Independentemente da t´ecnica de resolu¸c˜ao do problema inverso ou da abor- dagem variacional ou funcional para a reconstru¸c˜ao da distribui¸c˜ao do coeficiente de convec¸c˜ao no objeto em estudo, as dificuldades s˜ao intr´ınsecas uma vez que o problema ´e mal posto e, provavelmente, sem solu¸c˜ao na ausˆencia de uma estrat´egia de regulariza¸c˜ao.
Segundo Campos (2004), alguns pesquisadores tˆem se dedicado ao desenvol- vimento de estrat´egias de regulariza¸c˜ao do problema, todavia, s˜ao trabalhos de cunho essencialmente matem´atico e consideram aspectos insuficientes ligados `as dificuldades da pr´atica do m´etodo. Principalmente na tomografia de escoamentos
bif´asicos industriais em que as dificuldades de medi¸c˜ao se somam `as exigˆencias ligadas ao ambiente em que a medida deve ser realizada.
Uma primeira id´eia sugerida para trabalhar com o mau condicionamento de um problema foi dada por Tikhonov e Arsenin (1977), chamada de regulariza¸c˜ao. Os m´etodos de regulariza¸c˜ao, em geral, consistem na determina¸c˜ao da solu¸c˜ao aproximada mais suave compat´ıvel com os dados observados, para certo n´ıvel de ru´ıdo. O objetivo ´e limitar o efeito do aumento do erro proveniente dos dados atrav´es de alguma restri¸c˜ao imposta `a solu¸c˜ao.
Ent˜ao, ao inv´es de resolver o problema inverso diretamente, resolve-se um pro- blema levemente alterado por um parˆametro de regulariza¸c˜ao, perturbando os dados de tal forma que o problema mantenha tanto quanto poss´ıvel o comporta- mento do problema original. Diz-se que este novo problema levemente alterado ´e uma regulariza¸c˜ao do problema original. Entretanto, existe o problema de es- colher o melhor parˆametro de regulariza¸c˜ao, sabendo que para resolver problemas mal condicionados, informa¸c˜oes adicionais e de boa qualidade contribuem para uma melhor determina¸c˜ao da solu¸c˜ao.
Uma forma de avaliar se o parˆametro de regulariza¸c˜ao ´e ´otimo ´e calcular um funcional de erro entre o problema original e o problema regularizado. Quando este funcional se aproximar de zero ´e que a solu¸c˜ao do problema regularizado se aproxima da solu¸c˜ao do problema original. Nem sempre ´e aconselh´avel a obten¸c˜ao do funcional de erro igual a zero, uma vez que, na presen¸ca inevit´avel de erros, os erros na solu¸c˜ao do problema inverso podem ser minimizados por uma escolha criteriosa do valor de regulariza¸c˜ao. Deve-se, portanto, buscar o parˆametro de regulariza¸c˜ao ´otimo, de forma a se obter `a m´ınima altera¸c˜ao do problema original, mas com a desejada estabilidade da solu¸c˜ao.
Rolnik e Seleghim (2002) revelam o sucesso de um procedimento aplicado a um problema de calibra¸c˜ao inversa que ´e perfeitamente adapt´avel ao problema de reconstru¸c˜ao tomogr´afica. O procedimento realiza medidas redundantes e as combinam em um mesmo funcional de erro convenientemente definido de maneira que a sua minimiza¸c˜ao leve a determina¸c˜ao do contraste el´etrico que se deseja reconstruir. Logo, ´e poss´ıvel combinar tomografia el´etrica e ac´ustica, visto que os erros obtidos pela tomografia por impedˆancia el´etrica ou outra t´ecnica tomogr´afica
42 2.5 T´ecnicas de Regulariza¸c˜ao
podem ser dispostos em um mesmo funcional.
De acordo com a teoria de problemas inversos, a reconstru¸c˜ao num´erica deste problema ´e tratada como um problema de minimiza¸c˜ao global. Assim, a t´ecnica de regulariza¸c˜ao proposta neste trabalho, baseia-se na constru¸c˜ao de uma pseudo- inversa da matriz Hessiana, do m´etodo de Newton, a partir da truncagem de sua Decomposi¸c˜ao em Valores Singulares, para a determina¸c˜ao do coeficiente de convec¸c˜ao, a partir de medidas n˜ao intrusivas.
Uma variedade de m´etodos tˆem sido propostos para resolver os problemas in- versos. No entanto, um m´etodo amplamente aceito para resolver problemas que envolvam matrizes mal condicionadas ´e a Decomposi¸c˜ao em Valores Singulares (SVD) para calcular sua pseudo-inversa. Esta t´ecnica, que ´e bem compreendida, facilmente implementada e direta, tem sido utilizada para resolver problemas in- versos de transferˆencia de calor na matriz de discretiza¸c˜ao do problema direto, e n˜ao na matriz Hessiana do problema de otimiza¸c˜ao como ´e proposto neste tra- balho.
Martin e Dulikravich (1996) apresentaram um m´etodo de elemento de con- torno (MEC) para a solu¸c˜ao de problemas de Poisson bidimensionais inversos com condu¸c˜ao de calor estacion´aria, al´em de fontes e sumidouros. O procedimento n˜ao ´e iterativo e ´e de baixo custo computacional, envolvendo apenas uma modifica¸c˜ao simples de qualquer algoritmo MEC existente. Condi¸c˜oes de contorno t´ermicas podem ser prescritas apenas na parte do contorno do objeto s´olido, enquanto as fontes de calor podem ser parcialmente ou totalmente desconhecidas. Condi¸c˜oes de contorno especificadas ou medidas de temperatura interna s˜ao necess´arias a fim de compensar as condi¸c˜oes desconhecidas. A express˜ao residual ponderada, inerente `a formula¸c˜ao MEC, substitui a aproxima¸c˜ao mais comum do m´etodo dos m´ınimos quadrados (L2) iterativo, que ´e normalmente usado para este tipo de problema mal posto. Uma matriz mal condicionada resulta da formula¸c˜ao MEC, que deve ser adequadamente invertida para obter a solu¸c˜ao para o problema de condu¸c˜ao de calor constante mal posto. A decomposi¸c˜ao em valores singulares da matriz notou-se ser mais efetiva que a regulariza¸c˜ao de Tikhonov para inverter matriz. Resultados precisos foram obtidos para v´arios problemas de condu¸c˜ao de calor bidimensional estacion´ario com distribui¸c˜oes arbitr´arias das fontes de calor,
onde as solu¸c˜oes anal´ıticas estavam dispon´ıveis.
Shen (1999) estudou a aplica¸c˜ao de dois m´etodos de elementos de contorno, o m´etodo da coloca¸c˜ao e o m´etodo dos res´ıduos ponderados, para a solu¸c˜ao do problema inverso de condu¸c˜ao de calor unidimensional. Quando os m´etodos num´ericos s˜ao diretamente aplicados sobre um problema inverso de condu¸c˜ao de calor, sistemas lineares mal condicionados s˜ao inevit´aveis. Assim, mostrou-se que os n´umeros de condi¸c˜ao das matrizes que representam estes sistemas aumentam exponencialmente em fun¸c˜ao do n´umero de passos de tempo, se o intervalo de tempo ´e fixo. Por causa do mau condicionamento do sistema linear, um trata- mento especial nesse sistema ´e necess´ario e foi usado o m´etodo de decomposi¸c˜ao em valores singulares truncados (TSVD) e dois m´etodos de regulariza¸c˜ao de Tikho- nov para estabilizar esse sistema linear. Consideravelmente um grande n´umero de passos de tempo foram usados para testar a confiabilidade desses m´etodos. Neste trabalho foi testado o m´etodo da coloca¸c˜ao com o m´etodo TSVD e o m´etodo dos res´ıduos ponderados com a regulariza¸c˜ao de Tikhonov e Tikhonov generalizada. O m´etodo TSVD ignora as partes oscilat´orias da solu¸c˜ao para evitar grandes erros num´ericos. Um m´etodo de regulariza¸c˜ao tamb´em sacrifica a precis˜ao para alcan¸car um sistema linear bem condicionado. Os resultados apresentados mostram que os m´etodos diretos n˜ao s˜ao aplic´aveis at´e mesmo para um n´umero pequeno de ele- mentos. O m´etodo de decomposi¸c˜ao em valores singulares truncado requer muito mais c´alculos do que os m´etodos de regulariza¸c˜ao tradicional, mas os resultados para a regulariza¸c˜ao s˜ao melhores que os do m´etodo de decomposi¸c˜ao em valores singulares.
Shenefelt et al. (2002) apresentaram um m´etodo novo e simples para a re- solu¸c˜ao de problemas inversos de condu¸c˜ao de calor linear unidimensional, utili- zando dados de temperatura com um ru´ıdo significativo. Um pulso unit´ario de fluxo de calor ´e aplicado no modelo de condu¸c˜ao linear e a temperatura (resposta) ´e determinada. O sistema resultante do pulso de calor unit´ario ´e gravado e utilizado para investigar o problema f´ısico. O m´etodo consiste em uma aplica¸c˜ao direta da decomposi¸c˜ao em valores singulares `a matriz da forma de princ´ıpio de Duhamel. Uma interpreta¸c˜ao f´ısica do m´etodo ´e dada pela interpreta¸c˜ao do dom´ınio da frequˆencia da decomposi¸c˜ao. Basicamente linhas e colunas s˜ao removidas das ma-
44 2.5 T´ecnicas de Regulariza¸c˜ao
trizes de decomposi¸c˜ao que est˜ao associadas com pequenos valores singulares que foram mostrados estar associados com as frequˆencias onde a rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo ´e pequena. As vantagens do m´etodo s˜ao que as matrizes de ordem reduzida per- mitem estimar o fluxo de calor a ser obtido a partir de dados de temperatura contendo grande quantidade de ru´ıdo e n˜ao h´a parˆametros ad hoc para especificar o processo de filtragem a fim de obter resultados razo´aveis.
Bamford, Batsale e Fudym (2007) estudaram sequˆencias de imagens infraver- melhas de uma amostra heterogˆenea excitada com um pulso de calor n˜ao uniforme atrav´es da decomposi¸c˜ao em valores singulares. A vers˜ao discreta da equa¸c˜ao do calor ´e resolvida no espa¸co transformado e o perfil de difusividade t´ermica longi- tudinal do composto ´e dado. Uma nova an´alise de sensibilidade baseada em um estudo de correla¸c˜ao dos modos derivados da SVD ´e executada. Essa an´alise ´e feita no espa¸co transformado para determinar quais os modos e locais s˜ao mais adequados para o c´alculo. Mostra-se que o perfil de difusividade pode ser esti- mado precisamente usando apenas um n´umero muito limitado de modos, a qual a sensibilidade para a difusividade ´e ´otima. Este m´etodo ´e calibrado com perfis de temperatura simulado, e finalmente ´e dedicado a caracteriza¸c˜ao de um material comp´osito.