RODRIGO SANCHEZ MACEDO
UM ESTUDO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NO
MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
RODRIGO SANCHEZ MACEDO
UM ESTUDO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NO
MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Profa. Dra. Cileda de Queiroz e Silva Coutinho.
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Banca Examinadora
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
À Roberta,
Companheira em todos os momentos e
À Deus que me deu a vida e me dá força todos os
dias.
À minha esposa, Roberta, que sempre me apoiou
em todos os momentos, mesmo nos mais difíceis e sem a qual esse trabalho não existiria.
Aos meus pais, que me proporcionaram uma visão do mundo e me fizeram ser quem sou hoje.
À Rafael e Heloísa, irmãos que são, sobretudo amigos.
Aos colegas da PUC-SP, especialmente os participantes do GHEMAT.
Ao professor Dr. Wagner Rodrigues Valente, que
contribuiu de grande forma como orientador desse trabalho.
À professora Dra. Cileda de Queiroz e Silva
Coutinho, que me aceitou como orientando e
contribuiu excelentemente na concretização dessa pesquisa.
Aos professores Dr. Saddo Ag Almouloud, Dra. Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, Dr. Wagner
Rodrigues Valente, Dra. Ana Paula Jahn, Dra.
Lulu Healy, Dra. Sônia Camargo Igliori e Dra. Silvia Dias Alcântara Machado, que ministraram
Ao professores Dra. Maria Inez Rodrigues Miguel
e Dr. Antonio Carlos Brolezzi pelas preciosas contribuições na qualificação.
Aos meus familiares que me apoiaram em minhas
idéias e convicções.
Essa pesquisa apresenta uma análise de livros didáticos que Osvaldo Sangiorgi publicou no período do Movimento da Matemática Moderna. Essa análise foi centralizada na Teoria dos Conjuntos, que antes do Movimento fazia parte apenas do Ensino Superior e durante o Movimento foi inserida nos livros didáticos, especialmente nos de Sangiorgi, protagonista do Movimento no Brasil. Para esta análise são utilizados os fundamentos teóricos comuns à História da Educação. O estudo de Le Goff (1992) sobre Monumento/Documento e o estudo de Juliá (2001) fundamentam respectivamente o tratamento que deve ser dado às fontes de pesquisa e a História das Práticas. Chartier e Hébrard (1981) tratam das estratégias, táticas e apropriação e Chervel (1990) contribui com o conceito de disciplinarização, que são utilizados na análise de como o autor inseriu os conteúdos em seus livros didáticos. Precedendo essa análise, é apresentado o Movimento da Matemática Moderna no Brasil e a Teoria dos Conjuntos inserida nesse Movimento, apresentação esta baseada em dissertações, teses e artigos que tratam do tema. Também precedendo a análise, são apresentados um panorama histórico do desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos e livros sobre a Teoria dos Conjuntos publicados durante o período do Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Os resultados obtidos na análise mostram como alguns elementos inseridos nos livros didáticos de Osvaldo Sangiorgi surgiram a partir das tensões existentes na cultura escolar, não se limitando apenas a uma adequação dos conteúdos antes abordados apenas no Ensino Superior.
This research provides an analysis of textbooks that Osvaldo Sangiorgi published in the period of the Movement of Modern Mathematics. This analysis was centered in the Theory of Sets, which before the move was part only of Higher Education, and during the Movement was inserted in textbooks, especially in the Sangiorgi, protagonist of the Movement in Brazil. For this analysis are used to the common theoretical foundation of History of Education. The study by Le Goff (1992) on Monument/Document and the study of Juliá (2001) respectively based treatment that should be given to sources of research and the History of Practice. Chartier and Hébrard (1981) deal with the strategies, tactics and ownership and Chervel (1990) contributes with the concept of disciplinarization, which are used in the analysis of how the author entered the contents of their textbooks. Preceding this analysis, it presented the Movement of Modern Mathematics in Brazil and the Theory of Sets included within this movement, this presentation based on dissertations, theses and articles dealing with the issue. Also preceding the analysis, are given an overview of the historical development of the theory of sets, and books on the Theory of Sets published during the period of the Movement of Modern Mathematics in Brazil. The results obtained in the analysis shows how some elements included in textbooks of Osvaldo Sangiorgi emerged from the tensions in the school culture, not limited only to a adequacy of the contents before addressed only in Higher Education.
Figura 2: Exemplo de união e intersecção de conjuntos... 43
Figura 3: Seqüência de números Racionais proposta por Cantor. ... 45
Figura 4: União de conjuntos representada pelos diagramas... 55
Figura 5: Diferença de conjuntos representada pelos diagramas... 55
Figura 6: Complementar de conjuntos representado pelos diagramas. ... 56
Figura 7: Reunião de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci (1967). ... 63
Figura 8: Intersecção de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci (1967). ... 64
Figura 9: Exercícios sobre operações com conjuntos no livro de Castrucci (1967). 65 Figura 10: Exercícios sobre operações com conjuntos no livro de Castrucci (1967). ... 65
Figura 11: Diferença de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci (1967). ... 66
Figura 12: Conjunto complementar representado pelos diagramas no livro de Castrucci (1967). ... 67
Figura 13: Introdução aos conjuntos com utilização de diagramas no livro de Sangiorgi (1963). ... 76
Figura 14: Diagramas com formato irregular no livro de Castrucci (1967). ... 76
Figura 15: Números e numerais no livro de Sangiorgi (1963)... 78
Figura 16: Símbolos das relações no livro de Sangiorgi (1968)... 80
Figura 17: Exercícios sobre sistema de numeração no livro de Sangiorgi (1963).... 81
Figura 18: Adição e subtração representadas por conjuntos no livro de Sangiorgi (1963). ... 83
Figura 19: Multiplicação e divisão no livro de Sangiorgi (1963)... 84
Figura 20: Diagramas representando função na contracapa do livro de Sangiorgi (1967). ... 90
Figura 21: Diagramas representando função no início do capítulo 2 do livro de Sangiorgi (1967). ... 90
INTRODUÇÃO ... 14
CAPÍTULO 1 CONSIDERAÇÕES TEÓRICO-METODOLÓGICAS ... 19
CAPÍTULO 2 O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA NO BRASIL ... 29
2.1.ATEORIADOSCONJUNTOSNOMMMOCORRIDONOBRASIL ... 35
CAPÍTULO 3 TEORIA DOS CONJUNTOS: UM PANORAMA HISTÓRICO... 41
3.1. ANÁLISE DOS LIVROS SOBRE TEORIA DOS CONJUNTOS... 47
3.1.1. TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS – PAUL R. HALMOS ... 48
3.1.2. TEORIA DOS CONJUNTOS – EDISON FARAH... 53
3.1.3. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS – BENEDITO CASTRUCCI ... 58
CAPÍTULO 4 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS... 70
4.1. MATEMÁTICA: CURSO MODERNO – VOLUME 1... 74
4.2. MATEMÁTICA: CURSO MODERNO – VOLUME 4... 88
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 95
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 99
ANEXOS ... 104
ANEXOI CAPA DO LIVRO “TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS” DE PAUL R.HALMOS. ... 105
ANEXO II CONTRACAPA DO LIVRO “TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS” DE PAUL R. HALMOS. ... 106
ANEXOIII CAPA DO LIVRO “TEORIA DOS CONJUNTOS” DE EDISON FARAH. ... 107
ANEXOIV CAPA DO LIVRO “ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS” DE BENEDITO CASTRUCCI. ... 108
ANEXO VI EXERCÍCIOS SOBRE OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DO LIVRO “ELEMENTOS
DE TEORIA DOS CONJUNTOS” DE BENEDITO CASTRUCCI. ... 110
ANEXOVII EXERCÍCIOS SOBRE OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DO LIVRO “ELEMENTOS
DE TEORIA DOS CONJUNTOS” DE BENEDITO CASTRUCCI. ... 111
ANEXO VIII EXERCÍCIOS SOBRE OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DO LIVRO “ELEMENTOS
DE TEORIA DOS CONJUNTOS” DE BENEDITO CASTRUCCI. ... 112
ANEXOIX INTRODUÇÃO À COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DO LIVRO “MATEMÁTICA:
CURSO MODERNO PARA OS CURSOS GINASIAIS –VOLUME 1” DE OSVALDO SANGIORGI.
... 113
ANEXO X INTRODUÇÃO À COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DO LIVRO “MATEMÁTICA:
CURSO MODERNO PARA OS CURSOS GINASIAIS – VOLUME 1” DE OSVALDO SANGIORGI.
No presente trabalho apresentamos uma pesquisa desenvolvida no campo do estudo de Educação Matemática. Apresentamos os fatores que favoreceram a escolha do problema de pesquisa e o próprio problema, as considerações teórico-metodológicas em que a investigação se fundamenta, uma caracterização de um movimento ocorrido no Brasil sobre o ensino de Matemática e um estudo de como a Teoria dos Conjuntos era apresentada em uma coleção de livros didáticos de Matemática na época.
O tema de nossa pesquisa está relacionado ao desenvolvimento histórico de diversas áreas do conhecimento, que nos motivou a pesquisar sobre a História do Ensino da Matemática. Durante a escolha do tema, levávamos em consideração uma idéia que é tida pelo senso comum de que a História da Matemática é apenas uma ferramenta, onde o uso de fatos históricos serve como um recurso didático no Ensino de Matemática, gerando um maior interesse e compreensão por parte dos alunos. Nossa idéia não era diferente com História do Ensino da Matemática, onde entendíamos que esse estudo levava a comunidade científica a compreender de maneira mais clara a forma como a Matemática é ensinada hoje e quais fatores favoreceram a sua organização, ou seja, procurar entender os erros e acertos realizados no passado e suas conseqüências.
Um fator que influenciou a escolha do estudo em História do Ensino da Matemática foi um curso do qual participamos durante a graduação sobre História da Matemática, que nos levou a utilizá-la como recurso em variados temas em sala de aula no Ensino Fundamental e Médio, onde percebemos um maior interesse e compreensão por parte dos alunos como citado anteriormente.
O tema central do nosso projeto está especificado na investigação sobre a inserção da Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos no Ensino Secundário1 no período do Movimento da Matemática Moderna no Brasil, compreendido principalmente nas décadas de 1960 e 1970, com o objetivo de entender como esse saber matemático passou a fazer parte dos livros didáticos, considerando especificamente as obras que veicularam a Teoria dos Conjuntos no Brasil. A coleção “Matemática: Curso moderno para os cursos ginasiais” de Osvaldo Sangiorgi2, que teve seu primeiro volume lançado em 1963, pela Companhia Editora Nacional de São Paulo, é a coleção que teremos como foco de análise, já que foi uma das principais, nas quais se apresentaram os conteúdos da Matemática Moderna, incluindo a Teoria dos Conjuntos.
Para o desenvolvimento dessa pesquisa, apresentamos as nossas considerações teórico-metodológicas no capítulo 1, que nos dão subsídios para o desenvolvimento da pesquisa do ponto de vista histórico e também nos subsidia para a análise dos livros didáticos que realizamos no capítulo 4.
A apresentação desse movimento, denominado: Movimento da Matemática Moderna (MMM) se baseou em dissertações, teses e artigos que tratam do tema e que podemos ver no capítulo 2. Nessa apresentação mostramos a falta de ênfase que os autores dessas dissertações, teses e artigos deram ao assunto que abordamos: a Teoria dos Conjuntos.
Os poucos relatos que os autores trazem sobre a Teoria dos Conjuntos, que podemos ver ainda no capítulo 2, apresentam a idéia de que essa Teoria era utilizada como linguagem para o ensino de todo o conteúdo Matemático do Ensino Secundário. Nosso estudo intenta mostrar como se deu a apresentação desse conteúdo nos livros da coleção “Matemática: Curso moderno para os cursos ginasiais”, e se realmente a Teoria era utilizada como linguagem ou se era utilizada como um capítulo isolado, pressuposto de críticas do Movimento.
No capítulo 3 apresentamos um panorama histórico sobre a Teoria dos Conjuntos, tema que foi enfatizado no MMM, e como essa teoria se apresentava em
1
O Ensino Secundário na época do Movimento da Matemática Moderna se refere às sete séries escolares de
crianças na faixa etária de 11 a 17 anos, atualmente denominados Ensino Fundamental II e Ensino Médio.
2
Osvaldo Sangiorgi era autor de livros didáticos de Matemática anteriores ao MMM e lançou, durante o
movimento, uma coleção que trazia os assuntos do ideário do MMM. Também foi o presidente do GEEM
alguns dos livros dedicados ao Ensino Superior e à formação de professores na época do Movimento da Matemática Moderna no Brasil.
Por fim, no capítulo 4, com base nas teorias e metodologias apresentadas no capítulo 1, analisamos dois volumes dos livros didáticos “Matemática: Curso Moderno” de autoria de Osvaldo Sangiorgi. Os volumes escolhidos são o primeiro e o quarto.
Os volumes que não analisamos, como o segundo e o terceiro possuem elementos da Teoria dos Conjuntos de forma muito semelhante ao primeiro, e nosso objetivo não era simplesmente apresentar o conteúdo que cada volume possuía, mas apresentar alguns elementos da Teoria dos Conjuntos que são característicos da cultura escolar. Sendo assim mostramos que a Teoria não é simplesmente absorvida do Ensino Superior ao Ensino Secundário, mas também desenvolvida em sua própria cultura, a escola.
Nessa análise, também mostramos que o desenvolvimento de alguns elementos da Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos do Ensino Secundário influenciou um livro destinado à formação de professores, onde podemos ver que a Teoria não vem somente do Ensino Superior para o Secundário, mas também pode “percorrer” o caminho oposto.
Na intenção de apresentar como um estudo de História pode ser absorvido pelos leitores, fazemos uma analogia, utilizando uma idéia que Brolezzi (2000) traz em seu estudo. Esse autor ressalta o uso didático da História da Matemática e entendemos que exista uma relação análoga com a História da Educação Matemática.
O caminho pedagógico que defendemos parece advir da consideração
da Matemática em sua fase de construção científica, e não da
Matemática pronta e sistematizada de acordo com a lógica formal. A
visão da Matemática em construção é, precisamente, a que obtemos
pelo estudo da História da Matemática, a qual surge, assim, como a
grande fonte para apreensão da organização lógica mais adequada ao
ensino da Matemática, principalmente no nível elementar, em que os
padrões lógico-formais estão ainda mais distantes dos alunos. A forte
relação da lógica com o ensino constitui, portanto, um componente
decisivo para a avaliação do uso da história da Matemática como recurso pedagógico, revelando com muita profundidade seu valor
didático. (BROLEZZI, 2000, p. 44-45)
professor de Matemática pode ter contato. Essas teorias poderiam, de uma forma simplista, ter analisado apenas seu curso cronológico com levantamento de biografias, porém, acreditamos que assim como no uso didático da História da Matemática, na História da Educação Matemática “é necessária uma abordagem na qual o próprio conteúdo seja influenciado.” (BROLEZZI, 2000, p. 47)
Nesse sentido abordaremos o Movimento da Matemática Moderna, realizando uma construção de fatos históricos, no que diz respeito à forma que se inseriu um conteúdo nos livros didáticos do Movimento, a Teoria dos Conjuntos.
CAPÍTULO 1
O presente trabalho tem como temática ampla a História da Educação Matemática, que é campo de estudo do GHEMAT (Grupo de Pesquisa de História da Educação Matemática). Durante nossa participação em suas atividades, tivemos contato com as teorias que apresentaremos e que nos subsidiarão nessa pesquisa.
Em nosso trabalho, analisamos a coleção de livros didáticos “Matemática: Curso moderno para os cursos ginasiais” de Osvaldo Sangiorgi, que era utilizada no período do Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Temos, com essa análise, a intenção de verificar como foi inserida, por Osvaldo Sangiorgi, a Teoria dos Conjuntos.
Com esse objetivo delineado, entendemos que o estudo da obra de Jacques Le Goff será fundamental para nossa análise. Le Goff (1992) estuda os conceitos de Monumento e Documento. Esses conceitos são os representantes dos materiais que se aplicam à forma científica da memória coletiva: a História.
Le Goff (1992) retoma, em uma citação que faz de Febvre (1949), o que é possível considerar como elemento nuclear do trabalho do historiador:
Toda uma parte, e sem dúvida a mais apaixonante do nosso trabalho de
historiadores, não consistirá em um esforço constante para fazer falar as
coisas mudas, para fazê-las dizer o que elas por si próprias não dizem
sobre os homens, sobre as sociedades que as produziram, e para constituir, finalmente, entre elas, aquela vasta rede de solidariedade e de entreajuda que supre a ausência do documento escrito? (FEBVRE apud LE GOFF, 1992, p. 530).
Essa citação nos mostra o que, efetivamente, um historiador deve buscar em sua pesquisa, ou seja, os materiais que utilizamos na pesquisa em história não “falam” por si só, devemos, portanto, “fazer falar as coisas mudas” com o olhar analítico que teremos no contato com esses materiais.
a Teoria dos Conjuntos, para que posteriormente o segundo grupo descrito por Valente (2005), o dos professores, utilizem esses fatos históricos.
Entendemos que os rastros deixados pelo passado ao presente são tomados como documentos, mas a partir do momento em que o historiador os toma para análise e construção de questionamentos e hipóteses, deve tê-los como monumentos, pois os documentos são fabricados com uma “roupagem” que o historiador deve desmontar. Os materiais que utilizaremos para análise, como os livros didáticos, são reconhecidos pelo senso comum como documentos à priori, mas Le Goff (1992) alerta para que os tomemos como monumentos:
[...] O documento não é qualquer coisa que fica por conta do passado, é um
produto da sociedade que o fabricou segundo as relações de forças que aí
detinham o poder. Só a análise do documento enquanto monumento
permite à memória coletiva recuperá-lo e ao historiador usá-lo cientificamente [...] (LE GOFF, 1992, p. 536).
Portanto esses materiais de nossa pesquisa, que são os livros didáticos, serão tomados como monumentos, e a partir de nossos questionamentos e investigações se tornarão fontes de pesquisa e procurando respondê-las estaremos construindo os documentos, que é a própria análise dos livros didáticos. Esses documentos que construiremos a partir de questionamentos e da busca por respondê-los serão os materiais que, após a aceitação pela comunidade científica, constituirão os fatos históricos estabelecidos em nossa pesquisa.
A análise dos livros didáticos se realizará com a crítica aos documentos, e Valente (2005) fala sobre os procedimentos de trabalho com as fontes de pesquisa, que são os vestígios ou traços acompanhados dos questionamentos que levantaremos. Esse autor descreve os tipos de crítica se baseando em um curso de História do professor e historiador Antoine Proust, que foi transformado em livro em 1996, denominado Douze leçons sur l’histoire. Segundo Valente (2005), a crítica que um historiador deve fazer às suas fontes se resume em dois tipos: a crítica externa e a crítica interna.
A crítica externa incide sobre as características materiais do documento: seu papel, sua tinta, sua escrita, os selos que o acompanham; a crítica
A crítica é uma busca de respostas aos questionamentos como: a identificação do autor, a origem do documento, a conservação e como foi a divulgação do documento, a existência da possibilidade de ter ocorrido distorções nos testemunhos e sua confiabilidade. Para isso analisaremos as características materiais e a coerência do texto dos livros didáticos em relação aos outros materiais com os quais iremos confrontá-lo, como os livros sobre a Teoria dos Conjuntos.
A análise de livros didáticos será realizada partindo-se também dos conceitos de estratégias, táticas e apropriação que estão presentes nos estudos do historiador Michel De Certeau (1994). Anne-Marie Chartier e Jean Hébrard (1981) fazem uma leitura/análise do trabalho de De Certeau (1994) em seu artigo: “A invenção do Cotidiano: uma leitura, usos.” A análise realizada por Chartier e Hébrard (1981) é uma maneira de nos aproximar da obra complexa de De Certeau (1994), onde os próprios autores a definem como “não-conclusiva e não definida em um gênero”.
Os conceitos de estratégia e tática têm como referência as práticas. Estratégia é uma prática que tem um lugar próprio, definido e é estabelecida pelos poderosos3, se enquadrando em um espaço social simbólico como: textos oficiais, livros, cursos, etc. A tática é a especificidade de práticas cotidianas como: falar, ler, cozinhar, comprar, etc., onde o indivíduo não-poderoso faz uso da estratégia pré-estabelecida.
A apropriação é um conceito definido pelo consumo cultural que o indivíduo faz de uma estratégia para desenvolver sua tática. Segundo Chartier e Hébrard existem apropriações materiais e intelectuais:
Essa multiplicação dos objetos para ler tem como conseqüência a multiplicidade de formas de apropriação incontroladas, incontroláveis.
Primeiramente apropriações materiais: empréstimos ou compras,
organizações e conservação, apresentação e uso colocadas no quadro de
sociabilidades restritas ao foro privado. Em seguida, apropriação intelectual
por meio desses processos de leitura, em que coexistem e interferem-se mútua e constantemente as leituras normatizadas pelos guardiões da
ortodoxia e as leituras pessoais, sejam as trocadas entre grupos restritos, mas socialmente definidos, ou leituras solitárias. (CHARTIER e HÉBRARD,
1981, p. 36)
Essas apropriações que os autores destacam serão percebidas no tipo de crítica que faremos aos livros didáticos em nosso estudo. A crítica externa, que
3
Os termos “poderosos” e “não-poderosos” são utilizados por Chartier e Hébrard para diferenciar, em um nível
incide sobre as propriedades materiais do documento, avalia a apropriação material que o autor do livro didático realizou, onde também é verificada a existência do fenômeno da vulgata4, pois um determinado autor, por exemplo, pode começar a utilizar cores e figuras em um livro e levará assim (caso ocorra a vulgata) outros autores a utilizá-la, tornando-se um padrão.
A crítica interna nos mostrará a apropriação intelectual que o autor realizou, sendo essa a de maior interesse em nossa pesquisa, já que estamos investigando a inserção da Teoria dos Conjuntos em livros didáticos. Isso deverá permitir que se realize uma crítica aos livros visando entender como se deu a apropriação intelectual do ideário do Movimento da Matemática Moderna nos livros didáticos.
A crítica é um olhar do pesquisador para a fonte de pesquisa, e as apropriações são as realizações do consumidor cultural, como exemplo o autor de livros didáticos. Temos a crítica como um auxiliador na compreensão das apropriações.
Podemos ilustrar os conceitos de tática, estratégia e apropriação com o exemplo da escrita de um livro didático: o autor do livro didático, que descrevemos anteriormente como “não-poderoso”, se envolve com diversos fatores como a legislação e/ou parâmetros curriculares e até mesmo com cursos em que participou. O autor faz uma “leitura” dessas determinações curriculares, que foram escritas por “poderosos” (nesse caso os autores dessas determinações) e, portanto, são estratégias, possuindo assim um lugar próprio. Essa leitura é descrita por Chartier e Hébrard (1981) como um consumo cultural:
Em primeiro lugar, a leitura, esse símbolo privilegiado do consumo cultural contemporâneo. Para Michel de Certeau ela não é recepção imposta de um
conteúdo objetivo, sujeição ao texto, passividade. Fazendo da leitura uma
arte da caça ilegal, ele a designa como uma ação que quase não deixa
traços visíveis, nem garantias contra a usura do tempo, mas ação produtora
que em cada um de seus encaminhamentos e de fazeres, ao mesmo tempo alteram e conferem existência ao texto: formas singulares de habitar o
escrito. A leitura é uma apropriação. (CHARTIER e HÉBRARD, 1981, p. 32)
Na escrita do livro didático, o autor desenvolve sua tática, fazendo uma apropriação dessas determinações curriculares, pois escreverá seu livro baseado na leitura que ele realizou, que depende de sua interpretação. Quando nos referimos à
4
O fenômeno da vulgata é um conceito do trabalho de André Chervel (1990), onde o autor o descreve como
leitura, não falamos da simples decodificação do escrito, mas de uma adequação que o autor faz daquelas determinações curriculares para a escrita de seu livro didático.
O texto escrito pelo autor do livro didático pode se tornar uma estratégia se o tomarmos como base para o preparo da aula de um professor. Nesse caso, o autor do livro didático passa a ser o “poderoso” e o professor, que desenvolverá sua tática, utilizando esse livro para o preparo de sua aula será o “não-poderoso”. Mas nosso objetivo é analisar os livros didáticos como tática baseada na estratégia do ideário do Movimento de Matemática Moderna.
Com relação à análise de livro didático teremos também como base teórica o trabalho de Alain Choppin (2000 apud Marques, 2005) do qual encontramos pontos principais na dissertação de Marques (2005) e que fala sobre a importância do manual didático5 como fonte de pesquisa:
[...] O manual didático se apresenta como suporte, o depositário dos
conhecimentos e das técnicas que a juventude deve adquirir para
perpetuação de seus valores. Os programas oficiais, quando existem,
constituem a estrutura sobre a qual os manuais devem conformar-se estritamente. São vetores, meios de comunicação muito potentes cuja
eficácia repousa sobre a importância de sua difusão e sobre a
uniformidade do discurso que transmitem. (CHOPPIN, 2000 apud MARQUES, 2005, p. 15)
Outro estudo fundamental para nossa pesquisa é o artigo “História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa” de André Chervel6 (1990). Nele, o autor fala sobre a definição e como se constitui uma disciplina escolar e define a importância do livro didático como fonte de pesquisa histórica.
O conceito de disciplinarização que Chervel (1990) apresenta, se refere à estruturação que é dada aos conteúdos para que possam ser ensinados, ou seja, os conteúdos científicos, em outro momento ensinados apenas no Ensino Superior, precisam passar por modificações e adequações para que sejam ensinados no Ensino Secundário. Essas modificações não surgem apenas da iniciativa dos organizadores curriculares, mas também das resistências aos novos conteúdos, que surgem por parte dos professores, alunos e outros elementos da cultura escolar.
5
No estudo de Allain Choppin a terminologia utilizada para se referir a livro didático é manual didático, não
havendo assim diferença.
6
Chervel (1990) se contrapõe à afirmação de que o saber produzido cientificamente sofre pequenas alterações por parte de grupos de pessoas interessadas em adequar esses conteúdos, para que possam ser ensinados e aceitos no Ensino Secundário. Chervel (1990) afirma a importância da cultura escolar nas alterações sofridas pelos conteúdos do saber científico7.
Um conteúdo só é disciplinarizado quando tem um núcleo curricular, ou seja, há um consenso geral, que pode ser regulado por normas como parâmetros curriculares, onde quase que a totalidade das instituições ministra esse conteúdo de uma mesma forma. Essa mesma forma constitui o que Chervel (1990) denomina núcleo curricular.
O saber científico precisou ser disciplinarizado para que pudesse ser ensinado no âmbito da cultura geral pois, para Chervel (1990), o Ensino Secundário possui uma cultura geral, enquanto o Ensino Primário e o Ensino Superior possuem culturas específicas.
Chervel (1990) explicita que as funções do Ensino Primário8 e do Ensino Superior têm uma definição mais clara que a função do Ensino Secundário. No Ensino Primário existem objetivos, dentre outros, em que o aluno aprenda a ler, escrever e contar. No Ensino Superior, o estudante aprenderá uma profissão, mas no Ensino Secundário há uma obscuridade quanto à definição de seu objetivo.
Segundo Chervel (1990), os livros didáticos de uma determinada época retratam o que era esperado do ensino naquela época. O estudo histórico que faremos com a análise dos livros didáticos é uma busca pela compreensão das práticas escolares da época que pretendemos estudar, tendo em vista os conteúdos que faziam parte dessas práticas. Dentro desse foco investigamos como esses conteúdos, ora ministrados apenas no Ensino Superior, sofreram modificações, influências e inserção de novos elementos próprios da cultura escolar, para que pudessem ser ensinados no Ensino Secundário. Sendo assim, analisamos como se deu o processo de disciplinarização de conteúdos como a Teoria dos Conjuntos.
7
Conteúdos da Matemática desenvolvidos no âmbito da pesquisa e no Ensino Superior.
8
O Ensino Primário na época do Movimento da Matemática Moderna no Brasil se refere às quatro séries
escolares das crianças com idades entre sete e dez anos. Atualmente esse nível de escolaridade é denominado
Outro importante teórico que nos dá base para o estudo da história das práticas escolares é Dominique Juliá9 (2001) em seu artigo “A Cultura Escolar como Objeto Histórico”10.
Para Juliá (2001), a cultura escolar é um conjunto de normas, que são regras, conhecimentos e condutas a ensinar e práticas escolares, que permitem a incorporação e transmissão dessas normas. As normas e práticas mudam no passar do tempo e, portanto, a cultura escolar também muda com o tempo. Existem tentativas de coordenar as normas e práticas, para que as condutas e conhecimentos que se pretende ensinar ocorram efetivamente. As finalidades dessas tentativas de coordenação, segundo Juliá (2001), podem ser de ordem religiosa, sócio-política ou de socialização.
Outro conceito importante a destacar no estudo desse autor é a diferenciação que ele faz da História das Práticas e da História das Idéias. Na História das Práticas há uma preocupação com as resistências e tensões, com a prática na sala de aula e também existe uma limitação quanto às fontes de pesquisa. Já na História da Idéias, a pesquisa é realizada sobre textos normativos, onde há um poder absoluto sobre os projetos e a cultura escolar é tida como um isolamento, não havendo assim, uma preocupação com as resistências e tensões que um conteúdo pode sofrer para que seja inserido no currículo.
Nossa pesquisa busca se enquadrar, dentro do possível, na História das Práticas, que apesar de realizarmos um trabalho com livros e livros didáticos (que a princípio parecem mais normas do que práticas), procuraremos encontrar vestígios que nos levem a entender como se deu a prática do ensino da Teoria dos Conjuntos no Ensino Secundário durante o Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Os livros didáticos analisados de maneira comparativa com os livros sobre Teoria dos Conjuntos nos mostrarão quais foram as resistências e tensões que esse conteúdo sofreu para ser disciplinarizado no currículo de Matemática durante o MMM.
Segundo Juliá (2001), a principal dificuldade da pesquisa no âmbito da História das Práticas e, mais precisamente na pesquisa histórica da cultura escolar, é a obtenção de fontes de pesquisa. As fontes são escassas, muitas vezes por falta
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Dominique Juliá era diretor de pesquisas do CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique), e foi professor do Instituto Universitário Europeu (Florença), e especialista em história religiosa e história da
de espaço físico, destruição dos materiais ou mesmo sua ausência, pois o que é evidente em um dado momento, nem sempre necessita que seja dito ou escrito.
O estudo das práticas não tem base só nas ações visíveis, mas também em quais concepções estão em oculto, ou seja, se as normas não se aproximam das práticas, é preciso utilizar a capacidade de relacionar as ligações entre os dados que foram obtidos com as fontes, mesmo que elas se refiram às normas.
Sem dúvida, não devemos exagerar o silêncio dos arquivos escolares.
O historiador sabe fazer flechas com qualquer madeira: quanto ao século XIX, por pouco que procure e que se esforce em reuni-los, os cadernos de notas tomadas pelos alunos (mesmo sendo grande o risco de se verem conservados apenas os mais bonitos deles) e os cadernos de preparações dos educadores não são escassos e, na falta destes, pode-se tentar reconstituir, indiretamente, as práticas escolares a partir
das normas ditadas nos programas oficiais ou nos artigos das revistas pedagógicas. (JULIA, 2001, p.17, grifo nosso).
Entendemos que em nossa pesquisa, as práticas escolares são reconstituídas indiretamente, analisando os livros didáticos.
A teoria desenvolvida por Le Goff (1992) sobre os conceitos Monumento/Documento e a teoria desenvolvida por Juliá (2001) sobre as Práticas escolares fundamentam o tipo de pesquisa que realizamos: a pesquisa histórica.
Os conceitos de estratégia, tática e apropriação absorvidos do texto de Chartier e Hébrard (1981) fundamentam tanto a apresentação dos livros sobre a Teoria dos Conjuntos, do ponto de vista das estratégias, quanto a análise da inserção da Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos, do ponto de vista das táticas.
O conceito de disciplinarização de Chervel (1990) é utilizado em nossa pesquisa a partir da análise de elementos que surgiram na cultura escolar e foram inseridos nos livros didáticos de Sangiorgi. O esquema 1 apresenta um organograma de como as teorias apresentadas nesse capítulo fundamentam a pesquisa.
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O texto referido é uma tradução do artigo de Julia: “Lá culture scolaire comme objet historique”, feita por
Gizele de Souza, professora do setor de Educação da Universidade Federal do Paraná e doutoranda no Programa
CAPÍTULO 2
Apresentaremos uma caracterização do Movimento da Matemática Moderna (MMM) no Brasil a partir da leitura e análise de dissertações, teses e artigos que têm como tema o Movimento.
O Movimento da Matemática Moderna no Brasil foi um movimento de grandes mudanças curriculares e metodológicas no ensino de matemática entre os anos 60 e 70. Durante esse movimento foi fundado o GEEM (Grupo de Estudos do Ensino da Matemática) em 31 de outubro de 1961 em São Paulo, que divulgou, com seus cursos, o ensino da chamada “Matemática Moderna”. O término das atividades do Grupo foi marcado em 1976 com um último curso, quando surgiram algumas publicações de críticas ao Movimento e após a divisão de opiniões dos próprios integrantes do GEEM (BÚRIGO, 1989, p. 201-203).
As considerações de fundação e término do GEEM têm apenas a finalidade de nos situar sobre quais décadas realizaremos nosso estudo, não querendo limitar o Movimento ao período mencionado.
Nos anos antecedentes às décadas de vigência do Movimento aconteceram os primeiros Congressos Nacionais de Ensino de Matemática. Em 1955 ocorreu o primeiro deles, em Salvador, Bahia, tendo a participação de 94 congressistas e entre eles Osvaldo Sangiorgi, Omar Catunda, Manoel Jairo Bezerra e Ana Averbuch. Segundo Silva (2006), nesse congresso não há evidências da introdução de tópicos da Matemática Moderna, mas tratava dos conteúdos programáticos do Ensino Secundário e da necessidade de reorganizá-lo para que ocorresse uma melhora na aprendizagem.
A dissertação de Marques (2005) traz uma perspectiva desse período que antecedeu o Movimento, fazendo menção às Reformas Campos e Capanema, 1931 e 1942 respectivamente, e apresenta o período intitulado de pré-moderno, que aconteceu nos anos 1950 e uma breve análise de livros didáticos do período.
Marques conclui que no período referente aos anos 1950 não existiam discussões acaloradas sobre mudanças curriculares de grande relevância e que os professores “não clamavam” por mudanças que hipoteticamente teriam suscitado o Movimento da Matemática Moderna que se sucederia:
[...] começamos a perceber que a matemática escolar dos tempos pré -modernos não estava passando por momentos de turbulência, o que se
confirma pela análise dos livros didáticos desse período: seus
com a idéia de exemplos e aplicações dominando a organização desses
manuais. (MARQUES, 2005, p. 101)
Com isso, somos levados a acreditar que as influências para a inserção do Movimento de Matemática Moderna no Brasil foi motivada por fatores externos, dos quais apresentaremos indícios a seguir.
Em 4 de outubro de 1957, no Cosmódromo de Baikonur (base de lançamento de foguetes da então URSS), em Tyuratam, Cazaquistão, foi lançado o foguete soviético SPUTNIK, que mostrava aos EUA a potência espacial soviética e iniciava a corrida espacial que levou a uma preocupação com a formação de cientistas e engenheiros.
Segundo Guimarães (2007, p. 21), a idéia de que o Movimento de Matemática Moderna tenha surgido nos EUA, em tentativa de competir com a URRS na corrida espacial, é muito simplista e não pode se sustentar por fatos. Guimarães relata que em 1959 a OECE (Organização Européia de Cooperação Econômica), interessada na modernização do currículo de Matemática decidiu realizar uma investigação de como estava se realizando o ensino de Matemática e, então, promoveu o Cercle Culturel de Royaumont, que ficou conhecido como Sessão de Royaumont. Segundo Guimarães, é a realização mais emblemática de todo o movimento reformador.
Entretanto, levando-se em consideração que a Sessão de Royaumont na Europa aconteceu em 1959 e que em 1958 foi fundado um grupo de estudos de Matemática nos EUA, tudo leva a crer que o Movimento não surgiu simplesmente em um país e foi levado aos outros, mas acreditamos que as dinâmicas próprias de desenvolvimento de cada país, cada um sofrendo influências dos mais variados tipos, os levou a se engajarem no Movimento renovador com muitas características próprias, específicas a cada grupo ou país, e outras comuns.
Segundo Búrigo (1989, p.70), no ano de 1958 foi fundado nos EUA o SMSG (School Mathematics Study Group), grupo que tinha o objetivo de desenvolver um melhor ensino de Matemática, dado que a baixa qualidade do Ensino Secundário promovia uma escassez de pesquisadores e cientistas matemáticos.
Além do SMSG, que produziu diversos textos sobre novos conteúdos para o ensino elementar e secundário, textos para professores e alunos “mais bem dotados”, houve outro programa de destaque na Universidade de Stanford, nos EUA, em 1958, que foi o pioneiro na introdução de Teoria dos Conjuntos no ensino de matemática para crianças. O programa, coordenado pelo professor Suppes, era baseado na premissa de que as crianças podiam aprender muito mais Matemática do que o que se considerava possível até então (BÚRIGO, 1989, p. 70).
Em 1957, aconteceu o II Congresso Nacional de Ensino de Matemática que se realizou em Porto Alegre, Rio Grande do Sul com a presença de 400 congressistas. Segundo Búrigo, esse Congresso teve seu temário ampliado e surgiu o tema, em algumas teses, sobre a Matemática Moderna.
A tese do professor Sangiorgi, iniciando com a questão “Matemática
clássica ou matemática moderna na elaboração dos programas do
ensino secundário?” era cautelosa e defendia a necessidade de que
“ambas” fossem levadas em conta, de que a “modelação aos tempos
novos” fosse gradativa, a “fim de serem evitados os malefícios
decorrentes de transformações radicais”. (BÚRIGO, 1989, p. 46)
Osvaldo Sangiorgi, que seria posteriormente o principal protagonista do Movimento, ainda não defendia de maneira acentuada o ensino da Matemática Moderna, foi cauteloso em sua tese nesse Congresso. Já o Major Professor Jorge Emanuel Barbosa foi o mais ousado defendendo uma “modernização” do ensino da Matemática. Entre seus argumentos estavam a necessidade de atualizar o ensino para a formação de cientistas, principalmente matemáticos, destacando um argumento que se apoiava na psicologia da aprendizagem:
[...] O segundo argumento era o de que a matemática moderna, pela ênfase nas generalizações e na explicitação das conexões entre as
diversas partes da matemática, favorecia o que se denominava em psicologia da aprendizagem. [...] (BÚRIGO, 1989, p. 47).
científica”, sendo aprovadas três resoluções de relevância sobre a Matemática Moderna:
[...] uma, recomendando cursos de aperfeiçoamento para professores
registrados do ensino médio, de “preparação à Matemática Moderna”, a
segunda, recomendando a introdução do “espírito” da MM nas
Faculdades de Filosofia, e, finalmente, uma resolução que propunha a
realização de experiências no secundário com introdução de “noções de
MM, a serem relatadas no IV Congresso”. (SILVA, 2006, p. 54-55)
As influências para o desenvolvimento do Movimento de Matemática Moderna no Brasil foram variadas, porém é de importante destaque um curso realizado nos EUA, no qual professores do Brasil e da América Latina foram convidados a participar.
Esse seminário de verão aconteceu na Universidade do Kansas, em 1960, onde, entre professores brasileiros e latino-americanos, participou o professor Osvaldo Sanigiorgi, que ficou nos EUA por quatro meses. Segundo Búrigo (1989, p.104), Sangiorgi, em depoimento oral, destaca que percebeu a preocupação do governo norte-americano em “reciclar” os professores.
Temos esse fato como um forte indício de que o Movimento norte-americano influenciou o Movimento no Brasil, pois Sangiorgi, em 31 de outubro de 1961, um ano após voltar dos EUA, fundou o GEEM (Grupo de Estudos do Ensino de Matemática), que realizava cursos de formação de professores de maneira muito semelhante ao SMSG, divulgando assim o Movimento renovador no Brasil.
O GEEM foi um grupo pioneiro e influenciou outros grupos como o NEDEM (Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática), criado em 1962 e coordenado pelo professor Osny Antônio Dacól e o GEEMPA (Grupo de Estudos sobre o Ensino da Matemática em Porto Alegre), criado em 1971, e coordenado por Esther Pillar Grosi. Ambos tiveram objetivos muito semelhantes aos do GEEM, ou seja, desenvolver e divulgar o MMM no Brasil.
Segundo Choppin (2000, p.109), os manuais didáticos são meios de comunicação muito potentes cuja eficácia repousa sobre a importância de sua difusão e sobre a uniformidade do discurso que transmitem. E realmente percebemos essa potência de difusão que um livro didático pode possuir no desenvolvimento de um Movimento, pois o grande número de exemplares vendidos, desse livro didático de Sangiorgi, demonstra a maneira poderosa de como um livro pôde influenciar e engajar professores de um país tão grande como o Brasil em um Movimento Renovador como o da Matemática Moderna.
Em relação à potência dos livros didáticos como meio de difusão, Valente destaca:
A dependência de um curso de matemática aos livros didáticos,
portanto, é algo que ocorreu desde as primeiras aulas que deram
origem à matemática hoje ensinada na escola básica. Fica assim, para a
matemática escolar, desde os seus primórdios, caracterizada a ligação
direta entre os compêndios didáticos e desenvolvimento de seu ensino
no Brasil. Talvez seja possível dizer que a matemática constitui-se na disciplina que mais tenha a sua trajetória histórica atrelada aos livros didáticos. (VALENTE, 2005, p.14).
2.1. A TEORIA DOS CONJUNTOS NO MMM OCORRIDO NO BRASIL
O Movimento de Matemática Moderna no Brasil incluiu novos conteúdos no ensino de Matemática da escola secundária.
Esses conteúdos são: Teoria dos Conjuntos; conceitos de Grupo, Anel e Corpo; Matrizes, Determinantes e Espaços Vetoriais; Álgebra de Boole, noções de Cálculo Diferencial e Integral. Esses conteúdos até então apenas faziam parte do currículo do Ensino Superior.
Investigamos principalmente a inserção da Teoria dos Conjuntos, pois esse era um tema central do Movimento. Era pretendido que a Teoria dos Conjuntos fosse linguagem para toda a Matemática e em todos os níveis de escolaridade visando unificar a disciplina:
A ênfase nos conjuntos era fundamentada no fato de ser um conceito básico da Matemática, além de uma poderosa ferramenta para a
unificação da disciplina, que no século XIX era considerada como “as
Matemáticas”. (SOARES, 2001, p.48, itálicos do autor)
A Teoria dos Conjuntos foi um dos conteúdos novos inseridos nos livros didáticos do Movimento da Matemática Moderna e é nosso objeto de estudo. Para realizarmos uma análise das condições da inserção desse conteúdo nos livros faremos um breve panorama das principais intenções dos movimentos renovadores do ensino de Matemática, que nos propiciará a uma maior compreensão da motivação para a análise da Teoria dos Conjuntos.
As principais buscas de mudanças no ensino de Matemática giravam em torno de uma tentativa de aproximar a Matemática do Ensino Secundário à Matemática do Ensino Superior, ou seja, as mudanças visavam um preparo dos alunos para dar prosseguimento nos seus estudos.
[...] reclama-se para a Matemática, em termos das finalidades do seu
ensino, um triplo papel. Um papel formativo que, apesar de ser enunciado de um modo genérico, podemos dizer que é visto como um
meio de desenvolver as capacidades mentais e intelectuais do aluno, um papel de preparação dos alunos tendo em vista o prosseguimento dos seus estudos, e um papel instrumental no que se refere à sua
inserção na vida quotidiana e profissional. No entanto, a encerrar as
conclusões do relatório, quando é enunciado o propósito com que os
trabalhos de reforma são encarados, a primeira das finalidades
quotidiana e para a continuação dos seus estudos. (GUIMARÃES,
2006, p.29, grifo nosso)
Essas tentativas de aproximação não se verificaram apenas no período do Movimento da Matemática Moderna, mas também nas Reformas que o precederam: Reforma Francisco Campos em 1931 e Reforma Gustavo Capanema em 1942 no Brasil.
Essas Reformas ocorridas no Brasil foram fundamentais para a unificação das “Matemáticas”, que antes desse período constituíam três áreas distintas: Geometria, Álgebra e Aritmética. A unificação deveria se realizar, segundo Braga (2003), com o conceito de função. Braga realiza uma análise de livros didáticos do período das Reformas e constata que fora realizada uma introdução do Cálculo no Ensino Secundário, que utilizava o conceito de função, também abordado pela Teoria dos Conjuntos, unificaria as “Matemáticas”.
Um dos autores que Braga (2003) analisa foi Euclides Roxo, que lançou uma coleção inovadora intitulada “Curso de Matemática Elementar”, onde interpretou as concepções do movimento modernizador internacional, norteado por Felix Klein.
Segundo Braga (2006), o movimento internacional de renovação do Ensino Secundário ocorrido no início do século XX em países como Alemanha, Inglaterra, França e Estados Unidos teve como nome de destaque o matemático prussiano-alemão Christian Felix Klein (1849-1925), que exerceu uma liderança no que diz respeito à autoridade nas concepções inovadoras.
O ideário do movimento internacional de renovação tem como uma de suas bases a preocupação já mencionada, com o Ensino Superior:
Aliás, Klein, em diversos momentos da referida obra, deixa claro a sua
grande preocupação com o ensino superior, chegando a afirmar que se preocupam muito pouco no ensino secundário de como pode o ensino
superior seguir construindo sobre a base que ele proporciona, e que no mais das vezes se conformam com definições que no momento bastam,
porém que nada significa frente ao acúmulo de necessidades do ensino superior. (BRAGA, 2006, p. 43 - 44)
Um dos principais motivos que levaram a uma preocupação com o
ensino da Matemática foi o baixo conhecimento matemático dos
estudantes ao entrar na universidade. (SOARES, 2001, p.45)
Os protagonistas do Movimento se apoiaram nos trabalhos do grupo dos Bourbaki para desenvolver uma “modernização curricular” e inserir em livros didáticos, entre outros conteúdos, a Teoria dos Conjuntos.
Nicholas Bourbaki era um pseudônimo utilizado por integrantes de um grupo de matemáticos que desenvolveram trabalhos voltados a revolucionar a Matemática por meio do estudo das estruturas. O método utilizado pelo grupo era axiomático e de uma linguagem extremamente formal e rigorosa. O grupo Bourbaki desenvolveu seu trabalho baseado em três tipos de estruturas que fundamentam a matemática: estruturas algébricas, estruturas de ordem e estruturas topológicas. Qualquer outro tipo de estrutura na Matemática, segundo o grupo, pode ser gerida por meio dessas três estruturas fundamentais.
Os protagonistas do Movimento utilizaram um ideário que acreditamos que tendia para as idéias “Bourbakistas”, justamente enfatizar o ensino da Teoria dos Conjuntos em todas as séries do Secundário, porém, não utilizando todo o trabalho dos Bourbaki, dado que era focado no desenvolvimento da Matemática Superior, e não no Ensino Elementar e Secundário.
É notável perceber em estudos de dissertações e teses a tática utilizada pelos participantes do Movimento onde justificam a inserção curricular da Matemática Moderna apoiados na teoria psicogenética de Piaget. Segundo Pavanello (2002) essas justificativas surgiram de uma interpretação que os participantes do Movimento fizeram da Teoria Piagetiana.
Assim é que, nos anos 60, o forte interesse demonstrado em várias
oportunidades por Piaget pela teoria bourbakiana das estruturas matemáticas como paradigma explicativo das estruturas operacionais da
inteligência em desenvolvimento, acabou sendo utilizados pelos
matemáticos para dar sustentação psicológica a um movimento que
ficou conhecido como “matemática moderna”. Cumpre observar que
esse movimento foi iniciado no âmbito da matemática e visava a
introduzir no ensino os resultados mais recentes da pesquisa nessa
área do conhecimento, a conexão com a teoria genética sendo feita
posteriormente. (PAVANELLO, 2002, p.50)
Partindo dessas teorias entendemos que a base da Matemática Moderna se situava nos trabalhos dos Bourbaki, priorizando a inserção da Teoria dos Conjuntos nos programas e se apoiava em Piaget, com o objetivo de entrelaçar a matemática rigorosa e baseada em estruturas matemáticas com a teoria psicológica, também fundamentada em estruturas, nesse caso, estruturas mentais. (SOARES, 2001, p.11)
Jean Piaget descreve os estágios do desenvolvimento em quatro grandes categorias:
Sensório motor (de 0 a 24 meses) – onde o conhecimento começa a se desenvolver a partir do contato físico tendo o objeto como principal fonte. Pré-operacional (de 2 a 6 anos) – o ato de pensar baseia-se em ações
concretas e na visualização e a criança não tem a capacidade de realizar comparações baseadas na imaginação.
Concreto (de 7 a 12 anos) – se iniciam as operações denominadas lógico-concretas, onde as respostas estão em função da observação do mundo e no conhecimento adquirido, sendo esta a fase da “escolarização” onde os primeiros textos e as primeiras operações matemáticas são aprendidas. Operações formais (acima de 12 anos) – nessa fase desenvolvem-se as
operações formais e proposicionais com raciocínio sustentado no conhecimento físico e em hipóteses lógicas.
Há um comparativo feito desde a época do Movimento da Matemática Moderna e ainda constatamos hoje em dissertações como SOARES (2001), relacionando a Teoria de Jean Piaget com a Teoria de Bourbaki.
No estágio das operações concretas, que se inicia na faixa dos 7 anos
de idade, Piaget constata que as primeiras operações das quais se
serve a criança em seu desenvolvimento, e que derivam diretamente das coordenações gerais de suas ações sobre os objetos, podem se
repartir em três categorias gerais que equivalem às estruturas-mãe de
Bourbaki: as estruturas algébricas, as estruturas de ordem e as
estruturas topológicas. (SOARES, 2001, p.51)
O mesmo aconteceu com suas advertências sobre a possibilidade de
fracasso em tentativas de “ensinar matemática ‘moderna’ a crianças
pequenas usando métodos arcaicos, baseados na transmissão verbal
do professor para o aluno e com uso prematuro do formalismo”.
Considerando que, se o problema com a matemática tradicional era
levar a criança a resolver uma enorme quantidade de problemas,
“muitos deles absurdos”, Piaget (1973, p.84 – 85) assinalava que, com a “moderna” o problema poderia estar num outro nível: o professor poderia ser “ muitas vezes tentado a apresentar noções e operações
cedo demais, num quadro que já é muito formal”[...] (PAVANELLO,
2002, p. 52)
A teoria de Piaget pode ter sido mal interpretada durante a vigência do Movimento da Matemática Moderna, pois acreditamos que seu uso teve muito mais importância como propaganda do que como base teórica, afinal é uma teoria bastante densa e o próprio Piaget alertou sobre os exageros de interpretação de sua teoria:
[...] pode-se confundir a iniciação à Matemática com o entrar de cheio
em sua axiomática. Contudo, a única coisa que se pode axiomatizar são
os dados intuitivos prévios e, de um ponto de vista psicológico, uma
axiomática só tem sentido quando supõe uma tomada de consciência ou
reflexão retroativa, o que implica toda uma construção proativa anterior.
A criança – desde os 7 anos – e o adolescente manipulam continuamente operações de conjuntos, de grupo, de espaço vetorial,
etc., mas sem estarem absolutamente conscientes disso, posto que se trata de esquemas fundamentais de comportamento – e, depois de raciocínio – antes de poderem chegar a converterem-se em objetos de reflexão. Torna-se, pois indispensável toda uma graduação para poder
passar da ação ao pensamento representativo, e uma série não menor de transições para passar do pensamento operatório à reflexão sobre
esse pensamento; o último escalão é então a passagem desta reflexão à axiomática (PIAGET, 1978, p.185,186 apud SOARES, 2001, p.52)
O ano do texto,1978, próximo do declínio do Movimento, leva-nos a crer que Piaget parece fazer um balanço do Movimento. Piaget faz esse alerta pois a Matemática Moderna procurou axiomatizar todo o ensino, entendendo que assim aproximaria a Matemática ensinada no Ensino Secundário à Matemática do Ensino Superior, preparando melhor os alunos que ingressariam nas Universidades.
sofreu intervenções do cotidiano escolar na elaboração, inserção e desenvolvimento do conteúdo para se tornar um elemento da disciplina escolar.
CAPÍTULO 3
Neste Capítulo temos como objetivo apresentar um panorama do desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos de acordo com textos de História da Matemática.
É notável a presença da Teoria dos Conjuntos em diversos momentos do
desenvolvimento da Matemática em sua história. Destacamos como uma possível primeira “aparição” da idéia de conjunto, ou coleção, no escrito matemático encontrado no cetro real do Rei Menés. Boyer (1974, p. 8) relata que o cetro se encontra em um museu em Oxford, e possui mais de 5000 anos.
O registro encontrado no cetro indica a captura de 120 000 prisioneiros e 1 422 000 cabras, números que podem, por um lado revelar um exagero e talvez certa desconfiança pela quantidade, por outro lado nos mostra a idéia, ainda que informalmente, de conjunto. Essa idéia informal se dá a partir do fato de que foi relacionada uma quantidade de prisioneiros e cabras que estão separadas em conjuntos distintos.
A idéia de Conjunto como toda Matemática, se desenvolveu passando por diversos momentos. Descreveremos as contribuições de Boole e de Cantor, como um marco importante no desenvolvimento desse conceito.
O estudo da Álgebra sofreu fundamentais mudanças em meados do século XIX, quando o matemático inglês George Boole (1815 – 1864) realizou a “liberação da Álgebra” (GARBI, 2006). Até então, a Álgebra era vista como uma área da Matemática que relacionava regras aplicáveis às operações aritméticas, quando Boole mostrou que a Álgebra também pode trabalhar com diversos outros entes, como Conjuntos e proposições de Lógica.
George Boole, nascido na Inglaterra, estudava Matemática e exercia docência desde os 16 anos no ensino primário. Durante seus estudos de Matemática percebeu que as regras e manipulações algébricas não precisavam ser tratadas apenas no âmbito numérico, mas também com os Conjuntos.
As manipulações ou regras estudadas por Boole e relacionadas aos conjuntos, podem ser observadas a seguir. Suponhamos que a e b são dois números reais que associaremos de duas maneiras, adição e multiplicação:
i. a + b (adição) ii. ab (multiplicação)
ii. a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b iii. ab = ba
iv. a(bc) = (ab)c = (ac)b v. a(b + c) = ab + ac entre outras.
Boole desenvolveu um tipo de raciocínio similar, porém aplicado aos conjuntos, representados por letras maiúsculas, onde definiu duas formas de associação, uma que pode ser denominada adição, porém é popularmente mais conhecida como União (A + B ou A B) e outra forma denominada produto ou Intersecção (AB ou A B).
Uma forma bastante simples e de fácil compreensão das operações com Conjuntos são os conhecidos diagramas de Venn, que não foram inventados pelo matemático inglês John Venn (1834 – 1923), mas foram inventados um século antes por Leonhard Euler (1707 – 1783). Podemos observar as operações com Conjuntos ilustradas com os diagramas 1 e 2 da figura 2:
A B A B
Diagrama 1 Diagrama 2
Figura 2: Exemplo de união e intersecção de conjuntos.
A primeira forma de associação, a União, se refere a tomarmos todos os elementos contidos no primeiro conjunto ou no segundo. Já a Intersecção se refere a tomarmos apenas os elementos contidos em ambos os conjuntos simultaneamente.
Utilizando a definição formal temos: i. x A B x A ou x B
ii. x A B x A e x B
i. A B = B A (comutativa)
ii. A (B C) = (A B) C = (A C) B (associativa) iii. A B = B A (comutativa)
iv. A (B C) = (A B) C = (A C) B (associativa)
Porém, muitas propriedades de operações definidas na álgebra não são análogas aos conjuntos, como:
i. A A = A ii. A A = A
Sendo que na Álgebra: i. a + a = 2a
ii. aa = a2
Boole, com essas considerações e percepções, contribuiu de forma substancial para a Teoria dos Conjuntos, pois outros matemáticos utilizaram seu raciocínio algébrico dos conjuntos para desenvolvimento de suas teorias.
O matemático que podemos denominar como uma figura maior no desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos foi Georg Cantor (1845 – 1918) nascido em S. Petersburgo na Rússia, de pais emigrados da Dinamarca, mas passou a maior parte da sua vida na Alemanha, pois sua família se mudara para Frankfurt quando tinha onze anos de idade. Cantor se interessou por questões de infinito e continuidade por influências de teólogos medievais, já que descendia de pais cristãos, mãe católica de nascimento e pai protestante. Tais influências fizeram com que Cantor não seguisse na “mundana” carreira de Engenheiro, como sugeria seu pai, e se concentrasse em Física, Filosofia e Matemática.
Cantor defendeu sua tese de doutoramento em Berlim no ano de 1867, com apenas 22 anos, onde mostrou uma atração pela análise de Weierstrass, já que sua tese tinha como tema a Teoria dos Números. As maiores contribuições de Cantor centram-se nas problemáticas questões de infinito.
Dedekind (1831 – 1916), amigo de Cantor e aluno de Weierstrass definiu que “um sistema S é infinito quando é semelhante a uma parte própria dele mesmo; caso contrário S se diz um sistema finito.” (DEDEKIND apud BOYER, 1974, p. 413).
conjunto. Como exemplo, podemos citar o conjunto IN* e seu subconjunto A dos quadrados perfeitos, onde cada elemento de IN* possui um único correspondente em A:
IN* – A
1 – 1
2 – 4
3 – 9
4 – 16
...
n – n2
...
Cantor, em 1874, publicou um de seus principais artigos onde reconhece a propriedade dos Conjuntos Infinitos, mas observou que eles não são todos iguais. Cantor desenvolveu uma hierarquia de conjuntos infinitos onde diz que alguns deles têm a mesma potência11 e outros têm potência maior.
Relacionado à potência dos conjuntos, pareciam os números Racionais serem muito mais ”numerosos” que os inteiros, mas Cantor também demonstrou, por correspondência biunívoca, que o conjunto dos números Racionais também pode ser posto em cardinalidade, ou seja, pode ter seus elementos postos em correspondência com os Naturais. Na figura a seguir fica clara a idéia da seqüência proposta por Cantor:
1 2 3 4 5 ...
1 1 1 1 1
1 2 3 4 ...
2 2 2 2
1 2 3 ...
3 3 3
1 2 ...
4 4
1 ... 5
Figura 3: Seqüência de números Racionais proposta por Cantor.
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Essa seqüência de números racionais pode ser colocada em correspondência biunívoca com os números Naturais, portanto, podemos dizer que existe a cardinalidade, ou que os números Racionais são enumeráveis.
Quanto aos números Reais, Cantor em 1874 respondeu que esses não podem ser colocados em correspondência biunívuca com os Números Naturais, ou seja, não podem ser enumerados. Sua demonstração se fundamentou em um raciocínio por absurdo.
