Ensino de Geometria: aprender para ensinar

Na obra de Freudenthal (1973) pode-se observar a importância dos seus estudos para o Ensino de Geometria e da criação do “Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education (FIsme) da Universidade de Utrecht, Faculdade de Ciência, localizada nos Países Baixos – Holanda. Esse instituto de pesquisa coopera com vários parceiros em educação, formulação de políticas e de negócios. O objetivo desta cooperação é criar conexões entre a prática de ensino, pesquisa, política de educação e questões sociais.

Em sua obra Freudenthal (1973, p. 407) encontra-se que

A Geometria é uma das melhores oportunidades que existem para aprender como matematizar a realidade. É uma oportunidade de fazer descobertas, como muitos exemplos mostrarão. Com certeza, os números são também um domínio aberto às investigações, e

pode-se aprender a pensar através da realização de cálculos, mas as descobertas feitas pelos próprios olhos e mãos são mais surpreendentes e convincentes. Até que possam de algum modo ser dispensadas as formas no espaço são um guia insubstituível para pesquisa e a descoberta.

A pesquisa e descoberta sugeridas por Freudenthal (1973) para o Ensino de Geometria proporcionam a construção do conhecimento por meio do toque (contato), da observação, do experimento, do fazer.

Verificar no mundo relações matemáticas por meio de jogos, brincadeiras, construções permite a socialização da criança, o diálogo sobre matemática, o levantamento de hipóteses, as discussões sobre os resultados encontrados, conclusões sobre o tema estudado, ou seja, o aluno estará resolvendo situações-problemas.

Branco (2008, p.1) destaca que

Freudenthal também dedica especial atenção para a riqueza das descobertas geométricas, dizendo que na geometria, há um campo imenso para a exploração e investigação, que podem ser desenvolvidas na sala de aula. A geometria aparece como um campo privilegiado para a matematização da realidade e realização de descobertas. A partir da geometria a criança pode compreender, conhecer, explorar e conquistar o espaço, de modo a encontrar-se, mover-se e localizar-se melhor. Recorrendo à manipulação de materiais e à visualização, matematiza a geometria tornando-a propícia a um ensino baseado na realização de descobertas e na resolução de problemas.

Para Freudenthal (1973), os alunos deveriam aprender os conteúdos matemáticos “matematizando” questões da vida diária. Segundo Branco (2008, p. 2), com base nos estudos de Freudenthal, “Matematizar é mais do que uma atividade de pensar, é aqui entendido como um ato de refletir, de compreender a realidade e modificá-la.” Na proposta de trabalho relatada por Branco (ibidem), professores e alunos, perante o processo educacional, formulam, discutem e desenvolvem maneiras de entender os conteúdos matemáticos de forma dialogada e interativa.

Desde a década de 1960 até os dias atuais, muitos estudos a nível mundial e também nacional (FREUDENTHAL, 1973; FONSECA, 2011; PAVANELLO, 1995; BRASIL, 2014; et all) se efetivaram sobre o Ensino de Matemática e em especial sobre o Ensino de Geometria. Percebe-se que há muito a se estudar ainda e que o Ensino de Geometria ainda provoca muitos

questionamentos, incertezas e inseguranças por parte de professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

Esses questionamentos e incertezas são apontados em pesquisas já publicadas por Pavanello (1989, 1995) e Lorenzato (1995) e reforçam que o trabalho com o ensino da Geometria tem a necessidade de ser discutido, pensado e efetivado desde a formação inicial do professor e percorrer a sua formação continuada.

Muitos desses questionamentos são oriundos de um Ensino da Matemática que não priorizou o Ensino de Geometria, focando-se especialmente na parte Aritmética nos primeiros anos escolares e na parte Algébrica no Ensino Médio.

Ou seja, a prioridade era o trabalho envolvendo “números”. Esta questão apresenta-se desde a Educação Infantil até o Ensino Superior, como pode-se verificar nos estudos em Pires (2012) e Pavanello (1989,1995).

Logo, uma grande parte dos professores, que passou pelas escolas nas últimas décadas, não adquiriu conhecimento adequado e em algumas situações nenhum conhecimento sobre Geometria, nem para uso pessoal, tão pouco para o trabalho profissional, onde uma de suas atribuições seria a de ensinar Geometria para seus respectivos alunos.

Essas questões também são motivo de análise e reflexão em “Espaço e Forma” (BRASIL, 2008, p.9):

Talvez tais concepções estejam presentes entre nós pelo fato de a Geometria ter estado praticamente excluída de nossa trajetória escolar, ou então por ter sido pouco enfocada – ainda encontramos livros didáticos que exploram esta área apenas nos capítulos finais, gerando a noção de que é um estudo para “o final do ano letivo”, pouco relevante para a formação dos estudantes.

E, nas circunstâncias em que foram trabalhados os conteúdos referentes à Geometria, encontra-se um ensino por meio da linearidade, com base nos estudos de Euclides, o qual ainda é muito presente nos dias atuais, como se pode verificar no Fascículo 3 “Espaço e Forma” (BRASIL, 2007).

Ainda em Brasil (2007) constata-se que os alunos já possuem contato com os sólidos geométricos antes mesmo de ingressarem na escola e que em

alguns momentos do processo de ensino e aprendizagem o referente fato é esquecido por parte do professor e inicia-se o trabalho por meio da linearidade, isto é, do ponto ao sólido geométrico.

Já na década de 1960 a 1970, segundo Pires (2012), houve o Movimento da Matemática Moderna, o qual trouxe a noção de conjunto para o trabalho algébrico e, por consequência, influenciou o Ensino de Geometria.

O trabalho com a Geometria nesta época era somente sobre a conceituação de ponto, reta e plano sob a influência da teoria dos conjuntos, como podemos observar nos escritos de Pires (2012) e não havia exploração do espaço, nem construções geométricas espaciais.

Pires (2012) acrescenta que neste período do Ensino de Geometria praticamente trabalhou-se apenas com as figuras planas, bidimensionais, sem contato com as figuras tridimensionais de forma mais específica.

Na década de 1970 a 1980 surgem, de forma tímida, os primeiros trabalhos envolvendo figuras tridimensionais e sua planificação. Por meio da manipulação de objetos concretos, da observação e questionamentos, o ensino proporciona o início da construção do conhecimento geométrico pelo aluno. Pires (2012, p.183) ainda reforça que

[...] é fundamental que se discuta o significado do ensino de Geometria, chamando a atenção para o desenvolvimento de um pensamento geométrico, que tem tanta relevância para o aluno quanto o pensamento aritmético ou algébrico.

Mediante as reflexões citadas pode-se compreender a importância que o Ensino da Geometria possui na vida dos alunos e, ao mesmo tempo, reflete- se sobre a falta que este ensino faz na vida das pessoas.

O trabalho com reduções, ampliações, simetrias, composição e decomposição de figuras junto ao trabalho com as figuras tridimensionais proporcionam a construção do pensamento geométrico nos alunos. E, para auxiliar nesta construção desse pensamento, é possível utilizar-se de recursos tecnológicos que auxiliem o professor no ato de ensinar.

Em Pires (2012), encontra-se que a localização é um dos fatores fundamentais para a apreensão do espaço e para que isto ocorra é necessária

a orientação. Para se poder orientar no espaço, é necessário iniciar pela orientação do próprio corpo.

No Documento Direitos de Aprendizagem, em BRASIL (2012, p.77) verifica-se também a importância do corpo para o ensino e aprendizagem de conceitos geométricos

Quanto ao processo de construção relacionado ao espaço e às formas, o corpo é o ponto de partida para o estabelecimento de relações espaciais nos deslocamentos e nas orientações para a movimentação no espaço, que podem ser organizadas por meio da experimentação e da reprodução de trajetos, considerando elementos do entorno como pontos de referência.

Nesta pesquisa será enfatizado, dentro do vasto campo de estudo da Geometria: o trabalho com movimentação e localização por meio das noções de lateralidade (direita, esquerda, frente, atrás); noções de topologia (dentro, fora); o registro de trajetos (movimentação de um objeto ou pessoa no espaço); a percepção geométrica por meio das figuras geométricas (planas) e o trabalho com vistas de objetos (registrar em forma de desenho o que se vê em diferentes perspectivas).

O trabalho com movimentação e localização no Ensino de Geometria segundo o Documento Direitos de Aprendizagem, em BRASIL (2012, p.78) elenca as seguintes habilidades:

Explicitar e/ou representar informalmente a posição de pessoas e objetos e dimensionar espaços, utilizando vocabulário pertinente nos jogos, nas brincadeiras e nas diversas situações nas quais as crianças considerarem necessária essa ação, por meio de desenhos, croquis, plantas baixas, mapas e maquetes, desenvolvendo noções de tamanho, de lateralidade, de localização, de direcionamento, de sentido e de vistas.

Reconhecer seu próprio corpo como referencial de localização no espaço (em cima e embaixo, acima e abaixo, frente e atrás, direita e esquerda).

Identificar diferentes pontos de referências para a localização de pessoas e objetos no espaço, estabelecendo relações entre eles e expressando-as através de diferentes linguagens: oralidade, gestos, desenho, maquete, mapa, croqui, escrita.

Observar, experimentar e representar posições de objetos em diferentes perspectivas, considerando diferentes pontos de vista e por meio de diferentes linguagens.

Identificar e descrever a movimentação de objetos no espaço a partir de um referente, identificando mudanças de direção e de sentido.

Para que os resultados em relação ao Ensino de Geometria possam ser satisfatórios, Pavanello (2004) lembra que o professor precisa primeiro aprender para depois poder ensinar com propriedade. Logo, para aprender, uma das possibilidades é a participação em cursos de formação continuada.