dimH(φ(P0(An,r))) ! dimH(P0(An,r))) ! dimH(An,r) ! 2c(Kn) ! 2c(K).
Disto obtemos que existe u ∈ S\φ(P0(An,r)). De fato, se este não é o caso, então
S ⊂ φ(P0(An,r)) e dim(Y )− 1 = dimH(S) ! dimH(φ(P0(An,r))) ! 2c(K) o que contradiz
a nossa hipótese.
Dado ǫ > 0, i, j ∈ N definimos
Pǫ(x) = P0(x) + ǫφi(Q(x))u.
Como Pǫ ∈ L(X) com imagem em Y e relembrando que se y ∈ Y , então Qy = 0 é fácil
ver que Pǫ ∈ P(X, Y ).
Se Pǫ(x) = 0 temos que
P0(x) =−ǫφi(Q(x))u.
Se em adição x ∈ An,r,i,j temos que φi(Q(x))1= 0. Portanto
u =−(ǫφi(Q(x)))−1P0(x).
Como u ∈ S, u = φ(u) e assim φ(P0(x)) = P0(x), o que nos dá|ǫφi(Q(x))| = 1 e portanto
±u = φ(P0(x)) ∈ φ(P0(An,r,i,j)). Consequentemente u ∈ φ(P0(An,r)) contradizendo a
escolha de u e mostrando que Pǫ ∈ Pn,r,i,j.
Como -Pǫ− P0-L(X) −→ 0 temos que Pǫ→0 n,r,i,j é denso em P(X, Y ).
3.3 Dimensão de conjuntos compactos negativamente in-
variantes
Exploramos na seção anterior a projeção de conjuntos compactos com dimensão fractal finita em espaços vetoriais de dimensão finita de maneira injetiva. Para concluir o nosso estudo sobre atratores, resta-nos mostrar que estes têm de fato dimensão fractal finita, o que nos mostrará que eles são de fato objetos de dimensão finita.
Nesta seção, nos dedicamos a apresentar, corrigir e melhorar os resultados apresentados em Mañé [17] e em Hale [12] sobre dimensão de conjuntos compactos negativamente
invariantes.
Seja X1, X2 um espaço de Banach e defina
Lλ(X1, X2) = {T ∈ L(X1, X2) : T = L + C com C compacto e -L-L(X1,X2) < λ}.
Para prosseguirmos, introduziremos a noção de distância de Banach-Mazur entre dois espaços normados isomorfos e enunciaremos um resultado que melhora a estimativa obtida por Mañé, seguindo Carvalho-Langa-Robinson [6].
Definição 3.3.1. Sejam X e Y dois espaços normados isomorfos. Definimos a distância de Banach-Mazur entre X e Y por
dBM(X, Y ) = log(inf{-T -L(X,Y )-T−1-L(Y,X): T ∈ L(X, Y ), T−1 ∈ L(Y, X)}).
Podemos ver facilmente que dBM(X, Y ) = 0 se, e somente se, X e Y são isometrica-
mente isomorfos.
Denotemos também Km
∞o espaço Km munido da norma ℓ∞ (K = R ou C); isto é, para
z∈ Km com z = (z1,· · · , zm), onde zi ∈ K temos
-z-∞ = max
i=1,··· ,m-zi-K.
Nosso objetivo é realizar a estimativa dBM(X, Km∞) ! log m, onde X é um espaço de
Banach m-dimensional. Para isto faremos uso de uma base de Auerbach para X. Vamos então estabelecer a existência de tais bases para espaços reais, e depois para espaços complexos.
Lema 3.3.2. Seja X um espaço normado real n−dimensional. Então, existe uma base B ={x1,· · · , xn} para X e uma base B∗ ={x∗1,· · · , xn∗} para X∗ com-xi-X =-x∗i-X∗ =
1, e x∗
i(xj) = δij, 1 ! i, j ! n.
Demonstração: Se X = (Rn,- · -), tome vetores {x1,· · · , xn} com -xi-X = 1, 1 ! i ! n
e tal que a envoltória convexa fechada co{0, x1,· · · , xn} tenha volume máximo. Defina
x∗
i tal que x∗i(xj) = δi,j, 1 ! j ! n e 1 ! i ! n. Resta somente provar que -x∗i-X∗ = 1,
1 ! i ! n. Claramente -x∗
i-X∗ "1.
Se -x∗
i-X∗ > 1, seja yi ∈ X com -yi-X = 1 tal que x∗
i(yi) > 1. Note que {x ∈
3.3 Dimensão de conjuntos compactos negativamente invariantes 59 span{x1,· · · , xi−1, xi+1, xn}. Portanto co{0, x1,· · · , xn} tem volume estritamente menor
que co{0, x1,· · · , xi−1, yi, xi+1,· · · , xn} e temos uma contradição.
Lema 3.3.3. Seja X um espaço vetorial complexo normado n-dimensional. Então, existe uma base B = {x1,· · · , xn} para X e uma base B∗ ={f1,· · · , fn} para X∗ com -xi-X =
-fi-X∗ = 1 (i = 1, . . . , n) tal que fi(xj) = δij, i, j = 1, . . . , n.
Demonstração: Dada uma base B0 ={y1,· · · , yn} de X consideramos o espaço real X2
dado pela combinações lineares sobre R de
B2 ={y1, . . . , yn, iy1, . . . , iyn},
equipado com a norma -z-X2 = -z-X. Aplicamos agora a versão real deste resultado
para X2, para produzir uma base {x1, . . . , x2n} para X2 e {ϕ1, . . . , ϕ2n} para X2∗ tal que
ϕj(xk) = δjk e -ϕj- = -xj- = 1.
Como xj ∈ X e {xj} deve gerar X sobre C, podemos reordenar e renomear os {xj} (e
as correspondentes {ϕj}) de forma que {x1, . . . , xn} gerem X sobre C. Segue que
{x1, . . . , xn, ix1, . . . , ixn}
gera X sobre R. Mais ainda, cada ixj deve ser uma combinação linear de {xn+1, . . . , x2n},
como segue do fato de que {x1, . . . , xn} forma uma base para X sobre C que {ix1, x2, xn}
são linearmente independentes (sobre C, logo certamente sobre R). Para k = 1, . . . , n definimos um elemento fk ∈ X∗ por
fk(z) = ϕk(z)− iϕk(iz) z ∈ X,
onde para interpretar ϕk(z) consideramos z como um elemento de X2 (basta expandir
em termos da base {x1, . . . , xn} e separar as partes reais e imaginárias dos coeficientes).
Mostremos agora que {fk} tem as propriedades desejadas.
Primeiramente, notemos que para 1 ! k, j ! n,
fk(xj) = ϕk(xj)− iϕk(ixj) = δkj,
como ixj é uma combinação linear de {xn+1, . . . , x2n}, e portanto ϕk(ixj) = 0. Tudo que
nos resta provar é que -x∗
Yosida, 1980), escrevendo fk(z) = re−iθ. Então
|fk(z)| = eiθfk(z) = fk(eiθz),
logo fk(eiθz) é real e positivo. Segue que
|fk(z)| = fk(eiθz) = ϕk(eiθz)≤ -eiθz-X2 ≤ -eiθz-X =-x-X,
e o lema está provado.
Agora, com a existência da base de Auerbach para espaços de dimensão finita, podemos prosseguir com um importante resultado sobre a distância de Banach-Mazur, que é uma melhora na estimativa feita por Mañé, que afirma que, se Y é um espaço de Banach m-dimensional sobre K = R ou C, então
dBM(Y, Km∞) ! log(m2m).
Proposição 3.3.4. Seja Y um espaço de Banach m-dimensional sobre K = R ou C. Então dBM(Y, Km∞) ! log m.
Demonstração: Seja {x1,· · · , xm} uma base de Auerbach para Y , e {f1.· · · , fm} a
base correspondente de Y∗. Defina a aplicação T : Km
∞ → Y da seguinte maneira T (z) = m 3 j=1 zjxj. Então -T (z)-X = 8 8 8 8 8 m 3 j=1 zjxj 8 8 8 8 8 Y ≤ m 3 j=1 |zj| ! m-z-∞, e portanto -T -L(Km∞,Y )!m.
Por outro lado, se x = 1m
j=1zjxj ∈ Y com -x-Y ! 1 então como zj = fj(x),
-T−1(x)-∞ =-z-∞ = max
3.3 Dimensão de conjuntos compactos negativamente invariantes 61 o que implica que
-T−1-
L(Y,Km∞) !1,
e demonstra nosso resultado.
Lema 3.3.5. Seja X um espaço de Banach sobre K. Se Y é um subespaço de X e dim(Y ) = m, temos
N (ρ, BrY(0)) ! (m + 1)αm. r ρ
/αm
, 0 < ρ ! r,
onde α = 1 se K = R e α = 2 se K = C. As bolas na cobertura podem ser tomadas com centro em Y .
Demonstração: Assuma primeiramente que K = R. Como Y e Rm∞ são m-dimensionais, dBM(Y, Rm∞) ! log m; em particular, existe um isomorfismo linear T : Rm∞ → Y tal que
-T --T -−1 !m. Como
BrY(0) = T T−1(BrY(0))⊆ T (BRm∞
)T−1)r(0)),
e BRm∞
)T−1)r(0) pode ser coberta por
. 1 + -T−1-r ρ/-T - /m = . 1 +-T --T−1-r ρ /m ≤ . 1 + mr ρ /m !(m + 1)m . r ρ /m bolas em Rm
∞ de raio ρ/-T -, segue que BYr(0) pode ser coberta pelo mesmo número de
Y -bolas de raio ρ. Se X é complexo são necessárias (1 + (a/b))2m bolas de raio b em Cm ∞
para cobrir uma bola de raio a.
Antes de continuarmos precisamos do seguinte Lema:
Lema 3.3.6. Seja X um espaço de Banach e T ∈ Lλ/2(X). Então existe um subespaço
Z de X de dimensão finita tal que
dist(T [B1X(0)], T [B1Z(0)]) < λ. (3.3.1) Denotamos por νλ(T ) o mínimo n ∈ N tal que (3.3.1) vale para algum subespaço n-
Demonstração: Escreva T = L+C, onde C ∈ K(X) and L ∈ L(X) com -L-L(X)< λ/2. Mostremos primeiramente que para qualquer ǫ > 0 existe um subespaço de dimensão finita Z tal que
dist(C[B1X(0)], C[B1Z(0)]) < ǫ. (3.3.2) Suponha que este não é o caso. Escolha algum x1 ∈ X com -x1-X = 1, e seja Z1 =
span{x1}. Então
dist(C[B1X(0)], C[B1Z1(0)]) " ǫ, e logo existe um x2 ∈ X com -x2-X = 1 tal que
-Cx2− Cx1-X "ǫ.
Com Z2 = span{x1, x2}, podemos encontrar x3 com -x3-X = 1 tal que
-Cx3− Cx1-X "ǫ e -Cx3− Cx2-X "ǫ.
Continuando indutivamente podemos construir desta maneira uma sequência {xj} com
-xj- = 1 tal que
-Cxi− Cxj-X "ǫ i1= j,
contradizendo a compacidade de C.
Agora seja ˜λ <λ tal que 2-L-L(X) < ˜λ <λ , e escolha Z usando o argumento acima
de forma que dist(C[B1X(0)], C[B1Z(0)]) < λ− ˜λ. Se x ∈ BX 1 (0) e z ∈ B1Z(0), então -T x − T z-X !-L(x − z)-X +-Cx − Cz-X ! ˜λ +-Cx − Cz-X Portanto, dist(T [B1X(0)], T [B1Z(0)]) ! ˜λ + dist(C[B1X(0)], C[B1Z(0)]) < λ.
3.3 Dimensão de conjuntos compactos negativamente invariantes 63 Lema 3.3.7. Se T ∈ L(X) e Y ⊂ X é um subespaço com dim(Y ) = m, então
N ((1 + γ)λr, T (BrX(0))) ! (m + 1)αm .
-T -L(X)+ λ
γλ
/αm
para todo r > 0, λ > dist(T [BX
1 (0)], T [B1Y(0)]), γ > 0, onde α = 1 ( ou 2) se X é real
(ou complexo).
Demonstração: Pela linearidade de T é suficiente mostrar o teorema para r = 1. Seja ¯
r = -T -L(X)+λ. Cubra a bola B¯r(0)∩T (Y ) por bolas Bγλ(xi), 1 ! i ! k, com xi ∈ B¯r(0)
para todo i. Pelo Lema 3.3.5 podemos tomar k ! (m + 1)αm . ¯ r γλ /αm . A demonstração estará completa se mostrarmos que
k
!
i=1
B(1+γ)λ(xi)⊃ T (B1(0)).
Se -v-X !1, como dist(T [BX1 (0)], T [B1Y(0)]) < λ, existe y∈ B1Y(0) tal que
-T v − T y-X < λ.
Chamando v2 = T y temos
-v2-X !-T v-X +-T v − v2-X !-L-T (X)-v-X + λ = ¯r.
Escolhendo 1 ! i ! k tal que -v2− xi-X !γλ temos que
-T v − xi-X !-T v − v2-X +-v2− xi-X !λ(1 + γ).
Isto completa a demonstração.
Lema 3.3.8. Sejam K um subconjunto compacto de um espaço de Banach X e f : X → X uma função continuamente diferenciável em uma vizinhança de K. Suponha que K seja negativamente invariante para f ; isto é, f (K) ⊃ K, e suponha também que existam
0 < α < 1 e M " 1 tal que para cada x∈ K,
N (α, Dxf [B1X(0)])≤ M. (3.3.3)
Então
c(K)≤ log M
− log α. (3.3.4) Demonstração: Primeiramente, garantimos que (3.3.3) é suficiente para fornecer limi- tações para o número de bolas necessárias para cobrir f(BX
r (x)) quando r é suficiente-
mente pequeno. Como f é continuamente diferenciável e K é compacto, para cada η > 0 existe r0 = r0(η) tal que para qualquer 0 < r < r0 e qualquer x ∈ K,
f (BrX(x))⊆ f(x) + Dxf [BrX(0)] + BηrX(0).
Segue que
N ((α + η)r, f [BrX(x)]) ! M (3.3.5) para todo r ≤ r0(η).
Agora fixe η com 0 < η < 1 − α, e seja r0 = r0(η). Cubra K com N (r0, K) bolas
de raio r0. Aplique f para todo elemento desta cobertura. Como f(K) ⊇ K, isto nos
fornece uma cobertura de K formada por conjuntos da forma f(BX(x, r0)), para algum
x ∈ K. Segue de (3.3.5) que cada uma destas imagens pode ser coberta por M bolas de raio (α + η)r0, garantindo que N((α + η)r0, K) ! M N (r0, K). Aplicando este argumento
k vezes, temos
N ((α + η)kr0, K)≤ MkN (r0, K).
Segue da definição de c(K) que
c(K)≤ log M − log(α + η), e como η > 0 é arbitrário obtemos (3.3.4).
Teorema 3.3.9. Seja X um espaço de Banach, U ⊂ X um conjunto aberto e f : U → X uma aplicação continuamente diferenciável. Suponha que K ⊂ U é um subconjunto compacto e que Dxf ∈ Lλ
2(X), para algum 0 < λ< 1
3.3 Dimensão de conjuntos compactos negativamente invariantes 65 supx∈Kνλ(Dxf ) e D = supx∈K-Dxf- são finitos e
N (2λ, Dxf [B1X(0)]) ! 9 (n + 1)D λ :αn para todo x∈ K, (3.3.6) onde α = 1 se X é real e α = 2 se X é complexo. Se ainda f (K)⊃ K então
c(K) ! αn * log((n + 1)D/λ) − log(2λ)
5
. (3.3.7)
Demonstração: Primeiramente mostremos que n = supx∈Kνλ(Dxf ) é finito. Para cada
x∈ K, existe um subespaço linear de dimensão finita Zx tal que
dist(Dxf [B1X(0)], Dxf [BZx1 (0)]) < λ.
Como D(·)f é contínua, segue que existe um δx > 0 tal que
dist(Dyf [BX1 (0)], Dyf [BZx1 (0)]) < λ
para todo y ∈ BX(x, δx), isto é, νλ(y) ! νλ(x) para estes tais y. A cobertura aberta de
K formada pela união de BX
δx(x) sobre x tem uma subcobertura finita, donde segue que
n < ∞.
Agora, como n = supx∈Kνλ(Dxf ) < ∞, para cada x ∈ K existe um subespaço Zx de
X com dim(Zx) ! n tal que
dist(Dxf [B1X(0)], Dxf [BZx1 (0)]) < λ.
Para facilitar a notação vamos omitir o subscrito x em Zx, e escreveremos T = Dxf .
Notando que T (Z) é também um subespaço n-dimensional de X, podemos usar o Lemma 3.3.5 para cobrir a bola BT (Z)
)T ) (0) com bolas BλX(yi), 1 ! i ! k, tal que yi ∈ B)T )X (0)
para cada i e k ! 9 (n + 1)-T - λ :αn . Logo T [B1Z(0)] ⊆ B)T )T (Z)(0) = B)T )X (0)∩ T (Z) ⊆ k ! i=1 BλX(yi). (3.3.8)
Completaremos a prova mostrando que
k
!
i=1
B2λX(yi)⊇ T [B1X(0)].
De fato, se x ∈ BX(0, 1) então segue de (3.3.1) que existe um y ∈ T [B1Z(0)] tal que
-T x − y-X < λ. Como y ∈ T [B1Z(0)], segue de (3.3.8) que -y − yi-X ! λ para algum
i∈ {1, . . . , k}, e logo
-T x − yi-X !-T x − y-X +-y − xi-X < 2λ,
isto é, x ∈ BX 2λ(yi).
O resultado segue como enunciado, uma vez que n é uniforme sobre x ∈ K. A conclusão final segue do Lema 3.3.8.
Teorema 3.3.10. Seja X um espaço de Banach, U ⊂ X um conjunto aberto e f : U → X uma aplicação continuamente diferenciável. Se K ⊂ U é um conjunto compacto tal que f (K) ⊃ K e que existe ǫ > 0 tal que Dxf ∈ L1−ǫ(X) para todo x∈ K, então
c(K) <∞. Se em adição Dxf ∈ L1
4(X) para todo x∈ K temos que
c(K) ! log;(ν + 1)
αν+D+λ
ǫλ
,αν< log(1/2(1 + ǫ)λ)
onde D = supx∈K-Dxf-, ν = supx∈Kνλ(Dxf ), 0 < λ < 12 e ǫ é tal que (1 + ǫ)λ < 1/2.
Demonstração: Primeiramente notemos que, se definirmos ˜N (r, K) como o número mínimo de bolas Br(x), x ∈ X (e não x ∈ K como na definição de N(r, K)) necessário
para cobrir K, então
3.3 Dimensão de conjuntos compactos negativamente invariantes 67 Portanto
c(K) = lim sup
r→0
log N (2r, K)
log(1/2r) = lim supr→0
log N (2r, K) log(1/r) !lim sup
r→0
log ˜N (r, K)
log(1/r) !lim supr→0
log N (r, K) log(1/r) = c(K). e lim sup r→0 log ˜N (r, K) log(1/r) = c(K).
Como, para cada y ∈ K temos que Dyf ∈ L1(X); isto é Dyf = Ly + Cy e como
Dxfn = Dfn−1(x)f◦ Dfn−2(x)f◦ · · · ◦ Dxf = L + C
onde Dfn−j(x)f = Lj+ Cj, L = L1◦ · · · ◦ Ln com Lj ∈ L1−ǫ(X), Cj ∈ K(X), 1 ! j ! n, e
C ∈ K(X).
Segue que, para n suficientemente grande, g = fn é tal que D
xg ∈ Lλ
2(X) para todo
x∈ K e algum 0 < λ< 1/2. Do Lema 3.3.6, para cada x ∈ K existe um subespaço Zx de
X com dim(Zx) ! ν tal que dist(Dxg[B1X(0)], Dxg[B1Zx(0)]) < λ. Agora, do Lema 3.3.7
temos que para cada r > 0 e 1
2λ − 1 > ǫ > 0, ¯ Nǫ := N ((1 + ǫ)λr, Dxg(Br(0))) ! (ν + 1)αν . -Dxg-L(X)+ λ ǫλ /αν , onde ν = supx∈Kνλ(Dxf ) <∞.
Notemos que, da compacidade de K e da diferenciabilidade contínua de g temos que, dado 1
2λ−1−ǫ > η > 0, existe r0 > 0 tal que
g(Br(x)) ⊂ g(x) + Dxg(Br(0)) + Bηλr(0), 0 < r < r0.
Consequentemente, existem yi ∈ Dxg(Br(0)), 1 ! i ! ¯Nǫ, tais que
g(Br(x)) ⊂ g(x) + ¯ Nǫ ! i=1 B(1+ǫ)λr(yi) + Bηλr(0) = g(x) + ¯ Nǫ ! i=1 B(1+ǫ+η)λr(yi), 0 < r < r0.
Como uma consequência imediata, temos que ˜ N ((1 + ǫ + η)λr, g(Br(x))) ! λ1 := (ν + 1)αν . D + λ ǫλ /αν
Então, se K pode ser coberto por bolas Br(x1),· · · , Br(xn), com xi ∈ K, 1 ! i ! n,
segue que K ⊂ g(K) ⊂ ∪n
i=1g(Br(xi)). Pela desigualdade acima gr(Br(xi)) pode ser
coberto por menos do que λ1 bolas de raio (1 + ǫ + η)λr. Portanto K pode ser coberto
por λ1n bolas de raio (1 + ǫ + η)λr. Em outras palavras,
˜
N ((1 + ǫ + η)λr, K) ! λ1N (r, K) ! λ1N (˜
r 2, K) para todo 0 < r < r0. Então,
˜
N (2(1 + ǫ + η)λr, K) ! λ1N (r, K)˜
para todo 0 < r < r0 2.
Ainda mais, se 0 < r < (1 + ǫ + η)λr0 podemos escrever r = (2(1 + ǫ + η)λ)k¯r com
(1 + ǫ + η)λr0 !r <¯ r02, k " 1, e aplicando a última desigualdade
˜ N (r, K) = ˜N ((2(1 + ǫ + η)λ)k¯r, K) ! λk1N (¯˜ r, K) ! λk1N ((1 + ǫ + η)λr˜ 0, K) e então, log ˜N (r, K) log(1/r) ! k log λ1+ log ˜N ((1 + ǫ + η)λr0, K) k log(2(1+ǫ+η)λ1 )+ log+1 ¯ r , = log λ1 log( 1 2(1+ǫ+η)λ ) +1 klog +1 ¯ r , + 1 klog( ˜N ((1 + ǫ + η)λr0, K)) log( 1 2(1+ǫ+η)λ ) + 1 klog +1 ¯ r , . Notando que 1 k ! log(2(1+ǫ+η)λ1 )
log(1r) e tomando que lim sup quando r → 0 obtemos
c(K) ! log λ1
log(1/2(1 + ǫ + η)λ). Como esta desigualdade vale para todo 1
3.3 Dimensão de conjuntos compactos negativamente invariantes 69 obtemos c(K) ! log λ1 log( 1 2(1+ǫ)λ ) = log;(ν + 1)αν+D+λ ǫλ ,αν< log( 1 2(1+ǫ)λ ) e isto é precisamente o que pretendíamos mostrar.
A seguir mostraremos uma aplicação interessante dos resultados acima que mostram a compatibilidade da limitação obtida no teorema anterior. Ela diz que podemos tomar λ tão pequeno quanto quisermos sem alterarmos ν, ν é um limitante superior da dimensão fractal de K.
Corolário 3.3.11. Seja X um espaço de Banach e assuma que T ∈ C1(X) é tal que {Tn :
n " 0} tem um atrator global A e DxT tem posto finito ν(x) com supx∈Aν(x) := ν <∞.
Então,
c(A) ! αν, onde α = 1 (ou 2) se X for real (ou complexo).
Demonstração: Claramente, para cada λ > 0 e x ∈ A, DxT ∈ Lλ
2(X) para todo λ > 0.
Consequentemente, para cada 0 < λ < 1 2 c(A) ! ανlog((ν + 1) D λ) log(1 2λ) . Tomando o limite quando λ → 0 temos que c(A) ! αν.
Corolário 3.3.12. Seja L, K ∈ C1(X). Se T = L + K, assuma que o semigrupo discreto
{Tn : n ∈ N} tem um atrator global A. Assuma que K tem posto finito em A; isto é,
R(DxK)⊂ Y (x) onde Y (x) é subespaço de X com supx∈Adim(Y (x)) := ν <∞, e que L
satisfaz
sup
x∈A-DT
n−1(x)L◦ · · · ◦ DxL- ! c(n), n ∈ N,
onde c(n)n→∞−→ 0. Então, se supx∈Adim(DxK) = ν <∞, então
c(A) ! αν, onde α = 1 (ou 2) se X é real (ou complexo).
Demonstração: Da demonstração anterior podemos fazer λ tão pequeno quanto dese- jarmos. De fato, somente precisamos garantir que mudando λ não alteramos ν. Isto segue do fato de que
DxTn= DTn−1(x)T ◦ · · · ◦ DxT = (DTn−1(x)L + DTn−1(x)K)◦ · · · ◦ (Dxl + DxK)
= DTn−1(x)L◦ · · · ◦ DxL + Kn:= Ln+ Kn
onde Kn é um operador compacto com posto menor ou igual a ν. Claramente, existe Zn
subespaço de X tal que dim(Zn) ! ν e
dist(DxTn[B1x(0), DxTn[B1Zn(0)]]) !-DTn−1(x)L◦ · · · ◦ DxL-L(X)!c(n).
Portanto, dado λ > 0 mantendo ν e tomando n grande podemos garantir que DxTn∈ Lλ
com νλ(DxTn) ! ν.
Como Tn(A) = A temos que
c(A) ! ανlog((ν + 1)
D λ)
log(2λ1) , para cada 0 < λ < 1
2. Fazendo λ → 0 obtemos que
c(A) ! αν e isto completa a prova.
Capítulo
4
Construção de atratores exponenciais
fractais
A atração exponencial é uma propriedade muito importante e traz consigo muitas outras propriedades desejadas para aplicações. Claramente, a atração exponencial nos garante que o transiente (tempo decorrido até que as soluções sejam indistinguíveis da- quelas no atrator) é “pequeno”. Isto pode ter importância fundamental para tornar viável a análise numérica de tais sistemas.
Já vimos que alguns semigrupos gradient-like possuem esta propriedade e que dela decorrem propriedades importantes como a continuidade de atratores sob perturbação.
Infelizmente, a atração exponencial falha em diversas classes de semigrupos discretos (veremos exemplos a seguir). Neste capítulo, seguindo Eden-Foias-Nicolaenko-Temam [9], nos dedicamos a corrigir e melhorar os resultados apresentados e construiremos os chama- dos atratores exponenciais fractais para aplicações S : X → X Lipschitz contínuas em um subconjunto X compacto em um espaço de Hilbert. Esta nova classe de atratores engloba a classe dos atratores exponenciais, e é construída simplesmente retirando a hipótese da invariância e pedindo simplesmente a invariância positiva do conjunto, mas ainda sim, pedindo que este novo atrator tenha dimensão fractal finita e, logicamente, tenha atração exponencial. No que segue vamos construir de fato atratores exponenciais fractais.
Consideremos X um subconjunto compacto e conexo de um espaço de Hilbert H e S uma aplicação Lipschitz contínua de X em X e denotemos a constante de Lipschitz de S
em X por
LipX(S) = L.
Se S está restrito à X, então o semigrupo {Sn : n∈ N} possui um atrator global A dado
por
A = ∩n∈NSnX.
Já sabemos que A atrai todas as órbitas de X, isto é, a semi-distância de Hausdorff distH(SnX,A) tende a zero, quando n tende a infinito. Entretanto, a taxa de convergência
deste atrator não é controlada exponencialmente, como mostram os seguintes exemplos: Exemplo 1: Seja H = R, e defina S : [0, 1]→ [0, 1] por
Sx = x
1 + x, para todo x∈ [0, 1].
Então A = {0}, mas a taxa de convergência para A é polinomial. De fato, Snx = x 1+nx e portanto |Snx| = = = = = x 1 + nx = = = = ! = = = = 1 1 + nx = = = = , que claramente tem taxa de convergência polinomial.
Exemplo 2: Considere a equação diferencial ˙u = −(u − 1)2 no intervalo [1,∞). O
atrator para este problema é A = {1}, pois ˙u < 0. Resolvendo esta equação chegamos em u(t) = 1 + 1+(u(0)−1)tu(0)−1 , para todo t ∈ [1, ∞) e u(0) " 1. Mas então |u(t) − 1| ! 1+(u(0)−1)tu(0)−1 , ou seja, a atração para este problema não é exponencial. O semigrupo discreto definido por Su(0) = u(1) tem propriedades de atração análogas àquelas do Exemplo 1.
Para resolver esta deficiência nestes atratores, vamos introduzir o conceito de atrator exponencial fractal.
Definição 4.0.13. Um conjunto compacto M é chamado um atrator exponencial fractal para (S, X) se A ⊆ M ⊆ X e
i) SM ⊆M ,
ii) c(M) < ∞; isto é, M tem dimensão fractal finita, iii) existem constantes positivas c0 e c1 tais que
73 Definição 4.0.14. Fixemos α ∈ R. Dizemos que S tem a propriedade squeezing em X se para algum δ ∈ (0,1
2) existe uma projeção ortogonal P = P (δ) de posto igual a N0(δ)
tal que para u, v ∈ X, tais que
-Su − Sv-H > √ 1 + α2-P (Su − Sv)- H então -Su − Sv-H !δ-u − v-.
Para podermos construir atratores exponenciais fractais, vamos considerar subconjun- tos de Sk(X) que são maximais com respeito à propriedade do cone
-u − v-H !
√
1 + α2-P (u − v)-
H. (4.0.1)
Para isto, definimos
Z = S( ¯BrH(a)∩ X). (4.0.2) Lema 4.0.15. Existe um subconjunto E de Z que é maximal com relação à propriedade do cone
-u − v-H !
√
1 + α2-P (u − v)-
H, ∀u, v ∈ E.
Demonstração: Seja V a família de todos os subconjuntos A ⊂ Z que satisfazem a propriedade do cone. Claramente V é não-vazio, uma vez que {x} ∈ V para cada x ∈ Z, e é parcialmente ordenado pela relação de inclusão. Seja G um subconjunto totalmente ordenado de V. Então, ∪A∈GA ∈ V é um limitante superior para G. Segue do Lema de
Zorn que existe um elemento maximal E ∈ V .
Notemos que o conjunto E é fechado, e logo, compacto. Além disso, P é injetiva em E. Portanto, toda cobertura de E pode ser obtida através de uma cobertura de P E. Usando a injetividade de P em E, podemos estimar o número de ρ-bolas necessárias para cobrir Z em termos de N0 e ρ.
Lema 4.0.16. Para cada ρ > 0, existe um número K ∈ N tal que para todo subconjunto B ⊂ P E com mais que K elementos existem x, y ∈ B, com x 1= y, tal que -x − y- < ρ. Demonstração: Suponhamos por absurdo que seja falso, isto é, para cada n ∈ N existe
um subconjunto Bn ⊂ P E com mais do que n elementos tal que
-x − y- " ρ, para todo x, y ∈ Bn, com x 1= y.
Assim, para cada n, conseguimos um conjunto {xn
1, . . . , xnn} tais que -xni − xnj- " ρ, para
todo 1 ! i, j ! n com i 1= j. Vamos construir agora uma sequência que não possui nenhuma subsequência convergente, contrariando a compacidade de P E.
Temos a sequência {xn
1}n∈N ⊂ P E e como P E é compacto, {xn1}n∈N possui uma sub-
sequência {xnk
1 } convergente para, digamos, x∞1 . Agora, temos a sequência {xn2}n∈N ⊂
P E, e considere{xnk2 }n∈N. Da mesma forma {xnk2 }n∈N possui uma subsequência {x nkj 2 }n∈N convergente para x∞ 2 , e como -x nkj 1 − x nkj
2 - " ρ, para todo j ∈ N temos -x∞1 − x∞2 - " ρ.
Indutivamente, construímos assim uma sequência {x∞
k }k∈N que não possui nenhuma
subsequência convergente.
Lema 4.0.17. Para qualquer 2δ < θ < 1, existe uma cobertura de Z, definido em (4.0.2), por K0 θr-bolas, centradas em yj ∈ E, com j = 1, . . . , K0; mais ainda, K0 pode ser
estimado por K0 ! - 3L√1 + α2 θ− 2δ + 1 0N0 . (4.0.3) onde δ é como dado na Definição (4.0.14).
Demonstração: Como P E ⊆ P Z ⊆ P H, temos diam(P E) ! diam(P Z) = sup
u,v∈Z|P u − P v| ! supu,v∈Z|u − v| = diam(Z),
pois como P é ortogonal, -P - = 1. Assim, se Ω = ¯BH
r (a)∩ X ¯BHr (a)∩ X
diam(P E) ! diam(Z) = sup
u,v∈Z-u − v- = supx,y∈Ω-Sx − Sy-
! sup
x,y∈Ω
L-x − y- ! 2Lr.
Agora, dado ρ > 0 arbitrário, podemos cobrir P E com K0 bolas BρP H(P yj) com yj ∈ E e
j = 1, . . . , K0, uma vez que P E é compacto. Note que a injetividade de P em E garante
que os pontos P yj são pontos distintos em P H para diferentes índices j. Para podermos
estimar K0, usaremos o fato de que diam(P E) ! 2Lr. Observemos que, se K é o número
75 centradas nestes pontos cobrem P E, logo K0 !K. Por outro lado, ρ2-bolas centradas em
P yj, j = 1, . . . , K são disjuntas e ∪K j=1BP Hρ2 (P yj)⊆ OP Hρ 2 (P E) := > y∈ P H : dist(y, P E) < ρ 2 ? Como diam(BP Hρ
2 (P E)) ! 2Lr + ρ, por uma comparação de volumes obtemos
KωN0 (ρ 2 )N0 !ωN0 ( Lr + ρ 2 )N0 ,
onde ωN0 é o volume da bola unitária em RN0. Consequentemente, obtemos
K0 !K !
. 2Lr ρ + 1
/N0 .
Afirmamos que simplesmente expandindo o raio desta cobertura de P E podemos obter uma cobertura para E. De fato, dada esta cobertura de P E, temos
-P y − P yj-H <-y − yj-H → -y − yj-H < √ 2ρ, para todo y∈ E, e portanto, U = {B√H 2ρ(yj)} K0 j=1 é uma cobertura de E.
Nos resta mostrar que conseguimos de fato uma cobertura para Z. Se y ∈ E, então P y ∈ P E e assim -P y − P yi- < ρ, para algum i ∈ {1, 2, . . . , K0}. Se, por outro lado,
z ∈ Z \ E, enão, por definição de Z e E, existem u, v ∈ ¯Br(a)∩ X tais que
z = Su e y = Sv∈ E, com -z − y- > √1 + α2-P (z − y)-.
Segue da propriedade de squeezing que
-z − y- = -Su − Sv- ! δ-u − v- ! 2rδ.
Como y ∈ E, existe yj ∈ E tal que -P y − P yj- < ρ e portanto -y − yj- <
√ 1 + α2ρ, assim -z − yj- ! -z − y- + -y − yj- ! 2rδ + √ 1 + α2ρ < θr
se escolhermos ρ = 2(θ−2δ)r 3√1+α2. Portanto, K0 ! - 3L√1 + α2 θ− 2δ + 1 0N0 .
Notemos também que √1 + α2ρ < θr, e assim U = {B
θr(yj)}K0j=1 é uma cobertura com as
propriedades desejadas.
Observação 4.0.18. i) Quando α = 1 a estimativa pode ser simplificada, tomando ρ = 2(θ−2δ)r3 , e toma a seguinte forma
K0 ! . 3L θ− 2δ + 1 /N0 ;
ii) Quando δ pode ser tomado no intervalo (0,14), podemos escolher 2δ < θ = 4δ < 1, e a estimativa fica K0 ! - 3L√1 + α2 2δ + 1 0N0 ! - 2L√1 + α2 δ + 1 0N0 .
Agora vamos proceder indutivamente, a fim de construir uma cobertura para Sk+1(X),
para k " 1. Para começar este processo, seja R > 0 e a ∈ X tais que X ⊆ ¯BR(a).
Denotemos por E1 um subconjunto maximal de S(X ∩ ¯BR(a)) = S(X) para a propriedade
do cone 4.0.1. Então do Lema 4.0.17, existem {aj1}K0j1=1 ⊂ E1 tais que
S(X) = S(X ∩ ¯BR(a))⊆ K0 ! j1=1 ¯ BθR(aj1)∩ S(X),
onde K0 pode ser estimado por 4.0.3.
Vamos agora construir uma cobertura para S2(X). Para isto, seja E
2;j1 o subconjunto
maximal de S( ¯BθR(aj1)∩ X) para a propriedade do cone, para j1 = 1, . . . , K0. Como no
Lema 4.0.17, podemos cobrir cada um destes compactos com K1bolas ¯Bθ2R(aj1;j2)∩S(X),
77 temos K1 ! - 3L√1 + α2 θ− 2δ + 1 0N0 .
Assim, usando a mesma estimativa para K0 e K1, podemos tomar K1 = K0. Ainda
mais, notamos que
K0 ! j1=1 E2;j1 ⊂ K0 ! j1=1 S( ¯BθR(aj1)∩ SX) ⊂ S2X, e S2X ⊂ K0 ! j1=1 S( ¯BθR(aj1)∩ SX) ⊂ K0 ! j1,j2=1 ¯ Bθ2R(aj1;j2)∩ S2X. (4.0.4)
Procedendo iterativamente podemos cobrir Sk+1(X), isto é, existem a
j1;j2;...;jk ∈ Ek+1;j1;...;jk,
onde Ek+1;j1;...;jk é o subconjunto maximal de S( ¯BθkR(aj1;...;jk)∩S
k(X)) com relação à pro-
priedade do cone, tais que
K0 ! j1,...,jk=1 Ek+1;j1,...,jk ⊂ K0 ! j1,...,jk=1 S( ¯BθkR(aj1;...;jk)∩ Sk(X)) ⊂ Sk+1(X) e Sk+1(X)⊂ K0 ! j1,...,jk+1=1 ¯ Bθk+1R(aj1,...,jk+1)∩ S k+1(X).
Vamos agora passar de fato para a construção de um atrator exponencial fractal M para S. Para tanto, vamos nos munir de vários lemas, até chegarmos de fato em uma expressão para M. Mas antes, vamos definir
E(k)=
K0
!
j1,...,jk=1
{aj1,...,jk}.
Lema 4.0.19. O atrator globalA tem dimensão fractal c(A) finita, que pode ser estimada por κ(A) = log(1/θ)log K0 .
Demonstração: Seja N(ρ, A) o número mínimo de bolas de raio ρ que são necessárias para cobri A, que é compacto. Então, se θ < 1, usando a idéia do Lema 4.0.17, para X = A, e lembrando que s(A) = A, obtemos uma cobertura de A por bolas de raio θρ,
onde
N (θρ,A) = N(θρ, S(A)) ! K0N (ρ,A).
Agora, por meio de iterações,
N (θjρ,A) ! K0jN (ρ,A), para todo j ∈ N.
Se escolhermos ǫ > 0 tal que θj+1ρ <ǫ ! θjρ, e usando o fato de que N (ǫ,A) é uma
função decrescente de ǫ obtemos
N (ǫ,A) ! N(θj+1ρ,A) ! Kj+1
0 N (ρ,A).
Como log(1/ǫ) " − log(θjρ), temos que
log N (ǫ,A) log(1/ǫ) ! log(K0j+1N (ρ,A)) − log(θjρ) . Portanto, c(A) = lim sup ǫ→0 log N (ǫ,A) log(1/ǫ) !j→∞lim log(K0j+1N (ρ,A)) − log(θjρ) = κ(A). Lema 4.0.20. Defina C∞=∪∞ k=1E(k), então c(C∞) ! κ(A).
Demonstração: De fato, sabemos que C∞⊂ ∪n
k=1E(k)∪ Sn+1(X),
79 N (ǫ, C∞) ! n 3 k=1 N (ǫ, E(k)) + N (ǫ, Sn+1(X)) ! ! n 3 k=1 K0k+ K0n+1N (ρ, X) ! !K0n+1(n + N (ρ, X)) , pois cada E(k) é um conjunto finito com Kk
0 pontos e K0 !1. Assim log N (ǫ, c(C∞)) log(1/ǫ) ! log[K0n+1(n + N (ρ, X))] − log(θnρ) , e portanto c(C∞) ! κ(A).
Lema 4.0.21. Se W é um subconjunto compacto de X e c(W ) ! κ(A) então
ΓW∞ =
∞
!
j=0
Sj(W )
tem dimensão fractal finita e c(ΓW
∞) ! κ(A).
Demonstração: Notemos que
ΓW∞ ⊆ n ! j=0 Sj(W )∪ S n+1(X).
Seja ǫ > 0 tal que θn+1 < ǫ ! θn e ρ ∈ [1, 1/θ] tal que θn+1ρ= ǫ. Logo
N (ǫ, ΓW∞) ! n 3 j=0 N (ǫ, Sj(W )) + K0n+1N (ρ, X) ! ! n 3 j=0 K0jN (ǫθ−j, W ) + K0n+1N (ρ, X).
Como c(W ) ! κ(A), para todo d > κ(A) existe δ0 = δ0(d) > 0 tal que N (δ, W ) <
+1
δ
para δ ! δ0. Agora, para δ0 < δ < 1 temos N (δ, W ) ! N (δ0, W ) ! . 1 δ0 /d =. δ δ0 /d . 1 δ /d = cd . 1 δ /d , onde cd = ( δ δ0 )d
" 1. Assim, para qualquer δ ∈ (0, 1) temos N(δ, W ) ! cd+1δ, d
, e a estimativa acima assume a forma
N (ǫ, ΓW∞) ! cd . 1 ǫ /d n 3 j=0 (K0θd)j+ K0n+1N (ρ, X).
Afirmamos que K0θd ! 1, pois caso contrário, teríamos log K0 > d log(1/θ), o que
implica que d < κ(A), contradizendo a escolha de d. Logo, temos
N (ǫ, ΓW∞) ! cd . 1 ǫ /d n + K0n+1N (ρ, X). Substituindo n + 1 = log(ρ/ǫ) log(1/θ), temos N (ǫ, ΓW∞) ! cd ρd (ρ ǫ )d log(ρ/ǫ) log(1/θ)+ N (ρ, X)K log(ρ/ǫ) log(1/θ) 0 ! ! cd ρd (ρ ǫ )d log(ρ/ǫ) log(1/θ)+ N (ρ, X) (ρ ǫ )log(1/θ)log K0 ! ! (ρ ǫ )d9 cd ρd log(ρ/ǫ) log(1/θ) + N (ρ, X) : , pois κ(A) < d. Portanto
c(ΓW∞) = lim sup
ǫ→0
log N (ǫ, ΓW ∞)
log(1/ǫ) !d, e como d > κ(A) foi tomado arbitrário temos c(ΓW
∞) ! κ(A).
Definição 4.0.22. Sejam A o atrator global de S e Γ∞= ΓC∞∞ . Defina M = A ∪ Γ∞.
Segue diretamente da definição que M é fechado e S(M) ⊆ M. Agora o seguinte lema se refere à dimensão fractal de M.
81 Demonstração: Como ambas c(A) e c(Γ∞) são majoradas por κ(A), para qualquer d > κ(A) existe ǫ0 > 0 tal que ǫ ! ǫ0 implica em
N (ǫ,A) ! (1/ǫ)d e N(ǫ, Γ
∞) ! (1/ǫ)d.
Portanto
N (ǫ,M) ! N(ǫ, A) + N(ǫ, Γ∞) ! 2(1/ǫ)d.
Usando a definição de c(M), temos c(M) = lim sup ǫ→0 log N (ǫ,M) log(1/ǫ) limǫ→0 log 2 + d log(1/ǫ) log(1/ǫ) = d. Portanto, c(M) ! κ(A).
Lema 4.0.24. Para todo x∈ X, distH(Sk(x),M) ! Rθk.
Demonstração: Notemos que Sk(x)∈ Sk(X) e portanto existe a
j1,...,jk em E
(k) tal que
-Sk
(x)− aj1,...,jk- < Rθk.
Como E(k) ⊂ M por construção, segue que
distH(Sk(x),M) = inf m∈M-S
k(x)
− m- ! Rθk,
e como a escolha de x é arbitária
distH(Sk(X),M) = sup x∈X
inf
m∈M-S
k(x)− m- ! Rθk.
Construímos assim um atrator exponencial fractal M para S, o que nos dá o teorema principal deste capítulo
Teorema 4.0.25. O conjunto M = A ∪ Γ∞ é um atrator exponencial fractal para a aplicação S.
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