Trajet´ orias de Convergˆ encia - Desenvolvimento de uma técnica não intrusiva de medição do co

O estudo anterior mostra que foram executados testes numéricos exploratórios visando determinar taxas e regiões de convergência em fun¸cão do grau de truncamento dos autovalores da SVD. Neste caso, a minimiza¸cão da fun¸cão de erro é baseada no método de Newton em que a inversa da matriz Hessiana é substitu´ıda por uma pseudo-inversa constru´ıda a partir da técnica de Decomposi¸cão em Valo- res Singulares Truncados. Os limites ideais de truncamento mostraram-se depen- dentes da distribui¸cão do coeficiente de conveçcão e, uma vez determinados, foram mantidos constantes ao longo dos outros testes. As mesmas trajetórias de con- vergência, casos (5.9), (5.10) e (5.11), foram simuladas para diferentes estimativas iniciais e com o passo de refinamento otimizado pelo método Golden Search. Como esperado, a técnica proposta baseada na aplica¸cão da TSVD à matriz Hessiana do método de Newton foi capaz de superar os problemas de convergência associa- dos a natureza intr´ınseca mal condicionada do problema inverso considerado neste trabalho. Em outras palavras, várias patologias da superf´ıcie de otimiza¸cão foram praticamente eliminadas, estabilizando a trajetória de convergência de forma que o m´ınimo global pode ser alcan¸cado em um tempo computacional razoável. Por

128 5.7 Aplica¸cão da TSVD na Regulariza¸cão das Trajetórias

exemplo, no primeiro caso dado pela equa¸cão (5.9), o m´ınimo global está loca- lizado em um vale curvo e cercado por múltiplos m´ınimos locais, como mostrado na Figura 5.11(d). O efeito desta patologia nas trajetórias de convergência obtidas utilizando o método de Newton sem TSVD corresponde às oscila¸cões observadas por volta da itera¸cão 300, mostradas nas Figuras 5.20, 5.23 e 5.26. Estas oscila¸cões ejetam a solu¸cão candidata para uma região bastante irregular da superf´ıcie de otimiza¸cão e, consequentemente, as trajetórias de convergência tornam-se muito erráticas, apesar do passo de refinamento estar diminuindo com o método Golden Search. A aplica¸cão do método TSVD estabiliza essas trajetórias e a convergência para o m´ınimo global é alcan¸cada, conforme mostra as Figuras 5.103, 5.104 e 5.105.

A influência de uma instabilidade muito grande é observada no primeiro caso dado pela equa¸cão (5.10), gerada por corre¸cões instáveis na fórmula de Newton. A explica¸cão para este fato é que a trajetória de convergência provavelmente está sendo capturada pelo m´ınimo difuso onde todas as derivadas tendem a zero. Nestas condi¸cões os erros de truncamento são significativos e as corre¸cões tornam- se progressivamente mais instáveis como mostra a Figura 5.29 a partir da itera¸cão 300. Uma caracter´ıstica importante, comum aos três casos, é a passagem por uma quase-singularidade por volta das itera¸cões 600, 500 e 400, respectivamente para os casos 2.1, 2.2 e 2.3 da expressão 5.10 (Figuras 5.29, 5.32 e 5.35), o que levou a trajetória a um aprisionamento definitivo pelo m´ınimo difuso para o caso 2.1 (Figura 5.29), que corresponde a estimativa inicial mais distante da solu¸cão. Analogamente ao caso anterior, o método TSVD foi capaz de estabilizar estas trajetórias e a convergência para o m´ınimo global foi obtida para os casos 2.2 e 2.3 (Figuras 5.107 e 5.108). A convergência não foi atingida no caso 2.1 (Figura 5.106), embora a taxa de divergência tenha sido atenuada.

Finalmente, todas essas caracter´ısticas foram observadas nos casos dado pela equa¸cão (5.11), mostrado nas Figuras 5.38, 5.41 e 5.44. A aplica¸cão do método TSVD estabilizou as trajetórias e tornou poss´ıvel a convergência para o m´ınimo global para os casos 3.2 e 3.3 (Figuras 5.110 e 5.111).

0 . 0 1 0 . 1 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1 1 0 0 1 n ú m e r o d e i t e r a ç õ e s n o rm a

Figura 5.103: Trajetória de convergência usando o método de Newton com TSVD para o caso 1.1. 0 . 0 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 1 0 . 0 0 1 0 . 0 1 0 . 1 1 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1 1 0 0 1 n ú m e r o d e i t e r a ç õ e s n o rm a

Figura 5.104: Trajetória de convergência usando o método de Newton com TSVD para o caso 1.2. 0 . 0 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 1 0 . 0 0 1 0 . 0 1 0 . 1 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1 1 0 0 1 n ú m e r o d e i t e r a ç õ e s n o rm a

Figura 5.105: Trajetória de convergência usando o método de Newton com TSVD para o caso 1.3.

130 5.7 Aplica¸cão da TSVD na Regulariza¸cão das Trajetórias 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1 1 0 0 1 n ú m e r o d e i t e r a ç õ e s n o rm a

Figura 5.106: Trajetória de convergência usando o método de Newton com TSVD para o caso 2.1. 0 . 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 1 0 . 0 0 1 0 . 0 1 0 . 1 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1 1 0 0 1 n ú m e r o d e i t e r a ç õ e s n o rm a

Figura 5.107: Trajetória de convergência usando o método de Newton com TSVD para o caso 2.2. 0 . 0 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 1 0 . 0 0 1 0 . 0 1 0 . 1 1 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1 1 0 0 1 n ú m e r o d e i t e r a ç õ e s n o rm a

Figura 5.108: Trajetória de convergência usando o método de Newton com TSVD para o caso 2.3.

0 . 0 0 0 1 0 . 0 0 1 0 . 0 1 0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1 n ú m e r o d e i t e r a ç õ e s n o rm a

Figura 5.109: Trajetória de convergência usando o método de Newton com TSVD para o caso 3.1. 0 . 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 1 0 . 0 0 1 0 . 0 1 0 . 1 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1 1 0 0 1 n ú m e r o d e i t e r a ç õ e s n o rm a

Figura 5.110: Trajetória de convergência usando o método de Newton com TSVD para o caso 3.2. 0 . 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 1 0 . 0 0 1 0 . 0 1 0 . 1 1 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1 1 0 0 1 n ú m e r o d e i t e r a ç õ e s n o rm a

Figura 5.111: Trajetória de convergência usando o método de Newton com TSVD para o caso 3.3.

6

Conclus˜oes e Perspectivas

Uma nova técnica não intrusiva para a medi¸cão do coeficiente de conveçcão é proposta nesse trabalho, utilizando sensoriamento térmico e resolvendo o problema inverso associado através do desenvolvimento de métodos de otimiza¸cão espec´ıficos.

De acordo com a teoria de problemas inversos, a reconstru¸cão numérica da tomografia térmica é tratada como um problema de minimiza¸cão global, cuja fun¸cão objetivo é um funcional de erro que representa a diferen¸ca entre temperaturas de referência e temperaturas aproximadas, obtidas numericamente por meio de uma distribui¸cão prospectiva do coeficiente de conveçcão. O m´ınimo global do funcional de erro corresponde à solu¸cão procurada.

Métodos de otimiza¸cão convencionais não são capazes de obter a solu¸cão em tempo viável. Isso deve-se à não linearidade e ao mau condicionamento do problema tomográfico que impedem a convergência do algoritmo na presen¸ca de patologias, tais como: múltiplos m´ınimos locais, pontos de sela, m´ınimos difuso, vales estreitos e até mesmo vale com eixo curvil´ıneo. Desse modo, uma técnica aprimorada, capaz de convergir para a solu¸cão correta mesmo na presen¸ca dessas patologias é necessária para obten¸cão da solu¸cão.

Neste trabalho, propôs-se uma técnica de regulariza¸cão baseada na constru¸cão de uma pseudo-inversa da matriz Hessiana, do método de otimiza¸cão de New- ton, a partir da truncagem de sua Decomposi¸cão em Valores Singulares. Como o problema é inverso e, portanto, intrinsecamente mal condicionado, é esperado que existam autovalores tendendo a zero. Numericamente isso pode ser feito descartando-se as dire¸cões associadas aos autovalores menores que um limite

134

de corte previamente estabelecido, o que, além de regularizar o problema, tem também como consequência positiva a redu¸cão de sua ordem.

Os métodos de otimiza¸cão testados neste trabalho foram: Newton, Newton com Inércia e Descida Máxima. Conforme os resultados obtidos, o método de Newton foi o que se mostrou mais eficiente em rela¸cão a aplicabilidade de técnicas de regulariza¸cão. Assim o método da Decomposi¸cão em Valores Singulares Trun- cados foi adotado para regularizar a matriz Hessiana do método de Newton. Os limites de corte ideais da TSVD para os casos simulados neste trabalho foram determinados por tentativa e erro. O método Golden Search foi utilizado para determinar o valor ótimo do passo de refinamento (λk) do método de Newton.

O levantamento das caracter´ısticas topológicas (patologias) das superf´ıcies de erro foi realizado para compreender melhor como o mau condicionamento intr´ınseco do problema se manifesta na formula¸cão adotada. Dessa forma, essas patologias permitiram antecipar grandes dificuldades na aplica¸cão do algoritmo de minimiza¸cão convencional, sendo necessário desenvolver algoritmos capazes de convergir para a solu¸cão correta mesmo na ocorrência dessas patologias.

Os testes realizados com o método de Newton, Newton com Inércia e Descida Máxima revelaram vantagens importantes relativamente à patologia da superf´ıcie de otimiza¸cão. Por exemplo, o método da Descida Máxima mostrou-se menos suscept´ıvel à atra¸cão do m´ınimo difuso. Por outro lado o método de Newton, quando a matriz Hessiana é bem condicionada, revelou uma taxa de convergência bastante acentuada.

Os resultados concernente às trajetórias de convergência demonstraram que a técnica proposta, baseada na aplica¸cão da TSVD à matriz Hessiana do método de otimiza¸cão de Newton foi capaz de superar os problemas de convergência associa- dos à natureza intr´ınseca mal condicionada do problema inverso considerado neste trabalho. Em outras palavras, diversas patologias da superf´ıcie de otimiza¸cão foram virtualmente eliminadas, o que estabilizou a trajetória de convergência de uma forma que o m´ınimo global pode ser atingido em um tempo computacional razoável. Estes resultados constituem a principal contribui¸cão cient´ıfica deste trabalho.

e diminuir o tempo total de execu¸c˜ao do algoritmo, as propostas para trabalhos futuros s˜ao:

• combinar o método de Newton com um método estocático (por exemplo, Algoritmo Genético). Uma poss´ıvel idéia é usar o Algoritmo Genético até obter uma solu¸cão candidata no dom´ınio de atra¸cão do m´ınimo global. Em seguida, aplicar o método de Newton para acelerar a convergência por meio de uma busca intensiva em torno da melhor solu¸cão encontrada pelo Algo- ritmo Genético;

• modificar o funcional de erro para inclusão de informa¸cões a priori na formula¸cão, derivadas de conhecimento f´ısico do problema tomográfico. Por exemplo: fra¸cão de vazio, coeficiente de simetria, fluxo de calor, entre outros;

• implementar algum procedimento que diminua o custo computacional do cálculo da matriz Hessiana. A idéia é aplicar um procedimento anal´ıtico ou computacional (paraleliza¸cão do algoritmo proposto neste trabalho);

• aumentar a complexidade do problema inverso. A idéia é considerar a condutividade térmica do problema desconhecida, tornando-se assim uma incógnita para o problema ou resolver o problema de transferência de calor acoplado ao problema de escoamento;

• implementar outro método de discretiza¸cão das equa¸cões. A idéia é aplicar o método dos elementos de contorno no problema gerando assim matrizes menores para o cálculo computacional.

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