A assim chamada “proposic¸˜ ao matem´ atica”
O ELO FORTE ENTRE A PROPOSIC ¸ ˜ AO MATEM ´ ATICA E SUA PROVA
Nas PhBm, Wittgenstein estabelece um v´ınculo bastante forte entre o sentido de uma proposi¸c˜ao matem´atica e sua prova. Decorre disso que a proposi¸c˜ao n˜ao tem um sentido independentemente do modo pelo qual ela ´e provada. A prova ´e o modo pelo qual uma proposi¸c˜ao matem´atica ´e verificada e a verifica¸c˜ao n˜ao ´e apenas um ind´ıcio (Anzeichen) de verdade, mas do sentido da proposi¸c˜ao∗. Wittgenstein sugere que a proposi¸c˜ao
matem´atica seja entendida como uma indica¸c˜ao (Hinweis) de uma prova (Beweis)†.
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E como se a proposi¸c˜ao matem´atica indicasse algo, de longe, `a distˆancia, enquanto a prova indicasse o mesmo, por´em, de perto, em contato com aquilo que ´e indicado; como se a proposi¸c˜ao apontasse para uma escada‡, e a prova percorresse degrau por degrau
da escada.
A no¸c˜ao de “prova”, no entanto, parece receber dois tratamentos prima facie incompat´ıveis no decorrer da obra. Em alguns momentos, a no¸c˜ao de prova ´e submetida a restri¸c˜oes extremamente r´ıgidas, as quais constituiriam o fundamento de uma demons- tra¸c˜ao cogente e correta. Algumas passagens do fim do cap´ıtulo XIV s˜ao suficientes para ilustrar esta preocupa¸c˜ao com a rigidez do conceito de prova na matem´atica:
A indu¸c˜ao n˜ao prova a proposi¸c˜ao alg´ebrica, pois apenas uma equa¸c˜ao pode provar uma equa¸c˜ao.§
Uma equa¸c˜ao pode apenas ser provada remontando-a a equa¸c˜oes. As ´ultimas equa¸c˜oes neste processo s˜ao defini¸c˜oes.
Se uma equa¸c˜ao n˜ao ´e redut´ıvel a outras equa¸c˜oes, ent˜ao ela ´e uma defini¸c˜ao. Uma indu¸c˜ao n˜ao pode justificar uma equa¸c˜ao.¶
Este “rigor”k a que o conceito de prova de uma equa¸c˜ao ´e submetido, aliado
ao reducionismo equacional j´a mencionado, forneceria, ent˜ao, a forma geral da prova
∗PhBm, XIV−166d. Cf. tb. WWK, p. 33: “Es gibt in der Mathematik nicht erstens einen Satz,
der schon f¨ur sich allein Sinn h¨atte, und dann noch zweitens die Methode, um die Wahrheit oder
Falschheit eines Satzes festzustellen, sondern es gibt nur die Methode, und das, was Satz genannt wird,
ist nur ein abgek¨urzter Name f¨ur die Methode”.
†PhBm, PhBm XI−122e.
‡Cf. ibid., XIII−152n: “Jeder rechtm¨aßige Satz der Mathematik muß, wie der Satz 12 × 13 = 137,
an sein Problem die Leiter anlegen – die ich dann hinaufsteigen kann, wenn ich will”.
§ibid., XIV−167d .
¶ibid., XIV−169e .
kNas p´aginas finais do WAii, ao comentar a prova de Euler para a existˆencia de infinitos n´umeros
de uma proposi¸c˜ao matem´atica. Toda equa¸c˜ao seria correta ou incorreta, em ´ultima instˆancia, em virtude de estipula¸c˜oes arbitr´arias, chamadas de defini¸c˜oes.
Por outro lado, em outros momentos a no¸c˜ao de “prova” parece ser, por assim dizer, “afrouxada”, de tal modo que a constru¸c˜ao de diagramas ou, ainda, a mani- pula¸c˜ao das contas de um ´abaco passam a ser chamadas tamb´em de “provas” de uma proposi¸c˜ao matem´atica. Seguem-se, abaixo, trˆes exemplos de diagramas∗ (presentes,
respectivamente, nos par´agrafos 111, 117 e 200 das PhBm) que constituem a prova da proposi¸c˜ao matem´atica correspondente:
11
3 = 3 + 2
3 4 × 3 = 12 7 ´e um n´umero primo
Qual seria, no entanto, a justificativa para se chamar estes diagramas de “provas”? Em virtude do quˆe eles provam a proposi¸c˜ao matem´atica correspondente? Uma primeira resposta, que aproximaria o diagrama da prova “rigorosa”, seria dizer que o que importa no diagrama n˜ao ´e apenas a figura, mas o modo pelo qual ela ´e constru´ıda a partir de outros elementos do mesmo sistema de c´alculo. E este processo de constru¸c˜ao ´e certamente governado por certas regras que, se expressas, assumiriam a forma de equa¸c˜oes. Esta resposta faria juz `a importˆancia da constru¸c˜ao do diagrama, `a ideia wittgensteiniana de que, na matem´atica, “processo” e “resultado” s˜ao insepar´aveis. E estas observa¸c˜oes s˜ao inteiramente corretas. Entretanto, elas n˜ao respondem a quest˜ao colocada. A resposta acima alega t˜ao somente que, do mesmo modo que a equa¸c˜ao pode ser obtida a partir das defini¸c˜oes, o diagrama pode ser obtido a partir de certas regras de constru¸c˜ao. Mas, neste caso, o diagrama n˜ao seria a prova da proposi¸c˜ao matem´atica correspondente, mas, no m´aximo, a proposi¸c˜ao matem´atica escrita em outro simbolismo. O que ´e preciso mostrar, por´em, ´e precisamente por que a proposi¸c˜ao matem´atica, escrita em certo simbolismo, pode valer como a sua pr´opria prova. Mais especificamente, o que se trata de mostrar ´e por que a proposi¸c˜ao matem´atica, quando
n˜ao tem absolutamente nenhum conceito de “rigor” (Strenge), que a satisfa¸c˜ao do matem´atico com a
prova de Euler reside apenas em uma dimens˜ao psicol´ogica da prova, e n˜ao em uma caracter´ıstica pro-
priamente matem´atica. Evidencia-se, nestes coment´arios, mais uma vez a preocupa¸c˜ao de Wittgenstein
com o rigor de uma prova na matem´atica. Cf. WAii, p. 322.
∗Por raz˜oes ´obvias, diagramas espaciais ser˜ao privilegiados em detrimento de manipula¸c˜oes tempo-
escrita em um simbolismo com a multiplicidade adequada, o que ocorre em sua forma completamente analisada, ´e, segundo Wittgenstein∗, a sua pr´opria prova (isso implica a
equivalˆencia entre a falsidade de uma equa¸c˜ao e a impossibilidade de ela ser expressa em certo simbolismo). Abordaremos esta quest˜ao na Se¸c˜ao seguinte.