TEORIA DOS CONJUNTOS – EDISON FARAH

O livro Teoria dos Conjuntos escrito pelo professor Edison Farah (1961), então catedrático da cadeira de Análise Superior da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo, é mais um objeto de análise de como se apresentou a Teoria dos Conjuntos nos livros destinados ao Ensino Superior e que podem ter influenciado na constituição do ideário do Movimento da Matemática Moderna no Brasil.

Assim como na obra de Halmos, começamos nossa análise do livro de Edison Farah, observando suas considerações no Prefácio.

Farah começa o Prefácio com justificativas da produção do livro, afirmando que atendeu à sugestão de alunos, colegas e amigos e iniciou com Teoria dos Conjuntos uma série de publicações para interessados no assunto. Ainda no Prefácio, esse autor diz que não foi sua intenção desenvolver uma Teoria Axiomática dos Conjuntos. Assim como observamos no livro de Halmos, os autores se preocupam em alertar o leitor para a “informalidade” de suas obras, apesar de não serem tão informais em seu desenvolvimento.

O livro de Farah é composto de três capítulos, onde o primeiro trata de uma “Parte Geral da Teoria dos Conjuntos”, o segundo trata dos “Conjuntos Ordenados” e o terceiro dos “Números Transfinitos”.

Desses capítulos, ao primeiro será dada uma maior atenção na análise, pois trata justamente de noções gerais da Teoria dos Conjuntos e, são essas noções que encontraremos nos livros didáticos que estudaremos. O primeiro capítulo está dividido em nove partes que o autor classificou como parágrafos e inclusive utiliza o símbolo § para denotá-los.

O primeiro parágrafo trata das noções primitivas como: objeto (ou elemento), conjunto (ou classe), pertinência e igualdade. Farah afirma que adotou as definições, notações e terminologia do livro Théorie des Énsembles de Nicolas Bourbaki. (FARAH, 1961, p.1)

As noções primitivas são apresentadas de uma forma intuitiva e utilizando exemplos desde concretos aos mais abstratos. Conjunto é considerado como uma coleção de objetos e os elementos são os “objetos” que constituem os conjuntos. Os exemplos dados por Farah para conjuntos são: “o conjunto das páginas de um livro,

o conjunto dos pontos de uma reta, o conjunto das funções contínuas num intervalo.” (FARAH, 1961, p. 2)

Após a definição intuitiva de conjunto e elemento, Farah trata dos conceitos de pertinência e de igualdade, inclusive estabelecendo que as letras minúsculas são utilizadas preferencialmente para denotar elementos e as maiúsculas para conjuntos, pois os conceitos de pertinência e igualdade introduziriam a simbologia. O símbolo “” é estabelecido como representante da pertinência e o símbolo “=” como representante da igualdade.

O conceito de igualdade é interpretado por Farah como a expressão de que por exemplo, se x = y, então x e y designam o mesmo elemento. A esse conceito são apresentadas três características: a reflexão, a simetria e a transitividade. Assim como foram apresentados os símbolos “” para pertinência e “=” para igualdade, também foram apresentados “” para a não pertinência e “” para desigualdade.

A pertinência, igualdade, negação, conjunção e quantificador existencial com seus símbolos “, =, ~,  , ” respectivamente, são utilizados nas “frases” da Teoria dos Conjuntos. Segundo Farah: “As chamadas frases da Teoria dos Conjuntos (da teoria a ser desenvolvida aqui) são certas asserções sobre os elementos, feitas através de símbolos que os representam.” (FARAH, 1961, p. 2, grifo do autor).

Essa primeira parte (ou parágrafo) do primeiro capítulo se destina a definir alguns conceitos iniciais da Teoria dos Conjuntos e atribuir símbolos a esses conceitos.

A segunda parte tem como título: “Noções básicas sobre conjuntos” e trata de conceitos como relação de inclusão, igualdade de conjuntos, conjunto vazio, conjuntos binários e unitários e conjunto das partes de um conjunto dado.

A exposição desses conceitos acontece de maneira similar à primeira parte, onde Farah desenvolve o conceito introduzindo sua simbologia. A relação de inclusão é definida primeiro e, em seguida, é utilizada para que seja definida a igualdade entre conjuntos.

Dados os conjuntos A e B, diremos que A está contido em B (ou que B contém A) e escrevemos A  B (ou B  A) se todo elemento de A fôr também elemento de B. Em outras palavras, “A  B” significa: ( x) (x  A  x  B). (FARAH, 1961, p.13, grifos do autor).

A noção de conjunto vazio é introduzida com uma demonstração de que só existe um conjunto sem elementos, ou seja, o conjunto vazio é único.

Figura 4: União de conjuntos representada pelos diagramas.

Figura 5: Diferença de conjuntos representada pelos diagramas.

Ainda no § 2º, do item 10 ao 16 são apresentadas as operações Reunião, Intersecção e Complementar (conforme figuras 4, 5 e 6) seguidas de suas características simbólicas e propriedades operacionais como comutatividade, associatividade e distributividade.

Neste item observamos a primeira aparição dos Diagramas de Euler/Venn com o objetivo de exemplificar as operações, porém, Farah não os introduz com a denominação de diagrama.

A figura 4 mostra a primeira aparição dos diagramas para elucidar a reunião de conjuntos, porém o termo diagrama ainda não é empregado, sendo utilizada a palavra círculo em seu lugar.

Nas figuras 5 na página 55 e 6 é notável a preocupação de Farah em não utilizar a terminologia de diagrama. Ele usa o termo disco no lugar de diagrama, quando realiza a apresentação dos conceitos de diferença de conjuntos e complementar. Esse é um indício da preocupação com a formalidade de não utilizar um conceito, ou termo sem antes defini-lo, o que fortalece a caracterização de que seu livro traz uma apresentação focada na formalidade da Teoria dos Conjuntos.

Figura 6: Complementar de conjuntos representado pelos diagramas.

O § 3º tem como foco, introduzir os números naturais apresentando suas características com proposições, demonstrações, definições e teoremas de uma maneira abstrata e rigorosamente formal. Nas páginas 39 e 40 ele propõe alguns exercícios utilizando a mesma formalidade anterior.

O § 4º trata das relações, funções e conjuntos equipotentes, finitos, infinitos e enumeráveis. Para que esses conceitos fossem definidos, Farah inicia com a definição de Par Ordenado e em seguida define o conceito de relação determinada por frases, uma maneira diferente de apresentar esse conceito, que em outras obras

é apresentado após a definição de produto cartesiano sendo introduzido como subconjunto do produto cartesiano.

O conceito de função é apresentado em seguida:

Seja f uma classe de pares ordenados cujos primeiros elementos formem um conjunto não vazio E. Se, então, para cada x  E existir um e somente um y verificando {{x}, {x, y}}  f, diremos que f é uma função definida em E. O elemento y para o qual {{x}, {x, y}}  f é o valor da função f para o elemento x  E, e se designa por f(x). O elemento f(x) se diz também o correspondente ou a imagem de x pela função f, a qual associa ao elemento x o elemento f(x). O conjunto E é o campo de definição de f, enquanto que o conjunto dos valores de f é a classe dos f(x) com x  E, isto é, precisamente o conjunto dos segundos elementos dos pares pertencentes a f. (FARAH, 1961, p.44, grifos do autor).

Produto Cartesiano só é definido no § 5º após o desenvolvimento de famílias e seqüências.

3.1.3. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS – BENEDITO