MECANISMOS EXTR´INSECOS DE RELAXAC ¸ ˜ AO

m−χ_P^!h_ef, ₍.)

onde o campo efetivo^!hef inclui o campo de exchange entre os el´etrons localizado e iti-nerante. Pode-se ainda observar que o amortecimento obtido classicamente ´e equivalente ao que foi obtido por meio do formalismo de Kubo, e que a defasagem devido `a intera¸c˜ao s-d e aobreathing Fermi surface´e proporcional `a frequˆencia de microondasω. Em ambos os casos o amortecimento ocorre por fric¸c˜ao que ´e descrito no magnetismo pelo termo de relaxa¸c˜ao de Gilbert.

2.4 MECANISMOS EXTR´INSECOS DE RELAXAC¸ ˜AO

Os mecanismos extr´ınsecos de relaxa¸c˜ao dependem de propriedades como a forma geom´etrica e a cristalinidade da amostra, das caracter´ısticas das superf´ıcies e das inter-faces do sistema, dependem tamb´em de defeitos microsc´opicos e de impurezas atˆomicas. Parte dessas propriedades podem ser controladas atrav´es do uso de t´ecnicas modernas de fabrica¸c˜ao de amostras magn´eticas. Dentre os mecˆanismos extr´ınsecos de amortecimento da magnetiza¸c˜ao estudaremos o espalhamento de dois magnons [58], devido a defeitos nas interfaces e superf´ıcies e `a transferˆencia de momento angular entre duas camadas atrav´es

da interface entre elas por meio do efeito despin pumping[59]. Assim, a largura de linha do ferromagneto pode ser escrita como:

∆H(ω) =∆H^intrinseco(ω) +∆H^extrinseco(ω) +∆H(0), (.) onde ∆Hintrinseco(ω) = α(ω/γ) ´e a largura de linha devido a mecanismos intr´ınsecos de relaxa¸c˜ao, ∆Hextrinseco(ω) ´e devido a mecanismos extr´ınsecos de relaxa¸c˜ao e ∆H(0) ´e o deslocamento em frequˆencia nula que ocorre em muitos sistemas devido a efeitos extr´ınsecos. A relaxa¸c˜ao extr´ınseca pode ser causada por defeitos e inhomogeneidades locais ou ainda pela vizinhan¸ca (n˜ao-local).

2.4.1 Espalhamento de Dois Magnons

Em 1958 Lecraw et al. [60] fizeram um estudo da ressonˆancia ferromagn´etica em cristais de Granada de Ferro e ´Itrio (YIG). Eles observaram que a largura de linha tinha uma rela¸c˜ao direta com o tamanho dos gr˜aos utilizados para polir as esferas de YIG, de forma que apenas os mecanismos intr´ınsecos de relaxa¸c˜ao n˜ao eram suficientes para explicar o aumento nas larguras de linha. Na realidade, esse experimento confirmou que fatores externos como a rugosidade superficial das esferas de YIG estavam alterando as caracter´ısticas do amortecimento das amostras magn´eticas. Logo depois em 1961, Sparks et al. explicaram o alargamento das larguras de linha das amostras de YIG considerando o espalhamento de dois magnons [61].

O processo de espalhamento em que o modo de precess˜ao uniforme com vetor de onda (^!k ∼ 0) ´e espalhado para modos n˜ao uniformes e de mesma frequˆencia ω (^!k $= 0) ´e cha-mado de espalhamento de dois magnons, veja a ilustra¸c˜ao na figura 2.6. Os processos de espalhamento de dois magnons tˆem sido usados extensivamente para explicar o amorte-cimento extr´ınseco em ferrites [62–64]. Um tratamento mais geral do espalhamento de dois magnons feito em 1969 por Schl¨oemann et al. [65] leva em conta o espalhamento entre modos n˜ao uniformes. Patton [66] foi pioneiro no estudo de espalhamento de dois magnons em filmes met´alicos em 1968.

Figura 2.6 Ilustra¸c˜ao do espalhamento de dois magnons onde o modo uniforme (^!k= 0) ´e espalhado para outro modo n˜ao uniforme (^!k$= 0) com a mesma energia do primeiro.

Para calcularmos a resposta magn´etica para filmes finos magn´eticos met´alicos, e dessa forma obtermos a largura de linha considerando fenˆomenos extr´ınsecos de amortecimento, devemos considerar a intera¸c˜ao dipolar e de exchange bem como as anisotropias de su-perf´ıcie e a intera¸c˜ao do sistema magn´etico com o campo magn´etico externo.

Em filmes magn´eticos a existˆencia de intera¸c˜ao dipolar entre os spins pode excitar al´em do modo uniforme (modo com vetor de onda paralelo `a superf´ıcie nulo ^!k// = 0), modos de ondas despindegenerados com mesma energia que o modo uniforme e com pe-quenos comprimentos de onda (k// ∼_{= 10}5cm⁻1) [67]. A intera¸c˜ao dipolar pode ter origem em defeitos na superf´ıcie, j´a que esses defeitos espalham a energia do modo uniforme para outros modos degenerados levando a um amortecimento extr´ınseco. O estudo do espa-lhamento de dois magnons devido a defeitos na superf´ıcie de filmes finos ferromagn´eticos magnetizados no plano foi realizado em 1999 por Arias e Mills [58]. A teoria desenvolvida por eles ´e utilizada na an´alise das larguras de linha de filmes finos ferromagn´eticos.

Para calcularmos a contribui¸c˜ao do espalhamento de dois magnons para a largura de linha de FMR, consideraremos para filmes ultrafinos que a resposta magn´etica do sistema depende apenas de ondas de spin que se propagam no plano do filme. Esta considera¸c˜ao ´e v´alida por que as ondas de spin estacion´arias com vetores de onda perpendiculares `a superf´ıcie do filme (k_⊥ =nπ/t_{F M}, onden $= 1 et_{F M} ´e a espessura do filme) s˜ao deslocadas por exchange para altas frequˆencias, bem acima da faixa de frequˆencias utilizadas na ressonˆancia ferromagn´etica.

Figura 2.7 Ilustra¸c˜ao de um filme ferromagn´etico ultrafino de espessurat_{F M}. O campoH^!0 e a mag-netiza¸c˜ao de satura¸c˜ao est˜ao no plano do filme paralelos ao eixoz. O vetor de onda^!k_// faz ˆanguloφ!_k//

com o eixoz.

Para o c´alculo da dispers˜ao de ondas despin consideraremos um filme ferromagn´etico ultrafino com magnetiza¸c˜aoM^!S no plano do filme e paralela ao campo magn´etico dcH^!0, e com onda de spin propagando-se tamb´em no plano do filme com vetor de onda^!k// que faz um ˆangulo φ(_k// com H^!0 (Veja a figura 2.7).

Para descrevermos as ondas de spin escreveremos a magnetiza¸c˜ao na seguinte forma:

!

M(!r, t) =MSzˆ+m!(!r, t), (.)

onde m!(!r, t) =mx(!r, t)ˆx+my(!r, t)ˆy. Podemos reescrever as amplitudes transversais das componentes dinˆamicas da magnetiza¸c˜ao associadas com a dada onda de spincomo uma m´edia sobre todo o perfil do filme [58]:

mx,y(x, z, t) = t_{F M} G 0 mx,y(x, y, z, t) ^dy t_{F M}^{. (}.)

mx,y(x, z, t) = L ¹

L2t_{F M}

!

(_k//

mx,y(^!k//, t)e^i(k//·(r_//, ₍.)

L2 ´e a ´area da superf´ıcie do filme,^!k// =kxxˆ+kzzˆ, !r// =rxxˆ+rzzˆ. Pode-se notar que

mx,y(−^!k//) =mx,y(^!k//)∗.

A contribui¸c˜ao para a energia da onda de spin devido aos campos dipolares gerados pelos movimentos dos spins ´e importante no c´alculo da rela¸c˜ao de dispers˜ao das ondas despin no filme. Esta parcela de energia ´e dada por:

Hd= 2π! (_k// 7 1− ^k//tF M 2 ^m ∗ y(^!k//)my(^!k//) 8 +π! ( k_// k//t_{F M}sen²φ(_k//m^∗_x(^!k//)mx(^!k//). (.) Al´em da contribui¸c˜ao dipolar H_d para a energia da onda de spin existem outras con-tribui¸c˜oes como a energia Zeeman, a energia de exchange e a energia de anisotropia de superf´ıcie. A energia Zeeman, desconsiderando o termo constante de energia, ´e dada por:

Hz = ^H0 2M_S ! ( k_// * m^∗_x(^!k//)mx(^!k//) +m^∗_y(^!k//)my(^!k//)+ . ₍.)

A energia de exchange, sendo D= 2A/MS a constante de exchange, ´e dada por:

Hex = ¹ 2MS ! (_k// Dk_//² * m^∗_x(^!k//)mx(^!k//) +m^∗_y(^!k//)my(^!k//)+ . ₍.)

Por fim, a energia de anisotropia de superf´ıcie:

HA = ¹ 2MS HS ! (_k// m^∗_y(^!k//)my(^!k//), ₍.)

onde HS = 2KS/(MSt_{F M}) ´e o campo de anisotropia. HS ´e positivo quando y ´e o eixo duro, caso HS seja negativo y ser´a o eixo f´acil. Quando combinamos todos os termos de energia obtemos o hamiltoniano H:

H = ¹ 2MS ! (_k// -Hx(^!k//)m^∗_x(^!k//)mx(^!k//) +Hy(^!k//)m^∗_y(^!k//)my(^!k//). , ₍.) onde: Hx(^!k//) =H0+ 2πMSk//t_{F M}sen²φ(_k// +Dk²_//, Hy(^!k//) = B0+HS−2πMSk//t_{F M} +Dk²_//, (.) onde B0 =H0+ 4πMS.

Por simplicidade assumimos queH^!0 est´a ao longo do eixo f´acil, ent˜ao caso haja aniso-tropia c´ubica, para inclu´ı-la basta apenas adicionar aH0 o campo efetivo no plano devido `a anisotropia c´ubica Ha, e assim substituir H0 por H0+Ha. Caso H^!0 seja aplicado ao longo do eixo duro e seja suficientemente forte, de modo que a magnetiza¸c˜ao se alinhe com ele, ent˜ao devemos subtrair Ha deH0 e utilizarmosH0−Ha em todos os c´alculos ao inv´es deH0.

Utilizando as transforma¸c˜oes de Holstein-Primakoff [63, 68], a frequˆencia das ondas despin ´e dada por:

ω(^!k//) = γH*

Hx(^!k//)Hy(^!k//)+

. (.)

A partir desses c´alculos ´e poss´ıvel compreendermos melhor o processo de espalhamento de dois magnons. No experimento de ressonˆancia ferromagn´etica o modo uniforme^!k// = 0 ´e excitado. A partir das equa¸c˜oes.e .vemos que a frequˆencia deste modo ´e dada por:

ωF M R =γL

[HR(HR+HS + 4πMS)] =γ M

HR(HR+ 4πMef), (.) onde o campo de ressonˆancia ´e HR = H0 e 4πMef ´e a magnetiza¸c˜ao efetiva do sistema ferromagn´etico.

Substituindo Hy e Hx dados em . na express˜ao . para a frequˆencia ω(^!k//), e considerando os termos at´e segunda ordem de^!k//, teremos:

ω²(^!k_//) = ω²_{F M R}−2πγ²MSk_//t_{F M}* HR−(B0+HS)sen²φ(_k// + +γ²(B0+HS+HR)Dk_//² =ω_{F M R}² −2πγMSk//t_{F M} * HR−(HR+ 4πMef)sen²φ(_k// + +γ²(2HR+ 4πMef)Dk_//² . (.) Vemos na equa¸c˜ao .que a energia dipolar gera um termo linear comk//, no limite de filmes ultrafinos. Podemos ver tamb´em que o segundo termo em . pode assumir valores negativos e maiores que o terceiro termo. Isto torna poss´ıvel a existˆencia de modos com vetores de onda positivos (k_// >0) e com frequˆencia ω(k_//) e energia!ω(k_//) menores que as do modo uniforme. `A medida que o vetor de onda k_//aumenta, o terceiro termo que ´e quadr´atico em k_// se torna dominante, este termo de exchange faz com que

ω(k//) cres¸ca at´e se igualar `a ωF M R e continua crescendo. ´E importante tamb´em notar que o termo deexchange, por ser quadr´atico em k//, leva a uma multiplicidade de modos degenerados com o modo uniforme. Para o permalloy o vetor de onda k0

// > 0, com mesma energia do modo uniformek//= 0, tem valor k0

//∼105cm⁻1.

Analisando a express˜ao paraω(k//) vemos que os valores deφ(_k// para os quais existem estados degenarados s˜ao dados pela condi¸c˜ao:

sen2φ(_k// < ^HR B0+ 4πMef

, (.)

esta express˜ao tamb´em define um ˆangulo cr´ıtico φc

(

k_// para o qual ω(k0

// $= 0) = ω_{F M R}. Parak_// ≤k0

// existem in´umeros modos degenerados com o modo uniforme, veja a figura 2.8.

Para calcularmos a largura de linha levando em conta o espalhamento de dois magnons, Arias e Mills [58] desenvolveram uma teoria na qual utilizaram fun¸c˜oes respostas, que s˜ao fun¸c˜oes de Green, com aproxima¸c˜ao cont´ınua para reescrever o hamiltoniano .. As fun¸c˜oes respostas, s˜ao definidas como:

Figura 2.8 Rela¸c˜ao de dispers˜ao para a onda de spin. A curva vermelha representa o processo de espalhamento de um modo uniforme para um modo degenerado com ele, de vetor de ondak0

//. A curva preta ´e a rela¸c˜ao de dispers˜ao paraφ!_k// =φc

!_k// para o qual n˜ao h´a magnons degenerados.

S_αβ(^!k_//, t) = i^θ(t) ! E* m_α(^!k_//, t), m+ β(^!k_//,0)+F , (.)

onde os operadores m_α e m⁺_β est˜ao na representa¸c˜ao de Heinsenberg, α e β assumem valores de x ey. θ(t) ´e a fun¸c˜ao degrau de Heaviside, igual `a unidade para t >0 e igual `a zero para t <0.

´

E interessante termos as fun¸c˜oes respostas como fun¸c˜oes da frequˆencia ω, para tal calculamos a transformada de Fourier dessas fun¸c˜oes:

Sαβ(^!k//,ω) =

+∞ G −∞

Sαβ(^!k//, t)e^iωtdt. (.)

Essas fun¸c˜oes tˆem p´olos nas frequˆencias de onda de spin do sistema. Na presen¸ca de amortecimento ou espalhamento os p´olos s˜ao deslocados para fora do eixo real. A parte imagin´aria da frequˆencia ´e a largura de linha.

V = ¹ 2 ! (_k//,(_k! // m⁺_x(^!k_//^# )Vxx(^!k^#_//,^!k//)mx(^!k//) + ! (_k//,(_k! // m⁺_x(^!k_//^# )Vxy(^!k_//^# ,^!k//)my(^!k//) +¹ 2 ! (_k//,(_k! // m⁺_y(^!k^#_//)Vyy(^!k_//^# ,^!k//)my(^!k//). (.) Onde Vαβ(^!k#

//,^!k//) s˜ao elementos da matriz potencial. Este potencial deve ser inclu´ıdo no Hamiltoniano . e deve ser analisada a sua influˆencia sobre as fun¸c˜oes respostas

Sα,β(^!k//,ω), a fim de obtermos uma expres˜ao formal para a largura de linha devido a espalhamentos de dois magnons. Como existem espalhamento de dois magnons, as fun¸c˜oes respostas devem ser mais geraia que as dadas na equa¸c˜ao ., j´a que o vetor de onda n˜ao ´e conservado. As fun¸c˜oes respostas assumem a forma:

S_αβ(^!k_//,^!k^#_//;t) = i^θ(t) !

E*

m_α(^!k_//, t), m⁺_β(^!k_//^# ,0)+F

. (.)

Os passos seguintes consistem em calcular as transformadas de Fourier das fun¸c˜oes

Sαβ(^!k//,^!k#

//;t), e em seguida incluir fenomenologicamente, nas equa¸c˜oes de movimento das fun¸c˜oes respostas, o termo de amortecimento. Mais especificamente, o termo de amor-tecimento ´e inclu´ıdo no c´alculo dedmα(^!k//, t)/dt, onde usa-se a express˜ao fenomenol´ogica proposta por Landau-Lifshtz.

Ap´os alguns c´alculos mais detalhados no trabalho de Arias e Mills [58], encontra-se para o modo uniforme de FMR com^!k//= 0, a seguinte express˜ao paraSxx(^!k// = 0,ω):

Sxx(^!k//= 0,ω) = $ ^{(HR+ 4πMef)MS} ωF M R γ %2 −^$ω γ %2 −iα$ ω γ % (2HR+ 4πMef)−Γ2m , ₍.)

onde Γ2m ´e um parˆametro que foi adicionado devido ao espalhamento de dois magnons. A parte imagin´aria de Γ2m ´e definida como:

Figura 2.9 Ilustra¸c˜ao de um defeito na forma de paralep´ıpedo na superf´ıcie de um filme ferromagn´etico. Γ= ^πγ 4M2 S 2ω_{F M R} ! ( k!! // γ²|(H0+ 4πMef)Vxx(0,^!k_//^## ) +H0Vyy(0,^!k^##_//) +i[H0(H0 + 4πMef)]^1/2 ×^*V_xy(0,^!k_//^## )−V_xy^∗(0,^!k^##_//)+ |²δ* ω(^!k_//^##)−ω+ . (.)

Γ=Im[Γ2m] est´a relacionada com a relaxa¸c˜ao de dois magnons, j´a Re[Γ2m] est´a relacio-nada com o desvio em frequˆencia.

Arias e Mills supuseram que os defeitos nas superf´ıcies tˆem formas de ilhas e de-press˜oes. Dessa forma, os valores dos elementos Vαβ(^!k//,^!k#

//) foram calculados consi-derando as seguintes perturba¸c˜oes devido `a estes defeitos: (i) energia Zeeman n˜ao ho-mogˆenea no espa¸co; (ii) energia dipolar n˜ao-hoho-mogˆenea no espa¸co e (iii) varia¸c˜ao espacial da dire¸c˜ao do eixo de anisotropia superficial. Dentre estes efeitos, o mais significante para o espalhamento de dois magnons ´e a varia¸c˜ao da dire¸c˜ao do eixo de anisotropia.

A largura de linha da ressonˆancia ferromagn´etica, devido ao espalhamento de dois magnons, pode ser calculada considerando que os defeitos (ilhas e depress˜oes) possuem forma de paralep´ıpedos retangulares de dimens˜oes laterais a e c que variam de modo aleat´orio (veja a figura 2.9). O resultado da largura de linha ´e dado por:

∆H^2m = ^N (2H_R+ 4πM_ef)2 * H_R² + (2HR+ 4πMef)²$E_a c F −1% + (HR+ 4πMef)²$E_a c F −1%+ ×sen⁻¹ & H_R^1/2 (HR+ 4πMef)1/2 ) , (.) ondeN = 8H2

Sb2p/(πD),b´e a altura m´edia dos defeitos ep´e a fra¸c˜ao de ´area da superf´ıcie coberta pelos defeitos e HS = 2KS/(M tF M) e 4πMef = 4πM −HS. Portanto vemos que

∆H2m depende de 1/t2

F M, sendo tF M a espessura da camada de permalloy. No limite em que HR <<4πMef, podemos escrever [58, 69, 70]:

∆H^2m ≈ ^8H 2 sb2p πD(4πM_ef)2 * 2(4πMef)²$E_a c F −1%+ sen⁻¹ & H_R^1/2 (H_R+ 4πM_ef)1/2 ) , (.) ∆H^2m = ¹⁶ π s(2Ks/M)2 D ^sen −1 " HR HR+ 4πMef #1/2 1 t2 F M , (.)

onde D ´e a constante de exchange, s ´e um fator geom´etrico caracter´ıstico da rugosidade da superf´ıcie dado por s=pb²?I_a

c J

−1@

.

Para filmes magnetizados no plano a frequˆencia de FMR pode ser escrita como [63, 71, 72]:

ω=γ[H_R(H_R+ 4πM_ef)]^1/2, (.) onde γ = gµB/! = 2,8 GHz/kOe ´e a raz˜ao giromagn´etica. Atrav´es de alguns c´alculos pode chegar a uma express˜ao para∆H2m em termos da frequˆencia [1, 58, 69, 70]:

∆H^2m = ^16s(2KS/M) 2 πD ^sen −1 7 (ω2+ω2 m/4)1/2−ωm/2 (ω2 +ω2 m/4)1/2+ωm/2 81/2 1 t2 F M , ⁽.) ondeωm =γ4πMef. ∆H2m se anula paraω= 0 e `a medida queωvai aumentando∆H2m

Podemos escrever a largura de linha total, como sendo:

∆H =∆H^Gilbert+∆H^2m = ^ω

γ^αG+

Γ

[γ2(2H_R+ 4πM_ef)]^{. (}.) A express˜ao . concorda com os resultados obtidos experimentalmente, onde para

ω →0 a largura de linha tende a um valor n˜ao nulo devido a contribui¸c˜oes de fenˆomenos extr´ınsecos para a relaxa¸c˜ao do sistema ferromagn´etico. A figura 2.10 mostra este com-portamento da largura de linha devido ao espalhamento de 2-magnons.

Figura 2.10 Contribui¸c˜oes para a largura de linha como fun¸c˜ao da frequˆenciaf. O amortecimento de Gilbert (∆HG) descreve a dinˆamica da magnetiza¸c˜ao total e espera-se que a largura de linha de FMR cres¸ca linearmente com a frequˆencia. ∆H2M representa a largura de linha devido ao espalhamento de 2-magnons como calculado por Arias e Mills, e∆H0=∆H(0) representa uma largura de linha residual homogˆenea. ∆H ´e a soma das trˆes contribui¸c˜oes, ou seja, ´e a largura de linha total.(figura retirada da referˆencia [1]).

2.4.2 Relaxa¸c˜ao Magn´etica por Spin Pumping

Sistemas met´alicos compostos por uma camada de material ferromagn´etico (FM) e uma camada de metal normal (NM), quando em ressonˆancia ferromagn´etica, podem apresentar um mecanismo de relaxa¸c˜ao extr´ınseco conhecido como bombeamento despins

ou ainda spin pumping. Devido ao contato direto entre as duas camadas, durante a pre-cess˜ao da magnetiza¸c˜ao da camada FM, momento angular ´e injetado na camada adjacente NM, fazendo com que a constante de amortecimento de Gilbert aumente. A magnitude deste efeito depende da natureza do material NM bem como das espessuras das camadas envolvidas.

Este fenˆomeno foi proposto por Tserkovnyak et al. em 2002 [59] e ser´a discutido com mais detalhes no cap´ıtulo 4. Essencialmente, por meio de um processo de difus˜ao, uma corrente pura despin ou um fluxo de momento angular flui atrav´es da interface FM/NM fazendo com que a magnetiza¸c˜ao da camada FM sofra a a¸c˜ao de um torque dado por

!τ = −I^!S, onde ^!IS ´e a corrente de spin. Dois casos limite s˜ao de interesse: (1) os spins decaem rapidamente dentro do metal normal (NM) adjacente e a camada ferromagn´etica ´e suficientemente pequena e (2) os spins acumulam na interface da camada de metal normal. Na primeiro caso a tranferˆencia de momento angular para a camada NM leva a uma dissipa¸c˜ao da dinˆamica da magnetiza¸c˜ao.

Esta dissipa¸c˜ao da magnetiza¸c˜ao pode se entendida como um torque que modifica a equa¸c˜ao de Landau-Lifshitz-Gilbert, sendo interpretado como um termo adicional na constante de amortecimento. Tserkovnyak et al. [73] calcularam o termo adicional da constante de amortecimento como sendo:

α^# = ^γ! 4πMs 1 tF M " Aef,r S # , (.)

onde S ´e a ´area da interface FM/NM, Ms ´e a magnetiza¸c˜ao de satura¸c˜ao da camada FM, Aef,r ´e a parte real da condutˆancia de spins, que ser´a discutida com mais detalhes posteriormente, e tF M ´e a espessura da camada ferromagn´etica. Deste resultado vemos que quanto maior for a espessura da camada FM menor ser´a o efeito dospin pumpingna dinˆamica da magnetiza¸c˜ao.

O spin pumping afeta a dinˆamica da magnetiza¸c˜ao do FM dependendo se os spins retornam ou n˜ao para a camada ferromagn´etica. Quando a camada adjacente de metal normal ´e um bom absorvedor de spin, a camada ferromagn´etica perde momento angular

por espalhamentospin-flipdentro da camada NM, resultando em um aumento da largura de linha de FMR deste ferromagneto. No outro limite, onde o NM apresenta pouca absor¸c˜ao despin, a corrente despinbombeada do FM para o NM (no estado estacion´ario) ´e fortemente cancelada por uma corrente despinde difus˜ao que surge devido `a acumula¸c˜ao de spins que ocorre no NM. Esta acumula¸c˜ao de spin pode ser interpretada como uma bateria de spins.

2.5 MODOS MAGNETOST´ATICOS EM FILMES DE YIG

A investiga¸c˜ao de excita¸c˜oes magn´eticas na frequˆencia de microondas em sistemas magn´eticos tem sido objeto de estudo ao longo de anos. Desde a teoria sobre ondas de spin proposta por Holstein e Primakoff em 1940 [74], passando pelo descobrimento da ressonˆancia ferromagn´etica em 1946 por Griffiths [75] seguido do desenvolvimento da te-oria da resposta linear para a ressonˆancia ferromagn´etica por Kittel [76] em 1948. Logo depois, o estudo de excita¸c˜oes magn´eticas no limite magnetost´atico levou ao desenvol-vimento de dipositivos de ondas magnetost´aticas, pois como essas ondas viajam com velocidades de duas a quatro ordens de grandeza menores que as velocidades das ondas eletromagn´eticas foi poss´ıvel construir dispositivos como linhas de atraso, linhas de atraso dispersivas, filtros, ressonadores, acopladores direcionais, dentre outros [77, 78].

No limite magnetost´atico as frequˆencias dos modos excitados s˜ao bem menores que a frequˆencia eletromagn´etica correspondente. Nos experimentos em materiais reais, os comprimentos de onda dos modos excitados s˜ao geralmente da ordem do tamanho da amostra em estudo. Essencialmente, neste limite, os comprimentos de onda das excita¸c˜oes s˜ao suficientemente pequenos para satisfazer o limite magnetost´atico, mas suficientemente grandes para que as intera¸c˜oes de intercˆambio possam ser desprezadas.

Em 1956 Mercereau e Feynman [79] calcularam os modos ressonantes para esferas no limite magnetost´atico, e logo depois em 1957 Walker [80] fez os c´alculos para esfer´oides com o campo dc aplicado ao longo do eixo de revolu¸c˜ao. Mas foi em 1961 que Damon e Eshbach [2] calcularam os modos ressonantes, no limite magnetost´atico, para uma

placa ferromagn´etica de ´area infinita. Em 1995, Hurben e Patton reformularam a teoria de Damon-Eshbach para ondas magnetost´aticas em filmes isotr´opicos magnetizados no plano [81]. Esta geometria ´e de grande interesse para a an´alise dos modos magnetost´aticos em filmes finos, especialmente em filmes de Granada de Ferro e ´Itrio (YIG) que ´e um material ferromagn´etico isolante utilizado nesta tese para o estudo de efeitos de ondas de spin sobre os modos magnetost´aticos.

2.5.1 Equa¸c˜ao Caracter´ıstica dos Modos Magnetost´aticos

Nesta subse¸c˜ao calcularemos os modos de excita¸c˜ao magnetost´aticos de uma placa ferromagn´etica de espessura S, considerando for¸cas puramente magnetost´aticas devido ao campo magn´etico dc aplicado externamente ao sistema, e tamb´em devido a campos di-polares. Dessa forma, desprezaremos intera¸c˜oes deexchangee indu¸c˜oes eletromagn´eticas, conhecida como aproxima¸c˜ao de Walker [80].

Encontrar a equa¸c˜ao caracter´ıstica dos modos magnetost´aticos, consiste em resolver simultaneamente as equa¸c˜oes de Maxwell em conjunto com a equa¸c˜ao de movimento de magnetiza¸c˜ao, obedecendo as condi¸c˜oes de contorno do sistema. No limite magnetost´atico as equa¸c˜oes de Maxwell podem ser escritas como:

!

∇ ×H^! = 0, (.)

!

∇·B^! = 0. (.)

As condi¸c˜oes de contorno para . e . devem ser tais que as componentes normal de B^! e tangencial de H^! devem ser cont´ınuas nas superf´ıcies da amostra, e estes campos devem zerar a longas distˆancias da amostra.

Similarmente aos c´alculos realizados na subse¸c˜ao 2.3.3, para o c´alculo da suscepti-bilidade magn´etica consideraremos que o sistema magn´etico est´a sujeito a um campo

magn´etico dc e um campo de rf. Podemos escrever o campo magn´etico total e a magne-tiza¸c˜ao do sistema como:

!

H =H0zˆ+^!h(t)e^iωt,

!

M =M0zˆ+m!(t)e^iωt,

(.)

onde M₀ ´e a magnetiza¸c˜ao de satura¸c˜ao, H₀ ´e o campo dc, m! e ^!h s˜ao as partes rf da magnetiza¸c˜ao e do campo magn´etico, respectivamente, e pertencem ao plano x−y, e ainda |m!|<< M0 e ,_,

,^!h,_,

,<< H0.

Tanto as componentes dc quanto as rf do campo H^! devem satisfazer as equa¸c˜oes de

No documento UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE FÍSICA CCEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA TESE DE DOUTORADO. Gilvânia Lúcia da Silva Vilela (páginas 59-87)