EFEITO HALL DE SPIN E EFEITO HALL DE SPIN INVERSO

O efeito Hall de spin (SHE - Spin Hall Effect) ´e um fenˆomeno de transporte predito em 1971 por Dyakonov e Perel [17, 18]. Este efeito consiste no aparecimento de uma acumula¸c˜ao de spinsnas laterais de uma amostra pela qual passa uma corrente el´etrica. Spins com polariza¸c˜oes opostas se acumulam em sentidos opostos. O termo efeito Hall despin foi introduzido por Hirsch em 1999 [128].

Apesar do efeito Hall despinter algumas similaridades com o efeito Hall convencional, no qual cargas de sinais opostos, na presen¸ca de um campo magn´etico, s˜ao deflexionadas em sentidos opostos da lateral do condutor para compensar a for¸ca de Lorentz, o efeito Hall de spin n˜ao necessita de um campo magn´etico.

O efeito Hall de spin foi observado em semicondutores [19, 129] trinta anos depois de ser predito por Dyakonov e Perel. Ao incidir luz na regi˜ao em que h´a ac´umulo de spins devido ao SHE, a luz refletida se torna circularmente polarizada, assim como a polariza¸c˜ao por efeito Kerr. Dessa forma, foi poss´ıvel verificar o SHE experimentalmente atrav´es da ´optica.

A origem do efeito Hall de spin em metais n˜ao-magn´eticos est´a na intera¸c˜ao spin -´orbita, intera¸c˜ao relativ´ıstica entre o spin do el´etron e o seu movimento orbital. Para que exista o efeito Hall em metais normais ´e necess´ario que estes metais apresentem impurezas ou defeitos de forma que a intera¸c˜ao spin-´orbita nos potenciais gerados pelos defeitos/impurezas espalhem anti-simetricamente os el´etrons de condu¸c˜ao de acordo com suas polariza¸c˜ao de spin. Dessa forma, a existˆencia de uma corrente de carga fluindo atrav´es de um condutor n˜ao-magn´etico que apresente espalhamento spin-´orbita, levar´a a uma corrente Hall despine por conseguinte a uma acumula¸c˜ao despinsnas extremidades do condutor transversalmente `a corrente de carga.

Opostamente, uma corrente pura despinfluindo atrav´es de um condutor n˜ao-magn´etico que apresente intera¸c˜ao spin-´orbita far´a com que surja um corrente de carga transver-salmente `a primeira, e por conseguinte surgir´a tamb´em uma acumula¸c˜ao de carga nas extremidades do condutor transversal `a corrente de spin. O efeito Hall de spin inverso

Figura 4.12 Ilustra¸c˜ao dos efeitos Hall de spin (a) e Hall de spin inverso (b). No primeiro, uma corrente de carga n˜ao polarizada emspinao atravessar um condutor n˜ao-magn´etico com espalhamento

spin-´orbita tem suas cargas, com polariza¸c˜oes despinopostas, acumuladas em extremidades opostas do condutor, extremidades estas transversais `a corrente de carga, gerando assim uma corrente pura despin

transversal `a corrente de carga. No segundo, uma corrente pura de spin gera uma corrente de carga transversal `a primeira.

(ISHE - Inverse Spin Hall Effect) ´e utilizado nesta tese, como j´a mencionamos ante-riormente, em experimentos de gera¸c˜ao de corrente pura de spin em sistemas do tipo FM/NM, onde o material ferromagn´etico pode ser um condutor ou isolante e o metal normal ´e um condutor n˜ao-magn´etico que apresenta espalhamento spin-´orbita como a platina. ´E importante notar que caso a corrente de carga seja spin-polarizada tanto o SHE quanto o ISHE ocorrer˜ao.

A obten¸c˜ao das rela¸c˜oes entre as correntes despin e a de carga, tanto no SHE quanto no ISHE podem ser obtidas de acordo com a formula¸c˜ao desenvolvida por Takahashi e Maekawa [130], onde s˜ao considerados os efeitos do espalhamento spin-´orbita nos trans-portes de carga e de spin em metais normais (n˜ao-magn´eticos). O efeito Hall de spin e o efeito Hall despin inverso s˜ao discutidos levando em conta mecanismos de side-jump e de espalhamento skew scattering [131–134].

Consideramos que o el´etron de massa m e velocidade ˆp/m = (!/i)∇^!/m ao passar pr´oximo a uma impureza localizada na posi¸c˜ao !ri sente um campo magn´etico efetivo dado por:

!

onde E^!(!r) = −(1/e)∇^!V(!r), sendo e a carga do el´etron, e V(!r) o potencial gerado pela impureza localizada no metal normal (NM) na posi¸c˜ao!ri, e cuja express˜ao ´e dada por:

V(!r) = Vimp !

i

δ(!r−!ri). ₍.) A intera¸c˜ao do el´etron, com polariza¸c˜ao despin!σ, com a impureza leva ao acoplamento spin-´orbita representado pelo seguinte potencial:

Vso(!r) =−µBσˆ·B^!ef(!r) =ηSOσˆ·^*∇^!V(!r)×∇^!/i+

, (.)

onde ˆσ ´e o operador despin de Pauli eηso ´e o parˆametro de acoplamento spin-´orbita. O potencial total devido `as impurezas,U(!r), ´e a soma do potencial de impurezas ordin´arias

V(!r) com o potencial spin-´orbitaVso(!r): U(!r) =V(!r) +Vso(!r).

Na presen¸ca de um potencial de impurezas U(!r), o espalhamento de el´etrons de condu¸c˜ao entre estados |^!kσ) de momento ^!k e spin σ ´e descrito pela amplitude de es-palhamento dada por:

U_(k^σ_!^!_(k^σ =(^!k^#σ^#|U|^!kσ)=Vimp * δσ!σ+iηsoσˆσ!σ ·(^!k×^!k^#)+ ! i e^{i((k−(k!)·(r}i, ₍.) ˆ

σ ´e a matriz de Pauli e VimpK i

ei(⁽k−⁽k!)·(ri representa os elementos de matriz do potencial fun¸c˜ao-δ fraco V(!r)≈VimpK

i

δ(!r−!ri).

Podemos calcular a velocidade do el´etron !vσ

(_k no estado |^!kσ) na presen¸ca de um po-tencial spin-´orbita, tomando os elementos matriciais !vσ

(

k = (^!k+σ#|vˆ|^!k+σ) do operador velocidade ˆv =dr/dtˆ entre os estados espalhados|^!k+σ). Estes estados podem ser escritos em primeira ordem de perturba¸c˜ao da seguinte forma:

|^!k+σ)=|^!kσ)+! i |^!k^#σ) VimpK i ei(⁽k−⁽k!)·(ri ξ(_k−ξ(_k! +iδ ^{, (}.)

onde ξ(_k ´e a energia cin´etica do el´etron dada porξ(_k = (!k)2/2m−εF. Assim, a velociade ´e dada por:

!v₍^σ_k = !!_k

m ^+!ω

σ

(_k. ⁽.)

!ω_(k^σ ´e a velocidade anˆomala e pode ser escrita como:

!ω_(k^σ =γ_H^SJ(ˆσσ!σ× !!_k

m^{), (}.)

ondeγSJ

H ´e o parˆametro de acoplamento adimensional devido ao espalhamentoside-jump, e ´e dado por:

γ_H^SJ = ^mηso !τ0 tr = !η¯so 2εFτ0 tr = ^η¯so kFl^{, (}.)

onde o tempo de espalhamento ´e dado por τ0

tr = 1/? (2π/!)n_impN(0)V2 imp @ , e n_imp ´e a concentra¸c˜ao de impurezas. ¯ηso = k2

Fηso ´e o parˆametro adimensional de acoplamento spin-´orbita, kF ´e o momento de Fermi e l =vFτ0

tr ´e o livre caminho m´edio. Como pode ser visto na express˜ao .para a velocidade anˆomala, esta ´e perpendicular `a velocidade usual do el´etron, de forma que ao se deslocar em um material que apresente acoplamento spin-´orbita devido `a impurezas, o el´etron sofre um desvio perpendicular `a sua trajet´oria. Podemos calcular a corrente que surge devido ao acoplamento spin-´orbita. Para isto, introduzimos o operador de corrente para el´etrons de condu¸c˜ao com spin σ,

ˆ Jσ =e! (_k $ !!_k/m+!ωσ ( k % a^∗_(kσa(_kσ, ₍.)

onde e ´e a carga do el´etron (e =−|e|). Podemos escrever a corrente total de carga J^!c e a corrente total de spin J^!s como:

!

Jc =J^!_↑+J^!_↓ =J^!_c^# +γ_H^SJ *

ˆ

z×J^!_s^#+

! J_s=J^!_↑−J^!_↓ =J^!_s^# +γ_H^SJ* ˆ z×J^!_c^#+ , (.) onde: ! J_c^# =e! ( k !!_k m $ f(_k↑+f(_k↓ % , ₍.) ! J_s^# =e! ( k !!_k m $ f(_k↑−f(_k↓ % . ₍.) f(_kσ =E a∗ (_kσa(_kσ F

´e a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de um el´etron com energia ξ(_k espin σ e ˆz ´e o vetor de polariza¸c˜ao. Os segundos termos nas equa¸c˜oes . e.s˜ao as correntes Hall de carga e de spin induzidas pelo espalhamento side-jump. Em adi¸c˜ao `a contribui¸c˜ao de side-jump, existe a contribui¸c˜ao de skew scattering que tem origem no espalhamento anisotr´opico devido a intera¸c˜ao spin-´orbita e que modifica a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao do el´etron.

Baseando-se na equa¸c˜ao de transporte de Boltzmann no estado estacion´ario, a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao f(_kσ ´e calculada da seguinte forma:

!v(_k·∇^!f(_kσ +^eE! ! ^·∇!(_kf(_kσ = " ∂f(_kσ ∂t # esp , (.)

onde!v(_k =!!_k/m,E! _{´e o campo el´etrico externo e (∂f(}

kσ/∂t)esp ´e o termo de colis˜ao devido a espalhamentos com impurezas. Usando as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Boltzmann [130], a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao pode ser escrita como:

f(_kσ ≈f0(ξ(_k)−σ^∂f0(ξ(k) ∂ξ(_k µN(!r) +τtr ∂f0(ξ(_k) ∂ξ(_k ×^?!v(_k−γ_H^SSσˆσσ×!v(_k @ ·∇^!µ^σ_N(!r). (.) γSS

H ´e o parˆametro adimensional devido aoskew scattering, f0(ξ(_k) ´e a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de Fermi, µσ

!

E =∇^!φ´e o campo el´etrico, µN = (µ↑−µ↓)/2 ´e a acumula¸c˜ao despinsdevido aospin-flip causada pelo acoplamento spin-´orbita, σδεF ´e o deslocamento de energia do equil´ıbrio global, e por fim τtr =τ0

tr/[1 + (2/3)¯η2

soN(0)] ´e o tempo de relaxa¸c˜ao de transporte.

!

J_c^# eJ^!_s^# definidas na equa¸c˜oes.e.podem ser reescritas utilizando-se a express˜ao dada em .da seguinte forma:

! J_c^# =^!j_c+γ_H* ˆ z×^!j_s+ , (.) ! J_s^# =^!j_s+γ_H* ˆ z×^!j_c+ , (.) onde γH =γSJ H +γSS H = ¯ηso[1/(kFl) + (2π/3)N(0)Vimp] .

As equa¸c˜oes . e . mostram claramente que um corrente de spin^!js induz uma corrente de carga transversal a esta e dada por^!jH

c =γ_H*

ˆ

z×^!j_s+

, e uma corrente de carga

!_{jc induz uma corrente de spin transversal `a}!_{jc e dada por}!_jH

s =γ_H*

ˆ

z×^!j_c+