Distribuição Normal (Gaussiana)

Contínuas

8.3 Distribuição Normal (Gaussiana)

A distribuição Normal é talvez a mais importante das distribuições de probabilidade, por razões que possivelmente ficarão claras ao longo deste curso. Erros de mensuração de fenômenos físicos ou econômicos são freqüentemente modelados pela distribuição Normal, mas esta não é a única aplicação desta densidade. Por exemplo, a distribuição dos pesos, alturas e QI’s das pessoas numa população também já foram modelados com sucesso por esta distribuição. A distribuição Normal tem a forma de um sino, e possui dois parâmetros, µ e σ2_.

A distribuição Normal é também chamada de Gaussiana em homenagem ao matemático Carl Friederich Gauss (1777 - 1855), que a utilizou pela primeira vez na modelagem de erros de medida. A distribuição Normal também funciona como uma boa aproximação para outras densidades. Por exemplo, sob algumas condições pode-se provar que a densidade Binomial pode ser aproximada pela Normal.

Definição 8.3 (Densidade Normal com média µ e variância σ2_{). Seja X uma}

variável aleatória contínua definida nos números reais. Dizemos que X tem densidade Normal com média µ e variância σ2 _{se a densidade de X é:}

f (x) = √1 2πσe

−1₂(x−µ_σ )2

Notação: X ∼ N(µ, σ2₎

Devemos dizer que o primeiro parâmetro, µ (lê-se: mi), é a média ou o valor esperado de X, enquanto que o segundo parâmetro, σ2 _{(lê-se: sigma dois), é a variância de X. A}

seguir exibimos gráfico das distribuições Normais com média zero e variâncias 1, 2 e 4.

(Esboçar o gráfico de Distribuições Normais com média zero e variâncias 1, 2 e 4)

Note que o máximo das densidades é encontrado quando x = 0, isto é, quando x é igual à média da distribuição. Isto vale para qualquer distribuição Normal: o máximo de f (x) é obtido fazendo-se x = µ, onde µ é a média da Normal. Também, quanto maior o valor da variância σ2_{, mais “espalhada” é a distribuição.}

8.3.1 Propriedades da Distribuição Normal

(1) f(x) dada pela expressão acima integra a 1, ou seja, a área sob a curva da normal é igual a 1.

(2) f(x) ≥ 0, para qualquer valor real.

(3) Os limites de f(x) quando x tende a −∞ e +∞ são iguais a zero.

(4) A densidade N(µ, σ2_{) é simétrica em torno de µ, ou seja: f (µ + x) = f (µ − x).}

(5) O valor máximo de f(x) ocorre em x = µ.

(6) Os pontos de inflexão de f(x) são x = µ − σ e x = µ + σ.

Teorema 8.1. Se X ∼ N(µ, σ2_{), então a variável aleatória definida por}

Z = X − µ

σ ∼ N(0, 1), tem distribuição normal reduzida ou normal padrão.

Observações:

1) Se quisermos calcular a probabilidade de P (a < X < b), onde X ∼ N(µ, σ2_),

devemos resolver a seguinte integral:

P (a < X < b) = Z b a 1 √ 2πσe −1₂(x−µ_σ )2 dx,

a qual não apresenta fácil solução. Por isso, a solução é reduzir (ou transformar) a variável X para uma variável:

Z = X − µ σ ,

que tem distribuição normal padrão, e, assim obter a probabilidade de interesse na Tabela da distribuição Normal Padrão.

2) Uma das Tabelas da distribuição Normal Padrão apresenta a seguinte probabilidade: P (0 < Z < z) = Z z 0 1 √ 2πe −x2₂ _dx

3) Uma outra Tabela da distribuição Normal Padrão apresenta a seguinte probabilidade: P (−∞ < Z < z) = Z z −∞ 1 √ 2πe −x2₂ dx onde z é um valor real qualquer.

A probabilidade dada por P (−∞ < Z < z) corresponde a seguinte área:

(Esboçar o gráfico representando a área referente a _{P (−∞ < Z < z))}

8.3.2 Exemplos do Uso da Tabela Normal Padrão 1. Considere X : N(100, 25), calcular:

a) P (100 ≤ X ≤ 106) b) P (89 ≤ X ≤ 107) c) P (112 ≤ X ≤ 116) d) P (X ≥ 108)

2. Sendo X : N(50, 16), determinar xα, tal que:

a) P (X ≤ xα) = 0, 05

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Disciplina: Probabilidade e Estatística (6 créditos) Período 2009.2 Prof. Gilberto Matos e Areli Mesquita

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LISTA DE EXERCÍCIOS Distribuição Normal

1 ) Se a variável Z tem distribuição normal padrão, isto é, Z ∼ N(0; 1), obtenha: a) P (0 ≤ Z ≤ 1, 96);

b) P (Z < 1, 64); c) P (Z < −2, 57);

d) o valor z, na tabela da normal padrão, tal que, P (Z < z) = 0, 025. Resp.: a)

2 ) Seja X uma v.a, tal que, X ∼ N(100; 25), determinar: a) P (X ≥ 108); b) P (X = 100); c) P (89 ≤ X ≤ 107); d) P (12 < X − µ < 16); e) P (112 < X < 116); f) P (X < 100 ou X > 106); Resp.: a)

3 ) Uma v.a X tem Distribuição Normal, com média 50 e desvio padrão 10, i.é, X ∼ N(50; 102_{), determine o valor de A, B e C, nos seguintes casos:}

a) P(X > A) = 0, 0228; b) P(X < B) = 0, 0668; c) P(|X − µ| < C) = 0, 6826; Resp.: a)

4 ) Uma fábrica de carros sabe que a duração (X) dos motores de sua fabricação tem distribuição aproximadamente normal, com média de 150.000 km e desvio padrão de 5.000 km, ou seja, X ∼ N(150.000; 5.0002_{). Qual a probabilidade de que um carro,}

escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure: a) menos de 170.000 km?

b) entre 140.000 km e 165.000 km?

c) se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia (g), qual deve ser esta garantia, para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0, 2%?

Resp.: a)

5 ) Foi feito um estudo sobre a altura (X) dos alunos de uma faculdade, observando-se que ela se distribuia com média 160 cm e variância 64 cm2_{. Determinar:}

a) P (X ≤ 176) ; b) P(|X − 160| ≤ 8) ;

c) a porcentagem dos alunos com altura acima de 180 cm. Resp.: a)

6 ) Um fabricante de máquinas de lavar sabe, por longa experiência, que a duração de suas máquinas tem distribuição normal com média 1000 dias e desvio padrão de 200 dias. Se este fabricante oferece uma garantia de 1 ano (365 dias) e produz mensalmente 2000 máquinas, quantas máquinas ele espera trocar pelo uso da garantia dada, mensalmente?

7 ) Avaliou-se que o tempo médio desperdiçado em cirurgias de longa duração (mais de 4 horas) é uma variável aleatória Normal com média de 90 min. e desvio padrão de 50 min.

a) Qual é a probabilidade de uma determinada cirurgia ter um desperdício de tempo de mais de 60 min. ?

b) Qual é a probabilidade de haver um desperdício de tempo de no máximo 50 min.?

c) 15% das cirurgias tem um tempo de desperdício muito alto. Acima de que valor esse tempo é considerado muito alto?

d) Em 100 cirurgias de longa duração realizadas em um certo mês, quantas espe- ramos encontrar com um desperdício superior a 2 horas?

e) Em um determinado dia, foram realizadas 4 cirurgias de longa duração. Qual é a probabilidade de nenhuma ter tido um desperdício superior a 50 min.? f) Cada hora ou fração da hora desperdiçada em uma cirurgia custa ao hospital

R$ 56,00. Sabendo que acima de 2 horas de desperdício o prejuízo é fixo no valor de R$ 200,00, obtenha o prejuízo esperado.

8 ) Numa fábrica foram instaladas 1.000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 horas e desvio padrão de 100 horas, com distribuição normal. Qual a quantidade de lâmpadas que durarão:

a) menos de 500 horas; b) mais de 700 horas; c) entre 516 e 814. Resp.: a)

9 ) O preço de um produto se distribui normalmente com preço médio µ e desvio padrão σ. Sabe-se que 81,98% dos preços estão situados entre (µ−10) e (µ+10), sendo que, 42,07% dos preços são superiores a 600g. Baseado nessas informações, determine µ e σ. Resp.: a)

10 ) A vida útil (em anos) de um computador pessoal tem distribuição aproximadamente normal com média de 2,9 anos e desvio padrão de 1,96 anos.

a) Que proporção dos computadores falhará no primeiro ano? b) Que proporção dos computadores durará quatro anos ou mais? c) Que proporção dos computadores durará no mínimo dois anos?

d) Que proporção dos computadores durará mais de 2,5 anos, porém menos de quatro anos?

e) Se o fabricante adota uma política de garantia segundo a qual apenas 5% dos computadores têm de ser substituídos, qual é o período dessa garantia?

Resp.: a)

11 ) Mostre que, em qualquer distribuição normal, a área sob a curva, determinada pelos intervalos abaixo, é sempre a mesma e independe dos parâmetros da distribuição:

a) (µ − σ; µ + σ); b) (µ − 2σ; µ + 2σ); c) (µ − 3σ; µ + 3σ);

Esboce um gráfico para cada uma dessas situações. Resp.: a)

Respostas a serem confirmadas 1 ) a) 0, 0547 = 5, 47% b) 0% c) 0, 9053 = 90, 53% d) 0, 0075 = 0, 75% e) 0, 6151 = 61, 51% 2 ) a) A = 70; b) B = 35; c) C = 10. 3 ) a) 0, 999968 = 99, 99% ∼= 100% b) 0, 976 = 97, 6% c) g = 135.650 km 4 ) a) 97, 72% b) 68, 26% c) 0, 62% 5 ) a) 1, 4 ∼= 1 b) 841, 3 ∼= 841 c) 553, 4 ∼= 553

Aluno(a): .

10a

NOTA DE AULA

9 Variáveis Aleatórias Bidimensionais

9.1 Variáveis Aleatórias Discretas

Na maioria das situações dificilmente trabalhamos com apenas uma variável aleatória. É muito comum estarmos interessados no comportamento conjunto de várias variáveis aleató- rias. Trataremos aqui apenas de duas variáveis, porém, os conceitos estudados aqui podem ser expandidos de maneira análoga para mais de duas variáveis.

Introduziremos o estudo através do seguinte exemplo:

Uma amostra de 20 alunos do primeiro ano de uma faculdade foi escolhida. Perguntou- se aos alunos se trabalhavam, variável que foi representada por X, e o número de vestibu- lares prestados, variável representada por Y . Os dados obtidos estão na tabela abaixo.

X não sim não não não sim sim não sim sim

Y 1 1 2 1 1 2 3 1 1 1

X não não sim não sim não não não sim não

Y 2 2 1 3 2 2 2 1 3 2

Podemos coletar as freqüências de ocorrência dos possíveis pares, construindo uma tabela de freqüência conjunta de X e Y .

(X, Y ) freqüência

X | Y Total

Total

Dessa forma, fica facilitada a tarefa de obter a tabela de freqüência individual para cada variável que, pela posição em que seus valores aparecem na tabela de dupla entrada, é chamada de tabela marginal de freqüência da variável X (ou Y ), ou simplesmente marginal de X (ou Y ). Temos então para as variáveis X e Y , do exemplo anterior, as seguintes tabelas de freqüência:

X freqüência

Total

Y freqüência

Total

Observe que podemos construir as mesmas tabelas considerando as freqüências relati- vas.

9.1.1 Função de Probabilidade Conjunta

Iremos considerar agora o caso de variáveis aleatórias discretas, definidas a partir das suas funções de probabilidades. Iniciamos estendendo a definição de função de probabilidade para o caso de duas variáveis.

Definição 9.1 (Função de probabilidade conjunta(bidimensional)). Seja X uma variável aleatória que assume os valores x1, x2, ..., xm e Y variável aleatória que

assume os valores y1, y2, ..., yn. A função de probabilidade conjunta é definida,

para todos os possíveis pares de valores (xi, yj), i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n, da

seguinte forma:

p(xi, yj) = P [(X = xi) ∩ (Y = yj)] = P (X = xi, Y = yj),

isto é, p(xi, yj) representa a probabilidade de (X, Y ) ser igual a (xi, yj).

Definição 9.2 (Distribuição conjunta(bidimensional) de probabilidades). Ao conjunto de pares

{(xi, yj), p(xi, yj), i = 1, 2, ..., m j = 1, 2, ..., n},

damos o nome de distribuição conjunta de probabilidades da variável aleatória bidimensional (X, Y ), onde: m X i=1 n X j=1 p(xi, yj) = 1

A distribuição conjunta de probabilidades da variável (X, Y ) pode ser representada, também, através de uma tabela de dupla entrada.

Exemplo 3. Uma região foi subdividida em 10 sub-regiões. Em cada uma delas, foram observadas duas variáveis: número de poços artesianos (X) e número de riachos ou rios presentes na sub-região (Y ). Os resultados são apresentados na tabela a seguir:

Sub-região 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 0 0 0 0 1 2 1 2 2 0

Y 1 2 1 0 1 0 0 1 2 2

Considerando que escolhemos uma das sub-regiões ao acaso, isto é, cada sub-região tem mesma probabilidade 1/10 de ser escolhida, podemos construir a distribuição de probabilidades conjunta de (X, Y ), tal como:

(X, Y ) P (X, Y )

Total Cuja tabela de dupla entrada é dada por:

X | Y Total

Total

9.1.2 Distribuições Marginais de Probabilidades

Quando trabalhamos com uma variável aleatória bidimensional podemos ter o interesse em estudar o comportamento de uma única variável; ou seja; em conhecer a distribuição de

Tabela 1: tabela de dupla entrada para apresentar a distribuição conjunta de (X,Y). Y y1 ... yn X Total x1 p(x1, y1) ... p(x1, yn) p(x1) x2 p(x2, y1) ... p(x2, yn) p(x2) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... xm p(xm, y1) ... p(xm, yn) p(xm)

Total p(y1) ... p(yn) 1,0

Desta maneira, a distribuição de X ou comumente denominada de distribuição marginal de X, pode ser obtida a partir de

p(xi) = P [(X = xi, Y = y1)ou(X = xi, Y = y2)ou...ou(X = xi, Y = yn)] = Σn_j=1p(xi, yj).

De modo análogo, a distribuição marginal de Y é obtida a partir de

p(yj) = P [(X = x1, Y = yj)ou(X = x2, Y = yj)ou...ou(X = xm, Y = yj)] = Σmi=1p(xi, yj).

Exemplo 4. Considerando o exemplo das sub-regiões, podemos calcular, através da distribuição conjunta, as seguintes distribuições marginais:

X = xi 0 1 2

P (X = xi)

Y = yj 0 1 2

P (Y = yj)

9.1.3 Função de Variáveis Aleatórias

Em algumas situações poderá surgir o interesse em estudar o comportamento de uma função das variáveis aleatórias, tal como: soma, produto ou alguma outra relação entre elas. Para melhor compreender os procedimentos para se realizar tal estudo, consideremos o seguinte exemplo:

Em uma cidade do Estado de São Paulo, admite-se que o número de anos para completar o ensino fundamental (variável F ) e o número de anos para completar o ensino médio (variável M) têm distribuição conjunta dada por:

(F, M) p(f, m) (8,3) 3/10 (8,4) 1/10 (8,5) 1/10 (9,3) 2/10 (9,4) 1/20 (9,5) 1/10 (10,4) 1/10 (10,5) 1/20 Total 1

Suponha agora que exista o interesse em estudar as variáveis F + M e F.M. Para isto, podemos acrescentar, à tabela anterior, algumas colunas correspondentes aos valores dessas novas variáveis. Vejamos:

(F, M) p(f, m) F + M F.M (8,3) 3/10 (8,4) 1/10 (8,5) 1/10 (9,3) 2/10 (9,4) 1/20 (9,5) 1/10 (10,4) 1/10 (10,5) 1/20

Através dessa tabela podemos construir a distribuição da variável Z = F + M e W = F.M, para isso basta somar as probabilidades nos valores comuns, por exemplo:

P (Z = 13) = P (8, 5) + P (9, 4) = 1 10+ 1 20 = 3 20.

Procedendo de modo similar com os outros valores obtemos as funções de probabilidade de Z e de W :

Z = z 11 12 13 14 15 P (Z = z)

W = w 24 27 32 36 40 45 50 P (W = w)

9.1.4 Associação entre Variáveis

Definição 9.3 (Probabilidade condicional). Dada duas variáveis aleatórias discretas definidas no mesmo espaço amostral, a probabilidade condicional de X = x, dado que Y = y ocorreu, é dada pela expressão:

P (X = x | Y = y) = P (X = x, Y = y)

Definição 9.4 (Variáveis aleatórias independentes). Duas variáveis aleatórias discretas são independentes, se a ocorrência de qualquer valor de uma delas não altera a chance de ocorrência de valores da outra. Ou seja,

P (X = x | Y = y) = P (X = x),

para todos os possíveis valores (x, y) das variáveis (X, Y ). Como definição alternativa podemos usar:

P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y), para quaisquer (x, y).

Observação: X e Y são independentes ⇐⇒ p(x, y) = p(x)p(y), ∀ (x, y). Se existe pelo menos um par (x0, y0) tal que:

p(xo, y0) 6= p(x0)p(y0)

então, X e Y não são independentes.

Exemplo 5. Suponhamos que X e Y tenham distribuição conjunta dada pela seguinte tabela:

X | Y 1 2 3

1 0 1/5 0

2 1/5 1/5 1/5

3 0 1/5 0

Determine as distribuiçãoes marginais de X e Y e verifique se estas variáveis são independentes.

9.1.5 Medida de Correlação entre duas Variáveis

Quando as variáveis não são independentes isto quer dizer que existe uma certa relação entre as variáveis. Esta relação pode ser de qualquer tipo, como por exemplo uma relação linear, quadrática, exponencial, etc. Nosso objetivo aqui não será o de determinar qual o tipo de relação que existe entre as variáveis em questão e sim o de medir o grau de correlação entre as variáveis. Neste curso iremos medir o grau de correlação linear entre variáveis quantitativas discretas. Na literatura existem outras medidas de correlação, inclusive entre variáveis qualitativas, porém este não será o nosso objetivo neste curso.

Antes de definirmos a medida de correlação linear entre as variáveis vamos enunciar algumas propriedades envolvendo o valor esperado de funções de variáveis aleatórias.

Propriedade 1: Para variáveis aleatórias X e Y , vale sempre que E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

No caso do produto de duas variáveis aleatórias nem sempre é válido que o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados. Neste caso temos o seguinte resultado:

Propriedade 2: Se X e Y são duas variáveis aleatórias independentes, então E(XY ) = E(X)E(Y ).

Obs: A recíproca desta propriedade não é verdadeira, ou seja, se E(XY ) = E(X)E(Y ),

então não necessariamente é verdade que X e Y são independentes.

Exemplo 6. Considere as variáveis X e Y tendo distribuição conjunta dada por:

X | Y 2 3 4

-1 2/12 0 3/12

0 0 1/12 1/12

1 1/12 2/12 2/12

Calcule, E(X), E(Y ) e E(XY ). Depois determine se X e Y são independentes.

Definição 9.5. Uma medida de dependência linear entre X e Y é dada pela covari- ância:

Cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))].

Em palavras, a covariância é o valor esperado do produto dos desvios de cada variável em relação à sua média.

Desenvolvendo a equação acima chegaremos em uma definição mais usual, que é dada pela seguinte expressão:

Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).

Observe que, se X e Y são independentes, então a Cov(X, Y ) = 0; mas a recíproca nem sempre é verdadeira.

Definição 9.6 (Coeficiente de correlação linear). O coeficiente de correlação linear entre as variáveis aleatórias X e Y é calculado pela seguinte expressão:

ρX,Y =

Cov(X, Y ) σXσY

Onde, σX e σY são respectivamente os desvios-padrão das variáveis X e Y .

A divisão pelo produto dos desvios-padrão, tem a função de padronizar a medida e tornar possível a comparação com outras variáveis. Pode-se mostrar que |ρX,Y| ≤ 1. A

interpretação de sua expressão segue os mesmos passos da covariância, sendo que valores de ρX,Y próximos de ±1 indicam correlação forte.

Propriedade 3: Sejam X e Y variáveis aleatórias quaisquer, então V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y ). Se X e Y são independentes, então

V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ).

Exemplo 7. Calcule a Cov(F, M) e ρF,M onde F e M são as variáveis aleatórias

Aluno(a): .

10a

LISTA DE EXERCÍCIOS

1 - O setor de emergência de um pronto socorro infantil anotou o número de crianças atendidas (C), de médicos (M) e de auxiliares (A) de plantão em 15 dias de atividades. Os dados são apresentados na tabela abaixo:

Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C 5 7 5 6 5 5 7 5 6 6 7 5 5 6 6

M 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2

A 4 4 5 6 7 7 6 5 5 6 7 7 6 6 7

a) Determine as tabelas de freqüência marginais de C, M e A.

b) Obtenha a tabela de freqüência conjunta entre (C, M), (C, A) e (M, A). c) Calcule a média das variáveis M e A.

2 - Para famílias de um certo bairro de São Paulo, apresentamos abaixo a tabela de freqüência conjunta das variáveis: número de automóveis (A) e de TVs (T).

A\ T 0 1 2 total 0 110 235 120 465 1 51 122 178 351 2 15 84 162 261 total 176 441 460 1077 a) Calcule as marginais de A e T.

b) Determine as médias destas variáveis.

3 - Uma moeda equilibrada é lançada duas vezes de forma independente. Ao final dos lançamentos, duas variáveis aleatórias são anotadas: o número total de caras (C) e o número de coroas no 2ž lançamento (K).

a) Construa uma tabela com a distribuição conjunta das variáveis C e K. b) Determine o valor esperado de C.

4 - A função conjunta de probabilidade entre as variáveis X e Y é apresentada abaixo (com algumas entradas faltando):

X\ Y -1 0 2 4 P (X)

a) Complete a tabela.

b) X e Y são independentes? c) Obtenha as marginais de X e Y.

d) Calcule a distribuição da variável W = XY. e) Calcule ρ(X, Y ).

5 - A função de probailidade conjunta entre as variáveis aleatórias X e Y é apresentada na tabela abaixo:

X\ Y -2 0 2 4

-1 0,1 0,2 0,1 0,2 1 0,2 0 0,1 0,1

a) Obtenha as distribuições marginais de X e Y. b) X e Y são independentes?

c) Calcule ρ(X, Y ).

6 - Na caixa I existem duas bolas numeradas 0 e 1, enquanto que a caixa II contêm duas bolas numeradas -1 e 0. Uma bola é retirada aleatoriamente de cada caixa, de forma independente uma da outra. A esse experimento, associamos as variáveis aleatórias: número da bola retirada na caixa I (X), soma dos valores das duas bolas retiradas (Y ) e a diferença, em módulo, desses valores (Z).

a) Determine a distribuição de probabilidade conjunta entre Xe Y e entre Y e Z. b) Verifique se Xe Y são independentes. Idem para Y e Z.

c) Calcule a Cov(X, Y ) . d) Obtenha V ar (X + Y ) .

7 - A variável X é Bernoulli com p = 0, 4 e Y : b(3 : 0, 5). Admita que X e Y são independentes.

a) Determine P (X = 0 | Y = 2) .

b) Obtenha a distribuição conjunta de Xe Y e do produto W = XY. c) Clcule E (X) , E (Y ) e E (W ) e verifique que E (W ) = E (X) E (Y ) . d) Determine o valor de Cov(X, Y ) e ρ (X, Y ) .

Aluno(a): .

Relação de Exercícios para o 3◦ _Estágio

Livro: "Estatística Básica". Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin. 5a. Edicão. Capítulo 6 (Modelos de variáveis aleatórias discretas):

Problema Página 22, 23 e 24 152 32 e 34 157 37 158 40 159 51 160

Capítulo 7 (Modelos de variáveis aleatórias contínuas): Problema Página

13 182

19 e 20 183

35 195

40 196

Capítulo 8 (Variáveis aleatórias multidimensionais - caso discreto e bidimensional): Problema Página 2 e 3 206 4 e 5 209 10 210 13 215 17 216

EXERCÍCIOS EXTRAS

1 - Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas com peças boas formando um lote de 12 peças no total. Escolhendo, ao acaso, 4 dessas peças, determine a probabilidade de encontrar:

a) Pelo menos 2 defeituosas. b) No máximo 1 defeituosa. c) No mínimo uma boa.

2 - Em um estudo sobre o crescimento de jacarés, uma pequena lagoa contém 4 exem- plares da espécie A e 5 da espécie B. A evolução de peso e tamanho dos 9 jacarés da lagoa é acompanhada pelos pesquisadores através de capturas periódicas. Determine a probabilidade de, em três jacarés capturados, obtermos:

a) Todos da espécie A.

b) Nem todos serem da espécie B. c) A maioria ser da espécie A.

3 - Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica de 10 quilômetros.

a) Qual é a probabilidade da pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E de ocorrer nos 3 quilômetros centrais da rede?

b) O custo de reparo da rede depende da distância do centro de serviço ao local da pane. Considere que o centro de serviço está na origem da rede e que o custo é de R$ 200 para distâncias até 3 quilômetros, de R$ 400 entre 3 e 8 quilômetros e de R$ 1.000 para distâncias acima de 8 quilômetros. Qual é o custo médio do conserto?

4 - Suponha que o valor esperado de uma variável aleatória com distribuição Uniforme contínua é igual a 1 e a variância é 1/12. Encontre a probabilidade da variável assumir valores menores que 3/4.

5 - O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos, tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado acima, pergunta-se a probabilidade da dor:

a) Cessar em até 10 minutos? b) Demorar pelo menos 12 minutos?

c) Durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10?

6 - O tempo, em minutos, de utilização de um caixa eletrônico por clientes de um certo banco, foi modelado por uma variável aleatória T com distribuição Exponencial cuja média é igual a 1/3. Determine:

a) P(T < 1).

b) P(T > 1 | T > 2).

c) Um número a tal que P(T < a) = 0,4.

7 - Para uma variável aleatória com distribuição Exponencial de parâmetro igual a 1, determine a probabilidade de sorteamos um valor que se distancie no máximo 0,5 da média.

No documento probabilidade (páginas 82-101)