WITTGENSTEIN E O LOGICISMO

Wittgenstein e as trˆes escolas cl´ assicas

Nos diálogos de Wittgenstein, nas PhBm e nos respectivos manuscritos, com os três grandes expoentes do logicismo (Frege, Russell e Ramsey), algo se deixa notar pela ausência: o termo “logicismo” não ocorre uma vez sequer, nem vinculado a um destes três nomes, tampouco isoladamente. Esta ausência é, contudo, justificável: por um lado, o termo, hoje tão corriqueiro, não era unanimidade∗ _{à época; por outro lado, não}

fazia parte do estilo do filósofo austr´ıaco o uso meton´ımico do termo “logicismo” para se referir à doutrina de filósofos tão próximos, com os quais ele teve a oportunidade de conversar diretamente. O emprego dos termos referentes às outras duas escolas – cujo uso era mais difundido à época – também é raro: o termo “formalismo” ocorre uma ´_{unica vez (PhBm, XI−121b), enquanto o termo “intuicionismo” é encontrado duas} vezes, e apenas nos manuscritos (WAi, pp. 101 e 125).

Ainda que Wittgenstein não tenha se referido explicitamente a uma doutrina logicista nestes textos, é poss´ıvel mostrar que suas reflexões tocam o núcleo do programa logicista, bem como procuram retirar a motiva¸cão por trás deste programa. O slogan do logicismo, em uma formula¸cão bastante geral, é “[Parte da] matemática é [redut´ıvel à] lógica”. A ideia de uma redu¸cão traz consigo a ideia de um fundamento: sendo a matemática (ou parte dela) redut´ıvel à lógica, o fundamento da verdade das proposi¸cões matemáticas (ou de parte delas) é a lógica. A nega¸cão desta tese seria, portanto, a de que o fundamento da verdade destas proposi¸cões matemáticas não é a lógica (e sim, p. ex., uma intui¸cão pura, ou, então, um reino matemático intang´ıvel e independente da lógica etc.). Como vimos no primeiro Cap´ıtulo deste estudo, a justificativa de Frege para a plausibilidade desta redu¸cão (para o caso da aritmética) provinha da extensão do campo de aplica¸cão da aritmética, que não se reduzia a objetos intu´ıveis ou a objetos ideais, mas abarcava todo tipo de objeto, seja ele f´ısico ou etéreo. Sendo a aritmética aplicável a todo e qualquer dom´ınio, a nega¸cão das leis aritméticas levaria, assim como no caso de uma lei lógica, à impossibilidade de um pensar, de um raciocinar (independentemente do dom´ınio sobre o qual este pensamento se debru¸ca). A aritmética deveria, assim, juntar-se à lógica enquanto “ciência primeira”: não primeira enquanto universal, mas primeira e, por consequência, universal. As leis aritméticas, assim como as leis lógicas, constituem o quadro formal de todo o discurso, de todo o pensamento, e devem ser, por isso, anteriores a todo discurso, a todo pensamento. Mas, uma vez que é da natureza de uma “ciência primeira” ser única, singular, de duas coisas uma: ou as leis lógicas

∗_{Ramsey, em seu influente artigo de 1925The Foundations of Mathematics, preferiu usar a express˜ao}

seriam leis aritméticas, e a aritmética seria consequentemente a ciência protológica do discurso, ou as leis aritméticas nada seriam senão consequências sofisticadas de leis lógicas básicas, sendo a lógica, portanto, o fundamento da aritmética. A segunda alternativa se apresenta como consequência de uma constata¸cão trivial: a aritmética investiga proposi¸cões e se interessa pelo seu valor de verdade. Na medida em que a lógica é a ciência do “ser verdadeiro”, a aritmética deve pressupô-la, jamais fundamentá-la. Soma-se a isso o fato de que a aritmética aparentemente aplica os modos de inferência lógicos para deduzir seus teoremas, sendo ileg´ıtima, portanto, a pretensão de justificá-los a partir do cálculo aritmético.

Wittgenstein concorda com as premissas do argumento. Em primeiro lugar, Wittgenstein subscreve a ideia de que não é poss´ıvel colocar limites para a aplica¸cão da aritmética: “O que depõe contra demarcar o dom´ınio de aplica¸cão [da aritmética] é o sentimento de que podemos entender a aritmética sem ter em vista tal dom´ınio”∗_.

Em segundo lugar, Wittgenstein também concorda com a ideia de que a aritmética é anterior ao discurso, e que este apenas se constitui em harmonia com as leis aritméticas. Não obstante esta dupla concordância, Wittgenstein recusa a conclusão do argumento: a aritmética não é redut´ıvel à lógica, a verdade das proposi¸cões aritméticas não é deduz´ıvel a partir de leis lógicas básicas, a lógica não é o fundamento da aritmética. Essa formula¸cão, entretanto, precisa ser qualificada, afinal, em certo sentido, a matemática – logo, a aritmética – é lógica e, portanto, a ideia de redu¸cão sequer entraria na pauta da discussão.

Não são poucas as vezes em que Wittgenstein trata ambas as disciplinas – lógica e matemática – como uma unidade para a qual são válidos diversos racioc´ınios. Se não há, na matemática, uma dualidade entre lei e série infinita que dela se segue, é porque não há, na lógica, descri¸cão e efetividade†_{. Da hipótese de que Deus pudesse saber}

algo, na matemática (e.g., a distribui¸cão dos n´umeros primos), que nós não pudéssemos saber, decorreria – o que, aos olhos de Wittgenstein, é um absurdo – a existência de algo, na lógica, que nós não poder´ıamos saber, mas que poderia ser conhecido‡_{. O}

método para se encontrar a solu¸cão de um problema matemático, na ausência do qual este problema não teria sentido, é um método lógico§_{. Mesmo o n´}_{umero, talvez o}

conceito mais fundamental da matemática, é de responsabilidade da lógica¶_{; o conceito}

formal [1, ξ, ξ + 1] é um conceito lógicok_{. Em todos estes casos, a unidade entre lógica e} ∗

PhBm, X−109j .

†_{Cf. ibid., XVI−180b. Cf. tb. WAii, p. 27: “(...) in der Logik gibt es nicht Beschreibung und}

Gegenstand. Ist π′ gleich π dann ist es wesentlich gleich π und dann muß die Andeutung die in ihm

liegt, es k¨onne von π verschieden sein unsinnig sein”.

‡

Cf. PhBm, XV−174d.

§_{Cf. ibid., XIII−149f.}

¶_{Cf. ibid., XII−126c.}

matemática se justifica pelo fato de ambas as disciplinas concorrerem para estabelecer – em uma acep¸cão bastante ampla – as condi¸cões de possibilidade do sentido proposicional, do discurso apto à verdade e à falsidade.

Ora, se matemática é, nesse sentido, também lógica, em que sentido a aritmética não é redut´ıvel à lógica? A resposta para esta questão se deixa entrever na insistência de Wittgenstein em separar as no¸cões de “equa¸cão verdadeira” e “tautologia”∗_{. Tautologias}

são proposi¸cões da lógica calculadas por meio do cálculo com opera¸cões de verdade. O que Wittgenstein recusa é a redutibilidade do cálculo aritmético ao cálculo com opera¸cões de verdade. Isso significa, como afirma Gallerani Cuter, que a aritmética “não precisa (e tampouco poderia) encontrar seu fundamento fora dela – na lógica das fun¸cões de verdade, por exemplo. A aritmética deve cuidar de si mesma, como tudo aquilo que pertence ao dom´ınio da lógica”†_{. A aritmética pertence ao dom´ınio da lógica;}

a verdade das proposi¸cões da aritmética não é justificada pelo cálculo com opera¸cões de verdade.

Mas qual é a motiva¸cão do logicista para esta redu¸cão? A aplicabilidade universal da aritmética. Contudo, esta caracter´ıstica serve, de in´ıcio, apenas como razão heur´ıstica para creditar à aritmética um fundamento lógico. A legitimidade desta aplicabilidade geral deve, na verdade, ser justificada, e esta justifica¸cão toma a forma, no projeto logicista, de uma redu¸cão da aritmética ao cálculo lógico, pois da aplicabilidade universal da lógica não se duvida. Inversamente, se porventura a aritmética não fosse redut´ıvel à lógica, a verdade das proposi¸cões aritméticas deveria repousar sobre outro tipo de fundamento – não lógico –, o que limitaria a aplica¸cão da aritmética a dom´ınios de onde provém este fundamento, tal como ocorre, de acordo com Frege, com as proposi¸cões geométricas (cuja verdade depende de nossa intui¸cão do espa¸co, sendo, portanto, aplicáveis apenas ao espa¸co).

O racioc´ınio acima, no entanto, repousa sobre pressupostos que Wittgenstein contesta. Em primeiro lugar, o de que haveria na lógica, bem como na matemática, verdades fundadas e verdades fundantes. Já no Tractatus, Wittgenstein faz questão de notar que “Todas as proposi¸cões da lógica têm os mesmos direitos. Não há, entre elas, o que seja essencialmente lei básica ou proposi¸cão derivada. Toda tautologia mostra, ela própria, que é uma tautologia”‡_{. No aforismo seguinte, Wittgenstein critica Frege por}

∗_{A despeito desta insistˆencia, alguns membros do c´ırculo de Viena, bem como o matem´atico G.}

H. Hardy, atribu´ıam a tese de que as proposi¸cões matemáticas são tautologias a Wittgenstein. Wolfe

conta a história de que, em uma conferência dada por Hardy no ano de 1940 em Cambridge, este atribuiu a Wittgenstein a tese acima para, em seguida, discordar dela. Wittgenstein, que estava na platéia, apontou para si próprio e interpelou, incrédulo: “Quem, eu?”. Mays Wolfe: Recollections of Wittgenstein, em: K. T. Fann (ed.): Ludwig Wittgenstein: The Man and his Philosophy, New Jersey: Humanities Press, 1967, p. 82.

†_{Jo˜ao Verg´ılio Gallerani Cuter: Le programme philosophique sous-jacent aux Remarques philo-}

sophiques, em: Philosophiques, 39.1 (2012), p. 73.

ter recorrido ao grau de evidência como critério para adotar suas “leis lógicas básicas”. E, em maio de 1930, em uma observa¸cão bastante próxima, o racioc´ınio é estendido para a matemática:

A lógica e a matemática não repousam sobre axiomas; tampouco um grupo repousa sobre os elementos e opera¸cões que o definem. Nisto repousa o erro de considerar a autoevidência das leis básicas como um critério de corre¸cão na lógica.

Um fundamento que n˜ao repousa sobre nada ´e um mau fundamento.∗

Isso não impede que Wittgenstein procure explicar o papel dos axiomas nos sistemas axiomáticos modernos. De modo algum, entretanto, eles seriam “proposi¸cões” cuja verdade fundamentaria as proposi¸cões delas derivadas. Na álgebra, por exemplo, Wittgenstein fala de “regras básicas” (Grundregeln) e proposi¸cões derivadas. Mas estas regras básicas são defini¸cões, por meio das quais se pode proceder em um cálculo. Enquanto defini¸cões, estas regras básicas não carecem de fundamento: são estipula¸cões arbitrárias. Também as equa¸cões que o cálculo prova não carecem de fundamento: elas valem incondicionalmente. A deriva¸cão a partir de certas premissas ou de equa¸cões verdadeiras já provadas é completamente inessencial para se provar uma proposi¸cão matemática. O essencial é que ela tenha uma análise completa, uma prova que seja constru´ıda com o aux´ılio das defini¸cões. E não se pode dizer que as defini¸cões constituem o fundamento da equa¸cão provada, pois as defini¸cões não são propriamente condi¸cões de verdade da equa¸cão (uma condi¸cão de verdade é verdadeira ou falsa, uma defini¸cão não é nem verdadeira nem falsa), mas condi¸cões de sentido da equa¸cão, da proposi¸cão matemática. Em outras palavras, não é o caso da equa¸cão ser falsa na ausência da defini¸cão: faltar-lhe-ia um sentido.

Deste modo, não apenas a lógica não é o fundamento da aritmética, mas também cada proposi¸cão da lógica não se funda sobre outra proposi¸cão da lógica, e o mesmo vale, mutatis mutandis, para a aritmética. Não há uma hierarquia na lógica e na matemática de acordo com a qual certas proposi¸cões se seguem de outras mais básicas, mais fundamentais (no sentido estrito em que se pode dizer que a verdade de uma proposi¸cão se segue logicamente da verdade de outra). Diferentemente dos edif´ıcios cient´ıficos, em que há proposi¸cões de base e proposi¸cões que delas se seguem, na lógica e na matemática não há n´ıveis: todas as proposi¸cões verdadeiras se encontram no mesmo n´ıvel com os mesmos direitos. São todas logicamente independentes umas das outras. O segundo pressuposto que Wittgenstein contesta é a ideia de que o predicado “ser verdadeiro” é aplicado com o mesmo sentido no caso das proposi¸cões da lógica e no caso das proposi¸cões matemáticas. Embora a verdade de uma tautologia não seja algo que dependa de como o mundo é, já que isso pode ser decidido mediante a mera

inspe¸cão do s´ımbolo por meio da qual ela é expressa, o cálculo que é responsável por essa decisão trabalha com proposi¸cões emp´ıricas, para as quais “ser verdadeiro” é “dizer como o mundo é”. Diferentemente do cálculo lógico com fun¸cões de verdade, o cálculo matemático não trabalha diretamente com a verdade ou a falsidade de proposi¸cões emp´ıricas, mas apenas com formas proposicionais, e os elementos do cálculo não são definidos a partir dos contextos proposicionais dos quais eles fazem parte, mas apenas a partir da forma que eles assumem quando aplicados a estes contextos proposicionais: “Quero dizer: os n´umeros só podem ser definidos a partir de formas proposicionais, independentemente da questão de quais proposi¸cões são verdadeiras ou falsas”∗_.

Assim, o “ser verdadeiro” de uma tautologia não se confunde com o “ser verdadeiro” de uma equa¸cão. O primeiro corresponde simplesmente a mostrar que as opera¸cões de verdade resultaram na dissolu¸cão do sentido proposicional: a tautologia deixa de fazer um recorte no espa¸co lógico, deixa de ser uma decisão a respeito de como as coisas são. Já o “ser verdadeiro” de uma equa¸cão corresponde a construir uma estrutura através da análise completa desta equa¸cão; não há, aqui, dissolu¸cão do sentido proposicional, já que não se fala de proposi¸cões factuais em nenhuma etapa desta análise.

Na Se¸cão seguinte, procuraremos tecer algumas considera¸cões sobre esta irre- dutibilidade de equa¸cões a tautologias para, na Se¸cão subsequente, voltar à questão da aplicabilidade universal da aritmética, desta vez não para lan¸car um olhar cr´ıtico no modo pelo qual Frege conduziu esta questão, mas para esclarecer a posi¸cão de Wittgenstein acerca dela.

No documento ATICA DAS PHILOSOPHISCHE BEMERKUNGEN : WITTGENSTEIN NO CONTEXTO DA GRUNDLAGENKRISE (páginas 178-182)