ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS – BENEDITO

O livro Elementos de Teoria dos Conjuntos de Benedito Castrucci, editado pelo GEEM em 1967, foi um livro de grande importância na preparação dos professores para a introdução dos tópicos da Matemática Moderna. Esse livro foi utilizado nos cursos promovidos pelo GEEM.

Na introdução de seu livro, Castrucci justifica a ênfase dada à Teoria dos Conjuntos utilizando argumentos históricos, comparando a importância de conjunto com a importância do número: “A noção intuitiva de conjunto é provavelmente tão primitiva quanto à de número.” (CASTRUCCI, 1967, introdução).

Entre os argumentos utilizados por Castrucci para dar justificativa e força ao uso da Teoria dos Conjuntos é o de que a Teoria seria como uma base, abrangendo todos os ramos da Matemática. Esse argumento também foi utilizado por Halmos.

O crescimento da ciência matemática de 1900 até nossos dias deu à teoria um papel proeminente. É ela hoje base para todos os ramos da Matemática; êstes são sempre em última análise estudos de um conjunto de entes de alguma espécie, (CASTRUCCI, 1967, introdução).

Uma frase que se torna uma espécie de slogan do Movimento é: “É uma teoria unificadora, na linguagem e na Matemática.” (CASTRUCCI, 1967, Introdução). Em seguida, Castrucci se alicerça em autoridade utilizando o nome do grupo Bourbaki como um aliado às tendências modernistas.

Castrucci ressalta que seu livro propõe um estudo elementar e intuitivo, e que somente após um estudo intuitivo é que deve-se realizar um estudo rigoroso, utilizando-se de outras obras que o apresentam.

O primeiro capítulo trata de noções de lógica e funciona como um capítulo “extra” do livro, pois é denominado § 0 e intitulado de “Noções Sucintas de Lógica Matemática”. Na Introdução, Castrucci informa que o GEEM publicaria uma obra com noções detalhadas de lógica, denominada: Introdução à Lógica Matemática, de sua própria autoria e com a primeira edição em 1973.

Neste parágrafo inicial, Castrucci apresenta as proposições ou sentenças de lógica e define o princípio do terceiro excluído:

Por outro lado, as proposições consideradas são somente as bem definidas, isto é, aquelas que podem ser decididas se falsas ou verdadeiras. Toda proposição tem um dos dois valores “falso” ou

“verdadeiro”, excluindo-se qualquer outro. (CASTRUCCI, 1967, p. 1, grifo nosso)

Os conectivos lógicos que Castrucci define são: e, ou, se...então..., se e somente se e não, com seus respectivos símbolos  , , , , ~. São apresentadas proposições utilizando-se dos conectivos e em seguida são definidas as propriedades e utilizadas tabelas-verdade para quantificar os casos de verdadeiro e falso dos conectivos.

Nas tabelas-verdade, Castrucci utiliza os valores V para indicar que uma proposição é verdadeira e F para falsa como se seguem alguns exemplos:

a) É claro que para o modificador, temos a tabela abaixo para p e ~p, indicando-se “falso” e “verdade” respectivamente por F e V:

p ~p

V F

F V

b) Admitindo-se que “p  q” é verdade se e somente se p e q são verdadeiros, vem a tabela:

p q Pq

V V V

V F F

F V F

F F F

c) “ p  q” (“ou” inclusivo) é falso se e somente se p e q são falsos, donde a tabela: p q Pq V V V V F V F V V F F F

d) p  q é falso se e somente se p é verdade e q é falso, donde a tabela: p q Pq V V V V F F F V V F F V

Observe-se que a tabela acima é a mesma que a de ~ p  q.

e) Como p  q é o mesmo que (p  q)  (q  p) então a tabela de p  q é a que se segue, utilizando-se os casos d) e b):

p q pq qp (pq)  (qp) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V (CASTRUCCI, 1967, p. 3 – 4)

Ainda no § 0 são definidos os quantificadores, sendo o quantificador universal com significado de “qualquer que seja” ou “para todo” e com símbolo  e o quantificador existencial, que significa “existe” e é indicado pelo símbolo .

Nessa breve apresentação de noções de lógica, podemos observar uma ênfase na utilização e aplicabilidade da simbologia, procurando universalizar a linguagem:

Nota: Outras maneiras de ler <<p  q>> são: <<p é condição suficiente para q>> e <<q é condição necessária proveniente de p>>. Deste modo <<p  q>> pode ser lido: <<p é condição necessária e suficiente para q>> ou <<q é condição necessária e suficiente para q>>. (CASTRUCCI, 1967, p. 2).

Só após essa introdução das noções sucintas de lógica é que Castrucci traz o título da obra e começa o § 1º que é denominado “Primeiros Conceitos”. De uma forma similar à apresentação de Halmos (1970), Castrucci enuncia os conceitos primitivos que são: conjunto, elemento e relação de pertinência. Ainda semelhante ao livro de Halmos, ele define conjunto de forma intuitiva e ressalta que para o significado de conjunto também são utilizados os termos coleção, classe ou sistema. Não diferente do § 0 do livro, Castrucci novamente apresenta a simbologia para esses conceitos, determinando que para conjunto seriam utilizadas letras maiúsculas do alfabeto latino, para elemento, letras minúsculas do mesmo alfabeto e a relação de pertinência seria simbolicamente representada por  e sua negação por .

Duas formas de escrita de conjuntos são expostas: conjunto determinado pela designação de seus elementos e conjunto determinado pela propriedade de seus elementos. Ambas as maneiras foram seguidas por exemplos desde abstratos como “{x | x é real e x > 2}” até concretos “{x | x é aluna desta classe e x tem blusa vermelha}”.

Na apresentação dos conjuntos unitário, vazio e universo podemos observar a forma intuitiva que Castrucci utilizou em seu livro:

Para evitar o aparecimento de paradoxos, admitimos a existência de um conjunto ao qual pertencem todos os elementos com os quais estamos trabalhando. Êste conjunto é denominado conjunto-universo e, salvo casos específicos, será indicado por U. Êste conjunto aparece espontaneamente quando estamos num ramo de Matemática. Assim, se estudamos Geometria Plana, o conjunto-universo é o conjunto dos

pontos de um plano; se pesquisamos máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, o conjunto é, em geral, o dos números naturais. (CASTRUCCI, 1967, p. 24).

A ausência de demonstrações formais em definições como essa mostram uma falta de preocupação com a formalidade, que pode ter se dado em função do público para o qual Castrucci destinava seu livro, tanto na preocupação de não causar um impacto forte, quanto ao nível de conhecimento, pois ele mesmo alertou na introdução que seu livro traz um estudo elementar e intuitivo.

Diferente do livro de Halmos, que realiza uma demonstração de que não existe um conjunto-universo, ou em outras palavras, algo que contenha tudo, admite-se aqui a existência desse conjunto com o objetivo de “evitar o aparecimento de paradoxos”. (CASTRUCCI, 1967, p.24)

Outro ponto que chama a atenção é que Castrucci utiliza a relação de inclusão antes de defini-la. Essa utilização da relação de inclusão acontece na definição de conjunto-universo, que também se dá de forma pragmática, com exemplos e sem demonstrações.

A relação de inclusão é definida em seguida, de uma forma muito semelhante à forma que Halmos e Farah definiram em seus livros.

Ainda no § 1º, Castrucci define a igualdade de conjuntos, conjuntos das partes de um conjunto e os conjuntos numéricos, ou como ele denomina: “alguns conjuntos importantes”.

Indicaremos como usuais conjuntos de números como se segue: a) Conjunto dos números inteiros não negativos, N. b) Conjunto dos números naturais, isto é, inteiros maiores que zero, N*. c) Conjunto dos números inteiros, Z. d) Conjunto dos números racionais, Q. e) Conjunto dos números reais, R. f) Conjunto dos números complexos, C. (CASTRUCCI, 1967, p. 28).

No final do § 1º são propostos exercícios e são apresentadas as notas complementares com definições e provas relacionadas ao conjunto vazio e ao conjunto das partes de um conjunto,  e P(A), respectivamente.

As operações entre conjuntos, denominadas reunião e intersecção, são introduzidas no 2º capítulo. Na definição dessas operações, Castrucci utiliza conjuntos de forma abstrata, apenas denominando-os A e B e preocupando-se em inseri-los em um conjunto maior denominado universo.

Os exemplos iniciais das duas operações contêm diagramas semelhantes aos de Euler/Venn, porém ainda não introduzidos. Ainda na introdução das operações, Castrucci dá exemplos utilizando conjuntos numéricos finitos, unindo em um mesmo texto a linguagem formal e rigorosa e os exemplos concretos.

As figuras 7 e 8, nas páginas 63 e 64, apresentam a preocupação de Castrucci em utilizar diagramas nas operações com conjuntos. Esses diagramas são apresentados sem que tenham sido definidos e com forma irregular, diferenciando-os dos diagramas utilizados no livro de Farah (1961). Castrucci não utiliza a terminologia diagrama, em seu lugar usa a palavra figura.

Como sugestão para a utilização das operações, Castrucci utiliza a determinação do M.D.C., M.M.C., resolução de sistemas de equações ou de inequações e aplicação à linguagem geométrica. Essas sugestões têm uma grande importância em nossa análise, dado que investigaremos as apropriações intelectuais, definidas por Chartier e Hébrard (1981) como “processos de leitura”, onde a partir de uma estratégia definida Osvaldo Sangiorgi desenvolverá sua tática. Estamos analisando esses livros do ponto de vista das estratégias e a coleção didática de Sangiorgi será analisada do ponto de vista das táticas.

As figuras 9 e 10, na página 65, apresentam alguns dos exercícios que Castrucci propõe para utilização das operações. Os demais exercícios podem ser encontrados nos anexos.

Da mesma maneira que foram apresentadas a reunião e intersecção, Castrucci introduz as operações: diferença e complementar. A utilização de figuras semelhantes aos diagramas é novamente percebida e ele também utiliza a mescla entre linguagem rigorosa e exemplos numéricos que podem ser observadas nas figuras 11 e 12, nas páginas 66 e 67.

O capítulo 2 apresenta em suas notas complementares uma contextualização histórica dos Diagramas de Euler/Venn. Nessas notas também aparece a enumeração de elementos de conjuntos finitos, onde pela primeira vez no livro observamos exemplos e exercícios com situações reais, diferente dos anteriores, onde os exemplos se limitavam a conteúdos matemáticos em suas diferentes áreas, como Geometria, Álgebra e Aritmética. Esses exemplos e exercícios envolvendo as diferentes áreas mostram indício de uma busca pela unificação da disciplina Matemática, que era proposta no ideário do MMM, onde a Teoria dos Conjuntos deveria ser a linguagem unificadora dessas áreas.

Figura 9: Exercícios sobre operações com conjuntos no livro de Castrucci (1967).

Figura 12: Conjunto complementar representado pelos diagramas no livro de Castrucci (1967).

O 3º capítulo, intitulado “Propriedades das operações” define, de maneira intuitiva, as propriedades das operações definidas no 2º capítulo. No final do capítulo, Castrucci demonstra “algumas das propriedades já verificadas intuitivamente” (CASTRUCCI, 1967, p.56), e também propõe exercícios, ainda que em pouca quantidade, relacionados às demonstrações de propriedades.

No 4º capítulo são expostos os conceitos de par ordenado e produto cartesiano. O enfoque inicial remete à Geometria Analítica, com o uso da representação gráfica. Como nos capítulos anteriores, Castrucci inseriu nas notas complementares, uma definição mais rigorosa de par ordenado, semelhante à maneira que Halmos apresentou e simbolizou o conceito em seu livro.

Em lugar de introduzir par ordenado como um conceito não definido, pode-se usar a seguinte

DEFINIÇÃO: Chama-se par ordenado (a, b) ao conjunto {{a}, {a, b}}. Prova-se que (a, b) = (c, d)  a = c e b = d.

Com efeito, se a = c, então {a} = {c} e se a = c e b = d, então, {a, b} = {c, d}. Daí, {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}, donde (a, b) = (c, d). (CASTRUCCI, 1967, p.64)

Em seguida, Castrucci utiliza exemplos para apresentar a noção de relação. A definição de relação é exposta com a expressão x < y, onde x são elementos de um conjunto A e y elementos de um conjunto B e ainda, os pares (x, y) são elementos do produto cartesiano A X B. Sendo assim, Castrucci denomina A X B de universo e R (relação de A em B) como um subconjunto de A X B.

Utilizando a linguagem dos conjuntos, representação gráfica e simbologia algébrica, Castrucci ainda apresenta a definição de Domínio, Imagem e Contra- Domínio.

Os capítulos 5 e 6, que tratam respectivamente das relações e das funções, são apresentados de maneira semelhante aos anteriores, mas um ponto que devemos destacar são os exercícios propostos, onde, utilizando a linguagem da Teoria dos Conjuntos, Castrucci procura reunir os ramos da Matemática, permeando por tabelas, gráficos, geometria, álgebra, etc.

Ainda restando os capítulos 7 e 8, notamos a apresentação de conceitos como Semigrupo e Monóide, Grupo, Corpo, Espaço Vetorial, Anéis, suas propriedades e homomorfismos e isomorfismos entre grupos e entre anéis.

Em uma visão geral, o livro de Castrucci é o que mais se aproxima de uma orientação ou proposta para o Movimento de Matemática Moderna. A análise que faremos da coleção didática de Sangiorgi nos mostrará como se deu a apropriação dos conteúdos apresentados por Castrucci, ou seja, a “leitura” que Sangiorgi fez desses conteúdos e como se deu a disciplinarização desses conteúdos inseridos em sua coleção didática.

Devido ao ano da publicação do livro de Castrucci (1967), pode parecer equivocada a idéia de que Sangiorgi seria influenciado ou influenciaria o livro de Castrucci, porém, segundo Lima (2006), Castrucci ministrava cursos sobre a Teoria dos Conjuntos no início do MMM, concomitante com o lançamento da coleção didática de Sangiorgi.