CLEMILTON RÉGIS TAKEDA GOUVEIA LUCAS SOARES DA SILVA LYNCON BRITO

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

COLEGIADO DE MATEMÁTICA Licenciatura em Matemática UNIOESTE - Campus de Cascavel

CLEMILTON RÉGIS TAKEDA GOUVEIA LUCAS SOARES DA SILVA

LYNCON BRITO

RELATÓRIO DA DISCIPLINA DE METODOLOGIA E PRÁTICA DE ENSINO DE MATEMÁTICA:

ESTÁGIO SUPERVISIONADO I PROMAT

CASCAVEL 2019

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CLEMILTON RÉGIS TAKEDA GOUVEIA LUCAS SOARES DA SILVA

LYNCON BRITO

METODOLOGIA E PRÁTICA DE ENSINO DE MATEMÁTICA:

ESTÁGIO SUPERVISIONADO I PROMAT

Relatório apresentado como requisito parcial da disciplina para aprovação.

Orientador: Prof. Dra_{Rosângela Villwock}

CASCAVEL 2019

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Lista de Figuras

1.1 Legenda . . . 7

1.2 Legenda . . . 8

1.3 Legenda . . . 10

1.4 Legenda . . . 11

1.5 Disponível em: www.abipet.org.br. Acesso em: 12 jul. 2012 (adap-tado). . . 28

1.6 Modelo da Caixa. . . 34

1.7 Representação do Modelo da Caixa. . . 35

2.8 Área . . . 62 2.9 Área . . . 62 2.10 Área . . . 63 2.11 Área . . . 63 2.12 Área . . . 64 2.13 Área . . . 64 2.14 Área . . . 65 2.15 Área . . . 65 2.16 Área . . . 66 2.17 Área . . . 66 2.18 Área . . . 67 2.19 Área . . . 67 2.20 Área . . . 68 3.21 Polígonos . . . 74 3.22 Sólidos geométricos . . . 75 3.23 Sólidos geométricos . . . 76 3.24 . . . 77

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3.25 . . . 78

3.26 . . . 79

3.27 . . . 79

3.28 Tabuleiro do Jogo Caça ao tesouro Matemático . . . 83

3.29 Passo a passo construção dos triângulos . . . 84

3.35 Roleta Matemática . . . 91

3.36 Cartões com problemas de Matemática . . . 92

3.41 Disponúvel em: www.remobrasil.com. Acesso em: 6 dez 2017 (adap-tado) . . . 96 3.42 . . . 97 3.43 . . . 99 3.44 . . . 100 4.45 . . . 105 4.46 Torre de Hanoi . . . 106

5.47 Disponível em: www.abipet.org.br. Acesso em: 12 jul. 2012 (adap-tado). . . 118

5.48 Retirado de: . . . 119

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Sumário

Lista de Figuras iii

Introdução 1

PROMAT 2

Opção Teórica e Metodológica 3

Módulo 1 5

1.1 Plano de Aula 1oEncontro PROMAT . . . 5

1.1.1 Relatório: . . . 18

1.2.1 Relatório: . . . 22

1.3.1 Relatório: . . . 32

1.4.1 Relatório . . . 43

Módulo 2 44 2.1 Plano de Aula 5oEncontro PROMAT . . . 44

2.1.1 Relatório . . . 52

2.2.1 Relatório . . . 58

2.3.1 Relatório . . . 70

Módulo 3 72 3.1 Plano de Aula 8o_{Encontro PROMAT . . . .} ₇₂

3.1.1 Relatório . . . 80

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3.2.1 Relatório . . . 89 3.3 Plano de Aula 10o _{Encontro PROMAT . . . .} ₈₉

3.3.1 Relatório . . . 101

Dia da Matemática 102

4.1 Plano de Aula - Dia da Matemática . . . 102 4.2 Relatório 15/06/2019 e 29/06/2019 . . . 112

Referências Bibliográficas 113

Anexos 117

5.1 Anexo 01 - Atividade Avaliativa . . . 117 5.2 Anexo 02 - Receitas Culinárias . . . 121 5.3 Anexo 03 - Lista de Exercícios . . . 137

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Introdução

Este trabalho tem como objetivo discutir e refletir sobre o estágio supervisionado re-lacionado à disciplina de Metodologia e Prática de Ensino de Matemática – Estágio Supervisionado I, realizado na Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Unio-este, que se localiza na Rua Universitária, número 2069, bairro Jardim Universitário, do município de Cascavel-PR. O estágio atendeu a estudantes do Ensino Médio da Rede Pública de Ensino – NRE Cascavel, inscritos no programa PROMAT 1 _,

ofe-recido pelo Colegiado de Matemática em conjunto com os discentes do curso de graduação em Licenciatura Matemática, sob supervisão e orientação dos docentes do curso de graduação em Matemática; neste caso, sob supervisão da Professora Arleni Elise Sella Langer e orientação da Professora Rosangela Villwock. Este es-tágio supervisionado contou com a carga horária de 40 horas, divididas em dez encontros para a atividade de regência. O estágio aconteceu no primeiro semestre do ano de 2019, aos sábados pela manhã. Como parte do estágio também foi rea-lizada uma carga horária de 8 horas atendendo estudantes do Ensino Fundamental 2 da Rede Pública de Ensino – NRE Cascavel, referente à comemoração do Dia da Matemática, durante o mês de maio do referido ano. Durante nossa experiência como professores estagiários do Promat, optamos por planejarmos a prática do-cente de acordo com as metodologias de trabalho adotadas pela coordenação do Promat, sendo elas: aulas expositivas; resolução de problemas; resolução de listas de exercícios; jogos matemáticos. Sendo assim, trabalhamos no primeiro módulo do PROMAT com os conteúdos de Frações, Números Decimais, Porcentagem, Ra-zão e Proporção, Regra de Três Simples e Composta, Equações do 1 e 2 Grau, enquanto no segundo módulo foram trabalhados os conteúdos de Conjuntos Nu-méricos, Introdução à Funções, Funções Afim e Funções Quadráticas.

1_{Programa de Acesso e de Permanência de Estudantes da Rede Pública de Ensino em}

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PROMAT

Programa de Acesso e de Permanência de Estudantes da Rede Pública de Ensino em Universidades Públicas: um enfoque à área de Matemática – PROMAT, tem como finalidade a promoção ao acesso e permanência dos estudantes no âmbito educacional, acarretando uma característica social essencial quanto à redução de problemas de ensino ocasionados pela defasagem educacional pública brasileira. O público alvo são estudantes do Ensino Médio da rede pública de ensino e da comu-nidade externa à Unioeste - no Campus de Cascavel. As vagas, preferencialmente são ofertadas para alunos do último ano do Ensino Médio, visando uma melhor pre-paração para o vestibular e Enem, porém cessadas às primeiras chamadas, alunos de anos iniciais do Ensino Médio também podem ter acesso ao programa. O ob-jetivo central do Promat é oferecer processos pedagógicos diferenciados dos que são normalmente oferecidos nas redes de ensino, mostrando uma abordagem que proporcione uma melhor apropriação dos conteúdos trabalhados por parte dos dis-centes, sempre almejando que falhas anteriores de assimilação de conhecimentos básicos de matemática sejam sanados. O projeto nos parece bastante interessante e rico como experiência tanto para os estagiários quanto para os discentes partici-pantes, além de proporcionar para toda a comunidade da região uma ferramenta de cunho social importantíssimo, devido ao seu foco em estudantes oriundos de esco-las públicas, melhorando sua preparação para processos seletivos, além do caráter emancipador e fundamental do processo educativo em geral.

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Opção Teórica e Metodológica

Foram optados pelo grupo de professores as seguintes abordagens metodológi-cas na apresentação dos conteúdos:

• Aulas Expositivas Tradicionais: as ferramentas utilizadas foram giz e lousa. • Aulas Oficina: as ferramentas utilizadas foram jogos matemáticos onde o con-ceito matemático estava ímplicito dentro do jogo, além do giz e lousa.

• Aulas com o Auxílio de Tecnologias da Informação: as ferramentas utilizadas foram o computador, utilizando o laboratório de informática, ou então com atividades de resolução de problemas com o uso de aplicativos de Smartphone, além do giz e lousa.

A abordagem teórica que orientou os docentes na construção de suas aulas foi a Didática da Matemática, tal qual vista por Almouloud (2007), a Resolução de Problemas, tal qual Polya (2006) orienta.

A utilização de jogos matemáticos no início de cada encontro objetivava, como pressuposto na teoria de Brosseau, segundo Almouloud (2007), se basear em qua-tro hipóteses:

• o aluno aprende adaptando-se a um “meio” que é fator de dificuldades, de contradições, de desequilíbrio, um pouco como acontece na sociedade humana.

• O “meio” não munido de intenções didáticas é insuficiente para permir a aqui-sição de conhecimentos matemáticos pelo aprendiz.

• Esse “meio” engaja fortemente os processos cognitivos que geram o ensino e aprendizagem.

• O ato de conhecer acaba contrapondo um conhecimento anterior superando conceitos previamente mal estabelecidos.

Para tanto, após a apresentação inicial dos jogos, e após a dificuldade inicial naturalmente gerada, era esperado que através da mediação dos professores, os

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alunos começassem a elucidar suas dúvidas, e perceber os conceitos matemáti-cos implícitos em cada atividade. Como parte do processo, em todas as aulas foi buscada uma posterior formalização do conteúdo matemático apresentado implici-tamente pelas situações-problema apresentadas.

Na segunda parte das aulas, foi seguido a tendência matemática de Resolu-ção de Problemas, utilizando lista de exercícios de processos seletivos, pois como pressupõe Polya (2006), é importante que os problemas sejam provocativos, pois quando o aluno é desafiado, suas emoções de entusiasmo na busca de solução são despertadas. Os docentes circulavam mediando as dúvidas dos alunos, ou, em algumas ocasiões, partiam para a explanação no quadro, pois ainda segundo Polya (2006) uma parte fundamental do processo é o momento da explicação de como se resolve um problema. Sempre deixando claro aos alunos que essa não é uma tarefa fácil, pois cada problema pode ser encarado de diversas maneiras.

Polya (2006) apresenta os seguintes quatro passos para a resolução de proble-mas:

• Compreender o problema: precisa-se descobrir quais dados são apresenta-dos, e o que se deve descobrir. São partes importantes de um problema: a in-cógnita; os dados fornecidos pelo problema e a condição que deve ser satisfeita relacionando esses dados conforme as condições estabelecidas no enunciado.

• Estabelecer um plano: depois do problema interpretado, deve-se estabelecer uma estratégia de ação para a sua resolução.

• Executar o plano: nessa etapa é muito importante a intervenção pedagógica do professor, orientando e questionando o aluno, fazendo com que o processo ma-temático envolvido comece a ficar bem evidente também para este.

• Retrospecto ou verificação: depois de encontrar a solução é hora de verificar se as condições do problema foram satisfeitas, se o resultado encontrado faz sen-tido. O trabalho do docente também é primordial nessa etapa, visando questionar se poderiam haver outras formas de resolução do mesmo problema.

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Módulo 1

1.1 Plano de Aula 1

o

Encontro PROMAT

Público-Alvo:

Alunos do 3o ano do Ensino Médio da Rede Pública de Ensino - NRE CASCAVEL, inscritos no projeto.

Tempo de execução:

Um encontro com duração de 4 horas.

Objetivo Geral:

Desenvolver técnicas para solução de problemas que envolvam o conteúdo de Fra-ções, decimais e porcentagens.

Objetivos Específicos:

Ao se trabalhar com Frações, decimais e porcentagens, objetiva-se que o aluno seja capaz de:

• Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

• Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas for-mas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de cal-culadora.

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• Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações matemáticas com números racionais positivos na representação fracionária.

• Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

• Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resul-tado da divisão, razão e operador.

• Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos.

• Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da ?regra de três?, utilizando es-tratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

Conteúdo:

Frações, decimais e porcentagens.

Recursos Didáticos:

Quadro, giz, apagador, Tangram (Disponível no LEM), dominó de tangram com fra-ções confeccionado pelo grupo2_{, cédulas de votação, lista de exercícios.}

Dinâmica de apresentação:

Cada membro do grupo deve conduzir a aula em determinados períodos de tempo, instruindo os alunos na oralidade. Enquanto um membro do grupo conduz a aula, os demais membros devem andar pela sala para orientar e auxiliar os alunos.

Encaminhamentos metodológicos:

1. Acolhida . . . (10 min)

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(a) Nessa etapa os membros do grupo devem se apresentar aos alunos da classe.

2. Dinâmica de apresentação dos alunos . . . (20 min)

(a) Será realizada uma dinâmica de apresentação dos alunos, onde cada aluno terá cerca de 30 segundos para dizer seu nome, idade, cidade ou escola e motivo que o levou a estar naquela aula.

3. Apresentação da ATIVIDADE 1 . . . (10 min) Será aplicado nesta etapa o jogo dominó de frações.

Serão apresentadas as instruções do jogo.

(a) Os alunos serão divididos em grupos de 3 a 4 pessoas (dependendo da quantidade de alunos).

(b) Como o jogo relaciona peças do tangram, cada grupo receberá um con-junto de peças do Tangram, além das do dominó, para auxílio durante a atividade.

Figura 1.1: Legenda

(c) As peças do tangram serão apresentadas e os alunos serão incentivados a associá-las à frações do todo conforme.

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i. No dominó de frações um lado do dominó tem a representação grá-fica e o outro lado a representação numérica. As peças do jogo serão

Figura 1.2: Legenda

distribuídas aos grupos.

ii. Cada jogador do grupo recebe 7 peças.

iii. As peças que eventualmente sobrarem (no caso de grupos de 3 jo-gadores) servirão para os jogadores "comprarem".

iv. Definir o jogador inicial.

v. O jogador que inicia o jogo deve colocar uma peça (aleatoriamente) na mesa, o jogo segue em sentido anti-horário.

vi. Cada jogador deve encontrar, em uma de suas peças, aquela cuja quantidade corresponda a uma das metades indicadas na peça que se encontra na mesa.

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condi-ções da etapa anterior, terá que "comprar"peças até conseguir uma que se encaixe nas peças da mesa, ou até que se esgotem todas as peças.

viii. Quando não existirem mais peças para serem "compradas", o joga-dor passará a sua vez.

ix. Será vencedor aquele que terminar suas peças em primeiro lugar ou ficar com menor número de peças, quando não houver mais possibi-lidade de encaixe das peças restantes.

x. Cada jogador terá um espaço no material do aluno para anotar cada movimento realizado.

4. Aplicação do Jogo . . . (60 min)

(a) 1a_{Rodada . . . (15 min)}

Os alunos iniciam a rodada do jogo enquanto os professores circulam entre os grupos para que possam auxiliar os alunos e notar eventuais dificuldades, além de esclarecer a forma correta de anotar as jogadas de cada jogador.

(b) Discussão sobre o jogo e criação de estratégias. . . (15 min) Após a rodada inicial é feito um intervalo para que os alunos possam explicar que tipo de estratégias tentaram desenvolver no jogo. Após a participação de todos, será apresentada uma lâmina com uma resolução possível do problema de como dividir igualmente as peças do Tangram, para que com esse auxílio possam desenvolver melhor o jogo na próxima rodada.

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Figura 1.3: Legenda

(c) 2a_{Rodada . . . (15 min)}

Após a discussão será iniciada uma nova rodada do jogo. Espera-se que com a apresentação do slide da divisão em triângulos de mesma área, os alunos encontrem as soluções possíveis e apresentem os resultados possíveis com maior facilidade.

(d) Discussão sobre as estratégias utilizadas e sua eficácia.. . . .(15 min) Os professores questionam os alunos em qual conjunto numérico os ele-mentos são compostos por frações. É esperado que a maioria da turma responda que são os números racionais. O professor vai até a lousa então e formaliza o conceito.

Definição: Chama-se conjunto dos Racionais, representado pelo símbolo Q, das fraçõesab, em que a ∈ Z, e b ∈ Z, com b 6= 0, para os quais temos

as seguintes definições:

i. Igualdade: a_b = _dc se e somente se, a.d = b.c

Na apresentação de cada definição o professor questionará os alu-nos para que consigam perceber qual deverá ser a implicação lógica presente no passo seguinte da definição. Exemplo de pergunta na

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definição acima: “Quando duas frações são iguais?” ii. Adição:a_b + _dc = a.d+b.c_b.d

Exemplo de pergunta: “Como se somam duas frações?”. Deve se em seguida apresentar um exemplo de que nas frações com o mesmo denominador, é utilizada a mesma definição.

iii. Multiplicação: a b. c d = a c. b d

Devido à uma propriedade da multiplicação a_b.b_a = 1, definimos a divi-são de frações à seguir.

iv. Divisão: a_b ÷ c d = a b. d c 5. Intervalo . . . (20 min)

6. Coleta de dados para a Atividade 2 . . . (10 min)

(a) Distribuir aos alunos cédulas para anotarem o curso superior que dese-jam cursar.

Figura 1.4: Legenda

(b) Coletar as cédulas.

(c) Construir uma representação dos dados no quadro.

(d) Analisar as quantidades e obter as porcentagens de pessoas que dese-jam cursar determinados cursos.

7. Atividade com dados da coleta e questões pertinentes ao tema. . . (20 min) Os professores iniciam uma série de questionamentos aos alunos:

(a) Qual a melhor forma de organizar e apresentar os dados?

(b) Quais informações são relevantes para a melhor interpretação dos da-dos?

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(d) Qual o curso menos concorrido?

(e) Os resultados da amostra adotada são conclusivos?

(f) É possível prever a concorrência do vestibular baseado nesses dados?

8. Lista de Exercícios Avaliativa . . . (60 min)

(a) A Lista de Exercícios (em anexo) será aplicada como uma avaliação di-agnóstica.

9. Desafio . . . (10 min)

(a) Quando os alunos que terminarem a lista de exercício, será aplicado um desafio matemático.

O PROBLEMA DAS OITO CAIXAS - Malba Tahan Segundo uma lenda muito antiga, o célebre Califa Al Motacém Billah, rei dos árabes, chamou certa ma-nhã o astucioso Sabag, seu vizir-tesoureiro, e disse-lhe em tom grave, como se ditasse uma sentença irrevogável: — Dentro de poucas horas, meu caro vizir, receberei a visita do jovem Beremisz Samir, apelidado “o homem que cal-culava”. Não ignoras, certamente, que o talentoso Beremiz tem deslumbrado esta nossa gloriosa Bagdá com inequívocas demonstrações de seu incompa-rável engenho e de sua agudíssima inteligência. Os enigmas mais intrincados, os cálculos mais difíceis são, pelo exímio matemático, explicados e resolvidos em rápidos momentos. É meu desejo presentear o ilustre Beremiz com avul-tada quantia. Gostaria, entretanto, de experimentar também a tão elogiada argúcia do calculista, propondo-lhe durante a nossa entrevista um problema que seja relacionado, de certo modo, com o prêmio que lhe darei em moedas de ouro. Um problema que deixasse o nosso visitante encantado, é verdade, mas também perplexo e confuso. O vizir Sabag não era homem que se dei-xasse entibiar diante dos caprichos e fantasias do poderoso emir. Depois de ouvir, cabisbaixo e pensativo, as palavras do rei, ergueu o rosto bronzeado, fitou serenamente o glorioso califa, e assim falou: — Escuto e obedeço, ó Príncipe dos Crentes! Pelo tom de vossas palavras, adivinho perfeitamente o rumo seguido pela caravana de vossas intenções. É vosso desejo premiar

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um sábio geômetra com valiosa quantia. Ressalta, dessa intenção, a gene-rosidade sem par de vosso coração. Quereis, entretanto, que este prêmio seja exornado com um problema original e inédito, capaz de surpreender o mais engenhoso dos matemáticos e de encantar o mais delicado dos filóso-fos. Essa lembrança põe em relevo a elegância de vossas atitudes, pois o visitante, ao ser argüído diante da corte, poderá mais uma vez demonstrar a pujança de seu engenho e o poderio de sua cultura. Proferidas tais pala-vras, retirou-se o vizir para a sua sala de trabalho. Decorrido algum tempo, voltou à presença do rei, precedido de dois escravos núbios que conduziam pesada bandeja de prata. Repousavam sobre a bandeja oito caixas de ma-deira, todas do mesmo tamanho, numeradas de um até oito. Não pequeno foi o espanto do califa de Bagdá ao ver aquele singular aparato. Qual seria a razão de ser daquelas caixas numeradas de um até oito? Que mistério, no domínio das contas e dos cálculos, poderiam elas envolver? Cheiques e nobres, que se achavam ao lado do rei, entreolhavam-se espantados. Cabia ao honrado Sabag, ministro da corte, explicar o porquê daquela estranha pre-paração. Ouçamos, pois, o relato feito pelo digno vizir: — Cada uma dessas caixas contém um certo número de moedas. O total contido nas caixas é o prêmio que será oferecido ao calculista. As caixas, como podeis observar, es-tão numeradas de um até oito, e dispostas segundo o número de moedas que cada uma contém. Para esse arranjo das caixas, adotei a ordem crescente. Assim, a caixa designada pelo número 1 encerra o menor número de moedas; vem depois a que é indicada pelo número 2; a seguir aparece a de número 3, e assim por diante até a última, que encerra o maior número de moedas. Para evitar qualquer dúvida, direi desde logo que não é possível encontrar duas caixas com o mesmo número de moedas. O califa, seriamente intrigado, interpelou o vizir: — Não percebo, ó eloqüente Sabag, que problema seria possível formular com esses dinares distribuídos por oito caixinhas. Por Allah! Não percebo! O vizir Sabag, quando moço, fora professor primário e havia aprendido, diante das classes, a ensinar os iletrados, a esclarecer as dúvi-das dos menos atilados e dirimir as questões sugeridúvi-das pelos mais espertos. Firmemente resolvido a elucidar o glorioso soberano, o velho mestre-escola

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assim falou: — Cumpre-me dizer, ó Rei do Tempo, que os dinares não foram distribuídos ao acaso pelas oito caixas. Cada caixa encerra um certo número de moedas. São ao todo, portanto, oito quantias em dinares. Com as quantias distribuídas pelas oito caixas, podemos fazer qualquer pagamento, desde um dinar até o número total contido nas oito caixas, sem precisar abrir nenhuma caixa ou tocar em moeda alguma. Basta separar, da coleção que se acha sobre a bandeja, uma, duas, três, quatro ou mais caixas, e será obtido o total desejado. — Iallah! É curioso! — comentou maravilhado o emir. — Segundo posso inferir de tua explicação, o arranjo dos dinares, distribuídos pelas oito caixas, permite que se possa retirar do total a quantia que se quiser, sem vi-olar nenhuma das caixas, sem remover moeda alguma? — Isso mesmo! — confirmou pressuroso o vizir. — Digamos que fosse vosso desejo retirar, por exemplo, do total a quantia de 212 dinares. Nada mais simples. No grupo das oito caixas há algumas cujas porções nelas contidas perfazem a soma de 212. Consistirá a dificuldade do problema, para cada caso, em determinar as caixas que devem ser separadas, a fim de que se obtenha uma determinada quantia, pois o que se fez para 212 poder-se-á fazer para 200, 49, 157, ou qualquer número inteiro até o total de moedas. Feita breve pausa, a fim de permitir que o rei pudesse fixar idéias e refletir sobre o caso, o inteligente vi-zir rematou: — Eis, ó Comendador dos Crentes, em resumo, o problema que poderia ser proposto, diante da corte, ao genial calculista: “Sabendo que es-tas caixas, numeradas de um até oito, contêm dinares em números que não se repetem; sabendo-se também que é possível efetuar qualquer pagamento até o número total de moedas, sem abrir nenhuma caixa, pergunta-se: 1o

-Quantas moedas contém, respectivamente, cada uma das caixas? 2o - Como determinar, por meio do raciocínio, matematicamente certo, a quantia contida em cada uma? 3o - Qual o número total de moedas? 4o - Será possível re-solver o mesmo problema distribuindo-se as moedas por um número menor de caixas?” O divã do califado, isto é, o salão real das audiências, achava-se repleto de nobres e convidados quando, pelo soar surdo e solene do gongo, foi anunciada a visita de Beremiz Samir, “o homem que calculava”. No centro do suntuoso recinto, sobre luxuoso tapete, foi colocada a bandeja com as oito

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caixas que iriam servir de base para o problema. Al-Motacém Billah, Príncipe dos Crentes, que se achava em seu trono de ouro e púrpura, rodeado de seus vizires e cádis, dirigiu ao matemático amistosa saudação: — Sê bem-vindo, ó Beremiz! Sê bem-vindo sob a inspiração de Allah! Que a tua presença neste divã seja motivo de júbilo para todos os nossos amigos, e que de tuas palavras possamos colher as tâmaras deliciosas da sabedoria que eleva as almas e purifica os corações. Decorreu um momento de impressionante silên-cio. Competia ao visitante agradecer aquela honrosa saudação. Inclinando-se Beremiz diante do rei, assim falou: — Allah badique, ia Sidi! — Deus vos con-duza, ó Chefe! Admiro, estimo e exalto aqueles que governam com justiça, bondade e sabedoria. É esse o vosso caso, ó Emir dos Árabes, e todos os vossos súditos proclamam essa verdade. A vossa justiça assegura o poderio do Estado; a vossa bondade cria preciosas dedicações; e a vossa sabedoria fortalece e perpetua a confiança do povo. Ai daqueles cujos governantes são sábios mas regem a vida pela injustiça das ações que praticam! Ai daqueles cujos chefes e dirigentes são justos mas desconhecem a bondade! E Allah, o Clemente, se compadeça daqueles que se acham sob o jugo de homens ignorantes, pérfidos e iníquos. — As tuas palavras, ó calculista — respondeu o rei mansamente — são para mim como brincos de ouro e rubis. Servem-me de estímulo e enchem-Servem-me de orgulho. Vou, mais uma vez, abusar de tua gentileza. Será um encanto, não só para mim, como para todos os nobres, vizires e cheiques que aqui se acham, ouvir a tua palavra, a tua doutíssima opinião, sempre original e brilhante, sobre um problema aritmético que parece desafiar o engenho dos mais insignes matemáticos. Esse problema, formu-lado pelo vizir Sabag, poderia ser enunciado nos seguintes termos: “Sobre aquela bandeja estão oito caixas. Cada caixa contém um certo número de moedas, e não há duas caixas com o mesmo número de moedas. Afirma o vizir Sabag que a distribuição de moedas pelas oito caixas foi feita de modo a permitir que se possa, do total, destacar qualquer quantia, desde um dinar, sem abrir nenhuma caixa, isto é, sem tocar nas moedas. Resta agora de-terminar quantas moedas contém cada caixa e qual o total de moedas. Para facilitar a exposição, as caixas estão numeradas de um até oito, segundo a

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ordem crescente das quantias que encerram”. E o califa rematou, depois de breve pausa: — Como orientarias, ó calculista, a solução desse engenhoso problema? Beremiz Samir, “o homem que calculava”, como bom súdito, não se fez de rogado. Cruzou lentamente os braços, baixou o rosto e pôs-se a meditar. Depois de coordenar as idéias, iniciou a preleção sobre o caso, nos seguintes termos: — Em nome de Allah, Clemente e Misericordioso! Esse problema é, realmente, um dos mais interessantes que tenho ouvido, e a sua solução, por ser simples e suave, põe em relevo a beleza e a simplicidade sem par da Matemática. Vejamos. A distribuição dos dinares pelas oito caixas foi feita de modo a permitir que separemos uma quantia qualquer, a partir de um dinar, destacando-se da coleção uma, duas, três ou mais caixas. Resta deter-minar o conteúdo de cada caixa. É evidente que a primeira caixa deve conter um dinar, pois do contrário não poderíamos destacar a unidade do total. Eis a conclusão algemada pela evidência: a caixa designada pelo número 1 contém um dinar. A segunda caixa deverá conter, forçosamente, dois dinares, pois a quantia de um dinar não pode ser repetida, e se a segunda caixa tivesse três, quatro ou mais dinares não seria possível separar dois dinares do total. Con-clusão: já conhecemos os conteúdos respectivos das duas primeiras caixas. Com auxílio dessas duas caixas podemos obter um, dois ou três dinares. Pas-semos agora à terceira caixa. Quanto deveria conter? A resposta impõe-se imediatamente: quatro dinares. Com efeito, se a terceira caixa encerrasse mais de quatro dinares, não seria possível, conservando intactas as caixas, separar quatro dinares do total. Para as três primeiras, temos, portanto: 1a caixa: 1 dinar; 2a _{caixa: 2 dinares; 3}a _{caixa: 4 dinares. Com auxílio dessas}

três caixas, podemos formar todas as quantias desde um até sete dinares. Sete representaria o total das três primeiras caixas, isto é, um mais dois mais quatro. Repetindo o mesmo raciocínio, somos levados a afirmar que a caixa seguinte, isto é, a quarta, deverá conter oito dinares. A inclusão desta caixa com oito dinares permitirá separar do total todas as quantias desde um até quinze. O quinze é formado pelo conteúdo das quatro primeiras caixas. E a quinta caixa? Não oferece o cálculo de seu conteúdo a menor dificuldade. Uma vez demonstrado que as quatro primeiras caixas totalizam quinze, é

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evi-dente que a quinta caixa deverá encerrar dezesseis dinares. A inclusão da quinta caixa ao grupo das quatro primeiras permite que formemos qualquer número desde um até trinta e um, inclusive. O total trinta e um é obtido pela soma das cinco primeiras. Neste ponto fez o calculista uma pausa rapidís-sima, e logo prosseguiu: — Vejamos, pelo encadeamento natural de nosso raciocínio, se é possível descobrir uma lei, ou regra, que permita calcular os conteúdos respectivos das outras caixas restantes. Para isso convém recapi-tular: 1a _{caixa: 1 moeda; 2}a _{caixa: 2 moedas; 3}a _{caixa: 4 moedas; 4}a _caixa:

8 moedas; 5a _{caixa: 16 moedas. Observemos que cada caixa, a partir da}

se-gunda, contém sempre o dobro do número de moedas da caixa precedente. Dizem os matemáticos que os números 1, 2, 4, 8 e 16 formam uma progres-são geométrica crescente, cuja razão é dois — um sistema binário, portanto. Dada a natureza do problema, é fácil provar que se mantém a mesma pro-gressão fixando os conteúdos das quatro caixas seguintes. Temos então: 6a

caixa: 32 moedas; 7a caixa: 64 moedas; 8a caixa: 128 moedas; E o total de moedas em todas as caixas, portanto, é 255. — Uassalã!

(Adaptado de Malba Tahan, O homem que calculava – Conquista, Rio, 1965)

Avaliação:

A avaliação contemplará o acompanhamento das atividades de resolução, partici-pação da dinâmica e do jogo. Para fins de registro, será aplicada uma avaliação diagnóstica, obtida através de uma lista de exercícios objetiva com questões retira-das retira-das provas de OBMEP, ENEM e demais concursos.

(24)

1.1.1 Relatório:

Relatório do dia 20/04/2019

A aula de sábado começou às 8 horas, com o conteúdo de frações. A aula se iniciou com a apresentação dos professores, visando uma acolhida que pudesse for-necer informações à respeito dos alunos, suas expectativas em relação ao curso, e suas dificuldades e necessidades matemáticas. A primeira atividade foi um jogo de dominó com figuras do Tangram, buscando que percebessem o conceito de fração com uma abordagem diferente das que estavam acostumados. Os alunos tiveram bastante dificuldade, o que já era esperado. Para tanto, num segundo momento foi apresentado um slide, que buscava facilitar o entendimento sobre qual fração cor-responderia à figura dada na peça de dominó. Após visualizarem esse recurso, os alunos conseguiram progredir com muito mais facilidade no jogo. Posteriormente, foi formalizado o conteúdo de números racionais, seguindo então com uma lista de exercícios do Enem. Os professores circularam nesse momento visando mediar as dificuldades apresentada. Foram observadas muitas dúvidas e erros básicos no processo de operação entre frações, como por exemplo, dificuldade em operar frações com denominador diferente. Por último foi dada uma Atividade Avaliativa com oito questões. Os alunos se apresentaram bastante surpresos por já serem avaliados logo no primeiro encontro.

1.2 Plano de Aula 2

o

Encontro PROMAT

Público-Alvo:

Alunos do 3o _{ano do Ensino Médio da Rede Pública de Ensino - NRE}

CASCA-VEL, inscritos no projeto.

Tempo de execução:

Objetivo Geral:

Desenvolver técnicas para solução de problemas que envolvam o conteúdo Ra-zão e proporção. Relacionar grandezas de forma diretamente proporcional e

(25)

inver-samente proporcional.

Objetivos Específicos:

Ao se trabalhar com Razão e proporção, objetiva-se que o aluno seja capaz de:

• Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

• Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

• Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

Conteúdo:

Razão e Proporção

Recursos Didáticos:

Quadro, giz, apagador, Receitas culinárias, lista de exercícios.

Dinâmica de apresentação:

Encaminhamentos metodológicos:

(a) Nessa etapa os membros do grupo devem conversar com os alunos so-bre a aula anterior e perguntar soso-bre membros novos.

(26)

(a) Se houver alunos novos, esses devem se apresentar seguindo a dinâ-mica da aula anterior.

3. Correção da Avaliação Diagnóstica (Anexo 01) aplicada na aula anterior . (20 min)

(a) Discussão sobre as questões.

4. Distribuição dos grupos conforme as notas da lista de exercícios. . . . (20 min)

(a) Utilizando-se as notas da avaliação diagnóstica no primeiro encontro, os alunos foram dispostos em grupos de 3 ou 4 membros de forma que cada grupo tenha alunos com notas alta, média e baixa.

5. Atividade da receita . . . (20 min)

(a) Cada grupo deve receber duas receitas culinárias do cotidiano. (b) Cada receita deve servir um determinado número de pessoas.

(c) O grupo terá de adaptar cada receita para que sirvam um número arbi-trário de pessoas.

(d) As receitas terão medidas convencionais e arbitrárias.

6. Intervalo . . . (20 min)

7. Explanação das receitas adaptadas. . . (20 min)

(a) Cada grupo terá de falar sobre a sua receita e tentar explicar o raciocínio utilizado para adaptar a receita.

8. Institucionalização do conteúdo. . . (20 min) Em nosso cotidiano, é fácil depararmo-nos com medidas que refletem o con-ceito de razão. Razão: é a relação existente entre dois valores de uma mesma grandeza. É expressa geralmente como "a para b", a:b ou a/b, e algumas ve-zes representada aritmeticamente como um valor real das duas quantidades que indica explicitamente quantas vezes o primeiro número contém o segundo

(27)

(não necessariamente um valor inteiro). Proporção: Quando duas razões pos-suem o mesmo resultado, dizemos que elas são proporcionais. Se essas ra-zões representam medidas de alguma grandeza, também dizemos que elas são proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais:

São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é dividida em duas partes iguais a outra também é dividida à metade.

Exemplo 1 Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos cus-tará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número de cadernos também dobramos o valor dos cadernos.

Grandezas inversamente proporcionais:

Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas te-mos que dividir a outra por dois, se triplicate-mos uma delas devete-mos dividir a outra por três e assim sucessivamente. A velocidade e o tempo são considera-dos grandezas inversamente proporcionais, pois aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido, e se diminuímos a velocidade, o tempo aumenta.

Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui, o número de vasilhas aumenta no intuito de encher o tanque. As duas grandezas são muito utilizadas em situações de comparação, isto é comum no cotidiano. A utilização da regra de três nos casos envolvendo proporcionalidade direta e in-versa é de extrema importância para a obtenção dos resultados. Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante. 50 x 10 = 500 = 4 x 150 = 5 x 100 = K

9. Lista de Exercícios (Anexo 03) . . . (30 min) 10. Desafio dos rubis nos cofres

Alguém roubou um rubi e o colocou em 1 de 4 cofres. Os cofres foram alinha-dos e numeraalinha-dos como 1, 2, 3 e 4 nesta ordem.

(28)

cofre 1 cofre 2 cofre 3 cofre 4

Existem 4 chaves diferentes, cada uma de uma cor diferente.

Use as seguintes dicas para descobrir qual chave abre qual cofre e onde foi colocado o rubi:

(a) A chave verde abre o terceiro ou o quarto cofre. (b) O rubi está à esquerda do cofre 4.

(c) O rubi está à direita do primeiro cofre.

(d) A chave amarela abre o cofre a esquerda do cofre do rubi.

(e) A chave azul abre o cofre da direita do daquele aberto pela chave amarela e abre o cofre da esquerda, aberto pela chave verde.

(f) A chave vermelha abre o cofre cujo número é ímpar e não é um número primo.

Solução:

(a) O rubi está no cofre 3.

(b) A chave vermelha abre o cofre 1. (c) A chave amarela abre o cofre 2. (d) A chave azul abre o cofre 3. (e) A chave verde abre o cofre 4.

1.2.1 Relatório:

A aula de sábado começou às 8 horas. O conteúdo programado era razão e proporção. Começamos a aula com a apresentação dos alunos que ainda não ti-nham comparecido na primeira aula. No segundo momento, retomamos o assunto da última aula, fazendo a correção das atividades que foram dadas como avalia-ção. Seguidamente Em seguida, foi formalizado o conteúdo de razão e proporavalia-ção. Após isso, os alunos foram separados em grupos de 4 alunos de forma que cada grupo tivesse um aluno de nota alta, um de media e um de baixa e incentivar que se

(29)

ajudassem. Em grupos, iniciou-se uma atividade que envolvia receitas de comidas. Cada grupo recebeu 4 receitas e teriam que fazer adaptar cada receita para uma nova quantidade de porções para aquela mesma receita. Depois dos grupos rea-lizaram as contas da nova receita a atividade, discutimos com cada equipe como cada um chegaram a conclusão nova receita e se aquela maneira estaria correta. Por fim, foi passada uma atividade contendo questões do Enem, que seriam corri-gidas na próxima aula.

(30)

1.3 Plano de Aula 3

o

Encontro PROMAT

PLANO DE AULA - 3o_{ENCONTRO - 13/04/2019}

Público-Alvo:

Alunos do 3o ano do Ensino Médio da Rede Pública de Ensino - NRE CASCA-VEL, inscritos no projeto.

Tempo de execução:

Objetivo Geral:

Resolver e elaborar problemas que envolvam Regra de Três simples e Com-posta.

Objetivos Específicos:

Ao se trabalhar com Regra de Três, objetiva-se que o aluno seja capaz de: • Identificar situações-problema onde seja possível resolver com regra de três

simples e composta.

• Compreender os algoritmos da regra de três simples e composta.

• Resolver situações-problema aplicando regra de três Simples ou Composta.

Conteúdo:

Regra de três.

Recursos Didáticos:

Quadro, giz, projetor, lista de exercícios, projetor multimídia.

Dinâmica de apresentação:

(31)

Encaminhamentos metodológicos:

(a) a. Nessa etapa os membros do grupo devem conversar com os alunos sobre a aula anterior.

2. Retomada . . . (30 min)

(a) a. Resolver no quadro as questões da lista de exercícios da aula anterior (Anexo 03).

Desafio do Dia

Alguém roubou um rubi e o colocou em 1 de 4 cofres. Os cofres foram alinhados e numerados como 1, 2, 3 e 4 nesta ordem. cofre 1 cofre 2 cofre 3 cofre 4

Existem 4 chaves diferentes, cada uma de uma cor diferente.

Use as seguintes dicas para descobrir qual chave abre qual cofre e onde foi colocado o rubi:

1. A chave verde abre o terceiro ou o quarto cofre. 2. O rubi está à esquerda do cofre 4. 3. O rubi está à direita do primeiro cofre. 4. A chave amarela abre o cofre a esquerda do cofre do rubi. 5. A chave azul abre o cofre da direita do daquele aberto pela chave amarela e abre o cofre da esquerda, aberto pela chave verde. 6. A chave vermelha abre o cofre cujo número é ímpar e não é um número primo.

Solução O rubi está no cofre 3. A chave vermelha abre o cofre 1. A chave amarela abre o cofre 2. A chave azul abre o cofre 3. A chave verde abre o cofre 4.

3. Resolução de problemas . . . .(60 min)

(32)

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5

Fernanda Daniel da S. Gisele Henrique Denilson Helen Daniele P de S Gustavo Eduarda S. Elaine Daniela G Gabriela P Eduarda Flavia C Gabrielle A. Guilherme Honara Gabrieli Hérica Hemilly Grupo 6 Grupo 7 Grupo 8 Grupo 9 Grupo 10 Gabriel Daniele R Gabriella

Felipe David Eduarda E Gabrieli C. Gabriel Evelin Gabriel F. Danieli Gabriella

(b) Será aplicada uma lista de exercícios a ser resolvida pelos grupos. i. Júlio reside no Ceará e trabalha para uma empresa que presta

ser-viços em São Paulo. A cada 16 dias que ele trabalha em São Paulo, tem direito a 3 dias de folga. Ele pretende viajar com a família e deci-diu acumular suas folgas para estender o período de férias. Nessa in-tenção, ele trabalhou 96 dias sem folgas este ano. Diante do exposto e mantendo o padrão do número de dias trabalhados e o número de folgas, responda:

Quantos dias de folga Júlio terá por ter trabalhado 96 dias? Para ele obter mais 30 dias de folgas, quantos dias de trabalho seguidos serão necessários?

Se Júlio trabalhasse 60 dias seguidos, ele conseguiria quantos dias de folga? Se o número de folgas não foi exato, quantos dias ele teria que trabalhar para completar o período e obter o benefício? Solução I 16 3 96 D 16.D = 96.3 16D = 288 D = 288/16 D = 18 Solução II 16 3 T 30 16.30 = 3T 480/3 = T 160 = T Solução III 16 3 60 D 16.D = 3.60 D = 180/16 D = 11,25

Porém 11,25 não é exato pois 60 não é divisível por 16. Mas 64 é então: 16 3 64 D

(33)

16.D = 3.64 D = 192/16 D = 12 Porém são mais 4 dias de trabalho. ii. (ENEM 2013) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias

brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Di-mensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Conside-rando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapas-sar a carga máxima do caminhão?

Solução Tijolos(x) Telha (y) 1500y = 1200x y = 1200x/1500 = 4x/5 Nx = 900 .(4x/5) N = 900.4/5 = 720 1200 – 720 = 480 tijolos

iii. Uma loja de brinquedo está fazendo uma campanha, onde a cada 20 brinquedos vendidos, ela faria a doação de 2 brinquedos para o orfanato Criança Feliz.

Se durante o tempo da promoção foram vendidos 560 brinque-dos, quantos brinquedos deverão ser doados ao orfanato?

Para a loja conseguir fazer a doação de 80 brinquedos, quantos precisam vender?

Solução I 20 2 560 B

20.B = 560.2 20B= 1120 B = 1120/20 D = 56 Solução II 80.20 = 2.D 1600/2 = D 800 = D

iv. (ENEM 2015) Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.

(34)

Figura 1.5: Disponível em: www.abipet.org.br. Acesso em: 12 jul. 2012 (adap-tado).

Caneta (c) = 16.8 Foto da canete (f) = 1,4 logo c/f = 12

Largura = 12 . 2,2 = 26,4 cm Comprimento= 12. 3,4 = 40,8 cm (c) Cada grupo será incentivado a ir ao quadro socializar a solução de pelo

menos um problema.

4. Intervalo . . . (20 min)

5. Exemplos de situações problema envolvendo regra de três . . . (20 min) (Unifor–CE) Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? Impressora | Planfetos | Tempo 6 1000 40min 3 2000 Xmin

Solução:

40 / X = 1000/2000 * 3/6 40 / x = 1/2 * 3/6 40 / x = 3/12 40 / x = 1/4 x = 40*4 x = 160 X = 2H e 40 Min

(UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa em-presa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?

(35)

Solução:

25/x = 1250/750 1250x = 25 * 750 1250x = 18750 x = 18750 / 1250 x = 15 (UFRGS-RS) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma ma-quete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessá-rios para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura? 4kg de fios => 14mts de maquete => 80cm de largura xkg de fios => 350mts de maquete => 120cm de largura

Solução:

4/x = 14/350 * 80/120 4/x = 1120/42000 1120*x = 4 * 42000 1120x = 168000 x = 168000/1120 x = 150

(Unifor–CE) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.

Solução:

Páginas Linhas Letras 6 45 80 x 30 40 6/x = 30/45 * 40/80 6/x = 1200/3600 1200x = 6 * 3600 1200x = 21600 x = 21600/1200 x = 18

6. Maratona Matemática . . . (80 min)

(a) Apresentação das regras do Jogo. A ideia principal do jogo é resolver o maior número de questões no menor tempo possível. Uma única folha de questões deverá ser passada para cada grupo. Os grupos devem se organizar quanto ao modo de resolver os exercícios. A cada exercício resolvido o grupo deve chamar um dos professores para conferência. Se o exercício estiver correto, o grupo ganha 1 ponto e um balão. Vence o grupo que tiver o maior número de problemas resolvidos. Em caso de empate no número de problemas: Vence o time com menor tempo “corrigido”. A cada problema cuja solução apresentada for incorreta, 5 minutos serão adicionados ao tempo do grupo.

(36)

i. Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Em 28 minutos, quantas voltas essa roda dará?

ii. Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas, para fazer o mesmo traba-lho?

iii. Com 6 pedreiros podemos construir uma parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede?

iv. Uma fábrica engarrafa 3.000 refrigerantes em 6 horas. Quantas ho-ras levará para engarrafar 4.000 refrigerantes?

v. Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário?

vi. Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa?

vii. Um ciclista percorre 150 km em 4 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia?

viii. Uma máquina fabricou 3.200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia, durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia, para fabricar 5.000 parafusos em 15 dias?

ix. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas le-varão 10 torneiras para encher duas piscinas?

x. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 tonela-das de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

xi. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300 metros. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225 metros?

xii. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês (30 dias), viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma

(37)

velocidade média de 60 km/h?

(c) A resolução das perguntas se dará em grupo, de modo competitivo con-forme o regulamento do jogo.

(d) Respostas da Maratona Matemática 1) 112 voltas 2) 4 dias 3) 16 dias 4) 8 horas 5) 8 dias 6) 90 dias 7) 8 dias 8) 10 horas 9) 6 horas 10) 35 dias 11) 15 dias

(38)

1.3.1 Relatório:

A aula começou às 8 horas. O conteúdo programado era regra de três. Co-meçamos a aula com a acolhida aos alunos, foram realizadas apresentações entre professores e alunos novos. Em seguida, retomamos o assunto da última aula, fa-zendo a correção de alguns exercícios da lista do 2o _{encontro. Em seguida, foram}

entregues os materiais impressos para os alunos. A aula teve foco na resolução de problemas envolvendo regras de três. Os alunos começaram a resolver a primeira lista de forma individual e após um período, alguns alunos foram convidados a ir ao quadro socializar as soluções. Após o término da atividade, os alunos foram orga-nizados em grupos com 3 a 4 membros para a resolução da lista de regra de três composta, o objetivo era estimular a cooperação entre os membros. As dificuldades na atividade foram pontuais na maioria dos grupos. Após um tempo de tentativas, os professores foram ao quadro para exemplificar a solução e institucionalizar o con-teúdo através de exemplos da própria lista. Após o intervalo, os grupos concluíram a atividade 2. Após a conclusão da lista de exercícios, os mesmos grupos continua-ram reunidos para realizar a maratona matemática, uma atividade onde cada grupo recebe um único caderno de questões a serem resolvidas, cujo objetivo é incentivar a colaboração entre os membros do grupo. Porém, os grupos deveriam atuar de maneira competitiva entre si, pois cada problema resolvido gerava uma premiação simbólica (balões) conforme regras pré-estabelecidas. A atividade iniciou e muitos grupos apresentaram certa facilidade na resolução dos problemas, o que demonstra evolução da turma. A aula foi encerrada as 11:40.

1.4 Plano de Aula 4

o

Encontro PROMAT

Público-Alvo:

Alunos do 3o _{ano do Ensino Médio da Rede Pública de Ensino - NRE}

CASCA-VEL, inscritos no projeto.

Tempo de execução:

(39)

Objetivo Geral:

Desenvolver técnicas para que se solução de problemas que envolvam o con-teúdo de Monômios e Polinômios. Perceber a importância do estudo de polinômios dentro da Matemática.

Objetivos Específicos:

Ao se trabalhar com Monômios e Polinômios, objetiva-se que o aluno seja capaz de:

• Resolver problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o _{grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da}

igualdade.

• Resolver problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o _{grau com duas incógnitas e}

interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

• Resolver com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser repre-sentados por equações polinomiais de 2o _grau.

• Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o_grau.

Conteúdo:

Monômios e Polinômios

Recursos Didáticos:

Quadro, giz, apagador, lista de exercícios, Geogebra.

Dinâmica de apresentação:

(40)

Encaminhamentos metodológicos:

1. Acolhida . . . (10 min) Nessa etapa os membros do grupo devem conversar com os alunos sobre a aula anterior.

2. Apresentação do Conteúdo . . . (15 min)

(a) Apresentar o conteúdo de monômios e polinômios. (b) Investigar o que os alunos conhecem sobre o tema.

3. Distribuição da turma em grupos. . . (15 min)

4. Atividade 1 – Construção das Caixas . . . (60 min)

(a) A atividade consiste na confecção de uma caixa de papel maleável e visa a construção de situações onde pode-se aplicar o conteúdo de monômios e polinômios.

A partir de uma folha de papel maleável retangular, queremos fazer uma caixa sem tampa. Para isso, quatro quadrados de lado x serão cortados dos cantos da folha, como mostra a Figura 1.15

(41)

Figura 1.7: Representação do Modelo da Caixa.

Cada aluno deverá receber uma folha de papel para a confecção das caixas e cada grupo receberá um valor de x. À medida que x varia, o volume também varia, isto é, o volume da caixa depende da variável x que, neste problema, representa o tamanho do corte que determinará a altura da caixa a ser montada.

Questionamentos

i. Qual deve ser o valor do volume da caixa para x=2?

ii. Qual deve ser o valor de x para que a área total de superfície da caixa sem tampa, seja maior ou igual a 108cm2_?

iii. Qual a área da superfície da caixa? iv. Quais os possíveis valores de x?

v. Qual o valor de x para que o volume seja o máximo possível? (b) Resolução da Atividade.

Soluções

i. V = A.B.C onde: A = a – 2x B = b – 2x C = x ii.

iii. Área = L.C + 2.C.A + 2.L.A L = largura C = comprimento A = altura iv. 0< x < a/2

(42)

(c) Socialização da Atividade.

5. Institucionalização do Conteúdo . . . (20 min) Expressão algébrica definida apenas pela multiplicação entre o coeficiente e a parte literal. Exemplos:

2x, 4ab, 10x2_{, 20xyz, 30abc, 2z, y, b}2_{, 100ax}3

Monômios semelhantes

Expressões algébricas que possuem a parte literal semelhante. Exemplos: 2x e 4x 7x2 _{e 8x}2 10ab e 3ab 2ya e 6ya 7bc e 9cb 100z e 20z

Adição e subtração de monômios

A adição e a subtração de monômio devem ser efetuadas quando as partes literais são semelhantes. Exemplos:

2a + 7a = 9a 5x – 2x = 3x 10ab – 9ab = ab 6y – 9y = – 3y

7bc + 3cb = 10bc ou 10cb – 12xy – 10xy = – 22xy

Multiplicação entre monômios

Ao multiplicar monômios em que as partes literais são semelhantes devemos seguir os seguintes passos: 1o _{passo: multiplicar os coeficientes 2}o _passo:

conservar a parte literal e somar os expoentes. Exemplos:

2x * 2x = 4x2

(43)

10a2_{b * 9a}2_b3 _{= 90a4b4}

5xyz * 6x2_y3_{z = 30x}3_y4z2

Ao multiplicar monômios com parte literal diferente devemos: 1o _{passo: multiplicar os coeficientes}

2o _{passo: agrupá-las, se as letras forem diferentes}

Exemplo: 2x * 3y = 6xy 4ab * 5z = 20abz 20c * 2ab = 40abc x * 6a = 6xa

Divisão entre monômios

Parte literal semelhantes 1o_{passo: dividir os coeficientes 2}o_{passo: conservar}

a parte literal e subtrair os expoentes Exemplo: 5x3 _{: 5x}2 _{= x} 10x2_y2 _{: 2x = 5xy}2 30z : 5z = 6 20b3 _{: 10b = 2b}2 Polinômios

Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles.

Exemplos: 2x2 _{+ 7x – 6}

10x3 _{+ x}2 _{– 9x}

6x + 5

(44)

14x4 + 7x3 _{– 20x}2 _{– 60x – 100}

Definição de Polinômio

Um polinômio de grau n é a função na forma:

anxn+ an−1xn−1+ an−2xn−2+ ... + a2x2+ a1x + a0, onde: an, an−1, an−2, ..., a2, a1, a0 Coeficientes do polinômio (an 6= 0) anxn, an−1xn−1, an−2xn−2, ..., a2x2, a1x, a0 Termos do polinômio a0 Termo independente x Variável 6. Intervalo . . . (20 min)

7. Exemplos de polinômios no Geogebra . . . (20 min) Passo a passo:

Apresentação do Software Geogebra. Colocar no quadro a função: f(x) = 2x + 4

Pedir que os alunos obtenham, por tentativa e erro, valores de pares (x,y) Abrir o software e digitar y = 2x + 4 no campo de função.

Com a ferramenta de ponto, inserir pontos dados pelos alunos. Os pontos devem pertencer a reta.

Mostrar que que numa reta tem infinitos pontos e que por esta razão cada um deles pode jogar o ponto que obedece a equação e no final ele pertencerá a reta.

Mostrar que nos pontos x = 0 temos y = b, o coeficiente linear. Mostrar y = 0, logo o valor de x é o zero da função.

Repetir o processo para a função polinomial de grau 2. Função polinomial de grau 2.

f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, ou f(x) = a(x - x1).(x - x2), a 6= 0

No Geogebra: y = x2 - 6x + 9 e mostrar aos alunos que:

(45)

∆= 0 ⇔ x1 = x2, neste caso x1 = x2 = 3

xv = 3

yv = 0

D = R

Im = x ∈ R | y > 0

y = 0 é o menor valor que a imagem assume, logo é chamado de valor mínimo. E se a função fosse -x2 _{- 6x + 9?}

Mostrar comportamento da função x2 _{– 4.}

8. Lista de Exercícios . . . (45 min) 1 - Faça o agrupamento dos monômios abaixo:

3ax + 5bx – 12ax – 15 bx + 4x Solução:

3ax + 5bx – 12 ax – 15 bx + 4x =

Agrupe os termos semelhantes: = 3ax – 12ax + 5bx – 15bx + 4x = = - 9ax – 10 bx + 4x = x em evidência: = x (– 9a – 10b + 4) 24aw + 6x – 12aw – 6x Solução: = 24aw – 12aw + 6x – 6x = = 12aw + 0 = = 12aw

2 - Resolva as adições de monômios abaixo: 15ax + 6ax

Solução:

(46)

Sendo assim: 15ax + 6ax = 21ax 1by/2 + 15by/6 Solução: MMC (2,6) = 2 . 3 = 6 3by/6 + 15by/6 = 18by/6 = 3by

3 - Resolva as subtrações abaixo: 25x/3 – 42x Solução: MMC (3, 1) = 3 = 25x/3 – 126x/3 = = – 101 x/3 12by – 7by Solução: (12 – 7) . by = 5by

4 - Resolva as expressões numéricas abaixo: a) 2x2 _{+ 20y}3 _{– 15y}3 _{– 36x}2

Solução:

2x2 _{– 36x}2 _{+ 20y}3 _{– 15y}3

resolvemos: 2x2 _{– 36x}2 _{e 20y}2 _{– 15y}3 _{- 34x}2 _{+ 5y}3

b) 6x2 _{/10 - 7x}2 _{/10 + 28x}2 _/10 Solução: (6−7+28)x2 10 = 27x2 10 = 2,7x2

5 - Considerando que p(x) = 2x3_{− kx}2_{+ 3x − 2k, para que valores de k temos}

(47)

Solução: p(x) = 2x3 _{– kx}2 _{+ 3x – 2k} p(2) = 4 2 * 23 _{– k * 2}2 _{+ 3 * 2 – 2k = 4} 16 – 4k + 6 – 2k = 4 – 4k – 2k = – 16 – 6 + 4 – 6k = –18 *(–1) 6k = 18 k = 3

6 - Temos que a raiz do polinômio p(x) = x2 _{– mx + 6 é igual a 6. Calcule o}

valor de m. Solução: p(x) = x2 _{– mx + 6} p(6) = 0 62 _{– m * 6 + 6 = 0} 36 – 6m + 6 = 0 – 6m = – 42 *(–1) 6m = 42 m = 42/6 m = 7

7 - Sendo p(x) = ax4 + bx3 _{+ c e q(x) = ax}3 _{– bx – c, determine os coeficientes}

a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2. Solução: p(0) = 0 → a * 04 + b * 03 + c = 0 → c = 0 p(1) = 0 → a * 14 + b * 13 + 0 = 0 → a + b = 0 q(1) = 2 → a * 13 – b * 1 – 0 = 2 → a – b = 2 a + b = 0 a − b = 2

(48)

2a = 2 a = 2₂ a = 1 a + b = 0 1 + b = 0 b = −1

8 - Determine o grau do polinômio P (x) = (a − 1)x3_{+ (a + 1)x}2_{− ax + a.}

Solução:

Grau = 3 se a 6= 1 Grau = 2 se a = 1

9. Socialização dos Exercícios . . . .(15 min) Os grupos devem ir ao quadro mostrar a solução encontrada nos exercícios.

(49)

1.4.1 Relatório

A aula começou às 8 horas. O conteúdo programado era Monômios e Polinô-mios. Começamos a aula com a acolhida aos alunos, foram realizadas apresenta-ções entre professores e alunos novos. Iniciamos o conteúdo com uma investigação dos aluno quanto ao tema, posteriormente apresentamos conceitos acerca do con-teúdo. Em seguida, foram entregues os materiais impressos para os alunos. A aula teve foco na construção dos conceitos de monômios e polinômios, apresenta-ção do comportamento de funções polinomiais e soluapresenta-ção de problemas envolvendo polinômios. Os alunos foram divididos em grupos de 3 4 pessoas sem nenhum critério específico, a primeira atividade consistia na construção de uma caixa sem tampa, a caixa foi construída com uma altura própria para cada grupo e foram feitas perguntas acerca da construção. Intervalo Foi realizada a conclusão da atividade de construção da caixa e os grupos foram convidados a socializar as medidas das caixas no quadro, apresentando o raciocínio utilizado. Os professores realizaram uma formalização do conteúdo de monômios e polinômios a partir da idéia de vo-lume. Foi apresentado o Software Geogebra, e a partir de exemplos de polinômios foi mostrado o comportamento de funções polinomiais sem introduzir o conceito de função. A última atividade aplicada foi a lista de exercícios de monômios e polinô-mios. A aula foi encerrada as 11:40.

(50)

Módulo 2

2.1 Plano de Aula 5

o

Encontro PROMAT

PLANO DE AULA - 5o_{ENCONTRO - 18/05/2019}

Público-Alvo:

Alunos do Ensino Médio da Rede Pública de Ensino - NRE CASCAVEL, inscritos no projeto.

Tempo de execução:

Objetivo Geral:

Desenvolver técnicas para solução de problemas que envolvam o conteúdo de Frações, decimais e porcentagens.

Objetivos Específicos:

Ao se trabalhar com Conjuntos Numéricos e Introdução a Funções objetiva-se que o aluno seja capaz de:

Conteúdo:

Conjuntos Numéricos e Introdução a Funções.

Recursos Didáticos:

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Dinâmica de apresentação:

Encaminhamentos metodológicos:

1. Acolhida . . . (05 min) Nessa etapa os membros devem fazer a acolhida aos alunos da classe.

2. Introdução dos conteúdos de conjuntos numéricos. . . (25 min)

3. Aplicação do Jogo Stop dos Conjuntos. . . (60 min) Regras do Jogo Stop dos Conjuntos:

O jogo é semelhante ao jogo do Stop tradicional.

Serão apresentados problemas matemáticos no quadro/projetor. Cada problema vai resultar em um valor numérico.

O jogador deve preencher a resposta do problema em cada linha.

O valor numérico da resposta deve pertencer aos conjuntos numéricos, logo deve ser preenchido.

Cada conjunto do problema vale:

• 2 pontos se somente um jogador conseguiu obter a solução; • 1 ponto caso mais de um jogador tenha obtido a solução;

• 0 pontos caso o jogador não obtenha a solução ou a solução seja incorreta. Vence o jogo aquele jogador que obtiver o maior número de pontos.

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Complexos Reais Racionais Inteiros Naturais Irracionais Somatório

Somatório final: Lista de problemas de conjuntos numéricos.

(a) No ano de 1992, os candidatos ao vestibular de uma faculdade foram distribuídos em 112 salas de 35 lugares cada uma. Tendo sido neces-sário, ainda, formar uma classe incompleta com 18 candidatos, quantos candidatos havia para o vestibular dessa faculdade?

(b) Eu e mais quatro amigos fomos a um restaurante. A conta de 65 reais foi dividida igualmente entre nós. Paguei a minha parte e fiquei ainda com 11 reais. Qual a quantia que eu tinha quando entrei no restaurante? (c) Um ônibus sai de um bairro e vai até a praça central de uma cidade,

retornando a seguir ao bairro. No percurso de ida, 47 passageiros pa-garam passagem e, na volta, 34 passageiros foram os pagantes. Se a passagem custa 2 reais, quanto a empresa arrecadou nesse ida e volta percurso?

(d) No início de 2015, Marcos tinha 1,32 m de altura. Se ele cresceu 0,13 m em 2015, quanto estava medindo no final de 2015?

(e) Marcos corre três vezes por semana. Na segunda-feira ele correu 3,7 km, na quarta-feira correu 2,9 km. Quanto ele deverá correr na sexta-feira para completar 10 km nesta semana?

(f) Uma fazenda possui 12,42 km2 de área. Ela deve ser dividida em três partes: metade ficará com Júlia; a terça parte com Beatriz; e a última parte com Janete. Qual área ficará com Janete?

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(g) Aristoteles precisa trocar parte da fiação elétrica de sua casa. Para isso, ele precisará de 17,40 m de fio. Se cada metro de fio custa R$ 1,30, quanto ele gastará?

(h) Sofocles recebe R$ 15,60 por hora como garçom. Em um determinado dia, ele recebeu R$ 132,60 pelo seu trabalho. Quanto tempo ele traba-lhou neste dia?

(i) Um livro tem 132 páginas. Leda já leu 7/11 desse livro. Quantas páginas ela já leu desse livro?

(j) Uma escola tem 54 professores. Desses, 5/9 são do sexo feminino. Quantas professoras há nessa escola?

Correção da atividade no coletivo. . . (20 min)

Intervalo . . . (20 min)

Situações hipotéticas de introdução a funções. . . .(30 min)

(a) Você entrou em um curso de graduação na universidade desejada e ga-nhou um carro como recompensa. Imagine que seu carro tenha um con-sumo médio de 15km/l de gasolina e esta custa em média R$: 4,00. Considerando que você utilize o carro para ir até a universidade todos os dias, faça a estimativa da distância entre sua casa e a universidade e calcule o quanto você gastaria em média por mês (22 dias letivos) para ir de casa até a universidade. Considere que você só deve realizar o trajeto de ida e volta e não deve usar o carro para outros fins e nem mudar a rota.

(b) Considerando a situação 1 e devido a inflação, o preço médio da gasolina tende a subir 10 centavos ao mês, lembrando que um bom universitário não tem férias, quantos reais você gastaria com gasolina em cada um dos 12 meses do ano?

(c) O ano passou e você fez um plano de fidelidade com um posto de gaso-lina de forma que o preço da gasogaso-lina se mantém fixo em R$ 4,00 por 12 meses. Porém, seu carro já não é novo, e a média de consumo tende a

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cair em 0,5 km/l ao mesmo, ou seja, se no primeiro mês o consumo era de 15 km/l, no segundo mês a média de consumo cai para 14.5 km/l e assim por diante. Quantos reais você gastaria com gasolina em cada um dos 12 meses do ano?

(d) Considerando a situação anterior, no décimo segundo mês, você encon-trou uma pessoa na universidade que mora a exatamente metade da distância do seu trajeto. Essa pessoa se propôs a ajudar no consumo da seguinte forma, pagando a gasolina gasta na metade do trajeto. Neste caso, quanto você gastou nesse mês?

Lista de Exercícios de Conjuntos Numéricos e Funções. . . (45 min)

(a) (CEFET - AL) Em relação aos principais conjuntos numéricos, é COR-RETO afirmar que:

Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é raci-onal.

Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro. Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real. Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racio-nal.

Todo número irracional é real.

(b) A respeito dos conjuntos numéricos, de suas definições e das relações de inclusão existentes entre eles, assinale a alternativa verdadeira:

O conjunto dos números naturais é formado pelos números inteiros positivos.

O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números inteiros positivos e negativos.

O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos números reais.

O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números na-turais.