade de grupo vg = ∂ω/∂k e energia E = ~ω. Sendo assim, podemos

escrever4

∂E

∂k =~vg. (1.2)

Na presen¸ca do campo elétrico, o elétron é submetido a uma for¸ca F que realiza trabalho dE =F dx, variando a energia do elétron de dE durante um percursodx. Logo, da Eq. 1.2, a velocidade do elétron está relacionada à for¸ca do campo elétrico por

F dx=~_v_g_dk, _(1.3)

ou, aplicando a defini¸c˜ao dx=vgdt,

F =~dk

dt. (1.4)

Sendo ~_k _{o momento do el´etron, a Eq. 1.4 representa o princ´ıpio fundamental da}

dinˆamica:

F =m∗a =m∗dvg dt ,

F =m∗ µ

1

~

∂2_E

∂k∂t ¶

=m∗ µ

1

~

∂2_E

∂k2

¶ dk dt =m

∗

µ

1

~2

∂2_E

∂k2

¶ F,

1 m∗ =

1

~2

∂2_E

∂k2. (1.5)

As equa¸c˜oes acima mostram que o potencial da rede cristalina n˜ao afeta a forma da

equa¸cão da varia¸cão do momento. De fato, em lugar disto a rede altera a dependência da energia com o momento, o que corresponde a mudar a massa do elétron. Desta forma, sob

4_{Este item da tese foi baseado nas Referˆencias [10] e [12], sendo a primeira publicada em l´ıngua}

(29)

a a¸cão de uma for¸ca externa o elétron no cristal age de forma semelhante a um elétron livre, porém com uma massa efetiva m∗ _{definida pela Eq. 1.5. Este resultado é válido}

também para o elétron livre, o que pode ser demonstrado através das Eqs. 1.1 e 1.5, onde

obtemosm∗ ₌_m_{, ou seja, a massa efetiva é a própria massa do elétron livre.}

Expandindo esse pensamento a uma estrutura de banda em um material, podemos definir a massa de um dado portador como uma fun¸c˜ao da curvatura da banda. Quanto mais cˆoncava for a banda, menor a massa associada a ela. Por outro lado, essas bandas

de energia em semicondutores freqüentemente exibem uma rela¸cão anisotrópica entre a energia e o vetor de onda, tal que a energia não é apenas uma fun¸cão da magnitude do vetork, mas depende separadamente das dire¸cões kx, ky ekz. Isto significa que a massa

efetiva depende da dire¸cãok. Na defini¸cão mais geral, a massa efetiva não é uma grandeza

escalar e sim uma grandeza tensorial representada por uma matriz, cujo elementoµν para a banda n ´e determinado por:

µ

1 m∗

n

¶

µν

= 1

~2

∂2_E nk ∂kµ∂kν

. (1.6)

Em geral, estes elementos não são constantes, mas fun¸cões de kx, ky e kz. A massa

efetiva varia de um material para outro, j´a que o seu valor depende da curvatura das

bandas de energias do material.

A banda de valência de alguns materiais semicondutores é formada por duas bandas de energia, cada qual associada a uma massa efetiva (buraco leve e pesado). A banda do buraco leve (light hole - lh) é a banda mais curva entre as duas e a banda do buraco pesado (heavy hole - hh) é a banda menos curva. Como os valores das massas efetivas estão associados à curvatura da banda, a massa associada ao buraco pesado é maior do que a massa associada ao buraco leve, originando os nomes leve e pesado, ver Fig. 1.7(b).

1.3.3 Confinamento de portadores

Em um semicondutor cristalino tridimensional, a estrutura eletrônica é caracterizada por estados eletrônicos deslocados e um espectro de energia quase-cont´ınuo nas bandas de condu¸cão e valência. Em nanoestruturas semicondutoras, quando os elétrons estão

(30)

Eg1

DE_h

DE_e

Eg2

Eg1

Eg2

(b)

(a)

DE_e

DE_h

z

r,

r

Figura 1.8: Perfis de potenciais de confinamento de portadores em nanoestruturas. Em (a) perfil de confinamento de um po¸co quˆantico e em (b) perfil do potencial de confinamento de um fio ou ponto quˆantico.

e formam mini-bandas em sistemas 1D e 2D5_.

O efeito de confinamento quântico está presente em muitos sistemas de baixa dimen-sionalidade, como po¸cos, fios e pontos quânticos, os quais são crescidos por avan¸cadas técnicas epitaxiais em nanocristais produzidos por métodos qu´ımicos ou por implanta¸cão

iônica, ou nanodispositivos produzidos por técnicas de litografia. A escala de compri-mento desses dispositivos é da ordem do compricompri-mento de onda de Broglie do portador [16], que assume um comportamento ondulatório. Por isso, a equa¸cão de Schrödinger pode ser aplicada para descrever suas propriedades eletrônicas e ondulatórias no dispositivo.

Quando o potencial de confinamento (∆E(r)) for maior que a energia En do portador,

ent˜ao estas energiasEn do portador ser˜ao confinadas e quantizadas. O potencial ∆E(r)

pode confinar o portador em uma, duas ou três dimensões, correspondendo aos sistemas po¸cos, fios ou pontos quânticos, respectivamente. A quantiza¸cão da energia é

acompa-nhada pela limita¸cão do movimento do portador na dire¸cão em que o mesmo é confinado. Desta forma, os portadores estão limitados a mover-se no plano de um po¸co quântico, na linha de um fio quântico ou em ilhas em pontos quânticos. Fios quânticos também são chamados de nanofios, e pontos quânticos são comumente denominados átomos artificiais,

pois tais como átomos, as energias dos elétrons são quantizadas e a carga total é restrita a um pequeno número inteiro de elétrons [16].

O potencial de confinamento origina-se a partir da fra¸c˜ao da diferen¸ca entre os gaps de energia dos materiais semicondutores que formam a heterojun¸c˜ao. A grandeza desta

fra¸cão denomina-se band-off-set e sua determina¸cão é um dos problemas importantes da

(31)

f´ısica de sistemas semicondutores de dimensionalidade reduzida6_{. A Fig. 1.8 ilustra dois}

perfis de confinamento de portadores para po¸co, fio e ponto quântico. A diferen¸ca entre o gapEg1 e o gapEg2 é igual à soma dos potenciais:

Eg1−Eg2 = ∆Ee+ ∆Eh, (1.7)

onde ∆Eeé o potencial de confinamento de elétrons, que surge devido ao não alinhamento

das bandas de condu¸cão dos materiais que constituem a heterojun¸cão, e ∆Ehé o potencial

de confinamento de buracos, que surge devido ao não alinhamento das bandas de valência. Para obter os valores de ∆Ee e ∆Eh pode-se usar a rela¸cão:

∆Ee+ ∆Eh

= ∆Ee

∆Ee+ ∆Eh

+ ∆Eh

∆Ee+ ∆Eh

= 1. (1.8)

A soma ∆Ee+ ∆Eh ´e dada pela Eq. 1.7. O band-off-set pode ser definido por

Qe=

∆Ee

Eg1−Eg2

, (1.9)

Qh =

∆Eh

Eg1−Eg2

, (1.10)

ondeQe e Qh representam oband-off-set de condu¸c˜ao e valˆencia, respectivamente. Desta

forma, obtemos os potenciais de confinamento de el´etrons e buracos isolando ∆Eee ∆Eh:

∆Ee =Qe(Eg1 −Eg2), (1.11)

∆Eh =Qh(Eg1−Eg2). (1.12)

Se a nanoestrutura for constitu´ıda de uma fina camada de semicondutor, crescida por epitaxia entre duas camadas de ´oxido (ou um outro semicondutor com propriedades f´ısicas diferentes), conforme ilustra a Fig. 1.9, ent˜ao o potencial ∆Ei(z) confina o portador i

(i = e, h) em apenas uma dire¸cão (dire¸cão z da figura), e a nanoestrutura formada é

(32)

y

z x

kxy

GaN

HfO2

2 2 2

xy x y

k =k +k

Figura 1.9: Estrutura f´ısica de um po¸co quântico deGaN/Hf O2 e representa¸cão do movimento de um portador no plano do po¸co. Figura reproduzida a partir da Referência [15].

chamada de po¸co quântico. No po¸co quântico o portador tem movimento restrito na dire¸cão de crescimento, dire¸cão z da Fig. 1.9, mas pode-se mover no plano do po¸co. Neste caso, o movimento do portador pode ser descrito pela equa¸cão de Schrödinger

independente do tempo

− ~

2

2m µ

∂2

∂x2 +

∂2

∂y2 +

∂2

∂z2

¶

ψ(x, y, z) + ∆E(r)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z). (1.13)

O potencial de confinamento ∆E(r) pode ser representado por uma soma de fun¸cões independentes, ou seja, ∆E(r) = ∆E(x) + ∆E(y) + ∆E(z), sendo que a condi¸cão para forma¸cão de um po¸co quântico estabelece que podemos considerar ∆E(x) = ∆E(y) = 0,

e que auto-fun¸c˜ao do sistema seja escrita como o produto:

ψ(x, y, z) = ψ(x)ψ(y)ψ(z). (1.14)

Usando a Eq. 1.14 para reescrever a equa¸cão de Schrödinger (Eq. 1.13), então:

− ~

2

2m µ

∂2_ψ₍_x₎

∂x2 ψ(y)ψ(z) +

∂2_ψ₍_y₎

∂y2 ψ(x)ψ(z) +

∂2_ψ₍_z₎

∂z2 ψ(x)ψ(y)

¶

+∆E(z)ψ(x)ψ(y)ψ(z) =Eψ(x)ψ(y)ψ(z). (1.15)

Desta forma é poss´ıvel identificar três contribui¸cões distintas para a energia cinética total E do portador, uma para cada dire¸cão perpendicular dos eixos x, y e z, isto é,

(33)

de movimento para cada um dos eixos:

− ~

2

2m

∂2_ψ₍_x₎

∂x2 ψ(y)ψ(z) = Exψ(x)ψ(y)ψ(z), (1.16)

−~

2

2m

∂2_ψ₍_y₎

∂y2 ψ(x)ψ(z) =Eyψ(x)ψ(y)ψ(z), (1.17)

−~

2

2m

∂2_ψ₍_z₎

∂z2 ψ(x)ψ(y) + ∆E(z)ψ(x)ψ(y)ψ(z) =Ezψ(x)ψ(y)ψ(z), (1.18)

ou, ap´os uma divis˜ao:

−~

2

2m

∂2_ψ₍_x₎

∂x2 =Exψ(x), (1.19)

−~

2

2m

∂2_ψ₍_y₎

∂y2 =Eyψ(y), (1.20)

−~

2

2m

∂2_ψ₍_z₎

∂z2 + ∆E(z)ψ(z) =Ezψ(z). (1.21)

A Eq. 1.21 é a equa¸cão de Schrödinger que descreve o movimento unidimensional de um portador confinado em um potencial ∆E(z). As demais equa¸cões, Eq. 1.19 e Eq. 1.20, descrevem o movimento unidimensional, na dire¸cão de cada coordenada (x e y),

respectivamente. A solu¸cão para estas duas equa¸cões é do tipo exp(ikxx), então:

ψ(x) = exp(ikxx), (1.22)

com

~2_k_x2

2m∗ =Ex, (1.23)

(34)

E

z

n = 1

n = 2

2 2 ,

2 *

x y

k

E En

m

= +h

2 2 2

xy x y

k =k +k

Figura 1.10: Diagrama esquemático das curvas de dispersão (kx,y) no plano xy e estrutura subbanda. Figura reproduzida a partir da Referência [15].

do eixo x. Uma equa¸cão similar a esta última representa a energia cinética do portador na dire¸cão do eixo y e, desta forma, o movimento no plano de um portador confinado,

devido a um potencial unidimensional, pode ser escrito na forma

ψx,y(x, y) =

1

Aexp [i(kxx+kyy)], (1.24)

e

Ex,y =

~2¯¯k_x2+k2_y¯¯

2m∗ . (1.25)

Logo, enquanto a solu¸cão da equa¸cão de Schrödinger ao longo do eixo de confinamento produz estados de energia discretos Ez = En, no plano do po¸co quântico semicondutor

existe uma extens˜ao cont´ınua de energias permitidas, conforme ilustra a Fig. 1.10.

Em um material cristalino tridimensional os portadores estão distribu´ıdos em bandas de energia, ao passo que em um po¸co quântico os portadores ocupam n´ıveis confinados em subbandas de energia. Portanto, o efeito de confinamento unidimensional produz uma redu¸cão no grau de liberdade, restringindo o momento do portador de três para duas

dimensões. Por esta razão, os estados em um po¸co quântico são geralmente referidos como bidimensionais. Em resumo, em um po¸co quântico, a energia total do elétron ou buraco de massam∗ _{é igual a} _E

z+Ex,y, a qual ´e definida por:

E =En+

~2¯¯k_x2+k2_y¯¯

(35)

1.4 Excitons em nanoestruturas 18

A descri¸cão do movimento de portadores em fios e pontos quânticos foge ao obje-tivo do presente trabalho. Portanto, não será abordada nesta tese tal descri¸cão, a qual pode ser encontrada no trabalho proposto na disserta¸cão de mestrado apresentada ao

Departamento de F´ısica da Universidade Federal do Cear´a no ano de 2005, ver Ref. [17].

1.4 Excitons em nanoestruturas

A caracteriza¸cão óptica de um semicondutor nos fornece informa¸cões importantes

so-bre suas propriedades eletrˆonicas. Em muitos semicondutores, os f´otons7 _{podem interagir}

com a vibra¸cão da rede cristalina, fônons8_{, e/ou com elétrons localizados em impurezas.}

Esta intera¸cão faz das caracteriza¸cões ópticas uma ferramenta importante para estudar

excita¸cões e forma a base de muitas aplica¸cões tecnológicas como lasers, diodos emissores de luz e fotodetectores [15, 18, 19].

Se um fóton incide sobre um semicondutor tridimensional, de gap Eg da mesma ordem de grandeza da energia do fóton hω _∼ Eg, então o fóton pode ser absorvido por

um elétron, o qual poderá mover-se no corpo do cristal semicondutor. Se a energia do fóton for maior que a energia do gap, então é criado um elétron na banda de condu¸cão, e um estado vazio é deixado na banda de valência. Este estado vazio, denominado de buraco, comporta-se como uma part´ıcula de carga positiva e, conseqüentemente, produz

uma intera¸cão coulombiana atrativa com o elétron na banda de condu¸cão. O potencial atrativo reduz a energia total do elétron e do buraco na ordem deEb (energia de liga¸cão

entre o elétron e o buraco). A este par elétron-buraco dá-se a denomina¸cão deexciton, ver Fig. 1.11.

A massa do buraco é geralmente maior que a massa do elétron, de forma que o sistema de dois corpos, no material tridimensional, assemelha-se ao átomo de hidrogênio, com a carga negativa orbitando a carga positiva. Tipicamente, os excitons são estudados em dois casos limite, que se caracterizam através da forma de intera¸cão entre o elétron e o

buraco. Para uma atra¸cão forte entre o par elétron-buraco, como encontrado em cristais iônicos, elétron e buraco estão firmemente ligados um ao outro. Esta forma de excita¸cão é denominada de exciton de Frenkel [20, 21]. Por outro lado, existe uma outra forma de intera¸cão elétron-buraco do tipo fraca, como encontrado em semicondutores, em que a

intera¸cão coulombiana é blindada por elétrons de valência, via uma constante dielétrica

7_{Part´ıcula elementar associada ao campo eletromagn´etico, com massa nula,}_spin_{1, carga el´etrica nula,}

estável, e cuja energia é igual ao produto da constante de Planck pela freqüência do campo (hω); quantum de luz.

8_{Part´ıcula hipotética, importante no tratamento teórico da condutividade térmica nos sólidos, e que}

(36)

1.4 Excitons em nanoestruturas 19

Excitação de alta energia

Formação de exciton Excitação resonante

E

_b

Figura 1.11: Representa¸cão esquemática de gera¸cão de excitons. Figura reproduzida a partir da Referência [15].

elevada. Esta forma de excita¸c˜ao ´e denominada de exciton de Wannier-Mott9 _{[22, 23],}

ver Fig. 1.12.

O exciton é relativamente estável, e pode ter um tempo de vida média relativa-mente longo, da ordem de centenas de ps a ns. A recombina¸cão de excitons é um efeito importante para fotoluminescência a baixa temperatura, embora as energias de liga¸cão sejam relativamente baixas, da ordem de algumas unidades de meV a dezenas de meV.

Quando submetidos a altas temperaturas os excitons tendem a dissociar-se.

Em heteroestruturas (po¸co, fio e pontos quânticos), assim como em materiais tri-dimensionais, a forma¸cão de excitons pode ocorrer por meio de excita¸cões ressonantes. Considerando que a energia total do exciton em um semicondutor cristalino

tridimensio-nal é simplesmente a energia de liga¸cãoEb do par elétron-buraco, mais a energia do gap

Eg, em uma heteroestrutura existem duas componentes adicionais devido `as energias de confinamento do el´etron e do buraco, ou seja:

E =Eg₋Eb, (1.27)

´e a energia total de um exciton em um cristal semicondutor tridimensional, e

E =Eg+Ee+Eh− |Eb|, (1.28)

´e a energia total de um exciton confinado em uma heteroestrutura.

A energia total do exciton é claramente uma fun¸cão da estrutura quântica. Isto se

(37)

1.5 Impurezas em nanoestruturas 20

h e

Exciton de Wannier-Mott

(a)

Exciton de Frenkel

(b)

Figura 1.12: (a) Representa¸cão esquemática de um par elétron-buraco, firmemente ligado, formando um exciton de Frenkel. (b) Representa¸cão esquemática de um par elétron-buraco, fracamente ligado, formando um exciton de Wannier-Mott. Figura reproduzida a partir da Referência [19].

deve ao fato de que a energia total do exciton depende da energia de confinamento, a qual varia de acordo com o grau de liberdade dos portadores. A energia de liga¸c˜ao, devido `a

intera¸cão Coulombiana do par elétron-buraco, também depende do grau de liberdade dos portadores, ou seja, do tipo da estrutura confinante.

1.5 Impurezas em nanoestruturas

A habilidade de introduzir impurezas em uma rede cristalina foi o avan¸co tecnológico mais importante no desenvolvimento dos semicondutores como matéria prima para a indústria eletrônica. Isto permitiu que as propriedades eletrônicas dos semicondutores

servissem às necessidades da engenharia. Átomos que são introduzidos em uma rede cris-talina com um elétron a mais do que o requerido para a liga¸cão qu´ımica com os átomos vizinhos da rede são facilmente ionizados, doando elétrons para rede cristalina. Tais átomos recebem a denomina¸cão deimpurezas doadoras, Fig. 1.13(a). Átomos que são

introduzidos na rede cristalina com um elétron a menos do que é requerido para liga¸cão qu´ımica com os átomos vizinhos geram estados vazios na banda de valência (buracos). Tais átomos foram denominados deimpurezas aceitadoras, Fig. 1.13(b). Estes buracos movem-se na rede cristalina e podem contribuir para a condutividade elétrica do

(38)

1.5 Impurezas em nanoestruturas 21 As+ Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si e -Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si

Banda de Valência

Banda de Condução

E

_c

E

v Eg Ga -Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si h+ Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si

Banda de Valência

Banda de Condução

E

c

E

v

Eg

(a) Impurezas doadoras

(b) Impurezas aceitadoras

Figura 1.13: Esquerda: modelo esquemático de um Cristal de Si dopado com impurezas substitucionais Ga (aceitador) e As (doador). Direita: representa¸cão esquemática dos n´ıveis de impurezas no gap de semicondutores dopados. Ec e Ev representam as energias m´ınimas e máximas das bandas de condu¸cão e valência, respectivamente. Figura reproduzida a partir da Referência [10].

aceitadoras leva à constru¸cão de uma jun¸cãop₋n, a qual foi a base do primeiro transistor a ser fabricado: o Transistor de Jun¸cão Bipolar (TJB).

Impurezas num cristal modificam o potencial eletrostático nas suas vizinhan¸cas, que-brando a simetria de transla¸cão do potencial periódico. Essa perturba¸cão pode produzir

fun¸cões de onda eletrônicas que são localizadas nas proximidades da impureza, deixando de ser propagantes em todo o cristal. As energias dessas fun¸cões de onda são obtidas através da equa¸cão de Schrödinger, resolvida para o potencial da impureza. Essas ener-gias aparecem na forma de n´ıveis discretos que podem estar situados entre as bandas do

cristal perfeito.

(39)

1.5 Impurezas em nanoestruturas 22

D

e

-e

-D

D

e

-(a)

e

-D D

e

-D

e

-(b)

Figura 1.14: (a) Representa¸cão esquemática do efeito da largura do po¸co quântico sobre a fun¸cão de onda do portador. (b) Representa¸cão esquemática do efeito da posi¸cão de impureza sobre a fun¸cão de onda do portador. Figura reproduzida a partir da Referência [15].

complexa que o caso sem confinamento, devido à limita¸cão no movimento do portador, em dois graus de liberdade, imposta pela barreira de potencial. Primeiro porque a energia de liga¸cão do portador (elétron-impureza) depende do potencial de confinamento do po¸co

quântico. Na forma mais simples, isto pode ser representado através do efeito que a largura do po¸co causa sobre a fun¸cão de onda do portador (Fig. 1.14(a)). A energia de liga¸cão do portador será diferente em um po¸co quântico duplo e em uma superrede. Em segundo lugar, a energia de liga¸cão e a fun¸cão de onda do portador dependem da

posi¸cão que a impureza ocupa dentro do po¸co quântico. Quando a impureza ocupa a posi¸cão central do po¸co quântico, a energia de liga¸cão e a fun¸cão de onda do portador são diferentes da energia de liga¸cão e da fun¸cão de onda do portador quando a impureza ocupa uma posi¸cão próxima a uma das interfaces do po¸co quântico, conforme ilustra a

Fig. 1.14(b).

O entendimento teórico de nanoestruturas com uma impureza inserida requer a aplica-¸cão de teorias quânticas para o cálculo das propriedades eletrônicas, ópticas e de trans-porte de po¸cos, fios e pontos quânticos, em conjunto com as teorias do eletromagnetismo

clássico. Em alguns casos, se faz necessário o uso de métodos computacionais sofisticados para solu¸cão das equa¸cões de Schrödinger e Poisson através de métodos auto-consistentes, como foi mostrado em disserta¸cão de mestrado apresentada ao Departamento de F´ısica da Universidade Federal do Ceará, ver Ref. [24]. Em outros casos, necessita apenas ser

(40)

1.6 Diel´etricos em nanoestruturas 23

um termo coulombiano adicional que represente o potencial da impureza. O Hamilto-niano para um elétron confinado em uma nanoestrutura, consistente com a aproxima¸cão da massa efetiva e a fun¸cão envelope, na presen¸ca de uma impureza, é o Hamiltoniano

padrão para um elétron confinado em um po¸co quântico simples mais o termo devido à intera¸cão coulombiana, ou seja:

H =₋ ~

2

2m∗∇

2_{+ ∆}_E₍_z₎

− e

2

4πεr, (1.29)

onde e representa a carga do elétron e r é a posi¸cão do elétron com rela¸cão à impureza, definida por:

r2 =x2+y2+ (z₋rd)2, (1.30)

onde rd representa a posi¸c˜ao da impureza ao longo da dire¸c˜ao z de crescimento do po¸co

quântico. Por conveniência, é considerado nesta equa¸cão que a posi¸cão da impureza coincide com a origem do plano xy. Note-se também que a massa efetiva é considerada constante na Eq. 1.21 para simplificar a análise do sistema.

Métodos de solu¸cão da equa¸cão de Schrödinger têm focado basicamente dois tipos de

aproxima¸cões. A primeira destas aproxima¸cões baseia-se na expansão da fun¸cão de onda do elétron como uma combina¸cão linear de fun¸cões Gaussianas [25, 26]. Esta técnica pos-sui uma boa aproxima¸cão para calcular propriedades de impurezas em po¸cos quânticos simples. A generaliza¸cão desta técnica para estruturas mais complexas não é,

entre-tanto, trivial. A segunda aproxima¸cão baseia-se no princ´ıpio variacional. Neste método é escolhida uma fun¸cão de onda cuja forma funcional possa conter um ou mais parâmetros, que são obtidos minimizando a energia do n´ıvel eletrônico. Embora estes sejam os métodos comumente usados na literatura, neste trabalho será aplicado um método para solucionar

a equa¸cão de Schrödinger dependente do tempo que se baseia em propaga¸cão no tempo imaginário.

1.6 Diel´

etricos em nanoestruturas

A fabrica¸cão de nanodispositivos requer usualmente a combina¸cão de semicondutores com metais, isolantes e moléculas em um pequena região do espa¸co. O comportamento destes sistemas depende fortemente de aplica¸cão de campo elétrico, e muitos problemas