4.3.1
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 58
Aplique o operador gradiente (4.10) em (4.13), como indicado em (4.9), e mostre que esta opera¸c˜ao realmente recupera o vetor for¸ca el´astica ⃗F = −kxˆı.
Exerc´ıcio 59
Aplique o operador gradiente (4.10) em (4.14), como indicado em (4.9), e mostre que esta opera¸c˜ao realmente recupera o vetor for¸ca gravitacional ⃗F = −mgˆȷ.
Exerc´ıcio 60
A massa m na Figura3.4est´a localizada na posi¸c˜ao
⃗r = xˆı + y ˆȷ. Mostre que o diferencial deste vetor
posi¸c˜ao ´e d⃗r = dxˆı + dy ˆȷ. Agora vamos efetuar
uma mudan¸ca de coordenadas. Das coordenadas cartesianas (x e y) para coordenadas polares (l e
θ): x = l cos θ, y = l sin θ, com l constante. Mostre
que o diferencial do vetor posi¸c˜ao torna-se
d⃗r =−l sin θ dθˆı+ l cos θ dθˆȷ
=−y dθˆı+ x dθˆȷ. (4.20) Calcule o vetor velocidade d⃗r/dt, dividindo o dife-
rencial da posi¸c˜ao (4.20) pelo diferencial do tempo
dt. Mostre que este vetor velocidade ´e perpendi- cular ao vetor posi¸c˜ao ⃗r = xˆı + y ˆȷ. Mostre que o
m´odulo deste vetor velocidade ´e
v = d⃗r
dt = l ˙θ. (4.21) Exerc´ıcio 61
Determine explicitamente a energia potencial (4.17) para o pˆendulo simples.
Exerc´ıcio 62
Considere a trajet´oria circular do pˆendulo mos- trado na Figura3.4. Esta trajet´oria pode ser des- crita usando o sistema polar (ou esf´erico) de coor- denadas apresentado no ApˆendiceCfazendo r = l e
ϕ = π/2. Como r e ϕ s˜ao constantes, ent˜ao seus di- ferenciais s˜ao nulos. Assim o operador gradiente em coordenadas polares (C.5), adaptado `a trajet´oria circular de raio l no plano XY , pode ser re-escrito como ⃗ ∇ = θˆ l d dθ. (4.22)
Da geometria plana sabemos que o arco compreen- dido pelo ˆangulo dθ numa circunferˆencia de raio l ´
e l dθ. Ent˜ao, no sistema polar de coordenadas, o vetor deslocamento infinitesimal ao longo de uma circunferˆencia de raio l ´e d⃗s = ldθ ˆθ, um vetor
na dire¸c˜ao do versor ˆθ (tangente `a trajet´oria) de m´odulo ldθ. Mostre que o vetor velocidade tangen- cial ´e
⃗
v = l ˙θ ˆθ. (4.23) Seguindo este modelo, a componente tangencial da for¸ca peso (a ´unica parte da for¸ca resultante que realmente realiza trabalho, pois a outra parte est´a na dire¸c˜ao radial, perpendicular ao deslocamento, pode ser escrita como ⃗Fθ = −mg sin θ ˆθ. Ent˜ao
use a defini¸c˜ao (4.8) para mostrar que a energia potencial calculada por
V =− ∫ θ 0 ⃗ Fθ· d⃗s (4.24) ´
e igual `a energia potencial encontrada em (4.17). Feito isto, use a prescri¸c˜ao (4.9), com o gradiente na forma (C.5), para recuperar ⃗Fθ=−mg sin θ ˆθ.
4.4
Energia mecˆanica
Considere um sistema contendo apenas for¸cas con- servativas. Ent˜ao, usando a defini¸c˜ao (4.8) de ener- gia potencial, podemos substituir o trabalho pela energia potencial correspondente (∆W = −∆V ) no Teorema7para obtermos
∆T = ∆W =−∆V
⇒ ∆T + ∆V = ∆(T + V ) = 0. (4.25)
Este resultado ´e simplesmente surpreendente pois, em geral, tanto a energia cin´etica T quanto a ener- gia potencial V variam ao longo de uma determi- nada trajet´oria, ou seja, s˜ao fun¸c˜oes do tempo. A ´
ultima express˜ao em (4.25) est´a nos dizendo que a soma T + V ´e uma constante. Al´em disso, como os extremos de qualquer trajet´oria podem ser escolhi- dos arbitrariamente, ent˜ao a soma T + V deve ser independente do tempo, ou seja, ´e uma quantidade conservada. Encontrar uma quantidade conservada ´
e como encontrar uma agulha em um palheiro. Esta quantidade conservada merece um nome pr´oprio: energia mecˆanica,
Cap´ıtulo 4. Leis de conserva¸c˜ao I 4.4. Energia mecˆanica
Portanto, a energia mecˆanica de um sistema con- tendo for¸cas conservativas ´e uma quantidade con- servada. Isto justifica o adjetivo “conservativo” para as for¸cas conservativas. Um sistema con- tendo somente for¸cas conservativas ser´a denomi- nado tamb´em de sistema conservativo. Bem, en- contramos ent˜ao a outra lei de conserva¸c˜ao (al´em da conserva¸c˜ao do momentum linear):
Teorema 8 (Energia mecˆanica)
A energia mecˆanica em um sistema conservativo ´e uma quantidade conservada,
∆E = 0, E = T + V. (4.27) N˜ao podemos esquecer que a defini¸c˜ao (4.8) de energia potencial somente est´a estabelecida para sistemas conservativos, ou seja, quando o trabalho numa trajet´oria fechado qualquer ´e nulo. Para sis- temas n˜ao-conservativos, n˜ao ´e mais verdade que o trabalho depender´a apenas das posi¸c˜oes inicial e final, impossibilitando assim a defini¸c˜ao de uma fun¸c˜ao (potencial) da posi¸c˜ao. Al´em disto, n˜ao po- demos garantir que toda energia trocada com um sistema n˜ao-conservativo ser´a armazenda somente nas formas de energia cin´etica e potencial, pois pode haver perdas por qualquer processo dissipa- tivo, como atrito, por exemplo.
Exemplos, coment´arios e aplica¸c˜oes. Vamos tomar novamente um oscilador harmˆonico cons- titu´ıdo por uma massa m e uma for¸ca el´astica de constante k como exemplo. Em um determinado instante de tempo t qualquer, a energia mecˆanica (4.26) deste sistema, juntando os resultados da Se¸c˜ao4.2, defini¸c˜ao (4.6), e da Se¸c˜ao4.3, express˜ao (4.13), ´e E = T + V = 1 2m ˙x 2+1 2kx 2, (4.28)
na qual fizemos a escolha V (0) = 0. Este sis- tema ´e um excelente caso de estudo porque n´os te- mos a equa¸c˜ao hor´aria x(t) determinada como uma fun¸c˜ao expl´ıcita do tempo, a express˜ao (3.80),
x(t) = A cos(ω0t + ϕ), ω0= √
k
m. (4.29)
Podemos ver claramente que tanto a energia cin´etica T quanto a energia potencial V est˜ao vari- ando no tempo. No entanto, quando substitu´ımos (4.29) em (4.28) (fa¸ca o Exerc´ıcio 63), obtemos
uma energia mecˆanica constante (independente do tempo), E =1 2kA 2=1 2mω 2 0A 2. (4.30)
Considere agora uma massa m em queda livre de uma altura h acima da superf´ıcie da Terra. Des- preze qualquer tipo de dissipa¸c˜ao. Em um deter- minado instante de tempo t qualquer, a energia mecˆanica (4.26) deste sistema, juntando os resul- tados da Se¸c˜ao4.2, defini¸c˜ao (4.6), e da Se¸c˜ao4.3, express˜ao (4.14), ´e
E = T + V = 1
2m ˙z
2+ mgz (4.31)
na qual fizemos a escolha V (0) = 0. Este sis- tema tamb´em ´e um excelente caso de estudo, pois tamb´em temos a equa¸c˜ao hor´aria z(t) determinada como uma fun¸c˜ao expl´ıcita do tempo, express˜ao (3.35),
z(t) = h−1
2g t
2. (4.32)
Podemos ver claramente que tanto a energia cin´etica T quanto a energia potencial V est˜ao vari- ando no tempo. No entanto, quando substitu´ımos (4.32) em (4.31) (fa¸ca o Exerc´ıcio 64), obtemos uma energia mecˆanica constante (independente do tempo),
E = mgh. (4.33) O pˆendulo da Figura 3.4 ´e tamb´em um ´otimo exemplo de um sistema conservativo. O m´odulo do vetor velocidade da massa m pode ser calculado se- guindo o procedimento descrito no Exerc´ıcio (60). A energia potencial deste pˆendulo foi calculada an- teriormente, express˜ao (4.17). Ent˜ao, a energia mecˆanica deste pˆendulo pode ser escrita na forma
E = T + V = 1 2I ˙θ 2+ Iω2 0(1− cos θ), (4.34) com I = ml2, ω0= √ g l. (4.35)
Embora n˜ao tenhamos uma fun¸c˜ao simples para ex- pressar a equa¸c˜ao hor´aria θ(t) explicitamente em fun¸c˜ao do tempo, como nos casos anteriores, para verificarmos que a energia mecˆanica (4.34) ´e de fato independente do tempo, isto pode ser verificado fa- cilmente calculando a equa¸c˜ao hor´aria θ(t) numeri- camente (fa¸ca o Exerc´ıcio65).
4.4. Energia mecˆanica Cap´ıtulo 4. Leis de conserva¸c˜ao I
Vimos que o Princ´ıpio 2faz uso de uma quanti- dade vetorial conservada (constante no tempo) du- rante a intera¸c˜ao entre dois ou mais corpos isola- dos. Ap´os a introdu¸c˜ao do conceito operacional de massa (inercial), esta quantidade conservada foi denominada de momentum linear total do sistema isolado. Vimos tamb´em, ap´os a defini¸c˜ao de for¸ca, que a varia¸c˜ao temporal do momentum linear indi- vidual ´e igual `a for¸ca agindo em um corpo. Por- tanto, se a for¸ca atuando em um corpo ´e nula, po- demos afirmar que o vetor momentum linear deste corpo ´e constante no tempo, ou seja, ´e uma quan- tidade conservada. Este resultado est´a em pleno acordo com o Princ´ıpio 1. Naturalmente, estare- mos interessados em um sistema f´ısico constitu´ıdo por dois ou mais corpos interagindo entre si. No entanto, por comodidade, vamos concentrar nossa aten¸c˜ao em apenas dois corpos interagentes. N˜ao havendo for¸cas externas, ent˜ao a for¸ca resultante ´
e nula, pois as for¸cas internas cancelam-se aos pa- res. Entretanto, o momentum linear resultante n˜ao ´
e nulo, pois n˜ao h´a cancelamento por pares para o momentum linear. Ao inv´es de cancelar, o mo- mentum linear resultante permanece constante no tempo (veja o Teorema6),
⃗ F = d
dt⃗p ⇒ ⃗p(t1) = ⃗p(t2) se ⃗
F = ⃗0. (4.36)
Uma quantidade conservada ´e extremamente ´
util. Vejamos alguns exemplos. Considere dois cor- pos de massas iguais, m1 = m2 = m, movendo-se
na mesma dire¸c˜ao, mas em sentidos opostos, com velocidades ⃗v2 =−⃗v1. Ap´os um certo intervalo de
tempo, estes dois corpos ir˜ao colidir entre si. O que sabemos? Sabemos que num certo instante t1, an-
tes da colis˜ao, o momentum linear total era nulo,
⃗
p(t1) = ⃗p1(t1) + ⃗p2(t1) = m1⃗v1(t1)− m2⃗v1(t1) = 0.
Supondo que estes dois corpos estejam isolados, ent˜ao, devido `a lei de conserva¸c˜ao (4.36), o mo- mentum linear total ap´os a colis˜ao deve permane- cer com o mesmo valor que tinha antes da colis˜ao. Assim, num certo instante t2 depois da colis˜ao de-
vemos ter ⃗p(t2) = 0. Portanto h´a duas possibili- dades para o movimento posterior `a colis˜ao: (1) os dois corpos permanecem unidos em repouso (cho- que perfeitamente inel´astico), ou (2) os dois corpos invertem completamente o sentido de suas velocida- des, as quais continuam tendo m´odulos iguais (cho- que perfeitamente el´astico).
Numa situa¸c˜ao “sim´etrica” `a anterior, imagine um corpo em repouso. Para ser mais preciso, su- ponha que este corpo seja a part´ıcula sub-atˆomica k´aon K0, a qual ´e eletricamente neutra (vejaAven-
turas das Part´ıculas). Expontaneamente, o k´aon transforma-se (decai) em duas outras part´ıculas, K0 → π++ π−, denominadas de p´ıons (de cargas
opostas e massa iguais). Antes do decaimento, o momentum linear ´e nulo (k´aon em repouso). Ap´os o decaimento, o momentum linear deve ser o mesmo de antes, pois o processo de decaimento n˜ao envolve for¸cas externas. Portanto, os p´ıons devem sair ap´os o decaimento com velocidades opostas. Isto ´e o que observamos no laborat´orio.
Nos dois exemplos anteriores, todos os resulta- dos que obtivemos decorreram somente da lei de conserva¸c˜ao (4.36) para o vetor momentum linear, independentemente do que ocorre exatamente no momento de uma colis˜ao ou de um decaimento (ou de uma explos˜ao). Se lembramos que os processos f´ısicos envolvidos no momento da colis˜ao s˜ao terri- velmente complexos, a lei de conserva¸c˜ao (4.36) ´e “A Ferramenta”. Na verdade s˜ao trˆes leis de con- serva¸c˜ao: uma para cada eixo independente. Entre- tanto, nem sempre h´a conserva¸c˜ao do momentum linear nos trˆes eixos simultaneamente. Pode ha- ver uma for¸ca externa agindo somente em um eixo, ou somente em dois eixos. O resultado importante a ser gravado ´e: se uma componente da for¸ca re- sultante ´e nula, ent˜ao o momentum linear naquela dire¸c˜ao ´e conservado:
Fi= 0 ⇔ pi(t1) = pi(t2)
ou mvi(t1) = mvi(t2). (4.37)
Esta ´e uma forma expl´ıcita do Teorema 6, isto ´e, escrita em termos de componentes.
A B vA vB h t = 0 t > 0 g θ
Figura 4.1: O corpo A escorrega sem atrito sobre o corpo B, o qual desliza horizontalmente sem atrito. Ambos est˜ao sob a a¸c˜ao da gravidade.