Público-Alvo:
Alunos do 3o ano do Ensino Médio da Rede Pública de Ensino - NRE CASCA- VEL, inscritos no projeto.
Tempo de execução:
Um encontro com duração de 4 horas.
Objetivo Geral:
Compreender e explorar em diferentes contextos os processos de cálculos para resolução de equações de 2o grau e enfrentamento de situações-problema envol- vendo equações.
Objetivos Específicos:
Ao se trabalhar com função, objetiva-se que o aluno seja capaz de: Identificar os coeficientes numéricos da função Determinar domínio, imagem, zeros e períodos da função de 2ograu Identificar e realizar cálculos envolvendo as diferentes funções
Resolver problemas envolvendo funções do 2o grau. Resolver e elaborar, com e
sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2ograu do tipo ax2 = b.
Conteúdos:
Função de 2o grau (Gráficos, Domínio e imagem, Função crescente e decres-
cente)
Recursos Didáticos:
Quadro, giz, apagador, computador, smartphones, lista de atividades.
Dinâmica de apresentação:
Cada membro do grupo deve conduzir a aula em determinados períodos de tempo, instruindo os alunos na oralidade. Enquanto um membro do grupo conduz a
aula, os demais membros devem andar pela sala para orientar e auxiliar os alunos.
Encaminhamentos metodológicos:
1. Acolhida . . . (10 min) Nessa etapa os membros do grupo devem conversar com os alunos sobre a aula anterior e perguntar sobre membros novos.
2. Retomada . . . (30 min) Correção da lista de exercícios aplicada na aula anterior. Além da solução de cada questão, haverá discussão sobre as mesmas e será incentivada a participação dos alunos (inclusive para resolução da questão no quadro).
3. Atividades de função quadrática . . . (60 min)
(a) Introdução aos conceitos iniciais de função quadrática . . . (15 min) (b) Atividades de formulação de funções quadráticas através de situações- problema. . . (45 min)
Segundo Dante (2005) uma função f: R → R chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a 6= 0, tal que f(x) = ax + bx + c para todo x inR . f: R → R, e x → ax + bx + c
Exemplos 1 e 2 serão feitos no quadro pelo professor:
1) Dona Rose possui um canteiro com plantação de flores no formato retan- gular e pretende ampliar essa região em uma mesma medida tanto na largura como no comprimento, conforme Figuras 20 e 21.
Para representar a área (A), dessa região ampliada em função da medida x indicada, temos:
A(x) = (3+x).(2+x) → A(x) = 6+3x+2x+x2 → A(x) = x2+5x+6
A expressão obtida corresponde à lei da função que representa a área da região do canteiro após a ampliação. Esse é um exemplo de função chamada de função quadrática.
Figura 2.8: Área
Figura 2.9: Área
Considerando x=1m, isto é, se ampliar a área do jardim em 1 m na largura e 1 m no comprimento, podemos calcular a área a partir dessa função quadrática. A(x) = x2+5x+6
A(x) = 12+5.1+6
A(x) = 12m, área do canteiro após a ampliação.
2) Um retângulo possui a medida de seu lado maior igual ao quádruplo do lado menor, e área medindo 256 m. Determine a medida de seus lados. Atenção: nos exercícios a seguir, letras minúsculas representam tamanhos ou
Figura 2.10: Área
números e letras maiúsculas representam áreas. 1 - Represente algebrica- mente as áreas 1, 2, 3 e 4:
Figura 2.11: Área
Figura 2.12: Área
3 - Com base na figura, qual o valor das áreas “A”, “B” e “C”?
Figura 2.13: Área
4 - Com base na figura, qual o tamanho do comprimento “a”? E das áreas “B” e “C”?
Figura 2.14: Área
5 - Com base na figura, qual o valor de “a”, da área “B” e o valor de “c”?
Figura 2.15: Área
Com base na figura, qual o valor da área de “A” adicionado a área de “B”? 6 - Se você quisesse descobrir a área total dos retângulos tracejados, como você faria? Qual seria este valor?
Figura 2.16: Área
7 - Com base na figura, represente algebricamente as áreas “A”, “B” e “C”. Represente também a área total.
Figura 2.17: Área
Figura 2.18: Área
9- Com base na figura, é possível calcular o valor da área total sabendo que x=8 e B=16? Se sim, qual é este valor?
Figura 2.19: Área
10 - Avaliando uma situação real:
A figura a seguir representa parte de um escritório. As duas salas quadradas e o corredor retangular têm, juntos, 40m de área. Cada sala tem x metros de lado e o corredor tem 1 metro de largura. Represente algebricamente a área total.
Figura 2.20: Área
a) Qual a área da Sala 1 ? b) A área do corredor é ?
c) A área total, isto é, as áreas das salas 1 e 2, adicionadas ao do corredor pode ser representada por qual polinômio ?
4. Intervalo . . . (20 min)
5. Atividade 2 – GeoGebra no aplicativo de Smartphone . . . (60 min) Etapas:
1) Insira os pontos A=(-4,0) , B=(2,0) e C=(0,-4). Os pontos aparecerão na ja- nela de visualização e os pares ordenados que formam esses pontos estarão visiveis na janela de álgebra.
2) No campo “entrada” inserir a função . Observe o gráfico da função. O que você consegue observar ?
3) Insira os pontos A=(-1,0), B= (1,0) e C=(-1, 0)
4) No campo “entrada” inserir a função . Observe o gráfico da função. O que você consegue observar ? Que função você poderia criar para que os pontos pertencessem à parábola ? Caso consiga encontrar tal função, o que você observou?
6) Selecione novamente os pontos A=(-4,0) , B=(2,0) e C=(0,-4). selecionar mediatriz no quarto ícone. Onde o eixo de simetria intersecta o eixo x ? Qual a simetria da parábola.
7) Selecionar interseção de dois objetos no segundo ícone clicar na reta me- diatriz e na parábola criando o ponto D.
8) Observe a representação na janela de álgebra e identifique o valor dos coeficientes a, b e c da função.
9) Qual as coordenadas do vértice da parábola da função ?
10) Observando o gráfico da função é possível identificar zeros da função quadrática?
11) No campo “entrada” inserir função . Modifique o coeficiente “a”. O que ocorre com o gráfico da função ? (Use valores positivos e negativos para “a”). 6. Exercícios de Funções . . . (30 min) 1. (ENEM/2009 ) A empresa SWK produz um determinado produto x, cujo custo de fabricação é dado pela equação de uma reta crescente, com incli- nação dois e de variável x. Se não tivermos nenhum produto produzido, a despesa fixa é de R$ 7,00 e a função venda de cada unidade x é dada por: -2x + 229,76x - 441,84. Tendo em vista uma crise financeira, a empresa fez algumas demissões. Com isso, caiu em 12% o custo da produção de cada unidade produzida. Nessas condições, a função lucro da empresa pode ser expressa como
a) L(x) = -2x + 228x - 448,00. b) L(x) = -2x + 227,76x - 448,84 c) L(x) = -2x + 228x - 441,84 d) L(x) = -2x + 229,76x - 441,84 e) L(x) = -2x + 227,76x - 448,96 2) (UNISC INV/2015) Sejam as funções definidas por: y = – x + 5 e y = x – 3x + 6. A respeito da representação gráfica destas funções no sistema cartesiano podemos afirmar que:
a) se interceptam em um único ponto localizado no 1o quadrante b) se in-
terceptam em um único ponto localizado no 4o quadrante c) se interceptam
em dois pontos localizados no 1o e 4o quadrantes d) se interceptam em dois
3) (UFBA/2010) Uma empresa observou que a quantidade Q, em toneladas, de carne que ela exporta em uma semana é dada por Q(x) = ax + bx + c, sendo a, b, c constantes, e x o preço do produto, em reais, por quilograma, praticado na referida semana, sendo 3 ≤ x ≤ 8. Sabe-se que para o preço de R$3,00 a quantidade é de 7,5 toneladas, que para R$4,00 a quantidade é máxima e que para R$8,00 a quantidade é zero. Com base nessas informações, podemos afirmar que a quantidade máxima de carne que ela exporta em uma semana é de:
a) 4 toneladas b) 5 toneladas c) 6 toneladas d) 7 toneladas e) 8 toneladas 4) (UFRGS – 2018) As raízes da equação 2x2 + bx + c = 0 são 3 e - 4. Nesse caso, o valor de b - c é:
a) -26. b) -22. c) -1. d) 22. e) 26.
2.3.1
Relatório
Relatório do dia 31/05/2019
A aula começou às 8 horas. O conteúdo programado era Função de 2o grau.
Começamos a aula com a acolhida aos alunos. Em seguida, retomamos o assunto da última aula, fazendo a correção de alguns exercícios da lista do 6oencontro, não
apenas uma correção simples houve discussão sobre as mesmas e foi incentivada a participação dos alunos. Em seguida, introduzimos aos alunos os conceitos iniciais de função quadrática. Seguidamente foram entregues os materiais impressos para os alunos, na qual aula teve foco na resolução de problemas (situações-problema). Os alunos começaram a resolver a primeira lista de forma individual e após um pe- ríodo, alguns alunos foram convidados a ir ao quadro socializar as soluções. Após um tempo de tentativas, os professores foram ao quadro para exemplificar a so- lução e institucionalizar o conteúdo através de exemplos da própria lista. Após o término da atividade, os alunos foram organizados em grupos com 3 a 4 mem- bros para a atividade que foi realizada após o intervalo. Intervalo Com os grupos formados, os alunos desenvolveram juntos, varias atividades relacionadas com o Geogebra.A atividade iniciou e muitos grupos apresentaram certa facilidade na re- solução, o que demonstra evolução da turma. Para encerrar a aula foi feito uma
avaliação-Diagnóstica de todo o conteúdo ministrado no PROMAT até o momento. A aula foi encerrada as 11:40.
Módulo 3
3.1
Plano de Aula 8
oEncontro PROMAT
Público-Alvo:
Alunos do Ensino Médio da Rede Pública de Ensino - NRE CASCAVEL, inscritos no projeto.
Tempo de execução:
Um encontro com duração de 4 horas.
Objetivo Geral:
Introduzir os conceitos de Sólidos geométricos Apresentar formas de composi- ção
Objetivos Específicos:
Ao se trabalhar com Sólidos geométricos, objetiva-se que o aluno seja capaz de: • Resolver problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.
• Resolver e problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações cotidianas como determinar medida de terrenos.
Conteúdo:
Recursos Didáticos:
Quadro, giz, apagador.
Dinâmica de apresentação:
Cada membro do grupo deve conduzir a aula em determinados períodos de tempo, instruindo os alunos na oralidade. Enquanto um membro do grupo conduz a aula, os demais membros devem andar pela sala para orientar e auxiliar os alunos.
Encaminhamentos metodológicos:
1. Acolhida . . . (05 min) a. Nessa etapa os membros devem fazer a acolhida aos alunos da classe.
2. Retomada . . . (25 min) a. Retomar os exercícios da última aula.
3. Atividade 1 . . . (30 min) Para cada forma geométrica abaixo, indique a forma de calcular a área e o perímetro. Crie exemplos se precisar.
Figura 3.21: Polígonos
4. Atividade 2 . . . (40 min) a. Os grupos receberão figuras de sólidos geométricos na forma planificada e de forma semelhante, tentarão repetir o processo da atividade anterior.
Figura 3.23: Sólidos geométricos
5. Intervalo . . . (20 min) 6. Socialização dos resultados e formalização dos conteúdos. . . (45 min) a. Discutir os resultados obtidos e construir as fórmulas para cálculo de área
e perímetro de polígonos e área total e volume de sólidos. b. Como material de apoio, serão utilizados Softwares como GeometriAR e ARGeo que fazem uso de realidade aumentada para facilitar a visualização e a conclusão da atividade.
7. Lista de Exercícios . . . (45 min) a. Aplicar Lista de Exercícios.
1. O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos correspondentes as faces. Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal e igual a 10. b) 12 c) 25 d)42. e)40.
2. Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que en- colherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por a) 2xy b) 15 - 3x c) 15 - 5y d) -5y - 3x e) 5y + 3x - xy
3. Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planifi- cações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
Figura 3.25:
4. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm d) 24 cm. e) 25 cm.
5. A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da gran- deza a) massa. b) volume. c) superfície. d) capacidade. e) comprimento.
Figura 3.26:
6. Um trapézio tem 12 cm de base média e 7 cm de altura. A área desse quadrilátero é cm2. a)13 b)19 c)44 d)84 e)91
7. Uma garrafa térmica tem formato de um cilindro circular reto, fundo plano e diâmetro da base medindo 8,0 cm. Ela está em pé sobre uma mesa e parte do suco em seu interior já foi consumido, sendo que o nível do suco está a 13 cm da base da garrafa, como mostra a figura.
O suco é despejado num copo vazio, também de formato cilíndrico e base plana, cujo diâmetro da base é 4 cm e com altura de 7 cm. O copo fica totalmente cheio de suco, sem desperdício.
Nessas condições, o volume de suco restante na garrafa é, em cm3, aproxi- madamente,
Adote π = 3. Despreze a espessura do material da garrafa e do copo a)250. b)380. c)540. d)620. e)800.
8. O governo federal instituiu, em 2010, o Plano de Ação para Prevenção e Controle do Desmatamento e das Queimadas no Cerrado (PP Cerrado) para promover ações capazes de diminuir as queimadas e o desmatamento do bi- oma. Segundo dados do Instituto de Pesquisas Espaciais (INPE), de 2009 a 2010, o desmatamento no cerrado foi de 6469 km2 . Para efeitos de compa- ração, um campo de futebol oficial tem em média 4136 m2 . É correto afirmar então que a área do Cerrado desmatada em 2009-2010 equivale a, aproxi- madamente, a)1.129.010 campos de futebol. b)1.231.540 campos de futebol. c)1.342.222 campos de futebol. d)1.478.018 campos de futebol. e)1.564.071 campos de futebol.
3.1.1
Relatório
Relatório do dia 08/06/2019
A aula começou às 8 horas. O conteúdo programado era sobre sólidos Geo- métricos. Começamos a aula com a acolhida aos alunos. Em seguida, retomamos o assunto da última aula, fazendo a correção de alguns exercícios da lista do 7o encontro, não apenas uma correção simples houve discussão sobre as mesmas e foi incentivada a participação dos alunos. Em seguida, introduzimos aos alunos os conceitos iniciais de sólidos. Seguidamente foram entregues os materiais impres- sos para os alunos, na qual os alunos foram divididos em grupos de 3 a 4 membros, cada aluno receberá uma folha (atividade 1) com polígonos e algumas medidas ale- atórias para tentar calcular a área e o perímetro e após um período, alguns alunos foram convidados a ir ao quadro socializar as soluções. Após o término da ativi- dade, os grupos receberão figuras de sólidos geométricos na forma planificada e de forma semelhante, tentarão repetir o processo da atividade anterior. Intervalo Seguidamente foi feito uma socialização de conteúdo com os alunos, discutimos os resultados obtidos e construímos as fórmulas para cálculo de área e perímetro de polígonos e área total e volume de sólidos. Como material de apoio, utilizamos os Softwares: GeometriAR e ARGeo que fazem uso de realidade aumentada para facilitar a visualização. Para concluir a aula aplicamos uma lista de exercícios. A aula foi encerrada as 11:40.