Teorema de Bayes - probabilidade

Sob as mesmas hipóteses do teorema da probabilidade total, podemos calcular a probabilidade de Bi dada a ocorrência de A da seguinte forma

P (Bi | A) = P (Bi∩ A) P (A) = P (Bi)P (A | Bi) P jP (Bj)P (A | Bj) .

Este resultado é o que chamamos de Teorema de Bayes. Esse teorema é útil quando conhecemos as probabilidades dos B′

is e a probabilidade condicional de A dado Bi,

mas não conhecemos diretamente a probabilidade de A. Exemplos:

1 - A proporção de peças produzidas pelas máquinas I, II e III é 30%, 30% e 40%, respectivamente. Dentre estas peças, 4%, 3% e 2%, respectivamente, são defeituosas. Uma peça escolhida aleatoriamente, foi testada e verificou-se ser defeituosa. Qual é aprobabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina I? E pela máquina II? E pela III?

2 - Suponha três urnas com as seguintes configurações: a urna 1 contém 3 bolas pretas, 1 branca e 5 vermelhas; a urna 2 contém 4 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas; a urna 3 contém 2 bolas pretas, três brancas e 3 vermelhas. Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificou-se que a bola é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 1, 2? E da 3?

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Disciplina: Probabilidade e Estatística (6 créditos) Período 2009.2 Prof. Gilberto Matos e Areli Mesquita

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LISTA DE EXERCÍCIOS

Independência Estatística, Probabilidade Condicional, Teorema da Probabilidade Total e de Bayes

1 - Suponha que a probabilidade de que ambas crianças gêmeas sejam meninos é 0,30 e que a probabilidade de que sejam meninas é 0,26. Dado que a probabilidade de uma criança seja menino é 0.52, qual é a probabilidade de que:

a) A segunda criança seja um menino, sabendo-se que o primeiro é um menino? Resp.: 0,577.

b) A segunda criança seja uma menina, sabendo-se que a primeira é uma menina? Resp.: 0,542.

2 - Uma urna contém duas bolas brancas, três verdes e cinco azuis. Se três bolas são retiradas ao acaso, sem reposição, determine a probabilidade de:

a) três bolas verdes ocorrerem. Resp.: 0,0083. b) exatamente uma bola verde ocorrer.Resp.: 0,175.

3 - A probabilidade de que um time de futebol vença seu próximo oponente é estimada em 0,7 se não chover, mas só em 0,5 se chover. Se os registros meteorológicos mostrarem que choveu 40 por cento das vezes, na data do jogo, nos anos passados, qual a probabilidade de que o time vença seu próximo oponente? Resp.: 0,62. 4 - Suponhamos que seja de 0,005 a probabilidade de que o motor de um monomotor de

combate falhe na decolagem e que a taxa de falha técnica do motor de um bimotor de combate seja de 0,003. Se o bimotor não puder decolar a não ser que ambos os motores estejam operando adequadamente, que avião é mais seguro na decolagem? Resp.: P (bimotor falhar na decolagem) = 0, 006.

5 - Empregados de certa firma são submetidos a um teste de aptidão quando empregados pela primeira vez. A experiência mostrou que dos 60 por cento que passaram no teste, 80 por cento deles eram bons trabalhadores, enquanto dos 40 por cento dos que não conseguiram passar só 30 por cento foram avaliados como bons trabalhadores. Qual a probabilidade de que um empregado escolhido ao acaso seja um bom trabalhador? Use aqui a técnica da árvore. Resp.: 0,60.

6 - Suponhamos que seja p a probabilidade de que o tempo (com sol ou nublado) seja o mesmo do dia anterior. Se hoje for dia de sol, qual a probabilidade de que depois de amanhã tenhamos também um dia de sol? Resp.: 2p2_{− 2p + 1}

Teorema de Bayes

7 - Um saco contém três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as outras duas são normais e não viciadas. Uma moeda é retirada ao acaso e jogada. Dado que o resultado foi cara, qual a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras? Resp.: 0,5.

8 - As probabilidades de que três homens atinjam um alvo são, respectivamente, 1 6,

1 4 e

1 3.

Cada um atira uma vez em direção ao alvo.

a) Determine a probabilidade p de que exatamente um deles atinja o alvo. Resp.: 0,431.

b) Se apenas um atinge o alvo, qual a probabilidade de ele ser o primeiro homem? Resp.: 0,194.

Aluno(a): .

NOTA DE AULA

5 Variáveis Aleatórias: Discretas e Contínuas

5.1 Introdução

Ao descrever um espaço amostral S associado a um experimento E, podemos observar que os resultados possíveis não são, necessariamente, núméricos. Consideremos, por exemplo, o seguinte experimento:

E1: Lançar duas moedas e observar a face superior de cada uma.

Neste experimento, temos S = {CC, CK, KC, KK} e, na prática, o que realmente podemos estar interessados em observar é, por exemplo, o número de vezes que ocorre cara (K), ou seja, temos interesse num número real que está associado a cada resultado do espaço amostral S.

Definição 5.1 (Variável Aleatória). Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral associado ao experimento. Dizemos que a função X é uma variável aleatória quando associa a cada elemento do espaço amostral, s ∈ S, um número real, x = X(s).

Notação: X, Y , Z, etc. Esquematicamente, temos:

(Esboçar a função (ou variável aleatória) que associa a cada elemento do espaço amostral, _{s ∈ S, um número real, x = X(s) )}

Exemplo 1: Considere o experimento

E1: Lançar duas moedas e observar a seqüência de caras (K) e coroas (C).

Se X é a variável aleatória que representa o número de vezes que ocorre cara (K): a) Descreva o espaço amostral, S, e obtenha os possíveis valores que a variável aleatória

X pode assumir.

b) Represente através de um gráfico o espaço amostral e a função X = X(s), isto é, a variável aleatória X.

Solução:

Através do Exemplo 1, podemos notar que, ao descrever um espaço amostral S associado a um experimento E, não necessariamente, um resultado individual é um número. Neste exemplo, vimos que S = {KK, CK, KC, CC} e, na prática, o que realmente podemos estar interessados em observar é o número de vezes que ocorre cara (K), ou seja, temos interesse num número real que está associado a cada resultado do espaço amostral S.

Definição 5.2 (Eventos Equivalentes). Sejam um experimento E e seu espaço amostral S. Seja X uma variável aleatória definida em S e seja RX seu contradomínio.

Seja B um evento definido em relação a RX, isto é, B ⊂ RX. Defina o evento A como

A = {s ∈ S; X(s) ∈ B}. Neste caso dizemos que A e B são eventos equivalentes.

Exemplo: A partir do exemplo anterior, temos RX = {0, 1, 2}, onde cada um desses

valores ocorre com as seguintes probabilidades:

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