TEORIA DOS CONJUNTOS
ELEMENTOS DE LÓGICA SENTENCIAL
A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predi- cados
A lógica divide-se em lógica sentencial e lógica de predi- cados. A lógica sentencial estuda argumentos que não de- pendem da estrutura interna das sentenças. Por exemplo:
(1)
Se Deus existe, então a felicidade eterna é possível. Deus existe.
Logo, a felicidade eterna é possível.
A validade do argumento (1) depende do modo pelo qual as sentenças são conectadas, mas não depende
da estrutura interna das sentenças. A forma lógica de (1) deixa isso claro:
(1a)
Se A, então B. A.
Logo, B.
Diferentemente, a lógica de predicados estuda argumen- tos cuja validade depende da estrutura interna das senten- ças. Por exemplo:
(2)
Todos os cariocas são brasileiros. Alguns cariocas são flamenguistas. Logo, alguns brasileiros são flamenguistas. A forma lógica de (2) é a seguinte:
(2a)
Todo A é B. Algum A é C. Logo, algum B é A.
A primeira premissa do argumento (2) diz que o conjunto dos indivíduos que são cariocas está contido no conjunto dos brasileiros. A segunda, diz que ‘dentro’ do conjunto dos cariocas, há alguns indivíduos que são flamenguistas. É fácil concluir então que existem alguns brasileiros que são fla- menguistas, pois esses flamenguistas que são cariocas serão também brasileiros. Essa conclusão se segue das premissas.
Note, entretanto, que as sentenças ‘todos os cariocas são brasileiros’ e ‘alguns cariocas são flamenguistas’ têm uma estrutura diferente da sentença ‘se Deus existe, a felici- dade eterna é possível’. Esta última é formada a partir de duas outras sentenças ‘Deus existe’ e ‘a felicidade eterna é possível’, conectadas pelo operador lógico se...então. Já para analisar o argumento (2) precisamos analisar a estrutu- ra interna das sentenças, e não apenas o modo pelo qual sentenças são conectadas umas às outras. O que caracteri- za a lógica de predicados é o uso dos quantificadores todo,
algum e nenhum. É por esse motivo que a validade de um
argumento como o (2) depende da estrutura interna das sentenças. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de
predicados ficará mais clara no decorrer desta e da próxima unidade.
Usualmente o estudo da lógica começa pela lógica sen- tencial, e seguiremos esse caminho aqui. Nesta unidade vamos estudar alguns elementos da lógica sentencial. Na próxima unidade, estudaremos elementos da lógica de pre- dicados.
2. Sentenças atômicas e moleculares
Considere-se a sentença (1) Lula é brasileiro.
A sentença (1) é composta por um nome próprio, ‘Lula’, e um predicado, ‘... é brasileiro’. Em lógica, para evitar o uso de ‘...’, usamos uma variável para marcar o(s) lugar(es) em que podemos completar um predicado. Aqui, expressões do tipo x é brasileiro designam predicados. Considere agora a sentença (2) Xuxa é mãe de Sasha.
A sentença (2) pode ser analisada de três maneiras dife- rentes, que correspondem a três predicados diferentes que podem ser formados a partir de (2):
(2a) x é mãe de Sasha; (2b) Xuxa é mãe de x; (2c) x é mãe de y.
Do ponto de vista lógico, em (2c) temos o que é chamado de um predicado binário, isto é, um predicado que, diferen- temente de x é brasileiro, deve completado por dois nomes próprios para formar uma sentença.
As sentenças (1) e (2) acima são denominadas senten-
ças atômicas. Uma sentença atômica é uma sentença for-
mada por um predicado com um ou mais espaços vazios, sendo todos os espaços vazios completados por nomes próprios. Sentenças atômicas não contêm nenhum dos ope- radores lógicos e, ou, se...então etc., nem os quantificadores
todo, nenhum, algum etc.
Sentenças moleculares são sentenças formadas com o auxílio dos operadores sentenciais. Exemplos de sentenças moleculares são
(3) Lula é brasileiro e Zidane é francês, (4) Se você beber, não dirija,
(5) João vai à praia ou vai ao clube.
3. A interpretação vero-funcional dos operadores sentenciais
Os operadores sentenciais que estudaremos aqui são as partículas do português não, ou, e, se...então, se, e somente
se. A lógica sentencial interpreta esses operadores como funções de verdade ou vero-funcionalmente. Isso significa
que eles operam apenas com os valores de verdade dos seus operandos, ou em outras palavras, o valor de verdade de uma sentença formada com um dos operadores é deter- minado somente pelos valores de verdade das sentenças que a constituem.
Os operadores sentenciais se comportam de uma manei- ra análoga às funções matemáticas. Estas recebem números como argumentos e produzem números como valores. Os operadores sentenciais são funções porque recebem valores de verdade como argumentos e produzem valores de verda- de. Considere-se a seguinte função matemática:
significa que o valor de y depende do valor atribuído a x.
Quando x 1, y 2;
x 2, y 3;
e assim por diante. Analogamente a uma função mate- mática, uma função de verdade recebe valores de verdade como argumentos e produz valores de verdade como valo- res.
As chamadas tabelas de verdade mostram como os ope- radores da lógica sentencial funcionam.
No lado esquerdo da tabela de verdade temos as sen- tenças a partir das quais a sentença composta foi formada – no caso da negação, uma única sentença. O valor produzido pela função de verdade está na coluna da direita. As letras V e F representam os valores de verdade verdadeiro e falso.
4. A negação
Comecemos pelo operador sentencial mais simples, a negação. A tabela de verdade da negação de uma sentença
A é A não A
V F F V
A negação simplesmente troca o valor de verdade da sentença. Uma sentença verdadeira, quando negada, produz uma sentença falsa, e vice-versa.
Há diferentes maneiras de negar uma sentença atômica em português. Considere a sentença verdadeira
(5) Lula é brasileiro. As sentenças
(6) Não é o caso que Lula é brasileiro, (7) Não é verdade que Lula é brasileiro e
(8) É falso que Lula é brasileiro
são diferentes maneiras de negar (5). Como (5) é uma sentença atômica, podemos também negar (5) por meio da sentença
(9) Lula não é brasileiro.
A negação em (9) é denominada negação predicativa, pois nega o predicado, ao passo que em (6) há uma nega- ção sentencial porque toda a sentença é negada. No caso de sentenças atômicas, a negação predicativa é equivalente à negação sentencial, mas veremos que isso não ocorre com sentenças moleculares e sentenças com quantificado- res.
Note que negar duas vezes uma sentença equivale a a- firmar a própria sentença. A negação de
(5) Lula é brasileiro é
(9) Lula não é brasileiro, e a negação de (9),
(10) Não é o caso que Lula não é brasileiro, é a negação da negação de (5), que é equivalente à própria sentença (5).
5. A conjunção
Uma sentença do tipo A e B é denominada uma conjun-
ção. Considere-se a sentença
(11) João foi à praia e Pedro foi ao futebol. A sentença (1) é composta por duas sentenças, (12) João foi à praia
e
(13) Pedro foi ao futebol
conectadas pelo operador lógico e. Na interpretação ve- ro-funcional do operador e, o valor de verdade de (11) de- pende apenas dos valores de verdade das sentenças (12) e (13). É fácil perceber que (11) é verdadeira somente em uma situação: quando (12) e (13) são ambas verdadeiras. A tabe- la de verdade de uma conjunção A e B é a seguinte:
A B A e B
V V V V F F F V F F F F
Note que, na interpretação vero-funcional da conjunção,
A e B é equivalente a B e A. Não faz diferença alguma afir-
marmos (11) ou (14) Pedro foi ao futebol e João foi à praia. É importante observar que a interpretação vero-funcional da conjunção não expressa todos os usos da partícula e em português. A sentença
(15) Maria e Pedro tiveram um filho e casaram não é e- quivalente a
(16) Maria e Pedro casaram e tiveram um filho.
Em outras palavras, o e que ocorre em (15) e (16) não é uma função de verdade.
6. A disjunção
Uma sentença do tipo A ou B é denominada uma disjun-
ção. Há dois tipos de disjunção, a inclusiva e a exclusiva.
Ambas tomam dois valores de verdade como argumentos e produzem um valor de verdade como resultado. Começarei pela disjunção inclusiva. Considere-se a sentença
(17) Ou João vai à praia ou João vai ao clube, que é for- mada pela sentenças
(18) João vai à praia e
(19) João vai ao clube combinadas pelo operador ou. A sentença (17) é verdadeira em três situações:
(i) João vai à praia e também vai ao clube; (ii) João vai à praia mas não vai ao clube e (iii) João não vai à praia mas vai ao clube.
A tabela de verdade da disjunção inclusiva é a seguinte:
A B A ou B
V V V V F V F V V F F F
No sentido inclusivo do ou, uma sentença A ou B é ver- dadeira quando uma das sentenças A e B é verdadeira ou quando são ambas verdadeiras, isto é, a disjunção inclusiva admite a possibilidade de A e B serem simultaneamente verdadeiras.
No sentido exclusivo do ou, uma sentença A ou B é ver- dadeira apenas em duas situações:
(i) A é verdadeira e B é falsa; (ii) B é verdadeira e A e falsa.
Não há, na disjunção exclusiva, a possibilidade de serem ambas as sentenças verdadeiras. A tabela de verdade da disjunção exclusiva é A B A ou B V V F V F V F V V F F F
Um exemplo de disjunção exnclusiva é
(20) Ou o PMDB ou o PP receberá o ministério da saúde, que é formada a partir das sentenças:
(21) o PMDB receberá o ministério da saúde; (22) o PP receberá o ministério da saúde.
Quando se diz que um determinado partido receberá um ministério, isso significa que um membro de tal partido será nomeado ministro. Posto que há somente um ministro da
saúde, não é possível que (21) e (22) sejam simultaneamen- te verdadeiras. O ou da sentença (20), portanto, é exclusivo. Na lógica simbólica, são usados símbolos diferentes para designar o ou inclusivo e o exclusivo. No latim, há duas pa- lavras diferentes, vel para a disjunção inclusiva e aut para a exclusiva. No português isso não ocorre. Na maioria das vezes é apenas o contexto que deixa claro se se trata de uma disjunção inclusiva ou exclusiva.
Assim como ocorre com a conjunção, sentenças A ou B e
B ou A são equivalentes. Isso vale tanto para o ou inclusivo
quanto para o exclusivo.
7. A condicional
Uma condicional é uma sentença da forma se A, então B.
A é denominado o antecedente e B o conseqüente da condi-
cional.
Em primeiro lugar, é importante deixar clara a diferença entre um argumento (23) A, logo B e uma condicional (24) se A, então B.
Em (23) a verdade tanto de A quanto de B é afirmada. Note que o que vem depois do ‘logo’ é afirmado como ver- dadeiro e é a conclusão do argumento. Já em (24), nada se diz acerca da verdade de A, nem de B. (24) diz apenas que
se A é verdadeira, B também será verdadeira. Note que
apesar de uma condicional e um argumento serem coisas diferentes usamos uma terminologia similar para falar de ambos. Em (23) dizemos que A é o antecedente do argu-
mento, e B é o conseqüente do argumento. Em (24), dize-
mos que A é o antecedente da condicional, e B é o conse-
qüente da condicional.
Da mesma forma que analisamos o e e o ou como fun- ções de verdade, faremos o mesmo com a condicional. Ana- lisada vero-funcionalmente, a condicional é denominada
condicional material.
Quando analisamos a conjunção, vimos que a interpreta- ção vero-funcional do operador sentencial e não correspon- de exatamente ao uso que dela fazemos na linguagem natu- ral. Isso ocorre de modo até mais acentuado com o operador
se...então. Na linguagem natural, geralmente usamos se...então para expressar uma relação entre os conteúdos
de A e B, isto é, queremos dizer que A é uma causa ou uma explicação de B. Isso não ocorre na interpretação do
se...então como uma função de verdade. A tabela de verda-
de da condicional material é a seguinte:
A B se A, então B
V V V V F F F V V F F V
Uma condicional material é falsa apenas em um caso: quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso.
A terceira e a quarta linhas da tabela de verdade da con- dicional material costumam causar problemas para estudan- tes iniciantes de lógica. Parece estranho que uma condicio- nal seja verdadeira sempre que o antecedente é falso, mas veremos que isso é menos estranho do que parece.
Suponha que você não conhece Victor, mas sabe que Victor é um parente do seu vizinho que acabou de chegar da França. Você não sabe mais nada sobre Victor. Agora con- sidere a sentença:
(25) Se Victor é carioca, então Victor é brasileiro.
O antecedente de (25) é (26) Victor é carioca e o conse- qüente é (27) Victor é brasileiro.
A sentença (25) é verdadeira, pois sabemos que todo ca- rioca é brasileiro. Em outras palavras, é impossível que al- guém simultaneamente seja carioca e não seja brasileiro. Por esse motivo, a terceira linha da tabela de verdade, que tornaria a condicional falsa, nunca ocorre.
Descartada a terceira linha, ainda há três possibilidades, que correspondem às seguintes situações:
(a) Victor é carioca. (b) Victor é paulista. (c) Victor é francês.
Suponha que Victor é carioca. Nesse caso, o anteceden- te e o conseqüente da condicional são verdadeiros.
Temos a primeira linha da tabela de verdade. Até aqui não há problema algum.
Suponha agora que Victor é paulista. Nesse caso, o an- tecedente da condicional (26) Victor é carioca é falso, mas o conseqüente (27) Victor é brasileiro é verdadeiro.
Temos nesse caso a terceira linha da tabela de verdade da condicional. Note que a condicional (25) continua sendo verdadeira mesmo que Victor seja paulista, isto é, quando o antecedente é falso.
Por fim, suponha que Victor é francês. Nesse caso, tanto (26) Victor é carioca quanto (27) Victor é brasileiro
são falsas. Temos aqui a quarta linha da tabela de ver- dade da condicional material. Mas, ainda assim, a sentença (25) é verdadeira.
Vejamos outro exemplo. Considere a condicional (28) Se Pedro não jogar na loteria, não ganhará o prê- mio.
Essa é uma condicional verdadeira. Por quê? Porque é impossível (em uma situação normal) o antecedente ser verdadeiro e o conseqüente falso. Isto é, não é possível Pedro não jogar e ganhar na loteria. Fica como exercício para o leitor a construção da tabela de verdade de (28).
Não é difícil perceber, em casos como (25) e (28) acima, por que uma condicional é verdadeira quando o antecedente é falso. O problema é que, sendo a condicional material uma função de verdade, coisas como (29) se 2 + 2 = 5, então a Lua é de queijo são verdadeiras. Sem dúvida, esse é um resultado contra-intuitivo. Note que toda condicional material com antecedente falso será verdadeira. Mas no uso corrente da linguagem normalmente não formulamos condicionais com o antecedente falso.
Mas cabe perguntar: se a condicional material de fato não expressa todos os usos do se...então em português e, além disso, produz resultados contra-intuitivos como a sen- tença (29), por que ela é útil para o estudo de argumentos construídos com a linguagem natural? A resposta é muito simples. O caso em que a condicional material é falsa, a segunda linha da tabela de verdade, corresponde exatamen- te ao caso em que, no uso corrente da linguagem, uma sen- tença se A, então B é falsa. Considere-se a sentença (30) Se Lula conseguir o apoio do PMDB, então fará um bom gover- no.
Em (30), o ponto é que Lula fará um bom governo porque tem o apoio do PMDB. Há um suposto nexo explicativo e causal entre o antecedente e o conseqüente. Suponha, en- tretanto, que Lula obtém o apoio do PMDB durante todo o seu mandato, mas ainda assim faz um mau governo. Nesse caso, em que o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso, (30) é falsa.
Abaixo, você encontra diferentes maneiras de expressar, na linguagem natural, uma condicional se A, então B, todas equivalentes.
Se A, B B, se A Caso A, B B, caso A
As expressões abaixo também são equivalentes a se A,
então B:
A, somente se B Somente se B, A
A é condição suficiente para B
B é condição necessária para A,mas elas serão vistas
com mais atenção na seção sobre condições necessárias e suficientes.
8. Variantes da condicional material
Partindo de uma condicional (31) Se A, então B
podemos construir sua conversa, (32) Se B, então A
sua inversa
(33) Se não A, então não B e sua contrapositiva (34) Se
não B, então não A.
Há dois pontos importantes sobre as sentenças acima que precisam ser observados. Vimos que A e B e B e A, assim como A ou B e B ou A são equivalentes. Entretanto,
se A, então B e se B então A NÃO SÃO EQUIVALENTES!!!
Isso pode ser constatado facilmente pela construção das respectivas tabelas de verdade, que fica como exercício para o leitor. Mas pode ser também intuitivamente percebido. Considere as sentenças: (35) Se João é carioca, João é brasileiro e
(36) Se João é brasileiro, João é carioca.
Enquanto a sentença (35) é verdadeira, é evidente que (36) pode ser falsa, pois João pode perfeitamente ser brasi- leiro sem ser carioca.
Uma condicional se A, então B e sua contrapositiva se
não B, então não A são equivalentes. Isso pode ser consta-
tado pela construção da tabela de verdade, que fica como um exercício para o leitor. Mas note que a contrapositiva de (35), (37) Se João não é brasileiro, não é carioca, é verda- deira nas mesmas circunstâncias em que (35) é verdadeira. A diferença entre (35) e (37) é que (35) enfatiza que ser carioca é condição suficiente para ser brasileiro, enquanto (37) enfatiza que ser brasileiro é condição necessária para ser carioca. Isso ficará mais claro na seção sobre condições necessárias e suficientes.
9. Negações
Agora nós vamos aprender a negar sentenças construí- das com os operadores sentenciais.
Negar uma sentença é o mesmo afirmar que a sentença é falsa. Por esse motivo, para negar uma sentença construí- da com os operadores sentenciais e, ou e se...então, basta afirmar a(s) linha(s) da tabela de verdade em que a sentença é falsa.
9a. Negação da disjunção
Comecemos pelos caso mais simples, a disjunção (inclu- siva). Como vimos, uma disjunção A ou B é falsa no caso em que tanto A quanto B são falsas. Logo, para negar uma dis- junção, nós precisamos dizer que A é falsa e também que B é falsa, isto é, não A e não B. Fica como exercício para o
leitor a construção das tabelas de verdade de A ou B e não
A e não B para constatar que são idênticas.
(1) João comprou um carro ou uma moto. A negação de (1) é:
(2) João não comprou um carro e não comprou uma mo- to,
ou
(3) João nem comprou um carro, nem comprou uma mo- to.
Na linguagem natural, freqüentemente formulamos a ne- gação de uma disjunção com a expressão nem...nem. Nem
A, nem B significa o mesmo que não A e não B.
(4) O PMDB receberá o ministério da saúde ou o PP re- ceberá o ministério da cultura.
A negação de (4) é:
(5) Nem o PMDB receberá o ministério da saúde, nem o PP receberá o ministério da cultura.
Exercício: complete a coluna da direita da tabela abaixo com a negação das sentenças do lado esquerdo.
DISJUNÇÃO NEGAÇÃO A ou B não A e não B A ou não B não A ou B não A ou não B 9b. Negação da conjunção
Por um raciocínio análogo ao utilizado na negação da disjunção, para negar uma conjunção precisamos afirmar os casos em que a conjunção é falsa. Esses casos são a se- gunda, a terceira e a quarta linhas da tabela de verdade. Isto é, A e B é falsa quando:
(i) A é falsa, (ii) B é falsa ou
(iii) A e B são ambas falsas.
É fácil perceber que basta uma das sentenças ligadas pelo e ser falsa para a conjunção ser falsa. A negação de A
e B, portanto, é não A ou não B. Fica como exercício para o
leitor a construção das tabelas de verdade de A e B e não A
ou não B para constatar que são idênticas.
Exemplos de negações de conjunções:
(6) O PMDB receberá o ministério da saúde e o ministé- rio da cultura.
A negação de (6) é
(6a) Ou PMDB não receberá o ministério da saúde, ou não receberá o ministério da cultura.
(7) Beba e dirija. A negação de (7) é (7a) não beba ou não dirija.