Do trabalho ao emprego e profissionalização

Jusqu’à présent nous nous sommes limités aux milieux poreux non fissurés. Cependant les milieux fissurés font également l’objet de recherches étant donné leur importance pratique dans la prospection pétrolière, ainsi que dans les applications de stockage de déchets radioactifs [PAGIS, 1988a, Andersson and Galson, 1991]. La principale différence par rapport aux milieux poreux provient de la coexistence, en général, de deux modes d’écoulement ou de transport: le premier à travers un réseau de fissures interconnectées hautement perméables mais contribuant peu à la porosité totale du milieu et le deuxième à travers les blocs de la matrice solide très peu perméables mais contribuant en grande partie à la porosité du milieu (et donc à l’emmagasinement d’eau ou de pétrole). Selon les modèles, le nombre de modes considérés varie de un à trois, voire plus [Bai et al., 1993, Sahimi, 1993]. Dans ce paragraphe, nous ne ferons que mentionner quelques modèles utilisés pour la description des milieux fissurés et nous aborderons le transport dans ces milieux à l’aide d’un modèle récent [Williams, 1992] dont nous reparlerons au chapitre VI. Le lecteur intéressé trouvera plus de détails sur la modélisation de l’écoulement et du transport en milieu fissuré dans [Sahimi, 1995].

III.4.1 Les modèles de milieux fissurés

Sahimi [Sahimi, 1995] a répertorié dans la littérature plusieurs classes de modèles de milieux fissurés. A part la première classe de modèles, les trois autres classes mentionnées ici sont toutes basées sur la description de réseaux discrets de fissures; ces trois dernières classes diffèrent entre elles par la méthode utilisée pour générer ces réseaux.

1. Les modèles à porosité multiple (approche continue)

Le modèle le plus connu dans cette approche est le modèle à porosité double. Le milieu est vu comme la superposition de deux systèmes poreux, la matrice ayant une porosité élevée

et une perméabilité faible et les fissures ayeint une porosité faible mais une perméabilité élevée. L’écoulement du fluide à travers les deux systèmes séparément, et un échange de fluides peut avoir lieu entre les systèmes à leur interface. Comme dans toute ap­ proche continue, le comportement du fluide est modélisé à l’aide des équations classiques macroscopiques après définition d’un volume élémentaire représentatif (R.E.V: cf chapitre II). Pour un milieu fissuré, deux R.E.V doivent être définis: un pour la matrice et un autre pour les fissures. Le comportement du système est parfois étudié sur seulement un R.E.V. qui doit être alors beaucoup plus grand que le R.E.V. de la matrice et doit inclure beaucoup de fissures: cette approche est appelée moyenne à grande échelle.

2. Les modèles de réseau.

Ce sont intuitivement les premiers modèles qui viennent à l’esprit. Le milieu fissuré est représenté par un réseau de fissures interconnectées de longueurs finies. Cette représen­ tation est justifiée par les données expérimentales. Dans ces modèles, la connectivité est une grandeur importante pour l’écoulement et le transport: les fissures sont interprétées comme des liens et les points de croisement des fissures comme des noeuds (ou sites). Deux sites sont dits connectés, s’il existe entre eux au moins un chemin non interrompu constitué de liens. La connectivité est le nombre de coordination moyen par site, c’est-à- dire le nombre moyen de liens au même site. On distingue principalement les réseaux de fissures bidimensionnels et les réseaux tridimensionnels.

Dans un modèle bidimensionnel, les fissures sont distribuées aléatoirement dans un plan. Le modèle le plus simple est le modèle de Poisson [Stoyan et al., 1987] où dans un bloc carré de taille L x L les coordonnées x et y d’un nombre spécifié de points sont choisis à partir d’une distribution uniforme dans [0, L]. Ces points représentent les centres de lignes (ou fissmes) dont les orientations sont ensuite tirées au sort à partir d’une distribution donnée. Enfin, à chaque ligne, on associe des longueurs et des conductivités hydrauliques tirées au sort.

Pour un tel modèle, Robinson [Robinson, 1984] a interprété le nombre moyen d’inter­ sections par fissures ^ comme une mesure de la connectivité. Si nous supposons que la longueur moyenne d’une fissure vaut <£>, que la distribution de son orientation est g{6),

et que la densité de centres des fissures est (= nombre moyen de centres (fissures) par unité de surface) alors ^ peut s’écrire [Robinson, 1984, Williams, 1993, Sahimi, 1995]

^ = Xa<£>^ [ f sin\9 — 6o\g{6)g{6o)d9d9o (3.60)

JQ JQ

Les modèles tridimensionnels de génération de fissiures ont également été utilisés poiu: des modèles de milieux fissurés naturels; les fissures sont soit représentées par des disques de rayons finis soit par des plans de dimensions finies. Certains résultats expérimentaux, ont permis de constater que les fissures tridimensionnelles se présentent sous formes d’ellipses ou de disques. Billaux, Chiles, Hestir et Long [Sahimi, 1995] ont développé un modèle de génération de fissures où des disques sont placés aléatoirement dans l’espace; le diamètre de chaque disque est tiré indépendamment au sort à partir d’une distribution log-normale. 3. Modèles firactals

Dans beaucoup de situations rencontrées dans les roches naturelles, la fissuration est le résultat d’un processus de fragmentation. La distribution de la taille des fragments est

souvent une loi de puissance, ce qui est la signature d’un système fractal . Des réseaux de fissures peuvent dont être générés en appliquant les méthodes utilisées pour les objets fi-actals. L’objet fractal est limité, conformément aux situations naturelles, à un intervalle borné d’échelles de longueurs.

4. Modèles mécaniques de fissuration

Ces modèles de génération, de réseaux de fissures sont les plus réalistes étant donné qu’ils sont censés reproduire le mécanisme physique responsable de la création de fissures dans les roches naturelles. Ils sont également les plus coûteux en temps de calcul car il s’agit de simuler des phénomènes de déformation et de propagation de fissures d’un milieu soumis à des contraintes extérieures. Une autre difficulté apparaît due à l’hétérogénéité du milieu rocheux naturel. En effet, les pores étant distribués aléatoirement dans le milieu, les théories de la mécanique des fissures doivent tenir compte d’une distribution aléatoire de constantes élastiques pour la formation des fissures.

III.4.2 Le transport en milieux fissurés

La plupart des travaux réalisés sur le transport de solutés et en particulier sur l’étude de la dis­ persion se basent sur des modèles de réseaux discrets de fissures [Andersson and Galson, 1991]. Nous nous attardons ici sur le modèle récent de Williams [Williams, 1992, Williams, 1993] qui s’inscrit dans ce cadre. Ce modèle a été développé à partir d’ime analogie entre les processus de transports dans les réseaux de fissures et ceux rencontrés dans le transport de neutrons. Il part de l’hypothèse que les particules de soluté sont canalisées par les fissures; il associe alors la trajectoire d’une particule de soluté le long d’une fissure à un libre parcoiurs moyen effectif et la distribution aléatoire des fissmes en un point d’embranchement (ou site) à un processus de pseudo-scattering. Ces analogies permettent d’écrire l’équation de transport des solutés sous la forme d’une équation de Boltzmann [Devooght, 1992]. Dans ce modèle, on introduit une concentration de particules dépendant de la direction f2, c’est-à-dire une den­ sité angulaire c{f,Q,,v,t). La quantité c{f,Q,v,t)dfdÇîdv représente alors la concentration de particules au point f dans l’élément de volume df se déplaçant selon une direction comprise dans le cône élémentaire dO, d’axe Q, avec une vitesse comprise dans l’intervalle u et t; -I- du au temps t. Williams part de l’équation intégro-différentielle de Boltzmann adaptée au cas d’un radionucléide possédant un factem de retard R et soumis à une décroissance radioactive de constante A

R{f) — -I- U fî. V 4- U E(f, U, fi) + A R{f)

àt ^{c(r, fi,u,t)}

= jdü' jdv'v'E{r,v',d') g(r;v' v;il' c{r,ü',v',t) + S{r,ü,v,t) (3.61) La différence essentielle par rapport à l’équation classique de transport de solutés en milieu géologique se trouve au niveau du terme de scattering où apparaît la section efficace macro­ scopique E (exprimée en m“^). Physiquement g(r\v' v;ü' fi) dvdQ, est la probabilité qu’en atteignant un point d’embranchement, une particule de vitesse v' et de direction fî^ soit déviée dans l’angle solide dfi autom: de Q et atteigne une nouvelle vitesse u dans l’intervalle

(u, U -f- du). Nous avons bien sûr

La quantité 'E{f,v,fl') est la probabilité par unité de longueur de parcours, qu’une particule de vitesse v et de direction Q rencontre un point d’embranchement; ceci revient à dire que

£■£ = 1/E est le libre parcomrs moyen entre points d’embranchement pour des particules de paramètres (u, fl).

La formulation (3.61) devient utilisable en pratique s’il est possible de relier E et 5 axix propriétés géométriques du milieu. Williams relie ces grandeurs aux propriétés stochastiques du réseau de fissures, à savoir: la distance moyenne entre deux points d’embranchement et la distribution angulaire F{Ql) des fissures mesurées par rapport à la direction ï de l’écoulement net moyen. La distance peut en effet être définie à l’aide du nombre moyen d’intersections par fissures ( donné par l’équation (3.60), on a

^ (3.62)

tandis que F{CIl) peut être lié à la distribution de l’orientation des fissures g{6) apparaissant également dans (3.60) [Williams, 1993]. En supposant que les particules sont canalisées par les fissures et qu’après leur passage dans un point d’embranchement elles se déplacent selon une des directions Q = Q,l présentes au point d’embranchement, Williams obtient

5(f;u'^u;n'->n) =G(f;u'-)-u;ïn) F{r,U) (3.63) Par simplicité, il suppose que E(f,u, 12) ne dépend que des propriétés géométriques du mi­ lieu: E(f,u,r2) = E(Ü) et que la distribution G{v' v) aux points d’embranchements est une Dirac (le module de la vitesse est conservé). Williams propose alors la forme suivante pour

g v' v;Çl' ^

g{f-v' n) = ô(v' - v) [7?(f) F{U) H{iSl) + {1 -7?(f)) F{-U) [l - ff(i.i2)]] = ô{v'-v) f{r,n) (3.64) où T] détermine la proportion relative d’écoulement en avant par rapport à la direction d’écou­ lement net moyen ï et H est la fonction d’Heaviside. En introduisant le relation (3.64) dans l’équation de Boltzmann (3.61), on obtient

c(f, n, t) = f{U) jdïï V E{çÿ) c{f, n', t) + s{f, n, t) (3.6s) où la vitesse n’est plus mentionnée dans c car elle n’apparaît plus que sous la forme d’un paramètre; de plus v est la vitesse réduite v/R et enfin la fonction /(f, f2) introduite dans (3.64) est supposée indépendante de la position f dans (3.65). L’équation (3.65) est une équation intégro-différentielle de la forme plus complexe que l’équation d’advection-dispersion, néanmoins elle contient explicitement les propriétés statistiques de la roche par l’intermédiaire des grandeurs E(f2) et F{Çï).

Ce modèle peut donc être comparé aux modèles stochastiques Eulériens de transport in­ troduits pour les milieux poreux au début de ce chapitre. L’équation (3.65) possède en plus un avantage pratique important: elle est de la même forme que l’équation de transport des neutrons, dès lors l’ensemble des méthodologies et codes de calculs développés dans ce domaine peuvent être appliqués pour sa résolution.

Nous reparlerons du modèle de Williams au chapitre VI. I-+ U Î2. V-I-U E(f2) -I-A