Dificuldades no trabalho com a visualização

Considerando a centralidade da visualização nas pesquisas em Educação Matemática aqui referenciada e para o trabalho pedagógico de sala de aula, convém reafirmarmos a sua condição de não solução para todos os problemas do ensino de Matemática, como também expormos algumas dificuldades detectadas por pesquisadores no trato desse tema.

Inicialmente, Arcavi (1999), baseado em Eisenberg e Dreyfus28, elenca os aspectos cultural, cognitivo e sociológico, como dignos de atenção. Quanto às dificuldades do ponto de vista cultural, o autor apresenta os argumentos postos anteriormente, quando tratamos das questões filosóficas inerentes ao modo de se ver a Matemática, seja no aspecto da sua produção ou do seu ensino. Mais precisamente, em relação ao que é questionado com o fazer matemático pela comunidade matemática.

No quesito cognitivo, entre algumas questões estariam as dificuldades dos alunos em lidar com as múltiplas representações do mesmo objeto matemático.

Por fim, quanto ao aspecto sociológico, os entraves estariam vinculados à questão pedagógica, mais precisamente relativa à transposição didática, que, definida de modo sucinto, corresponderia às transformações que ocorrem quando o conhecimento científico está sendo divulgado, através e para efeito de ensino. Como exemplo, é citado o caso em que professores preferem adotar um procedimento analítico a trabalhar com representações visuais, por julgarem ser o primeiro mais adequado e eficiente, pelo fato de ser mais sequencial.

Ainda do ponto de vista sociológico, ou sócio-cultural, a visualização poderá de fato trazer benefícios para alunos oriundos de uma camada, culturalmente falando, rica em imagens.

Nessa mesma perspectiva, Costa (2000) faz referência às implicações do uso do computador, que traz consequências sociológicas no trato da visualização, afirmando que

Friedhoff e Benson (citados em Senechal, 1991) dizem que a visualização já não precisa de ser uma experiência interna solitária,

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Eisenberg, T. and Dreyfus T.: 1991, „On the reluctance to visualize in mathematics‟, in W. Zimmermann and S. Cunningham S. (eds.), Visualization in Teaching and Learning

já que o computador torna possível que grupos de indivíduos, mesmo separados por grandes distâncias, colaborem em explorações visuais, sejam em esferas artísticas, de design ou científicas. (COSTA, 2000, p.178).

Por sua vez, Dreyfus29 (apud COSTA, 2000, p.176-177) relaciona as seguintes dificuldades apresentadas por estudantes, em relação à visualização:

incapacidade de ver um diagrama de diferentes maneiras; dificuldades em reconhecer as transformações implicadas nos diagramas;

interpretações incorretas ou não convencionais de variação e co-variação em gráficos;

falha na distinção entre uma figura geométrica e o desenho que representa essa figura;

falha em unir as suas representações com o pensamento analítico.

Outro aspecto que poderia ser levado em conta do ponto de vista da pesquisa em visualização seria o argumento da dificuldade de tratar sobre esse tema, em função da diversidade de conceituações que o envolvem. Todavia, uma dificuldade comum é detectada “quando se trabalha com os processos de visualização que é a necessidade de saber se a imagem visual está na mente do aluno ou fora do aluno, numa folha de papel ou no ecrã do computador” (NEMIROVSKY E NOBLE, apud COSTA, 2000, p.169-170).

O mesmo ocorre em relação ao que se entende por imagem. Alguns pesquisadores, por exemplo, a conceitua a partir da constatação de sua importância como elemento da cognição, a qual gera entendimentos diversos, vinculados a um produto da imaginação, como construção mental ou “como representação matemática dum conceito ou propriedade, contendo informação baseada em elementos pictóricos, gráficos ou diagramáticos” (GUTIERREZ apud COSTA, 2000, p.170).

Flores (2012b) toma por empréstimo o pensamento de Lerman30, para defender que a diversidade de concepções não seria necessariamente um problema, pelo contrário, seria um aspecto positivo em função da necessidade de

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Dreyfus, T. (1991). On the status of visual reasoning in Mathematics and Mathematics Education, Plenary address to PME XV, Proceedings Fifteen PME conference, Assisi, Volume I, p. 33-48.

30 _{Lerman, S. (2010). Theories of Mathematics Education: Is Plurality a Problem? In Sriraman, B &English, L.} (Eds.). Theories of Mathematics Education: Seeking New Frontiers, pp.99-109. London, New York: Springer.

ampliação da compreensão sobre a diversidade de teorias que buscam compreender o fenômeno do ensino e da aprendizagem da Matemática. A questão em si não seria a diversidade de entendimentos, porém, como conectá-los.

Ainda considerando o aspecto cognitivo, Duval (2003) refere-se à questão da aprendizagem matemática no sentido de abordar quais os sistemas cognitivos que possibilitariam ao aluno perceber o objeto matemático e o que ele teria de específico em relação a outros tipos de conhecimento, no que tange a atividade matemática propriamente dita. Em outras palavras, seria perguntar: o que caracteriza a atividade matemática do ponto de vista cognitivo?

Tal questionamento levou Duval (2003) a fundamentar a sua pesquisa na explicação da compreensão em Matemática e na busca das razões dos bloqueios que a maioria dos alunos experenciam, o que, a seu ver, não pode se restringir a explicações do ponto de vista histórico ou epistemológico.

Dessa feita, surgem como elementos precípuos as representações semióticas, as quais se baseiam principalmente no “fato de que as possibilidades e tratamento matemático - por exemplo, as operações de cálculo - dependem do sistema de representação utilizado” (Duval, 2003, p.13) e “há o fato de que os objetos matemáticos, começando pelos números, não são objetos diretamente perceptíveis ou observáveis com a ajuda de instrumentos” (DUVAL, 2003, p.14).

Outro dado a se considerar é a diversidade de representações semióticas utilizada em Matemática, tais como os sistemas de numeração; as figuras geométricas; as escritas algébricas e formais; as representações gráficas; a língua natural; dentre outras.

Essa diversidade de representações semióticas levou Duval (2003) a introduzir o conceito de registro de representação, como forma de se referenciar aos tipos de representação utilizados na Matemática. Por sua vez, isso possibilitaria enxergar a originalidade do fazer matemático, no fato da necessidade de “mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação” (DUVAL, 2003, p.14).

Desta forma, nessa passagem residiria um dos motivos das dificuldades dos alunos com a aprendizagem em Matemática, ou mesmo questões de ordem metodológicas, levando em conta o ensino, pois “a compreensão em matemática

implica a capacidade de mudar de registro. Isso porque não se deve jamais confundir um objeto e sua representação” (DUVAL, 2003, p.21).

A partir do princípio de mudança de registros, emerge o conceito de conversão, que se caracteriza como um dos dois tipos necessários de transformação de representações semióticas, para o domínio de um conteúdo matemático. As conversões são “transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados” (p.16). Como exemplo o autor cita o caso da passagem da escrita algébrica de uma equação para a sua correspondente representação gráfica.

Para Duval (2003) a conversão não é um processo tão fácil quanto parece, de simples mudança de representação de um registro, denominado por ele de partida, para outro, chamado de chegada ou terminal. Esse procedimento nem sempre é imediato. Quando essa ação for direta, na qual a representação de chegada transparece na representação de partida, ficando próximo a uma codificação ou mesmo a uma associação, ele enfatiza que há coerência entre os registros.

Duval chama atenção para aspectos envolvidos nos conteúdos, como é o caso da conversão entre gráficos e equações, defendendo a necessidade de se “levar em conta, de um lado, as variáveis visuais próprias dos gráficos (inclinação, intersecção com os eixos etc.) e, de outro, os valores escalares das equações (coeficientes positivos ou negativos, maior, menor ou igual a 1 etc.)” (Duval, 2003, p.17).

Por sua vez, caso não seja direto, é porque não há coerência entre diferentes formas e registro. Pode-se verificar, em outro exemplo, que “a passagem de um enunciado em língua natural a uma representação em outro registro toca um conjunto complexo de operações para designar os objetos” (DUVAL, 2003, p.18). Pode-se inclusive haver coerência em um sentido, quando a recíproca não o é.

A outra transformação citada pelo autor é denominada de tratamento. Os tratamentos “são transformações de representações dentro de um mesmo registro”, entre vários exemplos, destaca-se a realização de cálculos, utilizando-se o mesmo sistema de escrita de números.

Em relação às dificuldades dos alunos com a aprendizagem em Matemática, Duval (2003) observa que as dificuldades com o processo de não congruência entre as formas de registro poderão promover sérios bloqueios na aprendizagem, com consequências negativas para toda vida.

Assim, faz-se necessário ressaltar a importância do procedimento de conversão de representações para a compreensão em Matemática e, consequentemente, sua influência no fracasso apresentado por grande parte dos alunos em relação a essa disciplina. Primeiro, o autor adverte que o aumento do fracasso ou dos bloqueios em Matemática é diretamente proporcional a necessidade de se fazer uma conversão, mesmo tratando-se de qualquer dos níveis de ensino.

A compreensão em matemática implica a capacidade de mudar de registro. Isso porque não se deve jamais confundir um objeto a sua representação. Ora, na matemática, diferentemente dos outros domínios de conhecimento científico, os objetos matemáticos não são jamais acessíveis perceptivamente ou instrumentalmente (microscópio, telescópio, aparelhos de medida etc.). O acesso aos objetos matemáticos passa necessariamente por representações semióticas. (DUVAL, 2003, p.21).

Dreyfus (apud COSTA, 2000) afirma que, de uma maneira geral, existe um consenso sobre a importância da visualização e do seu potencial na efetivação do raciocínio do aluno, porém, a sua efetivação no currículo e no cotidiano do professor, retratado em práticas pedagógicas, ainda está distante de se concretizar. Para esse autor, esse fenômeno é em parte creditado ao fato de que a visualização não é um procedimento tão fácil quanto parece, demandando do aluno um esforço intelectual.

Outro aspecto explicitado por esse autor está relacionado a

(...) modelos de raciocínio que são apropriados e úteis em diferentes situações visuais variam consideravelmente; diferentes formas de representar necessitam de ser construídas para diferentes tipos de representações visuais e cada uma abriga potencialmente problemas de aprendizagem específicos. (DREYFUS, apud COSTA, 2000, p. 179).

Arcavi (1999) ressalta que pesquisadores em Educação Matemática já buscam empreender investigações com o intuito de minimizar os efeitos das dificuldades, como as aqui apresentadas, através do entendimento e da melhor exploração do potencial da visualização no processo de ensino e aprendizagem de Matemática.

Para Cunnigham (apud COSTA, 2000), a inclusão do tema visualização no cenário da Educação Matemática promove implicações que apontam para a necessidade de se rever algumas propostas pedagógicas de ensino de Matemática,

que está intrinsecamente ligado ao processo de comunicação matemática. Por outro lado, a abordagem desse tema contribui para que os alunos compreendam melhor esse conhecimento. Logo, a visualização torna-se imprescindível no processo de democratização do acesso à Matemática para todos e nos impulsiona a rever, consequentemente, nossas visões filosóficas.

No próximo item tratamos das bases filosóficas necessárias para dar sustentação ao uso da visualização matemática como campo de pesquisa e na prática pedagógica.

3.5. A VISUALIZAÇÃO MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DA FILOSOFIA DA