Dimensão Fractal FD

No cálculo de SampEn, a razão A_B é a probabilidade condicional de que duas sequências, dentro da tolerância r para o comprimento m, permaneçam dentro de r uma da outra para o comprimento m + 1.

Normalmente, tanto ApEn quanto SampEn apresentam menores valores para indivíduos com redução da variabilidade da frequência cardíaca (Acharya et al., 2006). Embora a me- dida de complexidade do sinal (entropia) seja semelhante para os índices ApEn e SampEn, vê-se que ambos dependem da escolha dos parâmetros m e r, de forma diferenciada. Tipi- camente, o parâmetro m possui valores na faixa de 1 a 5 e r na faixa 5% a 20% do desvio padrão da série RR.

3.2.3

Dimensão Fractal - FD

Geometria Fractal

Se um segmento de reta for medido usando algum elemento medidor que tenha compri- mento r equivalente a 1/3 daquele segmento de reta, obviamente serão necessários três ele- mentos para sobrepor completamente o referido segmento, e isso será válido para qualquer fração escolhida, infinitamente. Matematicamente, a quantidade de elementos necessários para sobrepor esse segmento de reta é dada por 1/r. Se agora tentarmos sobrepor total- mente um quadrado de lado 1 com pequenos quadrados com comprimento de lado r, se cada pequeno quadrado tiver como medida de lado r igual a 0, 5 então serão necessários quatro quadrados, e matematicamente essa quantidade pode ser obtida pela formulação 1/r2. Por fim, se usarmos pequenos cubos para ocupar totalmente o volume de um cubo de 1 × 1 × 1, e se cada lado r dos pequenos cubos, por exemplo, medir 0, 5 serão necessárias oito unidades. Alternativamente, se cada lado r medir 1/3 (como no cubo mágico) então serão necessárias 27 unidades, ou seja, independentemente do valor de r, no caso de preenchimento de um cubo sempre serão necessárias 1/r3unidades.

Relembrando que, no caso da superposição de um quadrado com vários pequenos qua- drados, a quantidade esperada era de 1/r2 e para sobrepor um segmento de reta com vários pequenos segmentos era de 1/r. Então, fica claro que o expoente, especificamente para essas

estruturas consideradas, é sempre o mesmo que a dimensão do objeto que estamos tentando sobrepor ou preencher, ou seja, um no caso da linha reta, dois no caso do quadrado e três no caso do cubo. Generalizando, tem-se

Nr= r−D, (3.30)

onde Nr é a quantidade de elementos iguais necessários para sobrepor ou preencher o objeto original, sendo r a escala aplicada ao objeto e D a dimensão da referida estrutura ou objeto.

Até o momento analisamos apenas estruturas ditas regulares e que obedecem à geometria euclidiana. Nessas estruturas, o tamanho do objeto medido é sempre o mesmo, independen- temente do tamanho da escala utilizada. A grande maioria das estruturas da natureza, porém, são ditas “fractais”.

O termo fractal é derivado do latim fractus, que significa irregular ou quebrado, indicando que o objeto ou estrutura observada não tem um número inteiro como dimensão (dimensão não-inteira), podendo assumir valores como 0, 25 ou 3, 1415926535897932 . . .. Neste con- texto, abre-se espaço para estudo e aplicação da geometria fractal.

A “geometria fractal” surgiu com o intuito de reproduzir as formas da natureza. Benoit Mandelbrot (Mandelbrot e Freeman, 1983) desenvolveu estudos sobre a geometria da natu- reza visando representar o contorno de uma nuvem, as costas marítimas, o contorno de uma folha ou um floco de neve.

Da abordagem determinística da geometria fractal origina-se a dimensão fractal (do in- glês, fractal dimension, ou FD), definida como

FD =lim r→0

log Nr

log r−1. (3.31)

A dimensão fractal mede o grau de complexidade de uma estrutura, avaliando o quão rápido as medidas aumentam ou diminuem em função da escala. Além disso, a FD de um sinal representa uma ferramenta poderosa para a detecção de transitório. Tal característica tem sido utilizada nas análises de sinais de EEG e ECG para identificar e distinguir estados específicos de funções fisiológicas.

Existem diversos algoritmos para a determinação da FD de um sinal. Neste trabalho são implementados os algoritmos de Higuchi e Katz para análise das séries de variabilidade de frequência cardíaca (Acharya et al., 2006; Polychronaki et al., 2010).

Algoritmo de Higuchi

Seja a série temporal x = x(1), x(2), . . . , x(N). Construa k novas séries temporais xk_m como xk_m= {x(m), x(m + k), x(m + 2k), . . . , x (m + b(N − m)/kc k)}, para m = 1, 2, . . . , k, onde

mé o valor inicial de tempo, k é o intervalo discreto de tempo entre pontos e b·c representa a parte inteira do argumento. Para calcular a dimensão fractal pelo algoritmo de Higuchi, as etapas a seguir devem ser observadas:

1. para cada uma das k séries temporais xk_m, o comprimento Lm(k) é calculado por

L_m(k) = bac ∑ i=1 |x(m + ik) − x(m + (i − 1)k)| (N − 1) back , (3.32)

onde bac é a parte inteira de a = (N − m)/k obtida pelo arredondamento para baixo, N é o comprimento da série temporal x, e N−1_back é um fator de normalização;

2. obtém-se o comprimento médio de Lm(k), em k amostras (para m = 1, 2, . . . , k), tal que

L(k) = 1 k× k

∑

3. esse processo é repetido para cada k na faixa de 1 a kmax;

4. plota-se a curva ln (L(k)) versus ln 1_k
.

5. obtém-se o coeficiente angular (α) ou inclinação do polinômio de primeira ordem, uma reta, que melhor se aproxima da curva (analisando o erro quadrático médio). Esse coeficiente é a estimativa da dimensão fractal FD pelo método de Higuchi (DHiguchi) (Higuchi, 1988). Assim, DHiguchi|= FD = ( δ [ln (L(k))] δln 1_k
 ) k=1→kmax . (3.34) Algoritmo de Katz

Utilizando o método de Katz (1988), a dimensão fractal de uma curva pode ser definida como

FD =log10(L)

log₁₀(d), (3.35)

onde L é o comprimento total da curva ou a soma das distâncias entre pontos sucessivos, e d é o diâmetro estimado como a distância do primeiro ponto da sequência ao ponto que provê a maior distância. Matematicamente, d = max kx(1), x(i)k, para i ≤ N.

Considerando a distância entre cada um dos pontos da sequência e o primeiro ponto, o ponto i é o que maximiza a distância em relação ao primeiro ponto. A dimensão fractal

(FD) compara o número atual de unidades que compõem a curva com o número mínimo de unidades necessárias para reproduzir um padrão de mesma extensão espacial. Dimensões fractais calculadas desta forma dependem das unidades de medida utilizadas. Se as unidades são diferentes, então tem-se distintos valores de dimensão fractal. O método de Katz resolve este problema criando uma unidade geral (ou critério): neste caso, cria-se o passo médio ou distância média entre pontos sucessivos a. Portanto, normalizando as distâncias, a dimensão fractal pelo método de Katz (DKatz) (Katz, 1988) é dada por

DKatz|= FD =log10(L/a)

log₁₀(d/a). (3.36)