Matheus Cheque Bortolan
Orientador: Prof. Dr. Hildebrando Munhoz Rodrigues
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Ciências de Computação e Matemática Computacional.
USP – São Carlos Abril/2009
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito:
“Bom mesmo é ir à luta com determinação, abraçar a vida e viver com paixão, perder com classe e viver com ousadia. Pois o triunfo pertence a quem se atreve, e a vida é muito bela para ser insignificante.”
Agradecimentos
Inicialmente gostaria de agradecer à Deus e à minha família, que sempre me deram força, coragem e apoio incondicional para eu seguir em frente, mesmo nas horas mais difíceis. Amo demais todos vocês!
Agradeço também à minha mais que namorada, amiga, confidente, Juliana, por sem-pre estar comigo e ter me ajudado em todos os sentidos para que este trabalho fosse realizado, pela confiança, carinho nos momentos ruins e bons, pelas broncas nas horas certas, conselhos, por dividir sua história comigo, por todo seu amor! Amo-te muito! Obrigado por fazer parte da minha vida!
Agradeço à todos os professores, em especial ao meu orientador prof. Hildebrando e ao prof. Alexandre, por me ajudarem a trilhar este caminho difícil, mas que no final, é compensador. Nada disso teria acontecido sem vocês, muito obrigado!
Agradeço à FAPESP pelo apoio financeiro à este trabalho.
Aos amigos que fiz nessa jornada e que nunca irei esquecer, Moreno P. Bonutti, pelas horas de “estudo” e risadas, pelos almoços e churrascos e por se revelar amigo para todas as horas. Rodrigo Pedra Brum, que muitas vezes deixava de estudar para me ajudar com problemas computacionais e me animava com longas conversas. À turma da sala 4-009, em especial para Fábio, Paulo e Marcos, por seus vários conhecimentos em matemática, e claro em jogos e internet.
Enfim, se for agradecer a cada um, não acabaria nunca, pois são tantas as pessoas especiais que passaram e marcaram esta jornada...
Resumo
Neste trabalho, estudamos uma generalização dos semigrupos discretos gradientes, os
semigrupos gradient-like, algumas de suas propriedades e a sua invariância por pequenas perturbações; isto é, perturbações pequenas de sistemas gradient-like continuam sendo gradient-like. Como consequência da caracterização dos atratores para este tipo de sis-tema, estudamos a atração exponencial de atratores. Por fim, estudamos os conceitos de dimensão de Hausdorff e dimensão fractal de atratores e apresentamos alguns resultados
Abstract
In this work, we study a generalization of gradient discrete semigroups, the gradient-like semigroups, some of its properties and its invariance under small perturbations; that is, small perturbations of gradient-like semigroups are still gradient-like semigroups. As a consequence of the characterization of the attractors for this sort of semigroups, we study the exponential attraction of attractors. Finally, we study some concepts of Hausdorff
Sumário
Introdução 1
1 Preliminares 5
1.1 Resultados básicos de Análise . . . 5
1.2 Noções básicas e fatos . . . 6
2 Atratores para semigrupos discretos 17 2.1 Existência de atratores para semigrupos discretos . . . 17
2.2 Semicontinuidades superior e inferior de atratores . . . 18
2.3 Semigrupos discretos gradientes . . . 22
2.4 Semigrupos discretos gradient-like . . . 25
2.5 Atratores exponenciais . . . 40
2.6 Taxa de convergência de atratores exponenciais . . . 44
3 Dimensão fractal e dimensão de Hausdorff de atratores 47 3.1 Dimensão, dimensão de Hausdorff e dimensão fractal . . . 48
3.2 Projeções de conjuntos compactos com dimensão fractal finita . . . 53
3.3 Dimensão de conjuntos compactos negativamente invariantes . . . 57
Introdução
Em meio aos semigrupos existe a classe dos semigrupos gradientes, que são semigrupos aos quais temos associada uma função de Liapunov. Para estes semigrupos existem re-sultados que caracterizam os atratores de forma geral; mais especificamente, os atratores para este tipo de sistema são uniões de conjuntos instáveis de pontos de equilíbrio, no caso em que o conjunto dos pontos de equilíbrio é finito. Recordemos que o conjunto instável
Wu(e∗)de um ponto de equilíbrioe∗ é o conjunto de pontos do espaço de fase pelos quais
existe uma órbita para trás que converge para o ponto de equilíbrio e∗ (quando o tempo
tende para −∞). Estes resultados estão fortemente firmados sobre a existência da função de Liapunov. O problema que surge quando introduzimos uma certa perturbação a um semigrupo gradiente é que podemos perder a função de Liapunov no problema pertur-bado.
Assim, este trabalho tem como objetivo introduzir uma noção que estenda o conceito de semigrupos discretos gradientes, os semigrupos discretos gradient-like, de maneira que
esta noção preserve a propriedade da caracterização dos atratores; isto é, os atratores para este tipo de problema continuem com a estrutura gradiente, mas de tal forma que este novo conceito seja estável por pequenas perturbações.
Esta construção deixa para trás a função de Liapunov propriamente dita e estuda quais são as estruturas dinâmicas que ela introduz nos atratores, que são:
• as órbitas, tanto para frente quanto para trás, convergem para pontos de equilíbrio;
• não existem contornos fechados formados por órbitas no atrator.
atratores dos semigrupos nesta classe possuem, como consequência de sua estrutura, ou-tras propriedades dinâmicas bastante interessantes. Entre essas propriedades destacamos a atração exponencial, que explicamos a seguir.
Atratores exponenciais Com a caracterização do atrator através das variedades
instáveis Wu(e∗
i), de pontos de equilíbrio e∗i, 1 ≤ i ≤ n, podemos estudar como estas
variedades instáveis atraem as órbitas em sua vizinhança. Suponhamos que tenhamos uma atração com taxa exponencial; isto é, para alguma vizinhança pequena V de e∗
i
dist(Tn(u0), Wu(ei∗)∩V)≤ce−kin,
durante o tempo no qual a órbita Tn(u0) permanece em V. Podemos então concluir que
conjuntos limitados são atraídos exponencialmente pelo atrator A; isto é, se B é um conjunto limitado, então
dist(Tn(B),A)≤Ce−ωn,
onde ω é uma constante positiva e C é uma constante positiva que depende de B. Mais ainda, se tivermos uma família de atratores a um parâmetro η e a atração exponencial discutida acima for uniforme com relação a este parâmetro temos então a atração destes atratores; ou seja,
dist(Aη,A0)≤Lǫ(η)r,
onde L e r são constantes positivas e ǫ(η) mede a proximidade entre os semigrupos
{Tn
η :n ∈N} e{T0n:n ∈N}.
Não é difícil ver que para um atrator num semigrupo discreto gradient-like, a dimen-são de Hausdorffdo atrator Aé o máximo das dimensões dos conjuntos instáveisWu(e∗
i),
onde E ={e∗
1, . . . , e∗k}é o conjunto dos pontos de equilíbrio do semigrupo. Sabemos ainda
que se um espaço métrico compacto tem dimensão topológica finita m então ele pode ser imerso em R2m+1 (vide Munkres [18]). Assim gostaríamos de saber, em vista deste
resul-tado, se o mesmo é valido para conjuntos compactos com dimensão de Hausdorff finita.
Infelizmente, este não é o caso. Para isto precisamos introduzir o conceito de dimensão fractal, e devido a um resultado de Mañé [17] podemos projetar conjuntos compactos com dimensão fractal finita n, de maneira injetiva, em um espaço vetorial de dimensão finita maior que 2n+ 1. Por fim, construímos os chamadosatratores exponenciais fractais,
Introdução 3
necessariamente gradient-like). Sabemos que nem todo atrator para um semigrupo tem a característica de atrair exponencialmente as órbitas, mas podemos pedir um pouco menos na definição da atrator (no nosso caso, excluir a invariância e pedir somente a invariância positiva) a fim de tornar viável a atração exponencial. Mas para que este atrator continue com boas propriedades, por exemplo poder ser projetado de forma injetiva num espaço de dimensão finita, pedimos também para que este objeto tenha dimensão fractal finita. Os resultados que apresentaremos neste trabalho são uma versão corrigida e simplificada dos resultados contidos no primeiro capítulo de Eden-Foias-Nicolaenko-Temam [9].
Capítulo
1
Preliminares
1.1 Resultados básicos de Análise
Nesta seção pretendemos abordar alguns resultados básicos de espaços métricos e aná-lise funcional relacionados aos espaços de Banach, que serão bastante usados. Vamos admitir que o leitor tenha um conhecimento básico nesta área, como a definição e al-gumas propriedades básicas de espaços de Banach e operadores lineares limitados. Os resultados serão somente enunciados, sendo omitidas as suas demonstrações, podendo estas ser encontradas em Brezis [3] e Rudin [20].
Teorema 1.1.1 (Princípio da Contração de Banach). Seja X um espaço métrico
com-pleto, d :X×X →[0,∞) sua métrica e T :X →X uma função tal que
d(T(x), T(y))!Cd(x, y), ∀x, y ∈X,
para algum 0! C < 1. Então T possui um único ponto fixo x∗ em X; isto é, existe um
único x∗ em X tal que T x∗ =x∗.
Teorema 1.1.2. Seja X um espaço métrico completo. Um subconjunto A ⊂X é
relati-vamente compacto se, e somente se, para cada ǫ >0 existe um subconjunto relativamente
Teorema 1.1.3 (Teorema do Gráfico Fechado). Sejam X, Y espaços de Banach e T :
X → Y uma aplicação linear. Então T é limitada se, e somente se G(T) = {(x, T x) :
x∈X} ⊂X×Y é fechado emX×Y com a topologia produto.
1.2 Noções básicas e fatos
Nesta seção introduzimos a noção de atratores para semigrupos discretos dissipativos não-lineares. Nosso objetivo é apresentar uma coleção auto-suficiente de resultados sobre o assunto, que são necessários para o estudo de atratores para semigrupos discretos e suas propriedades. Todas as definições e resultados serão feitos visando o resultado principal desta seção, que caracteriza os semigrupos discretos que têm atratores globais.
Seja X um espaço métrico e d : X ×X → [0,∞) sua métrica. Denote por C(X)
o conjunto dos operadores contínuos de X em X, por N = {0,1,2,· · · } o conjunto dos
números naturais, por N∗ = N\{0} o conjunto dos números naturais sem o zero, por Z = {0,±1,±2,· · · } o conjunto dos números inteiros, por Z− = {0,−1,−2,−3,· · · } o
conjunto dos números inteiros não-positivos e por Z−n =n+Z− (Z+n =n+N) o conjuntos
dos números inteiros que são menores (maiores) ou iguais à n, n ∈ Z. Se T ∈ C(X), a
família de operadores {Tn:n ∈N} ⊂C (X)será chamada um semigrupo discreto.
Para um dado semigrupo {Tn : n ∈N}, um ponto x ∈X e um subconjunto B ⊂ X,
definimos:
• Para cada n ∈N, a imagem de B sobre Tn,
Tn(B) :={Tn(x) :x∈B};
• A órbita positiva de B,
γ+(B) := !
n∈N
Tn(B);
• A órbita parcial entre dois números naturais n e n′,
γ[+n,n′](B) :=
!
n!k!n′
1.2 Noções básicas e fatos 7
• A órbita de Tn(B),
γn+(B) := !
k∈N
Tk+n(B).
• A função N ∋ n +→ Tn(x) ∈ X é a solução através de x do problema discreto de
valor inicial
xn+1 =T(xn), n∈N,
x0 =x. (1.2.1)
Definição 1.2.1. Um semigrupo discreto {Tn : n ∈ N} é dito limitado se γ+(B) é
limitado sempre que B é um subconjunto limitado de X.
Observação 1.2.2. Os operadores T ∈ C(X) não precisam ser limitados em
subconjun-tos limitados de X, uma vez que subconjuntos limitados de X não são necessariamente
relativamente compactos. Se assumirmos que T é limitado em subconjuntos limitados de
X, então γ[+n,n′](B) é limitado para cada subconjunto limitadoB de X e n, n′ ∈N. Ainda
assim, o semigrupo {Tn :n∈N} não é necessariamente limitado.
Agora definimos solução para trás através de um ponto x ∈ X e órbita para trás de
um subconjunto B deX.
Definição 1.2.3. Uma solução para trásatravés de x∈X é uma funçãoφ :Z− →X tal
que φ(0) =x e, para cada k ∈Z−, Tn(φ(k)) =φ(n+k) para 0!n! −k. Uma solução
global através de x ∈ X é uma função φ : Z → X tal que φ(0) = x e, para cada k ∈Z,
Tn(φ(k)) =φ(n+k), para todo n∈ N. Como T não é necessariamente injetiva, se uma
solução para trás existe ela não precisa ser única. Se existe uma solução para trás através
de x, podemos definir a órbita negativa de x∈X como
γ−(x) = !
n∈N
H(n, x),
onde
H(n, x) ={y∈X: existe uma solução para trás φ:Z−→X através de x com φ(−n) =y}.
SeB ⊂X é tal que existe uma solução para trás através de cada pontox∈B, a órbita
negativa de B é definida por γ−(B) := "
x∈Bγ−(x) e a órbita global de B é definida por
γ(B) :="
x∈Bγ(x).
Podemos definir os conjuntos ω-limite e α-limite como segue
ω(x) = #
n∈N
γ+
n(x), ω(B) =
#
n∈N
γ+
n(B),
α(x) = #
n∈N
γ−
n(x), α(B) =
#
n∈N
γ−
n(B),
onde se D ⊂X, D denota o fecho do conjunto D em X.
A seguinte caracterização do conjuntoω−limite será frequentemente usada
Proposição 1.2.4. Para cada subconjunto B de X, temos
ω(B) ={y∈X : existem sequências {kn}n∈N em N
e {xn}n∈N em B, tal que kn
n→∞
−→ ∞ e y= lim
n→+∞T
kn(x
n)}.
Demonstração: Primeiramente, seja y ∈ ω(B). Então y ∈ ∩n∈Nγn+(B), e assim y ∈
γ+
n(B), para todo n ∈N; isto é, para cadan ∈N existe uma sequência {ykn}k∈N⊂γn+(B)
tal que yn k
k→∞
−→ y, para todo n ∈ N. Mas yn
k ∈ γn+(B) para todo n ∈ N e k ∈ N, e logo
existem {xn
k}n,k∈N ⊂B e {qkn}n,k∈N⊂N tais que
ynk =Tn+qkn(xn
k).
Sabemos que dados n∈N e ǫ >0, existe k(n,ǫ)∈N tal que
-ykn−y-< ǫ, se k≥k(n,ǫ),
isto é, -Tn+qn k(xn
k)−y- < ǫ se k ≥ k(n,ǫ). Defina então kn :=n+qkn(n,1 n)
e xn :=xnk(n,1 n)
, assim
-Tknx
n−y-<
1
n −→0, n→ ∞.
Portanto y = limn→∞Tknxn. Para a recíproca, seja y ∈ X tal que existam sequências
1.2 Noções básicas e fatos 9
{Tkn(x
n)}kn≥p ⊂γ
+
p(B), assim y∈γp+(B), para todo p∈N, portanto y∈ω(B).
A seguir definimos as noções de atração, absorção e invariância sobre o semigrupo discreto {Tn : n ∈ N}. Para este fim, relembremos as definições da semi-distância de
Hausdorff distH(A, B) entre dois subconjuntos A eB de X
distH(A, B) := sup x∈A
inf
y∈Bd(x, y).
Denotaremos por dist(A, B) a distância usual entre conjuntos; isto é,
dist(A, B) := inf
x∈A yinf∈Bd(x, y).
Relembremos também a definição damedida de não-compacidade de Kuratowski para
conjuntos limitados segundo Deimling [8]
β(B) = inf{d >0 :B admite cobertura finita por conjuntos
de diâmetro menor ou igual a d};
que tem como principais propriedades:
(a) β(B) = 0 se e somente se B é compacto,
(b) β é uma seminorma; isto é, β(λB) =|λ|β(B) e β(B1+B2)≤β(B1) +β(B2),
(c) se B1 ⊂B2 então β(B1)≤β(B2) eβ(B1∪B2) = max{β(B1), β(B2)}
Definição 1.2.5. Sejam A e B subconjuntos de um espaço métrico X. Dizemos que A
atrai B sobre o semigrupo discreto {Tn:n∈N} se
lim
n→∞distH(T
n(B), A) = 0.
Se existe um n0 ∈ N tal que Tn(B) ⊂ A para todo n " n0, dizemos que A absorve B .
Em particular, se A absorve B, então A atraiB (a recíproca não é verdadeira). Dizemos
que um subconjunto A de X é invariante (ou positivamente invariante ou negativamente invariante) com respeito ao semigrupo discreto {Tn:n∈N} se T(A) =A (ou T(A)⊂A
invariante sobre {Tn :n∈ N}. Um ponto fixo para a aplicação T será também chamado
um ponto de equilíbrio ou um equilíbrio para o semigrupo discreto {Tn : n ∈ N} e
Z ∋ n +→ x∗ ∈ X é uma solução estacionária ou uma solução de equilíbrio para o
semigrupo discreto {Tn:n∈N}.
Proposição 1.2.6. SejaK um subconjunto compacto deX e{xn :n ∈N}uma sequência
em X tal que
dist(xn, K) n→∞
−→ 0,
então {xn :n∈N}tem uma subsequência convergente. Se K atrai um conjunto compacto
K1, então γ+(K1) é relativamente compacto e ∅ 1=ω(K1)⊂K.
DemonstraçãoPara a primeira parte, notemos que dadom∈N, existemnm ∈Neynm ∈
K tais que dist(xnm, K)<
1
2m e d(xnm, ynm) <dist(xnm, K) +
1 2m <
1
m. Como {ynm}m∈N
é uma sequência em K, que é compacto, ynm
m→∞
−→ y0 ∈ K, a menos de subsequências. Assim, obtemos
d(xnm, y0)≤d(xnm, ynm) +d(ynm, y0)−→0, quando m → ∞;
isto é, {xn}n∈N possui uma subsequência convergente. Agora, para a segunda parte, dado
ǫ >0 existen0 ∈Ntal que
Tn(K1)⊂ Oǫ
2(K), para todo n≥n0,
onde Oǫ(K) denota a ǫ-vizinhança do conjunto K. Assim, ∪n≥n0T
n(K1) tem medida
de não-compacidade menor ou igual à ǫ. Segue facilmente do fato que ∪n0−1
n=1 Tn(K1) é
compacto, que a medida de não-compacidade de γ+(K1) é nula, o que nos dá γ+(K1)
relativamente compacto. Finalmente, temosγ+
n(K1)compacto e não-vazio, para todon∈Neγn+(K1)⊂γm+(K1)
para m ≤ n, ou seja, a família {γ+
n(K1)}n∈N possui a propriedade da interseção finita e
assim
ω(K1) =∩n∈Nγn+(K1)1=∅.
Dadosy ∈ω(K1) eǫ >0, existe n0 ∈N tal que
y∈γ+
1.2 Noções básicas e fatos 11
assim dist(y, K)≤ǫ e comoǫ é arbitrário, segue o resultado.
Lema 1.2.7. Se B ⊂ X, então T(ω(B)) ⊂ ω(B). Se B é tal que ω(B) é compacto
e atrai B, então ω(B) é invariante. Ainda mais, se ω(B) atrai um conjunto conexo C
que contém ω(B), então ω(B) é conexo. Similarmente, T(α(B)) ⊂ α(B) e se α(B) é
compacto limn→∞distH(H(n, B), α(B))→0, então α(B) é invariante.
Demonstração: Se ω(B) = ∅, não há nada a mostrar. Se ω(B) 1= ∅, obtemos da continuidade de T que se y ∈ ω(B) então existem sequências {kn}n∈N ⊂ N e {xn}n∈N ⊂
B tais que y = limn→∞Tknxn e assim T y = T(limn→∞Tknxn) = limn→∞T(Tknxn) =
limn→∞Tkn+1xn∈ω(B)e portanto T(ω(B))⊂ω(B).
Nos resta mostrar que, se ω(B) é compacto e atrai B, então ω(B)⊂ T(ω(B)). Para
x ∈ ω(B), existem sequências kn → ∞ e xn ∈ B tais que Tkn(xn) →x quando n → ∞.
Uma vez que kn → ∞, existe n0 ∈ N tal que kn > 1 para todo n " n0. Portanto
T(Tkn−1(x
n)) = Tkn(xn) → x quando n → ∞. Como ω(B) é compacto e atrai B
temos dist(Tkn−1(x
n), ω(B)) n→∞
−→ 0. Segue da Proposição 1.2.6 que {Tkn−1(x
n)}n∈N tem
uma subsequência convergente (que denotaremos novamente por {Tkn−1(x
n)}n∈N). Se
Tkn−1(x
n)→y ∈ω(B), então T y =x. Portanto, ω(B) = T(ω(B)).
Agora provemos a afirmação sobre a conexidade de ω(B). Suponha que ω(B) é
des-conexa, então ω(B) é a união disjunta de dois conjuntos compactos (portanto separados
por uma distância positiva), mas ω(B) atrai C, logo distH(Tn(C), ω(B)) → 0, mas isto
implica que Tn(C) deve estar contido em ambas as componentes de ω(B) para n
sufici-entemente grande, e isto é uma contradição com o fato de que Tn(C)é conexo.
A demonstração para o caso α(B) é completamente análoga.
Observação 1.2.8. Segue imediatamente da primeira parte do Lema 1.2.7 que, sex∈X
e ω(x) = {x∗}, entãox∗ é um equlíbrio(ponto fixo deT). Um resultado similar se verifica
para α(x) (também para αφ(x) definido a seguir no Lema 1.2.10).
Lema 1.2.9. Se B é um subconjunto não-vazio de X tal que γ+
n0(B) é compacto, para
algum n0 ∈N, então ω(B) é não-vazio, compacto, invariante e ω(B) atrai B.
Demonstração: Como γ+
n(B) é não-vazio e compacto, n " n0, temos que ω(B) é
Mostremos agora queω(B)atrai B. Suponha que não, então existemǫ0 >0e sequên-cias{xn:n ∈N}emB,{kn:n ∈N}emNcomkn
n→∞
−→ ∞, tais qued(Tkn(x
n), ω(B))> ǫ0
para todo n ∈ N. Como γ+
n0(B) é compacto e {T
kn(x
n), n " n1} ⊂ γn+0(B) para algum
n1 ∈ N, existem subsequências knj
j→∞
−→ ∞ e xnj ∈ B tais que T
knj(x
nj) converge para
y ∈ω(B). Isto nos leva a uma contradição e mostra que ω(B)atrai B.
Segue agora do Lema 1.2.7 queω(B) é invariante e a prova está completa.
Lema 1.2.10. Suponha que x ∈ X é tal que existe uma solução para trás φ : Z− → X
através de x e tal que φ(Z−) é compacto. Defina
αφ(x) = {v ∈X :∃ kn→ ∞ tal que φ(−kn)→v}.
Então, αφ(x) é não-vazio, compacto e invariante.
Demonstração: Claramente podemos ver queαφ(x) = ∩n∈Nφ(Z−−n)e disto segue
imedia-tamente que αφ(x) é não-vazio e compacto.
Falta ainda provar que αφ(x) é invariante. De fato, se y ∈ αφ(x), então existe uma
sequência kn n→∞
−→ +∞ tal que φ(−kn) n→∞
−→ y. Da continuidade de T :X → X obtemos
que T(φ(−kn)) = φ(−kn+ 1) n→∞
−→ T(y) e portanto T(y)∈αφ(x). Por outro lado, se w∈
αφ(x), existe uma sequência kn n→∞
−→ ∞ (assuma que kn "1, n ∈N) tal que φ(−kn) n→∞
−→
w. Como {φ(−kn−k) : k ∈ N} é relativamente compacto, tomando subsequências se
necessário, existe z ∈ X tal que φ(−kn−k) n−→→∞ z e z ∈ αφ(x). Segue da unicidade do
limite que Tk(z) = w.
Outro conceito importante é
Definição 1.2.11. Um semigrupo discreto {Tn : n ∈ N} é dito assintoticamente
com-pacto se, para qualquer subconjunto fechado, limitado e não-vazio B ⊂ X, para o qual
T(B)⊂B, existe um conjunto compacto J ⊂B que atrai B.
Proposição 1.2.12. Um semigrupo discreto {Tn : n ∈N} é assintoticamente compacto
se {Tknx
n : n ∈ N} é relativamente compacto sempre que {Tknxn : n ∈ N} é limitado,
{xn :n∈N} é limitado em X e kn n→∞
−→ ∞.
Demonstração: SejaB ⊂X um conjunto fechado, limitado e não-vazio tal queT(B)⊂
B. Então, segue do Lema 1.2.9 que ω(B) ⊂ B é não-vazio, compacto, invariante e atrai B, pois as hipóteses nos garantem queγ+
1.2 Noções básicas e fatos 13
Lema 1.2.13. Se {Tn:n ∈N} é um semigrupo discreto assintoticamente compacto e B
é um subconjunto não-vazio de X tal que γ+
n0(B) é limitado, para algum n0 ∈ N, então
ω(B) é não-vazio, compacto, invariante e ω(B) atrai B.
Demonstração: Como T(γ+
n0(B))⊂γ
+
n0(B), segue da continuidade de T
k:X →X que
ω(B) ⊂ Tk(γ+
n0(B)) ⊂ γ
+
n0(B). Como {T
n : n ∈ N} é assintoticamente compacto temos
que existe um compacto J ⊂ γ+
n0(B) que atrai γ
+
n0(B). Logo, existem sequências ǫn → 0
e kn n→∞
−→ ∞ tais que Tk(γ+
n0(B)) ⊂ Oǫn(J) para todo k " kn. Assim, ω(B) ⊂J. Como
ω(B) é fechado e J é compacto, temos que ω(B) é compacto.
Nos resta mostrar que ω(B) atrai B. Se não, existem ǫ0 > 0 e sequências xn ∈ B e
kn n→∞
−→ ∞ tais qued(Tkn(x
n), ω(B))> ǫ0. Da compacidade deJ e da Proposição 1.2.6,
existem sequências xnj ∈ B, knj
j→∞
−→ ∞ e z ∈ J tais que Tknj(x
nj)
j→∞
−→ z ∈ ω(B). Isto
nos leva à uma contradição ω(B) atrai B. Portanto, ω(B) é não-vazio, compacto e atrai
B e do Lema 1.2.7, segue a invariância.
Definição 1.2.14. Um semigrupo discreto {Tn :n∈N} é dito condicionalmente
eventu-almente compacto, se para cada conjunto limitado B ⊂X tal que Tn(B) é limitado para
algum n ∈ N, nós temos que Tn(B) é compacto. Um semigrupo discreto {Tn : n ∈N} é
dito eventualmente compactose é condicionalmente eventualmente compacto e para cada
conjunto limitado B em X, existe um n∈N tal que Tn(B) é um subconjunto limitado de
X.
Teorema 1.2.15. Um semigrupo condicionalmente eventualmente compacto é
assintoti-camente compacto.
Demonstração: SejaB ⊂X um conjunto não-vazio, fechado e limitado tal queT(B)⊂
B. Então, como {Tn : n ∈ N} é condicionalmente eventualmente compacto temos que
γ+
n(B) é compacto para um n suficientemente grande. Assim, do Lema 1.2.9, ω(B) =
$
n∈Nγn+(B) ⊂ B é não-vazio, compacto e atrai B. Isto nos mostra que {Tn : n ∈ N} é
assintoticamente compacto.
Definição 1.2.16. Um semigrupo discreto{Tn:n ∈N}é ditoponto dissipativo(limitado
dissipativo /compacto dissipativo ) se existe um subconjunto limitado B ⊂ X que atrai
Observação 1.2.17. Na definição acima podemos trocar a palavra atrai pela palavra
absorve sem mudar os significados dos conceitos. De fato, se um subconjunto limitado
B ⊂X atrai pontos(subconjuntos limitados/subconjuntos compactos), então a vizinhança
Oǫ(B), comǫ >0, absorve pontos(subconjuntos limitados/subconjuntos compactos).
Cla-ramente, se B absorve pontos (subconjuntos limitados/subconjuntos compactos), então B
atrai pontos (subconjuntos limitados/subconjuntos compactos).
Definição 1.2.18. Seja {Tn :n ∈ N} um semigrupo discreto em um espaço métrico X.
Um conjuntoA é chamado um atrator globalpara{Tn :n ∈N}se é compacto, invariante
e atrai subconjuntos limitados de X.
Neste ponto vale notar a unicidade do atrator global para um semigrupo{Tn :n∈N}.
Sejam A eA∗ dois atratores globais para este semigrupo. Assim
distH(A,A∗) = distH(Tn(A),A∗)→0, quando n → ∞,
e assim A ⊂ A∗. Analogamente A∗ ⊂ A, e temos o resultado.
Observação 1.2.19. Seja {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto em um espaço métrico
X. Assuma que {Tn:n ∈N}tenha um atrator A. Afirmamos que através de cada ponto
x ∈ A existe uma solução global limitada φx :Z→X. De fato, a órbita para frente está
sempre bem definida e é limitada; agora, seja x ∈ A = T(A), assim existe x−1 ∈ A tal que T x−1 =x e procedendo indutivamente, conseguimos uma sequência {x−n:n ∈N} tal
que x0 =x e T x−n−1 =x−n para todo n∈N, e portanto contruímos uma órbita para trás
(lembrando que esta órbita não é unicamente determinada). Defina então
φx(j) =
Tjx, j "0
xj, j <0
,
que é uma órbita limitada em A passando por x.
Reciprocamente, cada solução global limitada φ :Z →X para {Tn : n ∈N} é tal que
φ(Z)⊂ A. Tendo dito isto, concluímos que
1.2 Noções básicas e fatos 15
Lema 1.2.20. Seja {Tn: n ∈N} um semigrupo discreto ponto dissipativo e
assintotica-mente compacto. Assuma que para cada subconjunto compacto B de X existe um nB ∈N
tal que γ+
nB(B) é limitado. Então {T
n:n∈N} é compacto dissipativo.
Demonstração: Como{Tn :n∈ N} é ponto dissipativo, existe um conjunto não-vazio,
fechado e limitado B que absorve pontos de X. Seja U = {x ∈ B : γ+(x) ⊂ B}.
Como B absorve pontos, temos que U é não-vazio. Claramente γ+(U) ⊂ U e portanto U =γ+(U) é limitado e absorve pontos. Sabemos também queT(γ+(U))⊂γ+(U)e que
{Tn : n ∈ N} é assintoticamente compacto. Portanto, existe um conjunto compacto K,
com K ⊂γ+(U) =U, tal que K atrai U e portantoK atrai pontos de X.
O conjunto K atrai a si mesmo (pois atrai U¯ e K ⊂ U) e assim (veja a Proposição
1.2.6) γ+(K) é compacto e ∅ 1= ω(K) ⊂ K. O Lema 1.2.9 implica que ω(K) é
não-vazio, compacto, invariante e atrai K. Portanto ω(K) atrai K que atrai pontos de X e
consequentemente ω(K) atrai pontos de X.
Mostremos agora que existe uma vizinhança V de ω(K) tal que γ+
n(V) é limitado
para algum n ∈ N. Se esse não é o caso, existem sequências xn ∈ X,xn → y ∈ ω(K) e
kn → ∞ tais que {Tkn(xn) : n ∈ N} não é limitada. Considere A = {xn : n ∈ N}, logo
A é compacto eγ+
n(A) é não-limitada para cada n ∈N. Isto contradiz a hipótese de que
existe nA tal que γ+
nA(A) é limitado.
Seja V uma vizinhança de ω(K) e nV ∈ N tal que γn+V(V) é limitado. Como ω(K)
atrai pontos de X e Tn é contínua, para todo x ∈ X existem n
x > 0 e uma vizinhança
Ox de x tais que Tnx(Ox) ⊂ γn+V(V). Logo, T
k+nx(O
x) ⊂ Tk(γn+V(V)) ⊂ γ
+
nV(V) para
todo k ∈N; isto é, Tn(Ox)⊂γn+
V(V) para todo n" nx, e portanto γ
+
nV(V) absorve uma
vizinhança de x para cadax∈X. Se K ⊂X é um conjunto compacto, para cada x∈K
existe Ox como acima. Segue que existem {xi}pi=1 ∈ K tais que K ⊂ ∪
p
i=1Oxi e portanto
Tn(K)⊂γ+
nV(V), para n "max{nxi : 1!i!p}, onde nxi >0é dado como acima, para
cada i= 1, . . . , p. Concluímos assim queγ+
nV(V) absorve subconjuntos compactos deX e
que {Tn:n ∈N}é compacto dissipativo.
Proposição 1.2.21. Seja X um espaço métrico e {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto
em X. SeK é compacto atrai a si mesmo sobre{Tn:n∈N}, então ω(K) = ∩
n∈NTn(K).
Demonstração: Claramente ∩n∈NTn(K) ⊂ ω(K). Agora, para a inclusão contrária,
usamos a Proposição 1.2.6 com K1 = K para garantir que ω(K) ⊂ K e γ+(K) é
atrai K. Assim
ω(K) =Tn(ω(K))⊂Tn(K), para todo n∈N,
o que prova o nosso resultado.
Definição 1.2.22. Um semigrupo discreto {Tn : n ∈ N} é dito eventualmente limitado
se para cada subconjunto limitadoB deX existenB ∈Ntal que γn+B(B)é um subconjunto
limitado de X.
Finalizamos esta seção com o resultado principal que estávamos buscando, que dá uma caracterização dos semigrupos que possuem atratores globais.
Teorema 1.2.23. Um semigrupo discreto {Tn :n∈N} é eventualmente limitado, ponto
dissipativo e assintoticamente compacto se, e somente se, {Tn : n ∈ N} tem um atrator
global A.
Demonstração: Do fato de que {Tn : n ∈ N} é assintoticamente compacto, ponto
dis-sipativo e eventualmente limitado segue do Lema 1.2.20 que {Tn : n ∈ N} é compacto
dissipativo. Seja C um conjunto limitado que absorve subconjuntos compactos de X. Considere B ={x∈C :γ+(x)⊂C}. Então,T(B)⊂B e, como{Tn :n∈N}é
assintoti-camente compacto, existe um conjunto compacto K ⊂B que atraiB e consequentemente K atrai subconjuntos compactos deX.
O conjunto A = ω(K) é não-vazio, compacto, invariante e atrai subconjuntos
com-pactos de X. Para mostrar que A é independente da escolha de K suponha que K1 é compacto e atrai subconjuntos compactos de X, então ω(K1) ⊂ ω(K) ⊂ ω(K1), pela
Proposição 1.2.6.
Seja B um subconjunto limitado de X, como {Tn :n ∈N} é eventualmente limitado
e assintoticamente compacto, segue do Lema 1.2.13 que ω(B) é não-vazio, compacto,
invariante e atrai B. Como ω(B) é compacto e invariante temos queω(B)⊂ A e conse-quentemente A atraiB.
Claramente, se {Tn : n ∈ N} tem um atrator global, ele é eventualmente limitado,
Capítulo
2
Atratores para semigrupos discretos
2.1 Condições suficientes para a existência de atratores
para semigrupos discretos
Nesta seção apresentaremos alguns resultados que são comumente usados para garantir que um semigrupo discreto é assintoticamente compacto e limitado.
Teorema 2.1.1. Seja {Tn :n ∈ N} um semigrupo discreto ponto dissipativo e
eventual-mente compacto para n "n1. Então {Tn :n∈N} tem um atrator global A.
Demonstração: Segue dos Teoremas 1.2.15 e 1.2.23 que precisamos somente mostrar que
as órbitas de conjuntos limitados são eventualmente limitadas; isto é, precisamos mostrar que o semigrupo é eventualmente limitado. Dado um conjunto limitado B, segue do fato de que {Tn:n ∈N} é eventualmente compacto que existe n
B ∈N, comn1 !nB, tal que
TnB(B) é relativamente compacto. Logo, é necessário somente mostrar que a órbita de
subconjuntos compactos de X são limitadas, pois T(TnB(B))⊂T(TnB(B)).
SejaK um subconjunto compacto deX e B0 um subconjunto aberto e limitado de X
que absorve pontos. Assim, para cada x ∈ K existe n1
x > 0 tal que Tn
1
x(x) ∈ B0 e pela
continuidade deTnexiste uma vizinhançaO
xdextal queTn
1 x(O
x)⊂B0 e logo, definindo
nx =n1x+nB0, temosT
nx(O
x)⊂TnB0(B0). ComoK é compacto, existem{Ox
1,· · · ,Oxp}
que cobrem K e assimTn(K)⊂TnB0(B0) para n"max{nx
i : 1!i!p}.
Defina N(K) = max{nxi : 1 ! i ! p}, K0 = T
nB0(B0) e K0˜ = ∪N(K0)
n=0 Tn(K0).
todon"N(K0)e para cada subconjunto compactoK deX temos queTn(K)⊂K0˜ para
n "N(K). Logo
γ+(K)⊂(∪Nn=1(K)Tn(K)) !K0,˜
o que prova que a órbita de um subconjunto compacto de X é limitada e completa a
demonstração do nosso resultado.
Teorema 2.1.2. Seja X um espaço de Banach e {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto
em X. Assuma que Tn=S
n+Kn com Sn e Kn satisfazendo
i) Para cada conjunto limitado B em X, existe um nB ∈N tal que Kn(B) é
relativa-mente compacto para todo n "nB.
ii) Para cada subconjunto limitadoB de X, existe nB ∈N tal quesupx∈B-Sn(x)-X :=
sB(n)<∞ para todon "nB e sB(n) n→∞
−→ 0.
Então {Tn : n ∈ N} é assintoticamente compacto. Além disso, se {Tn :n ∈ N} é ponto
dissipativo e eventualmente limitado, então ele possui um atrator global.
Demonstração: Dado um conjunto não-vazio, fechado e limitado B tal que T(B)⊂ B
e ǫ >0, escolha n∈N tal que n "nB esB(n)< ǫ. Segue que
ω(B) = ∩∞n=1Tn(B)⊂Tn(B)
⊂Sn(B) +Kn(B)⊂Bǫ(0) +Kn(B)⊂ Oǫ(Kn(B)),
e como Kn(B) é relativamente compacto, segue do Teorema 1.1.2 que ω(B) é
relativa-mente compacto. Podemos ver facilrelativa-mente queω(B)é não-vazio, pois para cada sequência {xj} em B e nj ∈ N com nj
j→∞
−→ ∞ a sequência {Tnj(x
j)} ={Knj(xj) +Snj(xj)} é
to-talmente limitada, poisTnj(x
j)∈Tnj(B)⊂Tnk(B)para todoj "k, possuindo portanto
uma subsequência convergente.
Agora, procedendo como na demonstração do Lema 1.2.9 concluímos queω(B)atraiB
e isto prova que {Tn :n ∈N} é assintoticamente compacto. Em adição, se {Tn :n ∈N}
é ponto dissipativo e eventualmente limitado, {Tn :n∈N} tem um atrator global.
2.2 Semicontinuidades superior e inferior de atratores
SejaX um espaço de Banach, Λ um espaço topológico e Aλ ⊂X, λ∈Λ. Denote por
2.2 Semicontinuidades superior e inferior de atratores 19
Definição 2.2.1. Por semicontinuidade superior e inferior de uma família de conjuntos
{Aλ}λ∈Λ em λ =λ0 entenderemos o seguinte
1. Dizemos que {Aλ} é semicontínua superiormente em λ0 se
sup
xλ∈Aλ
dist(xλ,Aλ0)
λ→λ0 −→ 0.
2. Dizemos que {Aλ} é semicontínua inferiormente em λ0 se
sup
x∈Aλ0
dist(x,Aλ) λ→λ0
−→ 0.
Para provarmos as semicontinuidades superior e inferior empregaremos o seguinte re-sultado
Lema 2.2.2. Seja {Aλ}λ∈Λ uma família de conjuntos em um espaço de Banach X, onde
Λ é um espaço topológico.
1. Se qualquer sequência {xλn} com xλn ∈ Aλn, λn
n→∞
−→ λ0, tem uma subsequência convergente com limite pertencendo a Aλ0, então{Aλ}λ∈Λ é semicontínua
superior-mente em λ0.
2. Se Aλ0 é compacto e para qualquer x∈ Aλ0 existe uma sequência {xλn} com xλn ∈
Aλn, λn
n→∞
−→ λ0, que converge parax, então {Aλ}λ∈Λ é semicontínua inferiormente em λ0.
Demonstração: i) Suponha que{Aλ}λ∈Λnão é semicontínua superiormente emλ0, então
existem ǫ >0e sequência{λn}com λn n→∞
−→ λ0 tal quesupx∈Aλndist(x,Aλ0)"2ǫ, n∈N.
Logo, para algum xλn ∈ Aλn, temos que dist(xλn,Aλ0) " ǫ, n ∈ N. Portanto {xλn} não
possui nenhuma subsequência que converge para um elemento de Aλ0, o que contradiz a
nossa hipótese.
ii) Se Aλ0 é compacto e {Aλ} não é semicontínua inferiormente emλ0 então, existem
ǫ >0e sequências{λn}com λn n→∞
−→ λ0 tais quesupx∈Aλ0 dist(x,Aλn)"3ǫ, n∈
N. Logo,
para algum xλn ∈ Aλ0, temos que dist(xλn,Aλn) " 2ǫ, n ∈ N. Como Aλ0 é compacto
Agora, se {yλn} é uma sequência qualquer com yλn ∈ Aλn temos
ǫ!dist(x,Aλn)!dist(x, yλn),
e assim {yλn} não converge para x, o que contraria nossa hipótese.
Teorema 2.2.3 (Semicontinuidade Superior). Seja [0,1] ∋ η +→ Tη ∈ C(X) contínua,
uniformemente em subconjuntos compactos de X, em η = 0. Se {Tn
η : n ∈ N} tem um
atrator global Aη para cada η ∈ [0,1] e ∪η∈[0,1]Aη é compacto, então a família {Aη : η ∈
[0,1]} é semicontínua superiormente em η= 0.
Demonstração: Considere as subsequências ηk → 0, {uηk}∞k=1, uηk ∈ Aηk. Como
"
η∈[0,1]Aη é compacto emX, existeu0 ∈Xtal queuηk
k→∞
−→ u0, a menos de subsequências.
Para concluir a demonstração da semicontinuidade superior falta mostrar queu0 ∈ A0.
Para este fim, é suficiente provar que existe uma solução global limitada através de u0.
Da invariância dos atratores Aηk, para cada k∈N, existe uma solução global limitada
ψ(ηk) :Z→X
n +→ψ(ηk)
n
através de uηk. Para n "0, segue da continuidade de [0,1] ∋η → Tη ∈ C(X)
uniforme-mente em subconjuntos compactos de X que
ψ(ηk)
n =Tηnkuηk →T
n
0u0.
Agora, construímos uma solução para trás através de u0 da seguinte maneira. Se η0
k := ηk, k ∈ N, dado j ∈ N∗ existe uma subsequência {ηkj} de {η j−1
k } e u−j tal que
ψ(ηjk)
−j k→∞
−→ u−j (lembremos que {ψ−(ηjk)}j∈N está em !
η∈[0,1]
Aη).
Da convergência deTη paraT0 uniformemente em subconjuntos compactos deX segue
que
ψ(ηkj)
−j =Tηikψ
(ηkj)
−j−i →u−j =T0iu−j−i.
Definindo
ψj(0) :=
*
T0ju0, sej "0
2.2 Semicontinuidades superior e inferior de atratores 21
temos que ψ(0) :Z→X é uma solução de{Tn
0 :n ∈N} e
ψ(ηkk)(j)k−→→∞ψ(0)(j), ∀j ∈Z.
Como ψ(0) : Z → X é limitada, sua imagem deve estar contida em A
0 e em particular u0 ∈ A0. Agora o resultado segue do Lema 2.2.2.
Teorema 2.2.4 (Semicontinuidade Inferior). Seja {Tn
η :n ∈ N}, η ∈[0,1], uma família
de semigrupos discretos em um espaço métrico X que satisfaz
a) para cada η∈[0,1], {Tn
η :n∈N} tem um atrator global Aη;
b) {Tn
η :n ∈N} tem um número finito de soluções estacionárias Eη ={y1∗,η,· · · , y∗
,η
p },
para todo η ∈[0,1], ondep é independente de η, e sup1!i!pd(yi∗,η, y∗i,0)−→η→0 0;
c) existe um δ >0 tal que, se Wu
loc(y∗
,η
j ) := Wu(y∗ ,η
j )∩Bδ(y∗j,0), então
{Wlocu (y∗j,η) :η∈[0,1]}
é semicontínua inferiormente em η = 0;
d) d(Tn
ηu, T0nu)
η→0
−→ 0 uniformemente para u em subconjuntos compactos de X, para
cada n∈N;
e) A0 =∪pj=1Wu(y∗
,0
j ).
Então, {Aη :η∈[0,1]} é semicontínua inferiormente em η = 0.
Demonstração: Note que primeiramente, de e), A0 = ∪pj=1Wu(y∗
,0
j ). Portanto, se
u0 ∈ A0, existem um inteiro ℓ ∈ {1, . . . ,p}, uma solução global ψℓ(0) : Z → X através
de u0, e um m ∈ N tal que ψ(0)
ℓ (−m) ∈ Wlocu (y∗
,0
ℓ ). De (c), existe uma solução global
ψℓ(η) : Z→X com ψ(η)
ℓ (−m)∈ Wlocu (y∗
,η
ℓ ) tal que ψ
(η)
ℓ (−m) η→0
−→ψℓ(0)(−m). Segue de a) e
d)que
Tηmψℓ(η)(−m)→u0.
2.3 Semigrupos discretos gradientes
Nesta seção vamos considerar os semigrupos discretos gradientes, que são semigrupos aos quais temos associada uma função de Liapunov; isto é, uma função que não cresce ao longo de órbitas. Estes semigrupos discretos gozam da propriedade de que seus atratores podem ser caracterizados como a variedade instável de seu conjunto de equilíbrio. Se em adição, o conjunto de equilíbrio é constituído somente de um número finito de pontos, então o atrator é a união das variedades instáveis de cada um deles.
Lembremos que x∗ ∈ X é um ponto de equilíbrio para o semigrupo discreto {Tn :
n ∈ N} se é um ponto fixo para a aplicação T; isto é, T x∗ = x∗. Denotaremos por E o
conjunto dos pontos de equilíbrio para o semigrupo discreto {Tn:n ∈N}.
Definição 2.3.1. Um semigrupo discreto {Tn : n ∈ N} é dito um semigrupo gradiente
se tem uma função de Liapunov ; isto é, se existe uma função contínua V :X →R com
as seguintes propriedades:
(i) N∋n +→V(Tnx) é não-crescente para cada x∈X;
(ii) Se x é tal que V(T x) = V(x), então x∈ E.
Para semigrupos discretos gradientes temos o seguinte resultado de caracterização:
Lema 2.3.2. Se {Tn : n ∈ N} é um semigrupo discreto gradiente, então ω(x) é um
subconjunto de E para cada x∈X. Se existe uma solução para trás φ :Z− →X através
de x então αφ(x) é um subconjunto de E. Se além disso {Tn :n ∈N} possui um atrator
global A e todas as soluções estacionárias são isoladas, existe somente um número finito
delas e para cada x ∈ X, ω(x) é um conjunto unitário. Se x ∈ A e φ : Z → X é uma
solução global através de x, αφ(x) é um conjunto unitário.
Demonstração: Se ω(x) = ∅, o resultado é trivial. Se ω(x) 1= ∅ e y ∈ ω(x) temos
que V(Tn(x)) n−→→∞ c para algum c ∈ R, pois é uma sequência não-crescente com uma
subsequência convergente, além disso V(y) = c. Como T(ω(x)) ⊂ ω(x) temos que cada
ponto y ∈ ω(x) é tal que V(T(y)) = V(y) = c e da propriedade (ii) na Definição 2.3.1 temos que y∈ E.
Suponha que exista uma solução para trás φ: Z− →X através de x. Se αφ(x) =∅ o
2.3 Semigrupos discretos gradientes 23
sequência não-decrescente com uma subsequência convergente. Como T(αφ(x))⊂ αφ(x)
temos que para cada y∈αφ(x), V(T(y)) =V(y) = ce y∈ E.
Agora assumamos que{Tn:n∈N} tem um atrator globalA. Como A é compacto e
E ⊂ A, segue que se todos os pontos de E são isolados, então E é finito.
Falta ainda mostrar que se o conjunto das soluções estacionárias é finito entãoω(x)e
αφ(x) são conjuntos unitários. Se assumirmos que ω(x) = {y∗1,· · · , y∗ℓ} ⊂ E com ℓ " 2,
então existe uma cobertura disjunta {Ni : 1 ! i ! ℓ} de N com a propriedade de que
cada Ni é infinito e lim n∈Ni
n→∞
Tn(x) = y∗i, 1! i! ℓ. Escolha uma sequência {kn :n ∈N} tal
que k2n−1 ∈N1 ek2n=k2n−1+ 1 ∈/ N1. Então, a menos de subsequênciais, y∗1 =T(y1∗) =
limk→∞Tk2n(x) = yj∗, para algum 2! j ! ℓ, o que é uma contradição. Isto mostra que
se o conjunto das soluções estacionárias for finito, então ω(x) é um conjunto unitário. A prova de que αφ(x) é também um conjunto unitário é inteiramente análoga a de ω(x), e
assim concluímos a demonstração.
Teorema 2.3.3. Assuma que {Tn : n ∈ N} é um semigrupo discreto gradiente que é
eventualmente limitado, assintoticamente compacto e tem um conjunto de equilíbrio E
limitado. Então {Tn:n∈N} tem um atrator global A =Wu(E), onde
Wu(E) := {y∈X : existe uma solução para trás
φ(·, y) :Z−→X através de y tal que φ(n, y)n−→ E}→−∞
é chamado de conjunto instável de E. SeE ={e∗
1,· · · , e∗n}é finito então A=∪ni=1Wu(e∗i)
onde
Wu(e∗
i) := {y∈X : existe uma solução para trás
φ(·, y) :Z−→X através de y tal que φ(n, y)n−→→−∞e∗i}
é o conjunto instável de e∗
i. Finalmente, se existe um conjunto conexo e limitado B que
contém A, então A é conexo.
Demonstração: Como {Tn :n ∈N} é eventualmente limitado e assintoticamente
com-pacto temos do Lema 1.2.13 que, para cadax∈X,ω(x)é não-vazio, compacto, invariante
e atrai x. Do fato de que {Tn : n ∈ N} é gradiente temos que ω(x) ⊂ E e como E é
li-mitado temos que {Tn :n ∈N}é ponto dissipativo. Logo, do Teorema 1.2.23, segue que
Se x ∈ A, existe uma solução global φ : Z → X através de x. Como φ(Z) ⊂ A
é relativamente compacto, αφ(x) 1= ∅. Do Lema 2.3.2, αφ(x) ⊂ E. Isto mostra que
A ⊂ Wu(E). Se x ∈ Wu(E), existe uma solução global φ : Z → X através de x e
φ(n) n→±∞−→ E ⊂ A. Do fato de que φ(Z) é invariante concluímos que φ(Z) ⊂ A e
consequentemente x ∈ A. Isto mostra que A ⊃ Wu(E) e completa a prova de que
A =Wu(E).
SeE ={e∗
1,· · ·e∗n}, a igualdade A =∪ni=1Wu(e∗i) segue imediatamente do Lema 2.3.2
e se Aestá contido em um subconjunto conexo e limitado de X o Lema 1.2.7 implica que
A é conexo.
Lema 2.3.4. Assuma que {Tn :n ∈N} é um semigrupo discreto gradiente que tem um
atrator global A e tal que T tem um número finito de pontos fixos E ={y∗
i : 1 !i !n}.
Seja V :X →R a função de Liapunov associada à {Tn :n ∈N} e V(E) ={n1,· · · ,np}
com ni <ni+1, 1!i!p−1.
Se 1 ! j ! p−1 e nj ! r < nj+1, então Xr = {z ∈ X : V(z) ! r} é positivamente
invariante sobre {Tn : n ∈ N} e {Tn
r : n ∈ N}, a restrição de {Tn : n ∈ N} a Xr, tem
atrator global A(j) dado por
A(j) =∪{Wu(y∗ℓ) :V(y∗ℓ)!nj}.
Em particular, V(z) ! nj para z ∈ A(j), n1 = min{V(x) : x ∈ X} e A(1) = {x∗ ∈ E : V(x∗) =n
1}consiste de todos os pontos de equilíbrio assintoticamente estáveis; isto é para
cada x∗ ∈ A(1) existe uma vizinhança O
x∗ de x∗ tal que Tnx→x∗ para cada x∈ Ox∗.
Demonstração: É claro da definição da função de Liapunov que Xr é positivamente
invariante sobre {Tn:n ∈N}. Para provar a existência de um atrator para{Trn :n ∈N}
notemos que as propriedades requeridas para obtermos um atrator global são herdadas de
{Tn :n ∈ N}; a saber, órbitas de subconjuntos limitados de X
r são limitadas, {Trn :n ∈
N} é ponto dissipativo e {Trn: n∈N} é assintoticamente compacto. Logo, {Trn :n ∈N}
tem um atrator global A(j). A restrição V
r de V à Xr é uma função de Liapunov para
{Tn
r :n ∈N} e a caracterização deA(j) segue.
Agora provemos a última afirmação. Seja δ0 = 12min{d(x∗, y∗), x∗, y∗ ∈ A(1), x∗ 1= y∗}. Se existem um δ0 > δ > 0 e sequências {x
k : k ∈ N} em X e {nk : k ∈ N} em
N tais que xk k−→→∞ x∗ e d(Tnkx
2.4 Semigrupos discretos gradient-like 25
subsequência convergente.
De fato, se {nk : k ∈ N} é limitado, segue da continuidade de T e de suas iteradas
que {Tnkx
k : k ∈ N} tem uma subsequência convergente. Agora, se {nk : k ∈ N} não é
limitada, como {xk:k ∈N}é limitada, existe n∈N tal queγ+({xk :k∈N})é limitada.
Da compacidade assintótica do semigrupo, existe um compacto K ⊂ γ+({x
k :k ∈N})
que atrai γ+({x
k :k ∈N}), e consequentemente atrai{Tnkxk :k ∈N}, portanto{Tnkxk :
k ∈ N} tem uma subsequência convergente. Denote esta subsequência convergente por {Tnkx
k :k ∈N}e seja y seu limite.
É imediato do fato de que V(xk) → n1 que V(y) = V(T y) = n1, pois n1 !V(T y) ! V(y) ! n1. Portanto y ∈ A(1) e dist(y,A1) " δ, o que é um absurdo. Isto prova que,
para cada x∗ ∈ A(1) e 0 < δ < δ0 existe um δ > δ′ > 0 tal que, para todo x ∈ B
δ′(x∗),
γ+(x)⊂B
δ(x∗) e prova queA(1) consiste somente dos equilíbrios estáveis. Para concluir
precisamos somente notar que, para cada x∈X,Tn(x)n−→→∞x∗ para algum x∗ ∈ E.
2.4 Semigrupos discretos gradient-like
Em geral não esperamos que uma perturbação de um semigrupo discreto gradiente nos dê um novo semigrupo gradiente, e a maior dificuldade é provar que o problema perturbado tem uma função de Liapunov. Assim, definimos o conceito de semigrupo gradient-like, onde nos preocupamos somente com as propriedades dinâmicas que a função de Liapu-nov introduz num semigrupo discreto gradiente. Com esta Liapu-nova definição mostramos que nesta nova classe os atratores podem ser caracterizados como nos semigrupos gradientes e também mostramos que este conceito é estável sob pequenas perturbações, logo conse-guimos mostrar a continuidade da estrutura dos atratores para este tipo de semigrupos com relação à pequenas perturbações.
Antes de continuarmos, vamos enfatizar a distinção entre semigrupos discretos gradi-entes e semigrupos que têm atratores do tipo gradiente. Como na Definição 2.3.1, um semigrupo discreto gradiente é um semigrupo que possui uma função de Liapunov.
Definição 2.4.1. Seja {Tn : n ∈ N} um semigrupo discreto com um atrator global A.
Assuma que o conjunto das soluções estacionárias E de{Tn:n ∈N}é finito; isto é, para
algum p∈N, E ={y1∗,· · ·, yp∗}. SeA=∪pi=1Wu(y∗i), dizemos queA é um atrator do tipo
Como provado no Teorema 2.3.3, um semigrupo discreto gradiente com um atrator global e um número finito de equilíbrios é um semigrupo discreto com um atrator do tipo gradiente.
Não é difícil ver (veja exemplo em Hale [12] páginas 2 e 3) que um atrator do tipo gradiente pode vir de um semigrupo discreto que não é gradiente e também que uma perturbação de um semigrupo discreto com um atrator do tipo gradiente pode não ter atrator do tipo gradiente.
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Figura 01
A Figura 1 acima apresenta um atrator do tipo gradiente que não é proveniente de um semigrupo gradient-like. Mas uma pequena perturbação deste semigrupo nos dá
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Figura 02
e temos assim uma órbita periódica, o que mostra que o atrator deste semigrupo não é a união dos conjuntos instáveis de seus pontos de equilíbrio. Notemos também que a pertur-bação não alterou o comportamento dos atratores do ponto de vista de semicontinuidade superior e inferior, mas alterou sua estrutura.
2.4 Semigrupos discretos gradient-like 27
Isto nos leva à questão de quais propriedades dinâmicas dos semigrupos discretos ga-rantem que eles tenham atratores do tipo gradiente e que são estáveis sobre perturbações. Logicamente, tais propriedades devem ser satisfeitas por semigrupos discretos gradientes e sua perturbações.
Com isto em mente (veja Carvalho-Langa [4]) o seguinte conceito desemigrupos dis-cretos gradient-like generaliza o conceito de semigrupos discretos gradientes enquanto mantém suas propriedades dinâmicas essenciais. Provaremos agora, adaptando os resul-tados de Carvalho-Langa [4] para o caso discreto, que as propriedades que definem os semigrupos discretos gradient-like são estáveis por perturbações.
Definição 2.4.2. Considere um semigrupo discreto {Tn:n ∈N} com um número finito
de soluções estacionárias E ={y∗
1,· · ·yp∗}. Seja
2δ0 = min
1!i,j!p
i(=j
d(yi∗, yj∗)>0
Seja ǫ0 < δ0, y∗ ∈ E e ǫ∈(0, ǫ0). Uma ǫ−cadeiade y∗ a y∗ é uma sequência{y∗
ℓ1, . . . , y
∗
ℓk}
emE, juntamente com um conjunto{y1,· · · , yk}de pontos deX e inteiros{n1,κ1, . . . , nk,κk},
0 < κi < ni, 1 ! i ! k, k ≤ p, tais que d(yi, y∗ℓi) < ǫ, 1 ! i ! k+ 1, y
∗ = y∗
ℓ1 = y
∗
ℓk+1,
dist(Tκiy
i,E)>ǫ0 e d(Tniyi, y∗ℓi+1)< ǫ, 1!i !k. Dizemos que y
∗ ∈ E é recorrente por
cadeias se existe um ǫ0 >0 fixo e uma ǫ−cadeia de y∗ a y∗, para cada ǫ∈(0,ǫ0).
ǫ
1 1 1ǫ0
y∗
1
!
Tn1y 1
y1
! !
!
Tκ1 y1 ❖ ✢ y∗ 3 ǫ ❅ ❅❅ǫ0
!
y∗
2
!
11ǫ ǫ0
1 1ǫ ǫ0
!y∗
1
!
!
!
Tκ3 y3
❄
■
Tκ2y 2
✸
Tκ1y 1
! !
Tn3 y3
y1
! !
Tn1 y1
y2
! !
Tn2y 2
y3
