De fato, se {nk : k ∈ N} é limitado, segue da continuidade de T e de suas iteradas
que {Tnkx
k : k ∈ N} tem uma subsequência convergente. Agora, se {nk : k ∈ N} não é
limitada, como {xk: k ∈ N} é limitada, existe n ∈ N tal que γ+({xk : k∈ N}) é limitada.
Da compacidade assintótica do semigrupo, existe um compacto K ⊂ γ+({x
k : k∈ N})
que atrai γ+({x
k : k ∈ N}), e consequentemente atrai {Tnkxk : k ∈ N}, portanto {Tnkxk :
k ∈ N} tem uma subsequência convergente. Denote esta subsequência convergente por {Tnkx
k : k ∈ N} e seja y seu limite.
É imediato do fato de que V (xk) → n1 que V (y) = V (T y) = n1, pois n1 !V (T y) !
V (y) ! n1. Portanto y ∈ A(1) e dist(y, A1) " δ, o que é um absurdo. Isto prova que,
para cada x∗ ∈ A(1) e 0 < δ < δ
0 existe um δ > δ′ > 0 tal que, para todo x ∈ Bδ′(x∗),
γ+(x)⊂ B
δ(x∗) e prova que A(1) consiste somente dos equilíbrios estáveis. Para concluir
precisamos somente notar que, para cada x ∈ X, Tn(x)n→∞−→ x∗ para algum x∗ ∈ E.
2.4 Semigrupos discretos gradient-like
Em geral não esperamos que uma perturbação de um semigrupo discreto gradiente nos dê um novo semigrupo gradiente, e a maior dificuldade é provar que o problema perturbado tem uma função de Liapunov. Assim, definimos o conceito de semigrupo gradient-like, onde nos preocupamos somente com as propriedades dinâmicas que a função de Liapu- nov introduz num semigrupo discreto gradiente. Com esta nova definição mostramos que nesta nova classe os atratores podem ser caracterizados como nos semigrupos gradientes e também mostramos que este conceito é estável sob pequenas perturbações, logo conse- guimos mostrar a continuidade da estrutura dos atratores para este tipo de semigrupos com relação à pequenas perturbações.
Antes de continuarmos, vamos enfatizar a distinção entre semigrupos discretos gradi- entes e semigrupos que têm atratores do tipo gradiente. Como na Definição 2.3.1, um semigrupo discreto gradiente é um semigrupo que possui uma função de Liapunov. Definição 2.4.1. Seja {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto com um atrator global A.
Assuma que o conjunto das soluções estacionárias E de {Tn: n ∈ N} é finito; isto é, para
algum p∈ N, E = {y∗
1,· · · , yp∗}. Se A = ∪ p
i=1Wu(y∗i), dizemos queA é um atrator do tipo
Como provado no Teorema 2.3.3, um semigrupo discreto gradiente com um atrator global e um número finito de equilíbrios é um semigrupo discreto com um atrator do tipo gradiente.
Não é difícil ver (veja exemplo em Hale [12] páginas 2 e 3) que um atrator do tipo gradiente pode vir de um semigrupo discreto que não é gradiente e também que uma perturbação de um semigrupo discreto com um atrator do tipo gradiente pode não ter atrator do tipo gradiente.
✲ ✛ ❄ ✻ ✻ ! ! ! ✿ ✣ ✐ ✌ ❫ ☛☛ ✌✌ ✐ ✣ ❨❨ ✒✣ Figura 01
A Figura 1 acima apresenta um atrator do tipo gradiente que não é proveniente de um semigrupo gradient-like. Mas uma pequena perturbação deste semigrupo nos dá
✲ ✛ ❄ ✻ ✻ ☛ ❨ ✣ ✒ ! ! ! ✿ ✻ ☛ ❘ ❄ ✣ ② ✢ ✼ ✢ ✒ ☛ ✼ ☛ Figura 02
e temos assim uma órbita periódica, o que mostra que o atrator deste semigrupo não é a união dos conjuntos instáveis de seus pontos de equilíbrio. Notemos também que a pertur- bação não alterou o comportamento dos atratores do ponto de vista de semicontinuidade superior e inferior, mas alterou sua estrutura.
Em Carvalho-Langa-Robinson-Suárez [5] os autores provam que uma perturbação de um semigrupo gradiente tem atrator do tipo gradiente. As provas são imediatamente adaptadas para semigrupos discretos. Infelizmente, semigrupos que têm atratores do tipo gradiente não precisam ser gradientes.
2.4 Semigrupos discretos gradient-like 27 Isto nos leva à questão de quais propriedades dinâmicas dos semigrupos discretos ga- rantem que eles tenham atratores do tipo gradiente e que são estáveis sobre perturbações. Logicamente, tais propriedades devem ser satisfeitas por semigrupos discretos gradientes e sua perturbações.
Com isto em mente (veja Carvalho-Langa [4]) o seguinte conceito de semigrupos dis- cretos gradient-like generaliza o conceito de semigrupos discretos gradientes enquanto mantém suas propriedades dinâmicas essenciais. Provaremos agora, adaptando os resul- tados de Carvalho-Langa [4] para o caso discreto, que as propriedades que definem os semigrupos discretos gradient-like são estáveis por perturbações.
Definição 2.4.2. Considere um semigrupo discreto {Tn: n∈ N} com um número finito
de soluções estacionárias E = {y∗ 1,· · · yp∗}. Seja 2δ0 = min 1!i,j!p i(=j d(yi∗, yj∗) > 0
Seja ǫ0 < δ0, y∗ ∈ E e ǫ ∈ (0, ǫ0). Uma ǫ−cadeia de y∗ a y∗ é uma sequência{yℓ1∗, . . . , yℓk∗ }
emE, juntamente com um conjunto {y1,· · · , yk} de pontos de X e inteiros {n1, κ1, . . . , nk, κk},
0 < κi < ni, 1 ! i ! k, k ≤ p, tais que d(yi, yℓi∗) < ǫ, 1 ! i ! k + 1, y∗ = y∗ℓ1 = y∗ℓk+1,
dist(Tκiy
i,E) > ǫ0 e d(Tniyi, y∗ℓi+1) < ǫ, 1 ! i ! k. Dizemos que y∗ ∈ E é recorrente por
cadeias se existe um ǫ0 > 0 fixo e uma ǫ−cadeia de y∗ a y∗, para cada ǫ∈ (0, ǫ0).
ǫ 1 1 1ǫ0 y∗ 1 ! Tn1y1 y1 ! ! ! Tκ1y1 ❖ ✢ y∗ 3 ǫ ❅ ❅❅ǫ0 ! y∗ 2 ! 11ǫ ǫ0 1 1ǫ ǫ0 !y∗ 1 ! ! ! Tκ3y3 ❄ ■ Tκ2y2 ✸ Tκ1y1 ! ! Tn3y3 y1 ! ! Tn1y1 y2 ! ! Tn2y 2 y3 Exemplos de ǫ−cadeias
Definição 2.4.3. Seja {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto com um número finito de
soluções estacionárias E = {y∗
1,· · · yp∗} e assuma que ele tem um atrator global A. Dizemos
que {Tn : n ∈ N} é um semigrupo discreto gradient-like se as seguintes condições são
satisfeitas:
(G1) Dada uma solução global ξ : Z→ X em A, existem i, j ∈ {1, · · · , p} tais que lim n→−∞d(ξn, y ∗ i) = 0 e lim n→∞d(ξn, y ∗ j) = 0. (G2) E = {y∗
1,· · · , y∗p} não contém nenhum ponto recorrente por cadeia.
As hipóteses (G1) e (G2) carregam importantes propriedades dinâmicas de um se- migrupo discreto com uma função de Liapunov (veja também os Lemas 2.4.5 e 2.4.6 abaixo). De (G1), temos que A = ∪p
i=1Wu(yi∗), pois se x ∈ A então existe uma solução
global ξ : Z → X em A e assim x ∈ Wu(y∗
i), para algum 1 ! i ! p e reciprocamente, se
x ∈ Wu(y∗
i) para algum 1 ! i ! p então, como A atrai pontos, existe uma órbita global
limitada através de x, assim x ∈ A. Também, a hipótese (G2) diz que nenhum número finito de órbitas pode produzir um contorno fechado.
Os seguintes lemas são de fundamental importância para o futuro desenvolvimento da teoria de atratores para semigrupos discretos gradient-like.
O seguinte resultado segue imediatamente da continuidade das iteradas de uma apli- cação T ∈ C(X). Ele garante que, dado um ponto fixo x∗ de T e y perto de x∗, a órbita
finita γ[0,n](y) ={y, T y, · · · , Tny} permanece perto de x∗ para grandes valores de n.
Lema 2.4.4. Seja T ∈ C(X) e x∗ um ponto fixo de T . Dado n∈ N e ǫ > 0, existe δ > 0
tal que {Tjy : 0 ! j ! n, y ∈ B
δ(x∗)} ⊂ Bǫ(x∗).
Demonstração: Basta notar que a família de aplicações {I, T, T2,· · · , Tn} é equicontí-
nua em x∗.
Nosso próximo resultado garante que, para um semigrupo discreto gradient-like {Tn :
n ∈ N}, dado um subconjunto limitado B de X e uma vizinhança N (E) do conjunto de equilíbrio E, existe um inteiro positivo n0 = n0(B,N (E)) tal que todas as soluções
2.4 Semigrupos discretos gradient-like 29 Lema 2.4.5. Seja{Tn: n ∈ N} um semigrupo discreto com um número finito de soluções
estacionárias E = {y∗
1,· · · y∗p} e assuma que ele tem um atrator global A. Se {T
n : n∈ N}
satisfaz (G1), dado δ < δ0 e B ⊂ X limitado, existe um n0 = n0(δ, B) > 0 tal que
{Tnu
0 : 0 ! n ! n0} ∩∪pi=1Bδ(yi∗)1= ∅ para todo u0 ∈ B.
Demonstração: Provaremos o resultado por contradição. Assuma que existe uma sequência {uk}k∈N em B e uma sequência de números naturais {nk} (com nkk→∞−→ ∞) tais
que {Tju
k : 0 ! j ! 2nk} ∩∪pi=1Bδ(yi∗) = ∅. Extraindo subsequências, temos que existe
uma solução global ξ : Z → X tal que Tj+nku
k k→∞−→ ξj para j ∈ Z. Claramente ξj ∈ A,
para todo j ∈ Z e como para −nk!j ! nk, Tj+nkuk ∈ ∪/ pi=1Bδ(yi∗), ξj ∈ ∪/ pi=1Bδ(yi∗) para
todo j ∈ Z, o que contradiz (G1).
A seguir provaremos uma resultado afirmando que, para um semigrupo discreto gradi- ente-like {Tn : n ∈ N}, dada uma vizinhaça N
2(x∗) de um ponto de equilíbrio x∗, existe
outra vizinhança N1(x∗) de x∗ tal que se uma solução começa em N1(x∗) e deixaN2(x∗),
então ela nunca volta para N1(x∗).
Lema 2.4.6. Seja {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto gradient-like. Denote por E =
{y∗
1,· · · yp∗} suas soluções estacionárias e por A seu atrator global. Então, dado 0 < δ < δ0,
existe um δ′ > 0 tal que, se para algum 1 ! i ! p, d(u
0, yi∗) < δ′ e, para algum n1 > 0,
d(Tn1u0, yi∗) " δ, então d(Tnu0, y∗i) > δ′ para todo n " n1.
Demonstração: Assuma que, para algum 1 ! i ! p, existe uma sequência {uk}k∈N em X com d(uk, zi∗) < k1 e sequências nk < mkde números positivos tais que d(T
nku
k, zi∗) " δ
e d(Tmku
k, zi∗) < 1k. Isto contradiz (G2).
Agora provaremos que, para um semigrupo discreto gradient-like, o ω−limite de um ponto consiste exatamente dos pontos de equilíbrio. Notemos que a condição (G1) é
imposta apenas para soluções no atrator.
Lema 2.4.7. Assuma que {Tn : n " 0} é um semigrupo discreto gradient-like com um
conjunto de equilíbrio E = {y∗
1,· · · , y∗p} e um atrator global A. Dado u ∈ X existe um
y∗
j ∈ E tal que
Tnun→∞−→ y∗ j.
Demonstração: Segue do Lema 2.4.6 que, dado r ∈ N∗existe r′ ∈ N∗tal que d(v, yi∗) < r1′
e se para algum nr > 0, d(Tnrv, y∗i) " 1r, então d(T nv, y∗
outro lado, segue do Lema 2.4.5 que, dado r′ ∈ N∗ existe um k
r′ = kr′(γ+(u)) ∈ N tal
que, para cada v ∈ γ+(u),
{v, T v, · · · , Tkr′v} ∩∪p
i=1Br′1(yi∗)1= ∅,
pois γ+(u) é limitado. Segue do fato de que E é finito que existe um y∗
j ∈ E e, para cada
r ∈ N∗, um ℓ
r ∈ N tal que Tℓu ∈ B1 r(y
∗
j) para todo ℓ " ℓr. Isto completa a prova do
resultado.
Observação 2.4.8. Claramente, não é necessário considerar a solução para trás análoga à do lema acima pois neste caso teríamos uma solução global limitada, consequentemente uma solução global no atrator, e o resultado seguiria diretamente da propriedade (G1).
Antes de prosseguirmos com a análise dos atratores dos semigrupos discretos gradient- like sobre perturbações vamos estabelecer a equivalência entre a condição (G2) e a ausência de estruturas homoclínicas. Primeiro vamos mostrar o seguinte importante resultado
Proposição 2.4.9. Assuma que {Tn: n∈ N} é um semigrupo discreto assintoticamente
compacto. Sejam {sk}k∈N,{nk}k∈N sequências em N com sk, nk k→∞−→ ∞ e seja {uk}k∈N
uma sequência limitada em X. Para Jk = {j ∈ Z : −sk ! j ! nk}, defina ξk : Jk → X
por ξk(j) = Tj+sku
k, j ∈ Jk. Se {Tjuk : k ∈ N, 0 ! j ! sk+ nk} é limitada, existe uma
solução global y : Z→ X de {Tn : n∈ N} e uma subsequência de {ξk}
k∈N (que novamente denotamos por {ξk} k∈N) tal que lim k→∞ξ k(j) → y(j), ∀j ∈ Z
A demonstração da Proposição 2.4.9 é imediata do Lema 2.4.15 (que será demons- trado ainda nesta seção) no caso particular quando a família de semigrupos discretos é independente do parâmetro.
Definição 2.4.10. Seja {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto com um número finito de
soluções estacionárias E = {y∗
1,· · · y∗p} e assuma que ele tenha um atrator global A. Uma
estrutura homoclínica em A é um conjunto {y∗
2.4 Semigrupos discretos gradient-like 31 globais {ξ(i) : Z→ X, 1 ! i ! k} em A tal que, fazendo y∗
ℓk+1 := y ∗ ℓ1, lim n→−∞ξ (i) n = y∗ℓi, lim n→+∞ξ (i) n = y∗ℓi+1, 1 ! i ! k.
Agora podemos provar o seguinte resultado relacionando (G1) e (G2) à não-existência de estruturas homoclínicas.
Lema 2.4.11. Seja {Tn : n∈ N} uma semigrupo discreto que possui um número finito
de soluções estacionárias E = {y∗
1,· · · y∗p} e um atrator global A. Se {T
n : n∈ N} satisfaz
(G1), então (G2) é satisfeita se e somente se A não possui estruturas homoclínicas. Demonstração: Assumindo que A tem uma estrutura homoclínica é fácil ver que as soluções estacionárias são recorrentes por cadeias.
Por outro lado, se y∗ ∈ E é recorrente por cadeia, existe um δ <δ
0, {y∗ℓ1,· · ·, yℓr+1∗ } ⊂E ,
para cada N∋k >1
δ, pontos y k
1,· · ·, yr+1k e números naturais nk1> mk1,· · ·, nkr> mkr tais que
d(yki, y∗ℓi) <1 k, d(T mk iyk i,E)>δ, d(Tn k iyk i, yℓi+1∗ ) < 1 k, 1≤i≤r. Escolha ℓk i > 0 tal que d(Tℓ k iyk
i, yℓi∗) ≥ δ e d(Tnyik, y∗ℓi) < δ, para todo 0 ! n < ℓki. Do
Lema 2.4.4 segue que ℓk i
k→∞
−→ +∞. Note que devemos ter também que nk i − ℓki
k→∞
−→ +∞ (se não, existe ν ∈ N tal que nk − ℓk = ν para infinitos índices k, consequentemente
{Tℓkyk
i : k ∈ N} tem uma subsequência convergente e portanto {TνTℓkyik : k ∈ N}
tem uma subsequência convergente para y∗
ℓi, o que nos leva a uma contradição). Para
n ∈ [−ℓk
i, nki − ℓki] seja ξni,k = Tℓ k i+nyk
i.
Da Proposição 2.4.9, existem soluções globais ξi : Z → X por ξn(i) = limk→∞ξi,kn .
Como cada ξ(i)
n deve convergir para uma solução de equilíbrio quando n → +∞ e quando
n → −∞ e como ξn(i) ∈ Bδ(yℓi∗) para todo n ! 0 temos que ξ (i)
n → yℓi∗ quando n → −∞.
Além disso, existe um instante jk
i > 0 tal que d(ξ i,k jk
i , y ∗
ℓi+1)≥ δ e ξni,k ∈ Bδ(yℓi+1∗ ) para
todo n ∈ [jk
i, nki − ℓki]. É fácil ver que {jik} é limitado (Lema 2.4.5) e que nki − ℓki − jik k→∞
−→ +∞. Consequentemente ξn(i) → y∗ℓi+1 quando n → +∞.
O conjunto {y∗
ℓ1,· · · , y∗ℓk} ⊂E e o conjunto de soluções globais {ξi : Z→ X, 1 ! i ! k}
são tais que,
lim t→−∞ξ (i) n = yℓi∗, lim t→+∞ξ (i) n = y∗ℓi+1, 1 ! i ! k, com y∗ ℓk+1 := y ∗
Corolário 2.4.12. Se {Tn : n ∈ N} é um semigrupo discreto gradient-like e A seu
atrator, existem pontos de equilíbrio y∗
α e y∗ω tais que yα∗ tem conjunto estável trivial em
A; isto é, Ws
A(y∗α) ={y∗α} onde
WAs(yα∗) := {y ∈ A : tal que Tnyn→∞−→ y∗ α}
e y∗
ω tem conjunto instável trivial; isto é, Wu(yω∗) = {yω∗}.
Demonstração: Vamos provar a existência de um ponto de equilíbrio y∗ω com um con- junto instável trivial. A existência de y∗
α é similar. Se E = {y1∗,· · · yp∗} é o conjunto de
equilíbrio para {Tn: n∈ N} e para cada y∗
i existe uma solução global ξ(i) : Z→ X tal que
ξ(i)(k)k→−∞−→ y∗
i, é fácil ver que existe um 1 ! ℓ ! p tal que {y1∗,· · · , yℓ∗} e {ξ(1),· · · , ξ(ℓ)}
constituem uma estrutura homoclínica e que contradiz (G2) e prova a existência de y∗ ω.
A seguir consideremos uma família dependente de um parâmetro {Tn
η : n ∈ N},
η ∈ [0, 1], de semigrupos discretos. Começamos com um resultado que estende o Lema 2.4.4 para uma família {Tn
η : n∈ N}, η ∈ [0, 1], de semigrupos discretos.
Lema 2.4.13. Assuma que {Tn
η : n∈ N} é tal que Tη −→ Tη→0 0 uniformemente em subcon-
juntos compactos de X. Seja x∗,η um ponto fixo de T
η, η∈ [0, 1] e assuma que x∗,η η→0−→ x∗,0.
Dado n ∈ N e ǫ > 0, existe δ > 0 e η0 > 0 tais que {Tηjy : 0 ! j ! n, y ∈ Bδ(x∗,η)} ⊂
Bǫ(x∗,η) para todo η ! η0.
Demonstração: Se este não é o caso existe uma sequência {ηk}k∈Ncom ηk k→∞−→ 0, ǫ0 > 0, yk ∈ B1
k(x
∗,ηk) e n
0 ∈ N tal que d(Tηkn0yk, x∗,ηk) " ǫ0. Portanto d(T0n0x∗,0, x∗,0) " ǫ0, o que
é uma contradição.
Definição 2.4.14. Dizemos que {Tn
η : n ∈ N} é coletivamente assintoticamente com-
pacto se, dadas uma sequência {ηk}k∈N com ηk k→∞−→ 0, uma sequência limitada {uk}k∈N
em X e uma sequência {nk}k∈N de números naturais com nk k→∞−→ ∞, então {Tηknkuk} é
relativamente compacto.
Lema 2.4.15. Assuma que {Tn
η : n ∈ N} é coletivamente assintoticamente compacto.
Seja ηk uma sequência de números positivos tal que ηk k→∞−→ 0. Assuma que exista uma
2.4 Semigrupos discretos gradient-like 33 k ∈ N, existe uma solução ξηk(·) : Jk → X de {T
n
ηk : n ∈ N} e ∪k∈Nξηk(Jk) é limitado
então, existe uma subsequência, que novamente denotaremos por ξηk, e uma solução global
y : Z→ X de {Tn
0 : n∈ N} tal que
lim
k→∞ξηk(j)→ y(j)
para todo j ∈ Z.
Demonstração: Como {Tηn : n∈ N} é coletivamente assintoticamente compacto, existe uma subsequência que novamente denotamos por ηk e y0 ∈ X tal que ξηk(0) → y0. Seja
y(·) : N → X a solução de {Tn
0 : n ∈ N} definida por y(n) := T0ny0, n ∈ N. Claramente,
esta solução é limitada. Também
ξηk(j) = Tηkj ξηk(0) k→∞−→ T0jy0 = y(j), ∀j ∈ N.
Procedendo similarmente, {ξηk(−1)} tem uma subsequência convergente ξη1k(−1) com li-
mite y−1. Definindo y(j) := Tj+1
0 y−1, j ∈ Z+−1, temos que y(0) = T0y−1 = limk→∞Tη1
kξηk1(−1) =
limk→∞ξη1
k(0) = y0 e y(j) = T j+1
0 y−1 para todo j " −1. Disto segue que y(·) : Z+−1 → X
é uma solução de {Tn
0 : n ∈ N} com y(−1) = y−1, y(0) = y0 e
ξη1 k(j) = T j+1 ηk ξη1 k(−1) → T j+1 0 y−1 = y(j), j ∈ Z+−1. Suponha que:
• Tenhamos obtido subsequências {ξηi
k}k∈N para 1 ! i ! m − 1 com a propriedade de
que {ηi
k}k∈Né uma subsequência de {ηi−1k }k∈Ne tal que ξηi
k(−i) → y−i, 1 ! i ! m−1.
• Tenhamos definido y(j) por limn→∞ξηi
k(j) = y(j), −m + 1 ! j < 0 e, consequen-
temente, y : Z+
−m+1 → X é uma solução de {T0n : n ∈ N} com y(−j) = y−j,
0 ! j !−m + 1 e ξηi
k(j) converge para y(j) para todo j ∈ Z + m−1.
Agora construímos {ηm
k }∞n=1 uma subsequência de {ηkm−1}∞n=1 tal que ξηm
k(−m) é conver-
gente e y−m seu limite. Se nós definirmos y(−m) = y−m, y : Z+−m → X é uma solução
de {Tn
0 : n ∈ N} com y(−i) = y−i, 0 ! i ! m e ξηm
k (j) converge para y(j) para todo
j ∈ Z+−m.
Com isto construímos uma sequência {ξηk k}
∞
n ∈ N} com y(−i) = y−i para todo i ∈ N e tal que ξηk
k(j) → y(j) para todo j ∈ Z. Isto
conclui a demonstração.
Corolário 2.4.16. Assuma que{Tn
η : n∈ N} é coletivamente assintoticamente compacto.
Seja {ηk}k∈N uma sequência em (0, 1] tal que ηkk→∞−→ 0 e para cada k ∈ N seja ξηk(·) : Z →
X uma solução global de{Tn
ηk : n ∈ N}. Se ∪k∈Nξηk(Z) é limitado, para qualquer sequência
s ={sk}
k∈N em Z, {ξηk}k∈N tem uma subsequência que denotaremos por {ξηsk}k∈N e uma
solução global ys : Z→ X de {Tn 0 : n ∈ N} tal que lim k→∞ξη s k(j + sk)→ y s (j) para todo j ∈ Z. Lema 2.4.17. Seja {Tn
η : n∈ N}, η ∈ [0, 1], uma família de semigrupos discretos cole-
tivamente assintoticamente compactos. Assuma que {Tn
η : n∈ N} tem um atrator global
Aη e p soluções estacionárias com p independente de η. Denote por Eη = {y1∗,η,· · · y∗,ηp }
o conjunto de soluções estacionárias de {Tn
η : n ∈ N} e defina E0 = {y∗1,· · · y∗p}. Se
d(Tηu, T0u)−→ 0 uniformemente para u em subconjuntos compacto de X e {Tη→0 0n : n∈ N}
é gradient-like, δ < δ0 e B ⊂ X é limitado, existe um n0 = n0(δ, B) > 0, independente de
η ∈ [0, 1], tal que {Tn
ηu0 : 0 ! n ! n0} ∩∪pi=1Bδ(yi∗)1= ∅ para todo u0 ∈ B.
Demonstração: Vamos fazer uma argumentação por contradição. Assuma que existe uma sequência {uk}k∈N em B, uma sequência {ηk}k∈N em [0, 1] com ηk k→∞−→ 0 e uma
sequência {nk}k∈N em N com nkk→∞−→ ∞ tais que {Tηkj uk : 0 ! j ! 2nk} ∩ ∪pi=1Bδ(y∗i) =∅.
Tomando subsequência temos que existe v0 ∈ X tal que Tηknkuk k→∞−→ v0. Do fato de
que Tη converge para T0 uniformemente em subconjuntos compactos de X temos que
Tr+nk
ηk uk k→∞−→ T0rv0 para todo r ∈ N. Do Lema 2.4.7 existe um r0 e y∗j ∈ E tal que
d(Tr
0v0, yj∗) < δ para todo r " r0 a assim chegamos a uma contradição.
Lema 2.4.18. Seja {Tn
η : n∈ N}, η ∈ [0, 1], uma família de semigrupos discretos cole-
tivamente assintoticamente compactos. Assuma que {Tn
η : n∈ N} tem um atrator global
Aη e p soluções estacionárias com p independente de η. Denote por Eη = {y1∗,η,· · · y∗,ηp }
o conjunto das soluções estacionárias de {Tn
η : n ∈ N} e defina E0 = {y1∗,· · · yp∗}. Dado
2.4 Semigrupos discretos gradient-like 35 para algum n1 > 0, d(Tηn1u0, y∗i) " δ, então d(Tηnu0, yi∗) > δ′ para todo n " n1 e para todo
η ∈ [0, η0].
Demonstração: Assuma que, para algum 1 ! i ! p, existe uma sequência uk em X, {ηk}k∈N com ηk k→∞−→ 0, com d(uk, yi∗) < k1 e sequências nk< mk de números naturais tais
que d(Tnk
ηkuk, yi∗) " δ e d(Tηkmkuk, yi∗) < k1. Mostremos que isto contradiz (G2).
Note primeiramente que nk podem ser escolhidos de forma que Tηkj uk ∈ Bδ(yi∗) para
todo j < nk e, do Lema 2.4.13, nk k→∞−→ ∞. Tomando subsequências construímos uma
solução global ξ0 : Z → X in A tal que ξ0(ℓ) ℓ→−∞−→ y∗i. Do fato de que {T0n : n ∈ N} é
gradient-like temos que existe um y∗
j ∈ E, yj∗ 1= yi∗, tal que ξ0(ℓ)ℓ→∞−→ yj∗.
Da definição de ξ0 e do fato de que ξ0(ℓ) ℓ→∞−→ yj∗ temos que para cada k′ ∈ N existe
um uk′ ∈ φ0(Z), com d(uk′, y∗
j) < k1′ e nk′ ∈ N tal que d(T nk′ ηk′ uk′, y∗
j) " δ. Procedendo
exatamente como no passo anterior obtemos uma solução ξ1 : Z → X in A tal que
ξ1(k) k→−∞−→ yj∗. Do fato de que {T0n : n ∈ N} é gradient-like temos que existem y∗r ∈ E,
y∗
r ∈ {y/ i∗, yj∗}, tais que ξ1(ℓ) ℓ→∞−→ yr∗. Continuando com este procedimento chegamos em
uma contradição em um número finito de passos.
A maior vantagem dos semigrupos gradient-like sobre os semigrupos gradientes (aque- les com uma função de Liapunov) é a sua estabilidade por perturbações, que exploraremos a seguir. Este fato possibilitará a caracterização de atratores de semigrupos discretos que são pequenas perturbações de semigrupos discretos gradient-like, perturbar tais semigru- pos novamente e ainda seremos capazes de dar uma caracterização dos atratores deste novo semigrupo discreto perturbado.
Agora estamos prontos para provar que (G1) e (G2) são estáveis por perturbações; isto é, o conceito de semigrupo discreto gradient-like é robusto sob perturbações.
Teorema 2.4.19. Seja {Tn
η : n ∈ N}, η ∈ [0, 1], uma família de semigrupos discretos
coletivamente assintoticamente compacto em um espaço métrico X que satisfaz a) para cada η ∈ [0, 1] {Tn
η : n ∈ N} tem um atrator global Aη.
b) {Tn
η : n∈ N} tem um número finito de soluções estacionárias Eη ={y1∗,η,· · · , yp∗,η},
para todo η ∈ [0, 1], e d(yi∗,η, y∗,0i ) −→ 0, 1 ! i ! p. Em adição, existem δ > 0η→0 e η0 > 0 tais que a única solução global contida em Bδ(yi∗,η) é yi∗,η, 1 ! i ! p,
c) existe δ > 0 tal que, se uma solução ξ(η) : Z→ X em A
η é tal que d(ξn(η), y∗,ηi )≤ δ,
para todo n " n0 (ou para todo n ! n0), n0 ∈ Z, então ξn(η) n→∞−→ yi∗,η (ou ξn(η) n→−∞−→
yi∗,η).
d) d(Tηu, T0u)−→ 0 uniformemente para u em subconjuntos compactos de X.η→0
e) {Tn
0 : n∈ N} é um semigrupo discreto gradient-like.
Então, existe η0 > 0 tal que, para todo η ∈ [0, η0], o semigrupo discreto {Tηn : n ∈ N} é
gradient-like.
Demonstração: Usaremos a contradição para provar que para η suficientemente pe- queno, {Tn
η : n∈ N} satifaz que, dada uma solução global ξ(η) : Z→ X em Aη,
lim
n→∞d(ξ (η)
n , y∗,ηi ) = 0, para algum 1 ! i ! p.
Note que y∗,η
i → yi∗,0 =: yi∗ e que existe um δ > 0 tal que, para η suficientemente
pequeno, se uma solução ξ(η) : Z → X satisfaz d(ξ(η)
n , yi∗) ≤ δ para todo n " n0 e para
algum n0 ∈ Z, então ξn(η)n→∞−→ yi∗,η. Assuma que existe uma sequência ηk k→∞−→ 0 e soluções
globais correspondentes ξ(k) em A
ηk tais que
sup
n"j
dist(ξn(k),E) > δ, ∀j ∈ N (2.4.1)
para cada k ∈ N. Pelo Corolário 2.4.16, tomando subsequências, ξ(k)
n k→∞−→ ξn(0) para cada
n ∈ Z onde ξ(0) é uma solução global em A
0. Como ξn(0) n→∞−→ y∗i, para algum 1 ! i ! p,
temos que, dado r ∈ N\{0} existem nr > 0 e kr ∈ N tais que d(ξ(k)nr , yi∗) < 1r, para cada
k " kr. De (2.4.1), existe n′r > nr tal que d(ξ(kr)n , yi∗) < δ para todo n ∈ [nr, n′r) e
d(ξn(kr)′ r , y
∗ i) " δ.
Tomando subsequências se necessário, seja ξ(1)
n = limr→∞ξn+n(kr)′
r. Então, como n ′ r −
nr r→∞−→ ∞ e nr r→∞−→ +∞, d(ξn(1), yi∗) ! δ para todo n < 0 e consequentemente ξ (1)
n n→−∞−→ yi∗.
Além disso ξ(1)
n n→∞−→ yj∗com i 1= j por (G1) e (G2) para η = 0. Do fato de que ξ(kr)n r→∞−→ ξn(1)
para todo n ∈ Z temos que, para cada m ∈ N, existe um instante nm > 0 e índices km ∈ N
tais que d(ξ(kr)
nm , y∗j) < m1 para todo r " km. Novamente, de (2.4.1), existem n′m > nm
tais que d(ξkm
n , y∗j) < δ para todo n ∈ [nm, n′m) e d(ξnkm′ m, y
∗
j) " δ. Procedendo exatamente
como antes obtemos uma solução global ξ(2) : Z → X tal que ξ(2)
n n→−∞−→ yj∗ e ξ (2)
2.4 Semigrupos discretos gradient-like 37 com ℓ /∈ {i, j}. Em um número finito de passos, atingimos uma contradição. Isto prova que existe um η0 > 0 tal que, para toda solução global ξ(η) em Aη com η ! η0, temos que
lim
n→∞d(ξ (η)
n , y∗,ηi ) = 0.
Para provar que existe um η1 > 0 tal que, para toda solução global ξ(η) em Aη com
η ! η1, temos que
lim
n→−∞d(ξ (η)
n , y∗,ηj ) = 0,
procedemos exatamente da mesma maneira. Isto completa a prova de que, para η sufici- entemente pequeno, {Tn
η : n∈ N} satisfaz (G1).
Vamos provar que, para η suficientemente pequeno, {Tn
η : n ∈ N} satisfaz (G2). Nova-
mente argumentaremos por contradição. Assuma que existe uma sequência y∗
1,· · · , y∗q+1
em E, um 0 < δ < δ0, uma sequência ηk → 0, soluções globais ξk,i em Aηk, e tempos
nk 1 > mk1,· · · , nkq > mkq tais que d(ξ0k,i, yi∗) < 1 k, d(ξ k,i mk i,E) " δ, d(ξ k,i nk i, y ∗ i+1) < 1 k, 1 ! i ! q, y ∗ 1 = y∗q+1.
Procedendo como na prova de (G1) construímos uma estrutura homoclínica para {Tn 0 :
n ∈ N} e chegamos a uma contradição.
Como consequência imediata deste teorema nós obtemos o seguinte resultado de ca- racterização.
Corolário 2.4.20. Sob as hipóteses do Teorema 2.4.19, existe um η0 > 0 tal que
Aη =∪pi=1Wu(y∗,ηi ), ∀η ∈ [0, η0].
Agora vamos substituir o conjunto de equilíbrio finito por uma coleção finita de con- juntos invariantes isolados. A definição de semigrupos discretos gradient-like será alterada de acordo e os resultados análogos possuem provas similares.
Definição 2.4.21. Dizemos S = {Ξ∗
1,· · · Ξ∗p} é uma família de conjuntos invariantes
isolados se existe δ > 0 tal que Oδ(Ξ∗i)∩ Oδ(Ξ∗j) = ∅, 1 ! i < j ! p, e Ξ∗i é o subconjunto
invariante maximal de Oδ(Ξ∗i) := {z ∈ X : dist(z, Ξ∗i) < δ}.
Seja {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto com um atrator global A que contém uma
família finita de conjuntos invariantes isolados S = {Ξ∗
Definição 2.4.22. Seja δ como na Definição 2.4.21 e fixe ǫ0 ∈ (0, δ). Para Ξ∗ ∈ S e
ǫ ∈ (0, ǫ0), uma ǫ−cadeia e Ξ∗ a Ξ∗ é uma sequência {Ξ∗ℓi,· · · , Ξ∗ℓk} ⊂ S, uma sequência
de números reais n1, κ1,· · · , nk, κk, com ni > κi, 1 ! i ! k, k ! p, e uma sequência de
vetores ui, 1 ! i ! k, tais que ui ∈ Oǫ(Ξ∗ℓi), Tκiui ∈ O/ ǫ0(∪ki=1(Ξ∗ℓi)) e Tniui ∈ Oǫ(Ξ∗ℓi+1),
1 ! i ! k, com Ξ∗ = Ξ∗
ℓk+1 = Ξ ∗
ℓ1. Dizemos que Ξ∗ ∈ S é recorrente por cadeias se existe
um ǫ0 ∈ (0, δ) e ǫ−cadeias de Ξ∗ a Ξ∗ para cada ǫ∈ (0, ǫ0).
Definição 2.4.23. Seja {Tn : n∈ N} um semigrupo discreto em um espaço métrico X.
Seja A o atrator global para {Tn : n ∈ N}. Dizemos que {Tn : n ∈ N} é um semigrupo
gradient-like generalizado se existe uma família finita S = {Ξ∗
1,· · · , Ξ∗p} de conjuntos
invariantes isolados em A tal que,
(GG1) Para cada solução global ξ : Z→ X em A existem 1 ! i, j ! p tais que lim n→−∞dist(ξn, Ξ ∗ i) = 0 e lim n→∞dist(ξn, Ξ ∗ j) = 0. (GG2) Nenhum elemento de S = {Ξ∗
1,· · · , Ξ∗p} é recorrente por cadeias.
Como anteriormente introduzimos as definições de conjuntos instáveis e estáveis. Definição 2.4.24. Seja {Tn : n∈ N} um semigrupo discreto. O conjunto instável de um
conjunto invariante isolado Ξ∗ é dada por
Wu(Ξ∗) = { ζ ∈ X : existe uma solução globalξ : Z→ X
tal que ξ0 = ζ e lim
n→−∞dist(ξn, Ξ
∗) = 0}.
O conjunto estável de um conjunto invariante isolado Ξ∗ para {Tn : n∈ N} é dada por
Ws(Ξ∗η) ={ζ ∈ X : lim
n→+∞dist(T
nζ, Ξ∗) = 0}.
A interseção de conjuntos instáveis (estáveis) com uma vizinhança de Ξ∗ em X é
chamado de conjunto instável (estável) local e é denotado por Wu
η,loc (Wη,locs ).
2.4 Semigrupos discretos gradient-like 39 Teorema 2.4.25. Seja {Tn
η : n ∈ N}, η ∈ [0, 1], uma família de semigrupos discretos
coletivamente assintoticamente compactos em um espaço métrico X. Assuma que a) {Tn
η : n∈ N} tem atrator global Aη, η ∈ [0, 1].
b) Aη tem um número finito de conjuntos invariantes isolados Sη = {Ξ∗1,η,· · · , Ξ∗p,η},
η ∈ [0, 1], que se comportam semicontinuamente superiormente e inferiormente η → 0 (sup1!i!p[distH(Ξ∗i,η, Ξi,0∗ ) + distH(Ξ∗i,0, Ξ∗i,η)]
η→0
−→ 0). Em adição, existem δ > 0 e η0 > 0 tais que as únicas soluções globais contidas em Bδ(Ξ∗i,η) estão em
Ξ∗
i,η, 1 ! i ! p, 0 ! η ! η0.
c) d(Tn
ηu, T0nu) η→0
−→ 0 para cada n ∈ N e uniformemente para u em subconjuntos compacto de X.
d) existem δ > 0 e η0 ∈ (0, 1] tais que, se η < η0, ξ(η) : Z → X é uma solução global
em Aη, e dist(ξn(η), Ξ∗i,η) < δ para todo n ! 0 (n ∈ N), então dist(ξn(η), Ξ∗i) n→−∞−→ 0
(dist(ξn(η), Ξ∗i)t→+∞−→ 0)
e) {Tn
0 : n∈ N} é um semigrupo discreto gradient-like generalizado.
Então existe η0 > 0 tal que, para todo η ! η0, {Tηn : n ∈ N} é um semigrupo discreto
gradient-like generalizado. Consequentemente, existe η0 > 0 tal que
Aη =∪pi=1Wu(Ξ∗i,η), ∀η ∈ [0, η0].
Isto abre possibilidades para considerarmos perturbações não-autônomas de semigru- pos não-lineares gradient-like generalizados com soluções periódicas. De fato, para cada 1≤ m ∈ N, a aplicação no tempo um para o problema
˙r =* π−1(1− 1 2m+1− r) 3sen π 1−r, r < 1− 1 2m+1 −(1 − 1 2m+1 − r)2, r≥ 1 − 1 2m+1 ˙θ = π (2.4.2)
tem atrator Am = {|r| ≤ 1 − 2m+11 }, que é a união das variedades instáveis de Ξ∗j, 1 ≤
j ≤ 2m + 1, onde Ξ∗
j é a solução 2−periódica correspondente à r = 1 −1j, 1 ≤ j ≤ 2m + 2.
instável, e se k é ímpar, a órbita é estável). Neste caso, é fácil ver que o atrator Am
é a união das variedades instáveis das soluções periódicas {Ξ∗
j : 1 ≤ j ≤ 2m + 1}. O
Teorema 2.4.25 implica que qualquer perturbação pequena da semigrupo discreto dado pela aplicação no tempo um associado à (2.4.2) nos levará a um processo de evolução gradient-like generalizado e o atrator perturbado é caracterizado.