6.3
Trajet´orias
H´a mais quantidades conservadas neste problema, al´em da energia mecˆanica? Havendo mais quanti- dades conservadas, talvez haja mais simplifica¸c˜oes. Afinal, temos uma energia potencial com simetria esf´erica, a qual produz uma for¸ca na dire¸c˜ao radial, isto ´e, na dire¸c˜ao do versor ˆr na Figura 6.1. De fato, dado estas condi¸c˜oes, podemos mostrar que o vetor momentum angular
⃗
L = ⃗r× ⃗p, ⃗p = µ ˙⃗r, (6.21) ´
e tamb´em uma quantidade conservada, ou seja, in- dependente do tempo (fa¸ca o Exerc´ıcio90).
Ter encontrado esta outra quantidade conservada ´
e uma d´adiva! De imediato, vemos que o movi- mento do nosso sistema solar deve ocorrer em um plano, pois ⃗L ´e perpendicular a ⃗r e ⃗p, segundo a
defini¸c˜ao (6.21) e a defini¸c˜ao (2.16) de produto ve- torial. Ent˜ao podemos escolher o ˆangulo ϕ em (C.1) igual a 90 graus. Esta escolha traz a trajet´oria para o plano XY e o momento angular para o eixo Z. Em termos operacionais, isto significa que as coor- denadas esf´ericas (C.1) se reduzem a coordenadas polares (r, θ) dadas em (C.6). Esta redu¸c˜ao ao sis- tema de coordenadas polares facilita bastante nosso trabalho. Por exemplo, da conserva¸c˜ao do momen- tum angular (6.21) obtemos (Fa¸ca o Exerc´ıcio 91)
L = µr2θ,˙ L = 0.˙ (6.22) O m´odulo do vetor velocidade tamb´em pode ser escrito numa forma bastante simples (Exerc´ıcio91),
v2=|| ˙⃗r||2= ˙r2+ r2θ˙2. (6.23) Temos duas possibilidades neste momento. Pri- meiro, podemos usar (6.22) para eliminar a de- pendˆencia da velocidade angular em (6.23), pois
˙
θ = L/µr2 (fa¸ca o Exerc´ıcio 92). Neste caso esta-
remos interessados na equa¸c˜ao hor´aria r = r(t), a qual ´e determinada resolvendo a equa¸c˜ao diferen- cial proveniente da energia mecˆanica (6.19),
E =1 2µ ˙r 2 + U (r), U (r) = L 2 2µ 1 r2− k r. (6.24)
Note que esta express˜ao pode ser interpretada como a energia cin´etica de uma massa µ, com velocidade (escalar) ˙r, sujeita a uma energia potencial efetiva
U (veja a Figura6.2). Ser´a a an´alise desta energia
potencial que ir´a nos revelar as poss´ıveis trajet´orias do nosso sistema original.
0 E U r r − r+
Figura 6.2: Energia potencial efetiva (6.25) para o problema de dois corpos reduzido ao problema de um corpo na presen¸ca da energia potencial de Kepler. r± s˜ao os pontos de retorno de trajet´orias el´ıpticas.
Suponha que a energia mecˆanica tenha o valor dado na Figura 6.2 (linha horizontal vermelha). Quando a energia mecˆanica se iguala `a energia po- tencial efetiva, temos as duas posi¸c˜oes denotadas por r±, denominadas de pontos de retorno. Nestas posi¸c˜oes, a energia cin´etica T = E−U deve ser nula, o que implica ˙r = 0, ou seja, a trajet´oria n˜ao muda na dire¸c˜ao radial. Como r− < r+, ent˜ao quando o objeto atinge a distˆancia m´ınima r− (peri´elio) da origem e come¸ca a se afastar at´e atingir a distˆancia m´axima r+(af´elio). Ao atingir a distˆancia m´axima,
o objeto precisa se aproximar da origem novamente. Portanto, a trajet´oria gerada para aquele valor da energia mecˆanica deve ser uma curva fechada. At´e o momento n˜ao podemos dizer exatamente qual curva ´e esta, apenas afirmar que ´e uma curva fe- chada. Seguindo o mesmo racioc´ınio, mostre que se a energia mecˆanica tiver o mesmo valor da energia potencial efetiva em seu ponto de m´ınimo, a curva ser´a uma circunferˆencia (calcule o valor do raio em fun¸c˜ao dos demais parˆametros constantes). Mos- tre tamb´em que a trajet´oria ser´a uma curva aberta (contendo apenas um ponto de retorno) para uma energia mecˆanica positiva.
A outra op¸c˜ao ´e usar (6.22) novamente para eli- minar o parˆametro tempo em (6.24), pois de (6.22) temos dt = µr2dθ/L. Assim, (6.24) pode ser re-
Cap´ıtulo 6. Gravita¸c˜ao 6.3. Trajet´orias
escrita como (Exerc´ıcio92)
E = L 2 2µr4 ( dr dθ )2 + U (r), (6.25) onde U (r) = L 2 2µ 1 r2 − k r, (6.26) ´
e a nova energia potencial (ou a energia potencial efetiva). Esta forma ´e adequada para determinar- mos a equa¸c˜ao da trajet´oria diretamente, r = r(θ), sem a necessidade do parˆametro tempo. Lembre-se que a trajet´oria do nosso sistema ´e uma curva no plano XY cujos os pontos s˜ao os valores das coorde- nadas (r, θ). Em caso de d´uvidas sobre trajet´orias, fa¸ca uma revis˜ao da Se¸c˜ao2.5.
Agora estamos em posi¸c˜ao de determinarmos as famosas trˆes leis de Kepler para o movimento pla- net´ario. Note que podemos fazer isto. Ent˜ao vamos fazˆe-lo porque podemos. Primeiro a primeira lei, a qual diz respeito `a forma da trajet´oria. Interessa- dos na trajet´oria, ent˜ao ´e melhor usarmos a energia mecˆanica na forma (6.25). Note que as vari´aveis r e θ podem ser isoladas em (6.25),
dθ = √ dr 2µE L2 r4+ 2µk L2 r3− r2 = dr r2 √ 2µE L2 + 2µk L2 r−1− r−2 . (6.27)
Esta integral do lado direito pode ser colocada numa forma canˆonica, isto ´e, numa forma em que ela possa ser encontrada em uma tabela de inte- grais, efetuando a transforma¸c˜ao χ = 1/r. Com esta transforma¸c˜ao, a express˜ao (6.27) pode ser co- locada na seguinte forma (fa¸ca o Exerc´ıcio93):
θ− θ0=− ∫ dχ √ α + β χ + γ χ2 =−√1 −γ cos−1 ( −√β + 2γ χ β2− 4αγ ) , (6.28) com α = 2µE L2 , β = 2µk L2 , γ =−1. (6.29)
Desta forma, invertendo o arco cosseno em (6.28) e fazendo algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas para eli- minar as constantes α, β e γ, temos a equa¸c˜ao da
trajet´oria (fa¸ca o Exerc´ıcio94): 1 r = C [ 1 + e cos(θ− θ0)], (6.30) com C =µk L2, e = √ 1 + 2E ϵ, ϵ = µk2 L2 . (6.31)
Esta ´e a equa¸c˜ao de uma cˆonica com um dos focos na origem. Isto significa que o nosso vetor posi¸c˜ao tem sua origem em um dos focos, ou seja, que o nosso sol est´a em um dos focos. Note que a cons- tante ϵ em (6.30) tem dimens˜oes de energia e serve como uma “unidade” de energia para o nosso sis- tema solar. A constante e ´e a excentricidade da se¸c˜ao cˆonica. Dependente do valor da excentrici- dade e, a se¸c˜ao cˆonica (6.30) pode ser classificada em quatro trajet´orias:
e > 1 ⇒ E > 0, hiperb´ole,
e = 1 ⇒ E = 0, par´abola,
e < 1 ⇒ E < 0, elipse,
e = 0 ⇒ E = −ϵ, circunferˆencia.
(6.32)
Note que a energia mecˆanica precisa ser negativa para haver trajet´orias fechadas, pois neste caso ha- ver´a dois pontos de retorno para a coordenada r, conforme indicado na Figura6.2. Estes pontos de retorno significam que a trajet´oria correspondente ser´a fechada. Pontos de retorno diferentes (iguais) implicam em uma trajet´oria el´ıptica (circular). ´E comum nos referirmos a este sistema com energias negativas como um sistema ligado.
A Figura 6.2 mostra a energia potencial efetiva
U (r), definida em (6.24), e uma energia mecˆanica negativa. Nos pontos de retorno, devemos ter ˙r = 0. Portanto, substituindo ˙r = 0 em (6.24) e resolvendo a equa¸c˜ao do segundo grau resultante em r, obtemos
r±=− k
2E(1± e). (6.33) Estes valores correspondem aos pontos de retorno em uma elipse (E < 0): r−´e a menor distˆancia da Terra ao Sol (peri´elio) e r+ ´e a maior distˆancia da
Terra ao Sol (af´elio). O semi-eixo maior de uma elipse ´e
a =r++ r−
2 =−
k
6.3. Trajet´orias Cap´ıtulo 6. Gravita¸c˜ao
ou
r±= a(1± e). (6.35) Note que, em t = 0, temos θ(0) = θ0. Substituindo
esta informa¸c˜ao na equa¸c˜ao da trajet´oria (6.30), teremos r(0) = r0 = 1/C(1 + e). Esta ´ultima
condi¸c˜ao inicial tamb´em pode ser escrita como
r0 = r−, ou seja, escolhemos o peri´elio como posi¸c˜ao inicial (Exerc´ıcio 95). Ent˜ao Kepler tinha raz˜ao, as ´orbitas de nossos planetas s˜ao elipses. Geralmente, encontramos na litera- tura especializada (veja www.solarviews.com ou
www.nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary) informa¸c˜oes contendo o valor da excentricidade e, do semi-eixo maior a e da massa m2 de cada planeta do sistema
solar. Conhecendo tamb´em a massa do Sol,
m1 = 1.989× 1030 kg, e a constante universal da
gravita¸c˜ao, G = 6.6726× 10−11 Nm/kg2, ent˜ao os
valores da energia mecˆanica E e do momentum angular L podem ser determinados. ´E importante manter em mente que o semi-eixo maior da ´orbita da Terra ´e usado como unidade de distˆancia astronˆomica, 1 UA=a = 1.496× 1011 m.
A segunda lei de Kepler est´a contida na con- serva¸c˜ao do momentum angular (6.22). Para ver- mos isto, precisamos apenas de um pouquinho de geometria plana. Em um intervalo infinitesimal de tempo dt, a Terra varre uma ´area tamb´em infinite- simal dA, delimitada pelas posi¸c˜oes r e r + dr. Esta ´
area ´e aproximadamente a ´area de um triˆangulo retˆangulo, dA = r(rdθ)/2. Ent˜ao a taxa de va- ria¸c˜ao desta ´area no tempo ´e
dA dt = 1 2r 2dθ dt = L 2µ. (6.36)
Como L ´e constante, (6.22), ent˜ao Kepler estava correto, os planetas em suas ´orbitas el´ıpticas var- rem ´areas iguais em tempo iguais, ou seja, a taxa (6.36) ´e constante.
Vimos em exemplos anteriores que a con- serva¸c˜ao da energia pode servir tanto para calcu- larmos equa¸c˜oes hor´arias quanto para calcularmos per´ıodos. A situa¸c˜ao aqui n˜ao ´e diferente. Pode- mos usar a energia mecˆanica na forma (6.24) para determinarmos o per´ıodo de ´orbitas el´ıpticas. Iso- lando as vari´aveis r e t em (6.24) e integrando independentemente os dois lados, temos (fa¸ca o
Exerc´ıcio95) t = √ µ 2 ∫ r r0 dr √ E +kr−L2µ2r12 = √ µ 2k ∫ r r0 rdr √ −1 2ar 2+ r−1 2a(1− e 2) . (6.37)
Note que estamos usando t0= 0 e r(0) = r0= r−.
Introduzindo uma nova vari´avel ψ,
r = a(1− e cos ψ), (6.38) a integral (6.37) pode ser re-escrita na forma (fa¸ca o Exerc´ıcio96) t = √ µa3 k ∫ ψ 0 (1− e cos ψ) dψ = √ µa3 k (ψ− e sin ψ). (6.39)
Obtivemos assim uma equa¸c˜ao hor´aria para a vari´avel intermedi´aria ψ,
ω0t = (ψ− e sin ψ), ω0= √
k
µa3. (6.40)
No entanto, ela ´e uma equa¸c˜ao transcendental para
ψ, ou seja, ´e imposs´ıvel isolar (anliticamente) ψ em (6.40). Apesar disto, ela ´e ´util para calcularmos o per´ıodo. Podemos ver, comparando (6.35) e (6.38), que ψ = π quando estamos no af´elio (r = r+) e ψ = 0 quando estamos no peri´elio (r = r−). O per´ıodo τ ´e o tempo de uma volta completa, ou seja, devemos variar o ˆangulo ψ desde ψ = 0 at´e
ψ = 2π. Assim, ω0τ = 2π, de onde podemos obter τ2=4π 2µ k a 3= 4π2 G(m1+ m2) a3. (6.41) Novamente Kepler tinha raz˜ao: o quadrado do per´ıodo ´e realmente proporcional ao cubo do semi- eixo maior da ´orbita el´ıptica. No entanto, deve- mos observar que a constante de proporcionalidade depende tamb´em da massa de cada planeta. No nosso sistema solar, a massa do sol (m1) ´e muito
maior que a massa de quase todos os planetas (m2).
A ´unica exce¸c˜ao ´e J´upiter, com uma massa de 0.1 % da massa do Sol. Ent˜ao ´e razo´avel usarmos
Cap´ıtulo 6. Gravita¸c˜ao 6.6. Exerc´ıcios