Suponha, agora, que o interessse num certo experimento seja contar o número de ocorrência de um certo evento, o qual pode ocorrer durante um intervalo de tempo, ao longo de uma superfície ou volume. Por exemplo:
1. Durante o intervalo de uma hora, observar o número de carros que passam numa rodovia;
2. Ao inspecionar a pintura de um carro, deseja-se observar o número de falhas;
3. Ao realizar o controle de qualidade de um produto alimentício, deseja-se conhecer o número de bactérias.
Em todas estas condições poderemos trabalhar com a seguinte distribuição de proba- bilidade.
Definição 7.4 (Distribuição de Poisson). Dizemos que a variável aleatória X : nú- mero de ocorrência de um certo evento num determinado intervalo de tempo, superfície ou volume, tem distribuição de Poisson com parâmetro λ (λ > 0) se sua função de pro- babilidade é dada por
P (X = x) = e −λλx x! , x = 0, 1, 2, ... Notação: X ∼ P oisson(λ). Propriedades: E(X) = λ V ar(X) = λ
Observação: Se X tem distribuição Binomial, ou seja, X ∼ B(n, p), em que n é bastante grande com p pequeno, de sorte que np ≤ 7, então a distribuição de X se aproxima da distribuição de Poisson com parâmetro λ = np, isto é, X ∼ P oisson(np).
1 - Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros?
2 - Seja X ∼ B(200, 0, 01). Calcular P (X = 10) usando a distribuição binomial e compare com o valor aproximado pela Poisson.
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LISTA DE EXERCÍCIOS Modelos Probabilísticos Discretos
1 - Se X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, utilize o fato de X ser a soma de n ensaios de Bernoulli para calcular a média e a variância de X.
2 - Sabendo-se que doze por cento dos que reservam lugar num vôo sistematicamente faltam ao embarque e que o avião comporta 15 passageiros:
a) Determine a probabilidade de que todos os 15 que reservaram lugar compareçam ao embarque.
b) Se houve 16 pedidos de reserva, determine a probabilidade: i) de uma pessoa ficar de fora;
ii) de nenhuma ficar de fora; iii) de mais de uma ficar de fora.
3 - Se 3% dos habitantes de uma grande cidade são empregados do Governo, determine a probabilidade de:
a) Nenhum ser empregado do Governo numa amostra aleatória de 50 habitantes? b) Encontrar no máximo 3 empregados do governo na amostra do item anterior? 4 - Um fabricante de peças de automóvel garante que uma caixa de suas peças conterá,
no máximo, duas defeituosas. Se a caixa contém 20 peças, e a experiência tem demonstrado que, em seu processo de fabricação, 6% das peças são defeituosas, qual é a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia?
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LISTA DE EXERCÍCIOS Distribuição Binomial 1 - Para os exercícios (a) a (e) abaixo, considere o enunciado:
Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para essas dê os respec- tivos campos de definição e função de probabilidade. Quando julgar que a variável não é binomial, aponte as razões de sua conclusão.
a) De uma urna com dez bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposição, cinco bolas. X é o número de bolas brancas nas cinco extrações.
b) Refaça o problema anterior, mas dessa vez as n extrações são sem reposição. c) Temos cinco urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de
cada urna. Suponha que X seja o número de bolas brancas obtidas no final. d) Vamos realizar uma pesquisa em dez cidades brasileiras, escolhendo ao acaso
um habitante de cada uma delas e classificando-o em pró ou contra um certo projeto federal. Suponha que X seja o número de indivíduos contra o projeto no final da pesquisa.
e) Em uma indústria existem 100 máquinas que fabricam determinada peça. Cada peça é classificada como boa ou defeituosa. escolhemos ao acaso um instatnte de tempo e verificamos uma peça de cada uma das máquinas. Suponha que X seja o número de peças defeituosas.
2 - Numa certa cidade, nascem por ano 40% de crianças do sexo masculino. Nas famílias com 4 crianças, qual a probabilidade de:
a) todas serem homens; b) todas serem mulheres; c) todas serem do mesmo sexo;
d) haver a mesma quantidade de homens e mulheres.
3 - De acordo com as estimativas de uma companhia de seguros, a probabilidade de incêndio numa casa é de 1% ao ano. A firma segura 400 casas.
i) 0 incêndio? ii) 1 incêndio?
4 - A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de:
a) acertar exatamente 2 tiros; b) não acertar tiro algum. Resp.: a) 80/243 b) 64/729.
5 - Em seis lançamentos de um dado equilibrado, qual a probabilidade de ocorrer: a) nenhuma vez a face 6;
b) 6 vezes a face 2;
c) pelo menos uma vez a face 4. Resp.: a) 33.49% b) 0.0021% c) 66.51%
6 - Em Campina Grande, nascem por ano 52% de crianças do sexo masculino. Nas famílias com 4 crianças, qual a probabilidade de:
a) todas serem homens; b) todas serem mulheres; c) todas serem do mesmo sexo;
d) haver a mesma quantidade de homens e mulheres. Resp.: a) 7.31% b) 5.31% c) 12.62% d) 37.38%
7 - Uma prova é composta de 10 questões objetivas, onde cada questão possui 5 alterna- tivas com apenas uma correta. Sabendo-se que um estudante não sabe respondê-las e irá apelar inteiramente pela sorte. Qual a probabilidadede que:
a) acerte 5 questões; b) erre todas as questões;
c) acerte no mínimo 3 e, no máximo 5 questões; d) qual o número esprerado de questões corretas? Resp.: a) 2.64% b) 10.74% c) 31.58% d) 2
8 - Suponha que, em um determinado vôo, motores de avião falhem comprobabilidade igual a 0.4, e independente. Suponha ainda que um avião voa com segurança se, pelo menos, metade dos seus motores não falha. Nestas condições, um avião quadrimotor deverá ser preferido a um bimotor? Justifique sua resposta!
Resp.: Não! O vôo com segurança do bimotor é de 84%, contra 82.02% do quadri- motor.
9 - Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são armazenadas em caixas com 5 unidades cada uma.
a) qual a probabilidade de haver, pelo menos 1, defeituosa numa caixa?
b) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por cada caixa em que houver, pelo menos, uma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas?
Resp.: a) 40.95% b) R$4.095, 10
10 - Um produtor de sementes vende pacotes com 10 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar serão indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 0.8.
a) Qual a probabilidade de um pacote ser indenizado?
b) Se o produtor vender 1000 pacotes, qual o número esperado de pacotes in- denizados?
c) Quando um pacote é indenizado, o produtor tem um prejuízo de R$ 1,20, e se o pacote não for indenizado, tem um lucro de R$ de 2,50. Qual o lucro líquido esperado por pacote?
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NOTA DE AULA