B.10 Desvios das correntes para exemplo 5.3.2 COUENNE c/ Ponto Inicial
3.2 Correção condicional do comprimento de tubulação
4.2.2 Empilhamento de trocadores de calor
Quando trocadores de calor forem empilhados é construído uma estrutura que suporta o trocador de calor, sendo a altura (φ) desta estrutura o espaçamento xado no eixo vertical.
A gura 4.3 ilustra duas integrações distintas, com os trocadores de calor, arbitrariamente posicionados, Am,1 e Am,2, empilhados e separados por uma altura |Ay,m,1− Ay,m,2|.
Figura 4.3: Espaçamento vertical
O empilhamento de vários trocadores de calor di culta e encarece sua manutenção e por este motivo, no presente trabalho, o empilhamento somente será efetuado em pares de trocadores de calor.
O modelo deve tomar a decisão de empilhar ou não os pares de trocadores de calor, de modo que se for empilhado o espaçamento horizontal não existirá e o espaçamento vertical será aplicado e se não empilhar vice e versa, de acordo com o uxograma da gura 4.4.
Par de trocadores de calor será empilhado?
Aplica Altura de
Empilhamento Aplica espaçamentoHorizontal
SIM NÃO
Figura 4.4: Método de espaçamento
Para representar esta tomada de decisão será utilizada variáveis binárias que apresentarão valor unitário quando o empilhamento for realizado e nulo se não for empilhado. Assim, uma matriz de variáveis binárias E que descreve as combinações de pares de trocadores de calor n, h como está exempli cado na matriz da equação 4.16, considerando 3 integrações possíveis, sendo que os trocadores de calor das integrações 1 e 3 serão empilhados. Eh,h = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 (4.16)
Esta matriz cobre todas as possibilidades de integração inclusive algumas que são impossíveis, como empilhar trocadores de calor da mesma integração, representados pela diagonal da matriz. Deste modo, os valores da diagonal da matriz binária devem ser igual a 0. Westerlund & Papageorgiou (2002) estudaram a in uencia da simetria em problemas de layout e concluiu que ela diminui a performance do algorítimo de resolução. Desse modo, como os valores acima da diagonal são redundantes em relação aos abaixo da diagonal porque descrevem o mesmo par de trocadores de calor assume-se que as variáveis abaixo da diagonal serão iguais a zero de acordo com a restrição da equação 4.17.
Em,n,h = 0 para todo h ≥ n (4.17)
Por nal, a mesma integração não pode realizar mais de um empilhamento, ou seja, traduzindo isto para linguagem matemática, somente pode existir um valor unitário na matriz E para cada linha e coluna de uma integração, como descrito pela
equação4.18. n
X
(Em,h,n+ Em,n,h) ≤ 1para cada m e para toda combinatoria de m 6= h (4.18)
Após ter tomado a decisão do empilhamento ou não pela matriz de binários E é necessário especi car as restrições espaciais para cada uma das ações, já que a decisão de uma anula a outra.
Desta forma, quando decide-se empilhar os trocadores de calor eles não deverão ter um distanciamento seguro horizontal e a equação 4.15 deve ser alterada, adicionando a matriz de decisão de empilhamento E de modo a anular a distância no eixo horizontal quando E para o par de m e n for 1, de acordo com a equação 4.19.
|Am,z,n− Am,z,h| ≥ S(1 − Em,n,h) para cada m e para combinatória de h 6= n (4.19)
Entretanto, os trocadores de calor empilhados não terão espaçamento horizon- tal, mas necessitam de espaçamento vertical devido ao empilhamento.
O espaçamento vertical é de nido de acordo com a altura da estrutura do suporte φ, como mostra a equação 4.20, porém a coordenada de posicionamento do trocador de calor no eixo vertical Ay,m,h já foi limitada anteriormente pela equação 2.1(página 28), assim, os limites superiores das coordenadas verticais dos trocadores de calor empilhados deve ser expandidos quando houver o empilhamento de acordo com a equação 4.21.
|Am,y,n− Am,y,h| ≥ φEm,n,h para todo h ≥ n (4.20) Am,y,h ≤ As,m,y+ φ
n X
(Em,h,n+ Em,n,h) para todo h ≥ n (4.21)
Quando um par de trocadores de calor estiver empilhado o espaçamento deve ser aplicado no eixo vertical e as coordenadas dos outros dois eixos devem ser iguais, para garantir que os trocadores não quem deslocados um do outro. A equação 4.22 satisfaz estas condições igualando as coordenadas dos trocadores de calor quando E for unitário e permitindo que elas sejam diferentes (η é um valor grande) quando E for nulo.
Como as restrições de empilhamento e espaçamento somente são aplicadas quando trocadores de calor estão alocados nos mesmo locais é necessária uma restrição que descreva esta situação matematicamente como a da equação 4.23. Ela garante a premissa porque se a variável E apresentar valor unitário as variáveis β para os trocadores de calor n e h necessariamente serão unitárias para o local disponível m comum.
βm,n+ βm,h− 2Em,n,h ≥ 0 para todo h ≥ n e para cada m (4.23)
Adicionando estas restrições às equações expandidas do capítulo 3 o modelo completo de minimização está descrito abaixo, sendo o índica "q" referente à corrente quente, o índice "f" ao trecho frio, i o eixo de espaçamento e índices n e h representando
as integrações. min(LT) = min 2 h X m X k X βm,h αm,k,h Lq,p,m,k,h + 2 h X m X j X βm,h αm,j,h Lf,p,m,j,h Sujeito a: Lq,p,h,m,k = Lq,h,m,k+ Pq,h,m,k(∆xq,p,h,m,k− ∆xq,h,m,k)+ Rq,h,m,k(∆yq,p,h,m,k− ∆yq,h,m,k) + Wq,h,m,k(∆zq,p,h,m,k− ∆zq,h,m,k) Lf,p,h,m,j = Lf,h,m,j+ Pf,h,m,j(∆xf,p,h,m,j − ∆xf,h,m,j)+ Rf,h,m,j(∆yf,p,h,m,j− ∆yf,h,m,j) + Wf,h,m,j(∆zf,p,h,m,j− ∆zf,h,m,j)
Ai,ω,m ≤ Aω,h,m ≤ As,ω,m para cada m e para combinatória de ω 6= y Ai,y,m ≤ Ay,h,m ≤ As,y,m+ φ
n X
(Em,h,n+ Em,n,h)para cada m e cada h |Ay,m,n− Ay,m,h| ≥ φEm,n,h para cada m e para combinatória de h ≥ n S(1 − Em,n,h) ≤ |Am,i,n− Am,i,h| ≤ γ(1 − Em,n,h) para cada m, todo h ≥ n Cq,i,k,h ≤ Cq,k,h ≤ Cq,s,k,h
Cf,i,j,h≤ Cf,j,h≤ Cf,s,j,h
Em,n,h = 0 para cada m e para todo h ≥ n
− 2Em,n,h+ βm,n+ βm,h ≥ 0 para todo m e para toda combinatória de h ≥ n k
X
βq,m,k,h = 1 para todo m e todo h j
X
βf,m,j,h = 1 para todo m e todo h k
X
αq,m,k,h = 1 para todo m e todo h j
X
αf,m,j,h = 1 para todo m e todo h m
X
βm,h = 1 para todo h
4.3 Exemplo de aplicação
Considerando os dados no exemplo 3.3, adiciona-se uma nova integração h=2 que é a interligação da mesma corrente fria da integração h=1, do bombeamento P- 201A/B até o trocador de calor E-201, com a corrente quente, do trocador de calor
E-202 até o E-203. Porém, considera-se a disponibilidade somente do local m=1 para alocação de trocadores de calor, como ilustra a gura 4.5.
Figura 4.5: Perspectiva do layout do exemplo 4.3
Aplicaremos o modelo descrito neste capítulo para decidir se é melhor empilhar os dois trocadores de calor ou não para um determinado cenário.
A altura do pipe rack Yp é de 4 metros, o ponto de referência de roteamento da tubulação no pipe rack Xp será -1, o espaçamento seguro de trocadores de calor S será de 1,5 metros e a altura do empilhamento φ será de 3 metros. As correções em relação ao pipe rack foram de nidas de acordo com o posicionamento relativo do local disponível, das correntes e do pipe rack, resultando nas matrizes das equações 4.24,
4.25, 4.26, 4.27 4.28, 4.29 e 4.30. Pf,m,j,1 = h 1 1 1 1 1 i (4.24) Rf,m,j,1 = h 1 1 1 1 1 i (4.25) Rq,m,k,1 = h 1 1 i (4.26) Pf,m,j,2 = h 1 1 1 1 1 i (4.27) Rf,m,j,2 = h 1 1 1 1 1 i (4.28) Pq,m,k,2 = h 1 1 0 0 0 i (4.29) Rq,m,k,2 = h 1 1 0 0 1 i (4.30)
As possibilidades de posicionamento dos trocadores para cada um dos locais disponíveis foram arbitrariamente posicionados de acordo com a tabela 4.1. Os pontos de desvio das correntes da integração 1 serão os mesmos do exemplo 4.3 e para a integração 2 foram arbitrariamente posicionados de acordo com a tabela 4.2.
Tabela 4.1: Posições pré-de nidas
x y z
A1,1 6,0 0,5 3,0 A1,2 6,0 0,5 3,0
Tabela 4.2: Pontos de desvios pré-de nidos k ou j x y z Cq,k,1 1 −5,05 2,25 9,00 2 −5,05 2,25 6,50 Cq,k,2 1 4,70 2,50 14,00 2 3,00 4,00 14,00 3 −1,30 4,00 16,00 4 −2,55 4,00 18,00 5 −3,8 2,63 18,00 Cf,j,1 1 1,00 1,54 11,00 2 1,00 2,00 11,00 3 4,45 2,00 11,00 4 4, 45 2,00 12,00 5 5,95 2,00 12,00 Cf,j,2 1 1,00 1,77 11,00 2 2, 73 2,00 11,00 3 4,45 2,00 11,50 4 5, 20 2,00 12,00 5 5,95 1,63 12,00
A gura 4.6 ilustra a planta deste exemplo destacando o posicionamento do pipe rack, o local disponível 1, os pontos de alocação A1 e A2 para as duas integrações e os pontos de desvio das correntes Cs de acordo com o cenário escolhido.
Figura 4.6: Planta do exemplo 4.3
Primeiramente iremos calcular o comprimento de tubulação gasto para ligar os dois trocadores de calor às corrente sem o empilhamento(E1,2 = 0) e isto implica que a restrição de distanciamento seguro, equação 4.19, seja atendida. Como os pontos de alocação A1,1 e A1,2, arbitrariamente selecionados, não atendem às condições da restrição 4.19 criam-se quatro possibilidades: o trocador da integração h=1 será alocado no valor previamente descrito e o trocador h=2 será deslocado para a distância de segurança ou vice-versa como ilustra a gura 4.7.
Figura 4.7: Layout possíveis de espaçamento
O comprimento de tubulação é calculado de acordo com o procedimento do exercício 3.3 para cada uma das situações descritas na gura 4.7 e o resultado está sumarizado na tabela 4.3.
Tabela 4.3: Comprimento de tubulação de espaçamentos
Trocador Central
h=1 h=2
Situação +1,5 -1,5 +1,5 -1,5
Comprimento de tubulação (m) 85,83 91,83 86,29 91,83
Assim, a melhor situação é posicionar o trocador da integração h=2 na coordenada inicial e deslocar o trocador de calor da integração h=1 somando o espaçamento de segurança S. Além disso, percebe-se que existem dois comprimentos de tubulações iguais, mostrando a existência de resultados mínimo iguais o que pode di cultar que algorítimos de resolução encontrem um mínimo global.
Agora considerando o empilhamento dos trocadores de calor E1,2 = 1, as coordenadas dos trocadores devem estar de acordo com a equação 4.20 o que cria duas possibilidades para o layout ilustrados na gura 4.8.
Figura 4.8: Layout possíveis de empilhamento
O comprimento de tubulação é calculado de acordo com o procedimento do exercício 3.3 para cada uma das duas possibilidades e o resultado está sumarizado na tabela 4.4.
Tabela 4.4: Comprimento de tubulação cada empilhamento
Empilhamento de 2 Empilhamento de 1
82,83 82,83
Para este cenário, as duas possibilidades necessitam de comprimentos de tubulação iguais, rea rmando a possibilidades de mínimos iguais, além de que empilhar os trocadores, para este cenário, resulta no menor comprimento de tubulação, de 82,83 metros, um total de 165,7 metros e com a matriz de binários na equação 4.31. O layout deste resultado está ilustrado na gura 4.9 com as duas tubulação para cada local disponível de modo que a linha pontilhada representa a integração h=2 e a linha contínua a integração h=1. Eh,h= " 0 1 0 0 # (4.31)
Figura 4.9: Representação do resultado do exemplo 4.3
Portanto o modelo proposto para alocação de trocadores de calor em retro ts de plantas químicas está completo e ele possui um grande número de variáveis binárias. Por exemplo para um problema com 4 locais disponíveis e 4 integrações simultâneas, sendo que cada uma das integrações possuem correntes frias e quentes com 3 trechos cada, serão necessárias 128 variáveis inteiras binárias e 84 variáveis contínuas. Este número alto de variáveis inteiras binárias pode in uenciar no tempo de resolução e na qualidade da resposta obtida pelos métodos de otimização que serão discutidos no capítulo 5.
Capítulo 5
Métodos de otimização
O modelo desenvolvido para posicionamento de trocadores de calor em retro ts de plantas químicas foi resolvido até agora atendo a cenários de possibilidades de posicionamento de trocadores de calor e pontos de desvios das correntes de processo pré- estabelecidos. O menor comprimento de tubulação foi determinado somente escolhendo dentre os trecho das correntes e os locais disponíveis. Neste capítulo será aplicado métodos de otimização para encontrar também os pontos de desvio das correntes e o posicionamentos dos trocadores de calor que levam ao menor comprimento de tubulação. O modelo desenvolvido nos capítulos anteriores não é linear, devido aos comprimentos de tubulação serem estimados pela distância de Manhattan. Além disso, o modelo também apresenta variáveis inteiras de tomada de decisão que escolhem quais os trechos das correntes de processo serão desviadas e quais dos locais disponíveis os trocadores de calor irão ser alocados.
Deste modo, o modelo é de programação misto-inteira não-linear (MINLP) e existem vários métodos que tentam atingir o mínimo da função objetivo, já que o mínimo global somente é garantido em alguns casos muito especí cos. Existem três abordagens para uma otimização durante o procedimento de encontrar o mínimo:
Determinístico Estocástico Misto
Os métodos determinísticos são algoritmos detalhadamente documentados que tratam de maneira sistêmica o modelo a ser resolvido, de modo que, se o ponto de
início do algorítimo não for alterado de uma resolução para outra o resultado será necessariamente igual.
Já os métodos estocásticos tratam todas ou algumas das variáveis do modelo de maneira aleatória, podendo resultar em valores nais diferentes a cada resolução.
Os métodos mistos são a junção dos dois tipos e estão sendo bastante utilizados na área de integração energética de Retro t, como por exemplo no trabalho de Smith et al. (2010).
O presente trabalho irá ser resolvido por dois tipos de métodos: um método determinístico e um estocástico. Como método determinístico será utilizado o software de otimização GAMS© que possui um grande número de solvers com algorítimos baseados no clássico método Branch and Bound e vários outros recursos. O método estocástico escolhido foi o Simulated Annealing que ja foi implementado no Scilab possuindo várias funções especí cas.
O modelo será resolvido pelos dois métodos citados para os cenários dos exem- plos anteriores, utilizando as informações da planta ilustrada na gura 2.3(página 26), além disso serão propostos dois exemplo mais complexos e seus resultados comparados e analisados. O detalhamento para cada um dos métodos é feito nas secções 5.1 e 5.2.
5.1 Método determinístico
Os métodos determinísticos são algorítimos que determinam uma alteração sistemática das variáveis a cada iteração e em sua maioria são baseados no método de Newton que utiliza derivadas para determinar como as variáveis do modelo serão alteradas a cada passo em direção ao mínimo, exigindo que a função objetivo seja contínua no intervalo estudado.
O fato dos modelos serem baseados em derivadas faz com que estes métodos desloquem somente para a direção em que a variação da função objetivo seja favorável não "subindo montanhas"1 e não necessariamente encontrando o mínimo global da função objetivo. Além disso, enfatiza a importância de que para obter resultados bons, de modelos muito complexos, muitas vezes é preciso ter profundo conhecimento do problema e do espaço de busca que está lidando, porque o ponto inicial escolhido in uencia diretamente na qualidade do resultado.
1termo conhecido como uphill em otimização indicando regiões da função objetivo que leva a
Quando é preciso realizar escolhas dentro de um problema matemático o artifício empregado são as variáveis binárias. As variáveis binárias são amplamente utilizadas em modelos matemáticos de integração energética e em todas engenharias, já que é de suma importância para os engenheiros escolherem dentre várias opções a que melhor se adapta para o problema estudado, como por exemplo: melhor tecnologia, matéria-prima, processo de produção, condições para determinado produto, composição mais barata, equipamento, como é amplamente exempli cado e detalhado em Himmelblau et al. (2001) e Biegler et al. (1997).
Os algorítimos de resolução de modelos MINLP são divididos em três tipos: Aproximação Linear
Branch and Bound Algorítimos Híbridos
O primeiro algorítimo da lista resolve problemas MINLPs aproximando-os para programação linear inteira mista (MILP). Este método já foi amplamente pesquisado em sua implementação e compreensão e obtêm-se bons resultados para modelos de programação não linear inteira mista que são fracamente não lineares, entretanto modelos que necessitam de várias interações para convergência exigem demasiado esforço computacional.
O principal algorítimo para resolver modelos MILP é o branch and bound. Em resumo este método cria árvores de combinações entre as variáveis binárias do modelo e por força bruta varre cada um dos ramos da árvore em busca da melhor condição.
Mesmo tendo grande sucesso na resolução de modelos MILP o método branch and bound não apresenta a mesma taxa de sucesso para modelos de MINLP. Isto ocorre por vários motivos como: não ser possível determinar bons pontos iniciais de varredura automaticamente, exigir um grande esforço computacional a cada um dos nós que ele busca, a impossibilidade de atestar inviabilidade para todos os subproblemas, garantir globalidade do resultado somente para situações muito especí cas, etc.
Vários métodos derivam do branch and bound como o branch and cut e o branch and price que cria condições de descarte de ramos da árvore de binários tentando diminuir o tempo computacional de resolução, que é um dos principais problemas para este algorítimo.
lineares juntamente com métodos branch and bounds em busca de agilizar a conver- gência, obter melhores resultados e de remediar os pontos fracos de cada uma das abordagens.
Os algorítimos, como implementá-los, algumas aplicações e maiores detalhes podem ser encontradas em várias fontes como Himmelblau et al. (2001), Biegler et al. (1997), Lin et al. (2012), Alexandre et al. (2012), Press et al. (1992).
A maioria dos modelos de otimização de layout são conhecidos por serem problemas computacionais difíceis, altamente combinatórios e a maioria das literaturas o resolvem com o método de branch and bound (Castillo et al. (2005), Castillo & Wes- terlund (2005), Sherali et al. (2003)), entretanto este algorítimo somente encontra bons resultados para plantas de poucos equipamentos, como a rma Papageorgiou (2009), o branch and bound somente é e ciente no posicionamento de até 12 equipamentos simultâneos.
Uma grande limitação de modelos de programação mista-inteira é o aumento exponencial do tempo de resolução de acordo com número de binários presentes que é chamado de explosão combinatória. Isto ocorre porque o número de combinatórias aumenta na proporção de 2s, sendo s o número de binários do modelo, tornando oneroso a busca do melhor valor em árvores mesmo com um número pequeno de variáveis binárias.
Algumas das limitações dos métodos determinísticos são superadas pelos métodos estocásticos, sendo que neste trabalho será utilizado o simulated annealing, melhor detalhado na secção 5.2.
5.2 Simulated annealing
Simulated annealing é um método matemático heurístico estocástico análogo ao processo resfriamento de metais. O método não garante a globalidade do resultado, entretanto consegue encontrar mínimos próximos do global e cientemente como foi constatado por Floquet et al. (1994). Desenvolvido por Kirkpatrick em 1984 ele foi classicamente utilizado para resolver o modelo do caixeiro viajante, provando sua efetividade em lidar com modelos altamente combinatórios. Desde sua criação ele foi bastante melhorado sendo os mais novos algorítimos propostos por Ingber (1996).
No simulated annealing todas ou algumas variáveis do modelo a ser otimizado sofrem alterações aleatórias. Considerando um novo cenário gerado de forma aleatória a
função objetivo é calculada e se o valor da função objetivo for melhor que a da anterior ele aceita este novo cenário de variáveis, porém, diferentemente de outros métodos, mesmo se a função objetivo para o novo estado for desfavorável em relação a anterior, existe uma probabilidade de aceitar esta nova posição. Esta é a principal diferença em relação a outros métodos e é uma vantagem crucial que faz com que ele desloque dentre vários mínimos da função objetivo "subindo montanha", diferentemente dos métodos determinísticos.
A probabilidade de aceitar um ponto mesmo que não seja melhor que o anterior deve ser maior no inicio da otimização, para poder varrer os vários mínimos da função objetivo, e menor no nal da otimização para evitar que desloquemos para um mínimo local desfavorável. Assim, para modelar esta frequência de aceite da função objetivo é usado a distribuição de probabilidade de Boltzmann descrita na equação 5.1.
P = e −F
γk (5.1)
A distribuição probabilística de Boltzmann utilizada no simulated annealing depende de uma constante análoga à Boltzmann k, da função objetivo F e de uma variável simbólica γ, que controla a frequência de aceite, e que vai diminuindo de acordo com as iterações com o objetivo de diminuir a frequência de aceitação de situações desfavoráveis encontrando um mínimo.
Para encorporar esta probabilidade no aceite da função objetivo do simulated annealing compara-se o valor da probabilidade para a função objetivo no cenário inicial 1 e no estado aleatório sorteado 2 de acordo com a equação 5.2. Este método com chance de aceitar pontos subindo a montanha cou conhecido como algorítimo de Metrópolis.
∆P = e
−F2− F1
γk (5.2)
Se a função no estado 2 for menor que a função no estado 1 o valor da probabilidade de aceite será maior que 1, mas se o valor da função objetivo no estado 2 for maior que no estado 1 a probabilidade fornecerá um valor entre 0 e 1 correspondendo a possibilidade de aceitar a condição mesmo que ela não seja favorável.
Assim, algorítimo completo do simulated annealing está representado no uxograma da gura 5.1 e ele possui dois laços. O laço interno realiza uma varredura para um mesmo valor de γ e o laço externo efetua a redução do valor γ, diminuindo
o aceite de valores da função objetivo desfavoráveis, até que uma condição de parada seja atingida e um resultado obtido.
Variáveis de Entrada, Valor Inicial de γ
Perturbação nas Variáveis
Cálculo Função Objetivo
Aceita estas variáveis? Terminou a varredura? Reduz γ Atingiu Condição de parada? Resultado Salva Variáveis SIM NÃO SIM SIM NÃO NÃO
Figura 5.1: Fluxograma do simulated annealing
Tendo em vista o algorítimo do simulated annealing apresentado existem 5 funções a serem declaradas:
Função de perturbação das variáveis Função objetivo
Função de aceitação Função de redução do γ Função de parada
No presente trabalho foi utilizado a função optim_sa do Scilab que possui as funções de perturbação das variáveis, de aceitação e de diminuição de γ já programadas e
para os exemplos que serão resolvidos foram utilizadas as funções do very fast simulated annealing, desenvolvido por Ingber (1996), porque ele possui um cronograma de redução de γ mais lento podendo fornecer melhor resultado para este problema. A condição de parada ca a critério do projetista e neste trabalho foi escolhido um γ inicial que ao nal das iterações externas seja próximo de zero.