Na figura 6.1, considerando que a partícula esteja localizada no centro de
cada feixe e que o raio(a)1 dela seja muito menor que o comprimento de onda do feixe
incidente(a << λ)2, podemos então aproximar a partícula por um dipolo induzido. Vale
ressaltar que a figura 6.1 é meramente ilustrativa pois com uma única superposição de 1O raio(a) da partícula considerada é de 60.65 nm
Figura 6.1: Array de FWs com deslocamento dado por (ρ0, φ0) do n-ésimo FW localizado
em (ρu,φu).
feixe de Bessel(FWs) é possível capturar varias partículas nanométricas [41]. Como o comprimento de onda varia muito lentamente nas proximidades da partícula, usaremos então uma aproximação do campo uniforme [42,43]. Para simplificar, usaremos coordenadas esféricas (r, θ, φ) e trataremos a partícula onde há simetria azimutal.
O campo elétrico no interior da esfera será constante. No exterior, o potencial elétrico [44] é dado por
δ(r, θ) = −E0rcos θ + 4πn22ε0 m 2−1 m2+ 2 ! a3 r2E0cos θ (6.5) onde m = n1
n2 é o índice de refração relativo da partícula, e E0 é o campo elétrico uniforme
na ausência da partícula. Analisando o segundo termo da equação 6.5 pode se notar
que o potencial cai com 1
r2 e é proporcional a cos θ, o que caracteriza um dipolo elétrico.
Podemos então reescrever este termo, que é a contribuição para o potencial respectivo ao dipolo, na forma
δd(r, θ) = p1
r2 cos θ; (6.6)
com isso, finalmente identificamos o momento de dipolo induzido na partícula
p(r, t) = 4πn22ε0a3 m
2−1
m2+ 2
!
No entanto, a força que a pressão de radiação no regime de Rayleigh exerce sobre a partícula de raio a pode ser separada em duas componentes: força de espalhamento
Fscat(r) a qual é não conservativa e proporcional a intensidade do laser, e a força gradiente
Fgrad(r) que é conservativa e proporcional ao gradiente da intensidade do laser. A força
gradiente forma um potencial de aprisionamento para a partícula, enquanto que a força espalhamento tende a empurrar a partícula da armadilha(Fig.6.2).
A força de espalhamento do laser na partícula é dada pela seguinte formula [45]:
Fscat(r) = ˆz
n2 c
!
CscatI(r) (6.8)
onde n2 é o índice de refração no meio na qual a partícula esta suspensa, I(r) é a intensidade do padrão transversal do feixe e Cscat é a secção transversal de dispersão, dado por:
Cscat= 8 3π(ka)4a2 m2−1 m2+ 2 !2 (6.9) sendo k número de onda e a o raio da partícula.
A outra componente é a força gradiente devido a força de Lorentz que atua no dipolo induzido(partícula) pelo campo eletromagnético. Com isso a força gradiente instantânea que age na partícula é definida por:
Fgrad(r, t) = [p(r, t).∇]E(r, t) (6.10)
substituindo a equação 6.7 na expressão acima 6.10, a força gradiente fica3: Fgrad(r, t) = 4πn22ε0a3 m2−1 m2+ 2 ! 1 2∇E2(r, t) (6.11)
Para simplificar a expressão 6.11 vamos considerar a seguinte relação < E2(r, t) >T= 12|E(r)|2. Fgrad(r) =< Fgrad(r, t) >T (6.12) Fgrad(r) = 4πn22ε0a3 m2−1 m2+ 2 ! 1 2∇ < E2(r, t) >T (6.13) = πn2 2ε0a3 m 2−1 m2+ 2 ! ∇|E(r)|2 (6.14) = 2πn2a3 c m2−1 m2+ 2 ! ∇|I(r)| (6.15) 3O fator 1
2 que aparece na equação (6.11) vem da identidade vectorial ∇E
2= 2(E.∇)E + 2E × (∇ × E), onde pelo resultado das equações de Maxwell no espaço livre ∇ × E = 0
O fluxo instantâneo de energia que atravessa uma área unitária por unidade de tempo na direção de propagação do feixe é correspondente ao vetor de poynting [5] e é dado por:
I(r) ≈ S(r, t) = 12|E(r, t) × H∗(r, t)| = ˆzn2ε0c
2 |E(r)|2
Por fim, a força total que atua em cima da partícula é
F(r) = Fscat(r) + Fgrad(r) (6.16)
Figura 6.2: Força óptica: a) Força Gradiente; b) Força de espalhamento.
A força mínima ao longo do eixo de propagação z deve ser negativa (Fmin
z =
min(Fz(r))) para formar uma armadilha estável. Caso contrário [46], a força do laser
sempre empurrará a partícula para frente e não haverá aprisionamento. A força de
espalhamento é proporcional a R6 enquanto que a força gradiente é proporcional a R3,
com isso a força de espalhamento diminui mais rápido do que a força gradiente a medida
que a partícula diminui. Por isso é mais fácil alcançar um Fmin
z negativo para partícula
muito pequena do que para partícula grande.
6.3
Cálculo da força gradiente e de espalhamento en-
volvendo superposição de feixes de Bessel (FWs)
Temos a equação do campo que representa a superposição das FWs da array
E(ρ, φ, z) = U X u=1 N X q=−N AuqJζu(huqwu)e iβuq(z−z0)eiζφuˆx (6.17)
6.4
Força gradiente
I(ρ, φ, z) ≈ S(ρ, φ, z) = 12|E(ρ, φ, z)ˆx × H∗(ρ, φ, z)| H(ρ, φ, z) = ˆz × E(ρ,φ,z)Z 0 H(ρ, φ, z) = n2ε0cE(ρ, φ, z)ˆy H(ρ, φ, z) = n2ε0c U X u=1 N X q=−N AuqJζu(huqwu)eiβuq(z−z0)eiζφuˆy (6.18)
S(ρ, φ, z) = 1 2n2ε0c U X u=1 N X p=−N N X q=−N AupAuqJζu(huqwuq)Jζu(hupwup)e
iβuq(z−z0)eiβup(z−z0)eivφupeiζφuqˆz (6.19) Fgrad,x(ρ, φ, z) = 2πn2a3 c m2−1 m2+ 2 ! ∇xS(ρ, φ, z) (6.20) sendo que ∇x = ∂ ∂y = ∂ ∂ρcos(φ) + ∂ ∂φ sin φ ρ (6.21)
Agora para determinar a componente y da força gradiente vamos seguir o mesmo raciocínio Fgrad,y(ρ, φ, z) = 2πn2 a3 c m2−1 m2+ 2 ! ∇yS(ρ, φ, z) (6.22) sendo que ∇y = ∂ ∂y = ∂ ∂ρsin(φ) + ∂ ∂φ cos φ ρ (6.23)
As equações (6.20) e (6.22) demonstram que a força atuante sobre a esfera é proporcional ao gradiente da intensidade do campo. Portanto, a direção desta força aponta para o ponto de maior intensidade do campo.
6.5
Força de espalhamento
Por fim vamos determinar agora a força de espalhamento usando a equação 6.8
Fscat(ρ, φ, z) = n 2 c 8π 3 (ka)4a2 m2 −1 m2+ 2 !2 1 2n2ε0c U X u=1 N X p=−N N X q=−N AupAuqJζu(huqwuq) × Jζu(hupwup)e iβuq(z−z0)
× eiβup(z−z0)eivφupeiζφuqˆz
6.6
Método para o cálculo da amplitude de campo
do feixe
Nessa secção é retratado o método analítico usado para realizar o cálculo da
amplitude do campo elétrico E0 de feixes escalares de energia finita dada a potência P
do laser, considerando que o feixe incidente seja descrito por um feixe paraxial. O feixe caracterizado é uma FW discreta de ordem ζ dada por:
ψ(ρ, φ, z, t) = e−iω0t
N
X
n=−N
AnJζ(hnρ)eiβnzeiζφ (6.25)
Entretanto, apesar da FW(Eq.6.25) apresentar energia infinita, é possível estimar a amplitude de campo da FW considerando que ela mantém suas propriedades não difrativas apenas dentro do intervalo escolhido de 0 ≤ z ≤ L, na qual os coeficientes
An são calculadas a partir do padrão F (z). Com isso, o raio mínimo Rmin da abertura
circular para a geração da FW no plano z = 0 pode ser obtido a partir do feixe de Bessel
com maior ângulo de áxion βmax.
Rmin = tan(βmax)L (6.26)
Portanto, considerando que o feixe incidente seja paraxial é possível calcular a potência normalizada adotando como sendo o fluxo de potência do feixe dado por:
Sn= 1
2η|ψ(ρ, φ, z)|2ˆz (6.27)
À vista disso, é possível demonstrar que a potência normalizada associada à FW discreta escalar é representado por:
Pn = π η N X p=−N N X q=−N ApA∗qTpq (6.28) sendo Tqp = R hpJζ(Rhq)Jζ−1(Rhp) − hqJζ−1(Rhq)Jζ(Rhp) h2q − h2p (6.29)
Assim sendo, tendo a potência do feixe pode se calcular a amplitude a partir da seguinte expressão. E0 = s P Pn (6.30)
Ao adotar como sendo o R = Rmin na Eq.6.29, é possível determinar a potência
apenas dentro do intervalo L escolhido.
6.7
Resultados de simulações numéricas
Nessa seção irá ser apresentado o cálculo de força gradiente e espalhamento no regime de Rayleigh envolvendo array de FWs exposto na Fig.6.3. As 4 FWs escolhidas
são de ordem 0 e possuem seguintes posições cartesianas centrais(xm, ym): (−20, 0)µm,
(0, 20)µm, (20, 0)µm, (0, −20)µm e o spot das FWs de ordem 0 é de 5µm. A distância mínima entre as FWs da array é de 28.2µm.
Figura 6.3: Feixes localizados em: ρ1 = ρ2 = ρ3 = ρ4 = 20 µm e φ1 = 0 rad; φ2 = π2 rad;
φ3 = π rad; φ4 = 3π2 rad.
Com a finalidade de observar o gráfico da força de espalhamento e gradiente na
direção x foi posicionada em ρu = 20 µm e φu = 0 rad uma FW de ordem 0 de tamanho
transversal 5 µm (ver Fig.6.4) cujo padrão longitudinal escolhida foi um degrau dada pela função F (z) = 1 dentro do seguinte intervalo: 0 ≤ z ≤ 20 µm. Em seguida foi apresentado o gráfico da força de espalhamento e gradiente na direção x exercida pela FW.
O responsável por esse padrão amortecido da força gradiente e espalhamento apresentados nas Fig.6.5 e Fig.6.6, são os anéis constituintes da estrutura transversal da FW.
Entretanto, conforme pode ser verificado nas Fig.6.10 e Fig.6.12 o padrão da força gradiente na direção x e na direção y é 7.5 vezes maior do que a força de espalhamento.
Figura 6.4: Feixe localizado em ρu = 20 µm e φu = 0 rad.
Figura 6.5: Força gradiente na direção x exercida por um feixe localizado em ρu = 20 µm
Figura 6.6: Força de espalhamento na direção x exercida por um feixe localizado em ρu = 20 µm e φu = 0 rad.
Posteriormente foi posicionado uma outra FW na posição ρu = 20 µm e
φu = π rad (Fig.6.4) e em seguida projetado o gráfico da força espalhamento e gradiente
Figura 6.7: Feixe na posição ρu = 20 µm e φu = π rad.
Figura 6.8: Força gradiente na direção x exercida por um feixe na posiçãoρu = 20 µm e
A fim de obter o resultante da força gradiente e espalhamento exercido por ambos os feixes na direção x (Fig.6.10), foram posicionados os dois feixes (Fig.6.5 e Fig.6.8) no mesmo eixo (Fig.6.9). Como pode ser verificado na Fig.6.10, ao redor de x = 0 as forças dos feixes começam a se interferir, mas mesmo assim a região de aprisionamento
óptico denominado de local de equilíbrio continua intacto em ρu = 20 µm e φu = π rad e
ρu = 20 µm e φu = 0 rad. A Fig.6.10 apresenta as força exercidas por ambos os feixe, sendo
que a curva de cor azul representa a força gradiente responsável pelo o aprisionamento da partícula, enquanto que a curva na cor vermelha representa a força de espalhamento que tende a empurrar a partícula para fora da região de armadilha.
Figura 6.10: Força gradiente(azul) e espalhamento(vermelho) exercida por ambos os feixe na posição na direção x.
Todavia, de modo análogo vamos agora determinar o padrão da força gradiente e espalhamento realizado pelos feixe posicionados no eixo y em ρu = 20µm, φu = π2 rad e
φu = 3π2 (Fig.6.11). Antes de tudo vai ser posicionado no eixo y os dois feixes conforme
podemos visualizar na Fig.6.11 e logo seguida vai ser apresentado os gráficos da força gradiente e espalhamento das FWs no eixo y.
Figura 6.11: Feixes nas posições ρu = 20 µm , φu = π2 rad e φu = 3π2 rad.
Figura 6.12: Força gradiente(azul) e espalhamento(vermelho) exercida por ambos os feixe na direção y.
Capítulo 7
Modelamento do Padrão Transversal
a partir da Superposição de Ondas
Planas
Esse método nos permite obter um elevado grau de controle na transversal a partir da seguinte metodologia: vamos adotar como sendo a solução da equação de onda a seguinte expressão: ψ(x, y, z, t) = e−iωt P X m=−P P X n=−P Amneikxmxeikynyeikzmnz (7.1) sendo que kzmn = q k2− k2xm− kyn2 (7.2)
Todavia, o nosso objetivo agora é fazer com que
|ψ(x, y, z = 0, t)|2 ≈ |F(x, y)|2, (7.3)
em outras palavras queremos que a função F (x, y) seja reproduzida por ψ(x, y, z = 0, t) dentro do intervalo −l/2 ≤ x ≤ l/2 e −l/2 ≤ y ≤ l/2.
Para simplificar, vamos supor que a função F (x, y) é dada pelo produto de duas funções, uma apenas de x e outra apenas de y ou seja
F(x, y) = Fx(x)Fy(y) (7.4)
Com o objetivo de obter a equação (7.3) serão feitas as seguintes escolhas: kxm = Qx+
2π
Lm e kyn = Qy+ 2π
Substituindo a equação (7.5) de número de onda na equação (7.11), temos ψ(x, y, z, t) = e−iωteiQxxeiQyy P X m=−P P X n=−P Amnei 2π Lmxei 2π Lnyei √ k2−(Q x+2πLm)2−(Qy+2πLn)2z (7.6) sendo que a equação (7.6) no plano xy é uma série de Fourier de duas dimensões [47]: em
razão disso a coeficiente Amn é determinado usando seguinte equação:
Amn = 1 L2 Z 2l −l 2 dx Z 2l −l 2
dyFx(x)Fy(y)e−i
2π
Lmxe−i
2π
Lny (7.7)
Para simplificar, vamos expressar a coeficiente Amn em termos separados de x
e de y, para isso vamos ter o seguinte:
Amn = ambn (7.8)
sendo que am e bn corresponde a coeficientes da série de Fourier
am = 1 L Z l 2 −l 2 Fx(x)e−i 2π Lmxdx (7.9) bn= 1 L Z l 2 −l 2 Fy(y)e−i 2π Lnydy (7.10)
Na qual Fx(x) e Fy(y) são as funções na qual temos a liberdade de escolha para definir o
padrão transversal. Por fim vamos substituir os valores dos coeficientes am e bn na equação
(7.6) ψ(x, y, z, t) = e−iωteiQxxeiQyy P X n=−P P X m=−P amei 2π Lmxb nei 2π Lnyei √ k2−(Q x+2πLm)2−(Qy+2πLm)2z (7.11)
7.1
Alguns Exemplos Simples
Nesta seção vamos realizar a simulação de um array de superposição de ondas planas. Vale ressaltar que nesses exemplos efetuados temos apenas a liberdade de controlar as coordenas x e y, conforme se pode observar na equação (7.11).
Escolhendo uma certa equação para Fx(x) e Fy(y) vamos obter o padrão
transversal sobre o plano xy no eixo z = 0 (Fig.7.1).
Neste caso para modelar o padrão transversal foram adotadas as seguintes equações:
Fx(x) = cos 2πx
l/4
!
Figura 7.1: Projeção transversal da superposição de ondas planas.
Enquanto que na longitudinal (Fig.7.2) o padrão produzido não pode ser controlado, mas se propaga por uma distância relativamente grande.
7.1.1
Equação de Rayleigh para Distância
z= 2π∆ρ
2 0
λ (7.13)
Comparando a distância de propagação dos feixes obtidos com a distância de propagação de um feixe com o mesmo spot (distância de Rayleigh), foi possível averiguar que a distância de propagação do campo obtido pela superposição de ondas planas é 6,41 vezes maior do que a de um feixe usual (feixe Gaussiano). Essa distância de propagação foi estimada a partir de um spot que mantém o padrão transversal (spot representado no intervalo da Fig.7.2).
Figura 7.2: Projeção longitudinal da superposição de ondas planas.
O fato de termos uma liberdade sobre o plano xy faz com que o padrão transversal possa assumir formato qualquer (Fig.7.1 e Fig.7.3), desde que seja possível calcular as coeficientes da série de Fourier an e bn da equação (7.9) e (7.10). A grande
vantagem de trabalhar com modelamento de array da superposição das ondas planas é que, diferentemente do modelamento de array de FWs, agora vamos poder criar array de feixes bem próximos um do outro a uma distância da ordem do comprimento de onda do feixe, mas a desvantagem é que não temos a liberdade de controlar o feixe na longitudinal (Fig.7.2 e Fig.7.4).
As equações usadas para modelar a transversal nesse caso foram: Fx(x) = cos 2πx l/4 ! e Fy(y) = cos 2πy l/4 ! (7.14)
Figura 7.3: Projeção transversal da superposição de ondas planas.
Figura 7.4: Projeção longitudinal da superposição de ondas planas.
Como demonstra-se nesse capítulo o modelamento transversal a partir da superposição de ondas plana é adequada para aplicações na qual é requerido uma liberdade do padrão do campo na transversal.
Capítulo 8
Conclusões
Neste trabalho apresentamos um estudo teórico e experimental aprofundado envolvendo arrays de FWs no espaço livre. Com intuito de mitigar a interferência indesejada entre as FWs, aplicamos o método da polarização ortogonal entre FWs vizinhas; em seguida, com finalidade de obter polarizações mais adequada de modo a mitigar ainda mais o efeito da interferência, foi realizado um estudo usando diversos algoritmos de otimização, no qual se mostraram bem mais eficiente em recuperar o padrão transversal em comparação com o método da polarização ortogonal.
Também foi feito um estudo teórico envolvendo superposição de Bessel-Gauss com o intuito de diminuir os anéis concêntricos constituintes da estrutura transversal do feixe de Bessel e por conseguinte diminuir a interferência transversal para o caso de array de FWs. Os resultado obtido com este método foi bem interessante, mas infelizmente para aplicações na qual é requerido uma grande profundidade de campo talvez não seja o mais adequado. Mas, mesmo assim ao comparar a distância de propagação da FW apodizada com a distância de propagação de um feixe gaussiano, é possível concluir que para a mesma
abertura ∆ρ0 a profundidade de campo obtido pela FW é bem maior do que de um feixe
gaussiano.
Usando o array de FWs foi conduzido um estudo no campo de pinças óticas para o regime de Rayleigh. Considerando o array de 4 FWs foi possível efetuar o calculo da força gradiente e de espalhamento que age nas partículas em escala nanométrica.
Outro tópico abordado neste trabalho foi o modelamento do padrão transversal a partir da superposição de ondas planas. Esse método nos oferece um elevado grau de controle sobre o padrão do campo no plano xy, ou seja ele nos permite obter qualquer formato do campo na transversal desde que seja possível calcular os coeficientes da série de Fourier. Por fim, podemos concluir que os resultados obtidos nesse trabalho podem encontrar aplicações interessantes em todos os campos que se beneficiam do uso de feixes não difrativos.
Capítulo 9
Perspectivas
Essa secção foi reservada para apresentação da publicação originada deste trabalho. Foi incluída a que foi submetida e os que estão em fase de preparação.
Em breve irá ser submetida o artigo de arranjos de FWs envolvendo a teoria e a parte experimental. Em seguida será preparado o artigo abrangendo o estudo de algoritmos de otimização com a finalidade de encontrar os ângulos de polarizações mais adequado para um arranjo de FWs. Em um futuro próximo, temos como objetivo a publicação do estudo realizado no campo de aprisionamento óptico no regime de Rayleigh usando um arranjo de FWs. Por fim, não menos importante, temos como finalidade um estudo mais aprofundado do método de modelamento do padrão transversal a partir da superposição de ondas planas e em seguida a sua publicação.
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Capítulo 10
Anexo
Arrays of spatially structured non-diffracting
optical beams
Joel Alcídio Varela Mendonça,1,* Michel Zamboni Rached,1
Leonardo André Ambrosio,2 ANDCarlos Henrique da Silva Santos3
1Department of Communications, School of Electrical and Computer Engineering, University of Campinas, 400 Albert Einstein Ave., 13083-852
Cidade Universitária SP, Brazil
2Department of Electrical and Computer Engineering, São Carlos School of Engineering, University of São Paulo, 400 Trabalhador são-carlense
Ave., São Carlos, SP 13566-590, Brazil
3São Paulo Federal Institute of Education, Science and Technology-IFSP, campus Itapetinga, 18202-000, Brazil