Joel Alcídio Varela Mendonça
Arrays de Feixes Não Difrativos do Tipo
Frozen Waves
Campinas 2019
Arrays de Feixes não difrativos do tipo Frozen waves
Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Enge-nharia Elétrica, na Área de Telecomuni-cações e Telemática.
Supervisor/Orientador: Michel Zamboni Rached
Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pelo aluno Joel Alcídio Varela Mendonça, e orientado pelo Prof. Dr. Michel Zamboni Rached.
Campinas 2019
Rose Meire da Silva - CRB 8/5974
Mendonça, Joel Alcídio Varela,
M523a MenArrays de feixes não difrativos do tipo Frozen Waves / Joel Alcídio Varela Mendonça. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
MenOrientador: Michel Zamboni Rached.
MenDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
Men1. Difração. 2. Análise de ondas localizadas. 3. Física ótica. 4. Ótica -Holografia. 5. Pinças óticas. I. Rached, Michel Zamboni, 1973-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Arrays of nondiffracting Frozen Wave-type beams Palavras-chave em inglês:
Diffraction
Localized wave analysis Optical physics
Optics - Holography Optical tweezers
Área de concentração: Telecomunicações e Telemática Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica
Banca examinadora:
Michel Zamboni Rached [Orientador] Luiz Carlos Kretly
Erasmo Recami
Data de defesa: 29-08-2019
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: 0000-0001-6051-0553
- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/2915101186452588
Candidato: Joel Alcídio Varela Mendonça RA:139884 Data da defesa: 29 de Agosto de 2019
Título da Dissertação: “Arrays de Feixes não Difrativos do Tipo Frozen Waves.”
Prof. Dr. Michel Zamboni Rached (Presidente, FEEC/UNICAMP)
Prof. Dr. Luiz Carlos Kretly (FEEC/UNICAMP)
Prof. Dr. Erasmo Recami (Istituto Nazionale di Fisica Nucleare – INFN/Universidade de Bérgamo – UNIBG)
A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julgadora, encontra-se no SIGA (Sistema de Fluxo de Tese) e na secretaria de Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
Gostaria de deixar registrados os meus sinceros agradecimentos a todos que de forma imprescindível me apoiaram durante esse mestrado
Agradeço imensamente ao meu orientador Prof. Dr. Michel Zamboni Rached que me deu a oportunidade de trabalhar nesse projeto e que esteve sempre disposto a me ajudar e solucionar as minhas dúvidas — muito obrigado por ser um mentor inspirador e por me motivar a buscar pesquisas relevantes.
Agradeço ao Prof. Dr. Erasmo Recami que sempre esteve conosco dando um contributo ímpar. — muito obrigado por compartilhar seus conhecimentos.
Ao Prof. Dr. Leonardo André Ambrósio e o seu orientando Vinícius Soares de Angelis pelo apoio concedida durante o estudo de pinças ópticas.
Ao Prof. Dr. Carlos Henrique Da Silva Santos pela colaboração durante o estudo de algoritmos de otimização.
Desejo igualmente agradecer a todos os meus companheiro de pesquisa, Jéssyca, Grazielle, Tcharllys e Paloma, pela amizade e também pelas discussões e contribuições.
Quero agradecer aos meus pais Alcídio e Palmira e ao meu irmão Marcos. Obrigado por estarem sempre ao meu lado mesmo de muito longe e acreditarem na minha capacidade. À minha mãe, pelo o amor incondicional, pelo carinho inesgotável. Ao meu pai, por sempre mostrar interesse nos meus projetos, por toda a motivação e por sempre me ajudar a encontrar em mim o melhor de mim. Ao meu irmão pela parceria e por sempre me motivar a continuar com os estudos.
Também, agradeço a minha melhor amiga e namorada Ângela, obrigado pela companhia tão única, pelas sugestões, pela ajuda e por todos os incentivos e por nunca me deixar perder nos meus caminhos. Obrigado por sempre estar ao meu lado.
Agradeço a cada um dos meus amigos, aos novos e antigos, por serem pro-tagonistas de tantas boas lembranças durante esses anos. Obrigado pelos convívios de final de semana, pelas festinhas de quando em vez na P5 e na C9, pela companhia tanto nos momentos ruins quanto nos momentos bons da minha vida. Por cada conversa e cada abraço: muito obrigado. Agradeço imensamente a presença de vocês em todos os momentos e na incrível habilidade que vocês têm de alegrar o ambiente e todos a volta.
Não posso deixar de agradecer os professores da FEEC e da FT que têm papel fundamental na minha formação acadêmica. Aos meus colegas de laboratório, obrigado pelo apoio.
Meu “muito obrigado” a todos os funcionários da UNICAMP em específico os que trabalham na FEEC e no restaurante universitário por garantirem ambientes limpos e funcionais na universidade.
O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.
Maz so pa kes ki merece-n
Nka kre pertensi ninguen ki ka pertence-n Obi nha presi y fortalesi nha fé
Manti nha pasu forti y tera firmi baxu nha pé Manti nha menti fertil,
nha vison klaru y nha kurason puru Fazen di asu si vida for duru
Sigura nha mon na dias i tempestadi y na notis maz iskuru... ...ser nha busula, nha farol y nha portu siguru
Faze-n vensedor, meresedor di tudu ki nten Ki nha susesu ka dipendi di frakasu di ninguen. AMÉN
Edyoung Lennon
For the rest of my life, I will reflect on what light is.
Todos os tipos de feixes ou pulsos no espaço livre estão susceptíveis ao alarga-mento espacial progressivo ao longo da propagação. Tal efeito é chamado de difração e é sempre um limitante para aplicação na qual é desejado que o feixe mantenha sua localiza-ção transversal. Contudo, existe uma grupo de onda que podem resistir ao fenômeno de difração chamado de Ondas Localizadas, também conhecidas como "Ondas não difrativas". Em razão disso, suas potenciais aplicações estão sendo intensamente exploradas.
Este trabalho tem como objetivo estudar o comportamento envolvendo arrays de superposições adequadas de feixes de Bessel, também chamados de Frozen Waves(FW).
Tais feixes foram produzidos espaçados na transversal propagando paralelamente um a outro permitindo criar assim um array de FWs. No entanto, os problemas começaram a emergir a medida que a distância entre as FWs é reduzida, portanto com intuito de mitigar a interferência e resolver esse problema, foi realizado um estudo envolvendo o método da polarização ortogonal, algoritmos de otimização e posteriormente a apodização das FWs constituintes da array usando o feixe Gaussiano.
Entretanto, logo depois com o propósito de gerar essas arrays de FWs no espaço livre, foi feito uma montagem experimental no laboratório para produzi-las.
Em seguida, foi feito um estudo envolvendo pinças ópticas no regime de Rayleigh baseado em array de FWs.
Por fim, foi apresentado um estudo do modelamento do padrão transversal do campo a partir da superposição de ondas planas. Esse método nos permite projetar qualquer formato do campo na transversal.
All kinds of beams or pulses in the free space are subjected to progressive spatial enlargement along the propagation. Such an effect is called diffraction and is always a limitation for application in which it is desired for the beam to maintain its transverse location. However, there are a wave groups that can withstand the phenomenon of diffraction called Localized Waves, also known as "Non-diffractive waves". Because of this, their potential applications are being intensively explored.
This work aimed to study the behavior involving appropriate Bessel beam superpositions arrays, also called Frozen Waves (FWs).
Such beams were be spaced apart transversely parallel to each other, thus allowing an array of FWs to be created. However, the problems started to emerge as the distance between the FWs is reduced, so in order to mitigate the interference and solve this problem, a study was performed involving the orthogonal polarization method, optimization algorithms and later the apodization of the constituent FWs by the array using the Gaussian beam.
However, shortly thereafter for the purpose of generating these free space FW arrays, an experimental setup was made in the lab to produce them.
Then, a study involving optical tweezers in the Rayleigh regime based on FWs arrays was done.
Finally, a study on the modeling of the transverse field pattern from the superposition of flat waves was presented.
1.1 Representação esquemática das componentes de um vetor de onda do feixe na aproximação paraxial. . . 23 2.1 Representação dos k vetores propagando em cima de um cone. . . 25 2.2 Esquema da decomposição de um vetor de onda em componente longitudinal
e transversal. . . 25 2.3 Padrão transversal do feixe de Bessel de ordem 0. . . 26 2.4 Intensidade de um feixe de Bessel de ordem 0. . . 27 3.1 Padrão transversal da Frozen Wave de ordem ζ = 0 do primeiro exemplo
no plano inicial z = 0.1 m. . . 32
3.2 FW de ordem zero dada por uma sequência de três degrau de intensidade. 33
3.3 Gráfico 3D da FW constituinte de três degrau de intensidade. . . 33 3.4 Padrão transversal de um array de 4 FWs de ordem ζ = 1, 2, 3, 4 no plano
inicial z = 0.15 m. Distância entre as FWs de ordens 3 e 4 é de 0.74 mm. . 34 3.5 Visão 3D do array de 4 FWs. . . 35 3.6 Projeção ortogonal das FWs de ordens 2 e 4. . . 35 3.7 Padrão transversal de um array de 4 FWs no plano inicial z = 0.15 m.
Distância d = 91.73 µm. . . 36 3.8 Padrão transversal de arrays de 4 FWs no plano inicial z = 0.15 m. Distância
d= 72.9 µm. . . 37 4.1 Esquema de array de 4 FWs polarizadas ortogonalmente. . . 39 4.2 a)Padrão transversal de um array de 4 FWs sem aplicar o método no plano
inicial em z = 0.15 m; b) aplicando o método da polarização ortogonal. Distância d = 72, 9 µm. . . 40 4.3 a) Padrão transversal do array sem aplicar o método: b) aplicando o método
da polarização ortogonal no plano inicial z = 0.15 m. Distância d = 57, 6 µm. 41 4.4 Padrão transversal do array de 9 FWs sem aplicar o método da polarização
ortogonal no plano inicial z = 0.15 m. Distância d = 0.77 mm. . . 42 4.5 Projeção ortogonal de 3 FWs de ordem ζ=0, 1 e 2. . . 42 4.6 Array de 9 FWs polarizadas ortogonalmente. . . 43 4.7 a) Padrão transversal de array de 9 FWs sem aplicar a polarização ortogonal;
b) aplicando a polarização ortogonal no plano inicial z = 0.15 m. Distância d= 0.36 mm. . . 43 4.8 a) Padrão transversal de array de 9 FWs sem aplicar a polarização ortogonal;
b) aplicando a polarização ortogonal no plano inicial z = 0.15 m. Distância d= 0.17 mm. . . 44 4.9 Diagrama de fluxo de um algoritmo evolutivo. . . 46 4.10 Diagrama de um algoritmo de optimização por enxame de partículas(PSO). 47
usando o AG. Distância d = 0.107 mm. . . 50 4.13 a) Array de FWs polarizado ortogonalmente; b) Array de FWs polarizado
usando o PSO. Distância d = 92.2 µm. . . 51 4.14 Esquema de distribuição de vetores de onda responsável por gerar um feixe
gaussiano. . . 52
4.15 Feixe gaussiano com largura ∆ρ0 = 48 µm. . . 54
4.16 a) Padrão transversal da FW de ordem 0 sem aplicar a apodização; b)
versão apodizada da FW usando feixe de Gaussiana de abertura ∆ρG = 7ρ0
no plano inicial z = 5 mm. . . . 57 4.17 Intensidade de uma versão apodizada de FW de ordem 0 para abertura de
∆ρG = 7ρ0. . . 58
4.18 a) Profundidade do campo de um feixe gaussiano para abertura ∆ρG = 7ρ0;
b)Profundidade do campo de uma FW apodizada com tamanho do spot de ∆ρG = 7ρ0. . . 58
4.19 Padrão transversal de array de 9 FWs no plano inicial z = 0. Distância d= 149.9 µm. . . 60
4.20 Padrão transversal de 9 FWs apodizada para abertura de ∆ρG = 7ρ0 no
plano inicial z = 5 mm. Distância d = 149.9 µm. . . 60 4.21 Esquema de array de 9 FWs polarizadas ortogonalmente. . . 61 4.22 a) Padrão transversal de 9 FWs sem aplicar o método da apodização e
da polarização ortogonal; b) Padrão transversal de 9 FWs aplicando o método da apodização e da polarização ortogonal no plano inicial z = 5 mm. Distância d = 149.9 µm. . . 61 4.23 Projeção longitudinal de 3 FWs da array de ordem 0, 1 e 2 no plano ρ − z. 62 4.24 Padrão transversal da array de 9 FWs sem aplicar o método da apodização
no plano inicial z = 5 mm. Distância d = 44.1 µm. . . 63 4.25 Padrão transversal de array 9 FWs aplicando o método apodização para
abertura de ∆ρG = 7ρ0 no plano inicial z = 5 mm. Distância d = 44.1 µm. 63
4.26 a) Padrão transversal de um array de 9 FWs sem aplicar a apodização; b) apodizado e polarizado ortogonalmente no plano inicial z = 5 mm. Distância d = 44.1 µm. . . 64 4.27 FWs da terceira coluna da array propagando na longitudinal (ζ = 0, 1 e 2). 64 5.1 Esquema experimental para geração de feixes no espaço livre. . . 66 5.2 Montagem experimental para geração de feixes no espaço livre. . . 67 5.3 Perfil de intensidade de um array de 4 FWs no plano z = 0.15 m. Distância
d= 1 mm. . . 67 5.4 Perfil de intensidade de um array de 4 FWs no plano z = 0.15 m. Distância
d= 0.58 mm. . . 68 5.5 a) Perfil de intensidade de array de 9 FWs no plano inicial z = 0.15 m.
Distância d = 0.6 mm; b) Distância é d = 0.49 mm. . . 69 6.1 Array de FWs com deslocamento dado por (ρ0, φ0) do n-ésimo FW localizado
em (ρu,φu). . . 72
6.5 Força gradiente na direção x exercida por um feixe localizado em ρu = 20 µm
e φu = 0 rad. . . 78
6.6 Força de espalhamento na direção x exercida por um feixe localizado em ρu = 20 µm e φu = 0 rad. . . 79
6.7 Feixe na posição ρu = 20 µm e φu = π rad. . . 80
6.8 Força gradiente na direção x exercida por um feixe na posiçãoρu = 20 µm e φu = π rad. . . 80
6.9 Feixe na posição ρu = 20 µm, φu = 0 rad e φ = π rad. . . 81
6.10 Força gradiente(azul) e espalhamento(vermelho) exercida por ambos os feixe na posição na direção x. . . 82
6.11 Feixes nas posições ρu = 20 µm , φu = π2 rad e φu = 3π2 rad. . . 83
6.12 Força gradiente(azul) e espalhamento(vermelho) exercida por ambos os feixe na direção y. . . 83
7.1 Projeção transversal da superposição de ondas planas. . . 86
7.2 Projeção longitudinal da superposição de ondas planas. . . 87
7.3 Projeção transversal da superposição de ondas planas. . . 88
FW Frozen Wave
LWs Localized Waves
AG algoritmo genético
EE estratégia Evolutiva
PSO otimização por enxame de partículas
SLM modulador espacial de luz
CCD charge-coupled device
PH pinhole
BS beam splitter
c velocidade da luz no vácuo
µ0 permeabilidade magnética do ar
0 permissividade elétrica do vácuo
Z0 impedância intrínseca do meio
k número de onda no espaço livre
Jn função de Bessel de ordem n
xm, ym coordenadas cartesianas que definem o centro da m-ésima FW
β número de onda na longitudinal
∇ operador nabla
ρ coordenada cilíndrica radial
φ coordenada cilíndrica azimutal
θ angulo do cone
h número de onda na transversal
i unidade imaginária
m índice de refração relativo da partícula
n1 índice de refração da partícula
n2 índice de refração do meio na qual partícula esta suspensa
E campo elétrico
H campo magnético
ζ ordem do feixe de Bessel
λ comprimento de onda do feixe
ρ0 tamanho transversal do feixe(spot)
d distância entre um par de feixes
Cscat secção transversal de dispersão
a raio da partícula
p momento dipolo
S vetor de poynting
Q parâmetro de uma Frozen Wave
Pn potência normalizada do feixe
A coeficiente da série de Fourier
Rmin raio mínimo de uma abertura circular
βmax maior angulo de áxion do feixe
1 Equações de Maxwell 21
1.1 Equação de Helmhotz . . . 22
1.2 Aproximação Paraxial . . . 23
2 Ondas Resistente à Difração 24 2.1 Equação de Onda . . . 24
2.2 O feixe de Bessel . . . 25
2.3 Superposição de Feixe de Bessel: Frozen Wave(FW) . . . 27
3 Simulação de arrays de Frozen Waves(FWs) 32 3.1 Redução da distância entre as FWs de um array . . . 36
4 Métodos para mitigar a interferência entre as FWs da array 38 4.1 Método da polarização ortogonal entre as FWs vizinhas . . . 38
4.1.1 Simulação de arrays de 4 FWs aplicando o método da polarização ortogonal . . . 40
4.1.2 Simulação de array de 9 FWs aplicando o método da polarização ortogonal . . . 41
4.2 Algoritmos de otimização . . . 45
4.2.1 Algoritmo genético(AG) e Estratégia Evolutiva (EE) . . . 45
4.2.2 Otimização por enxame de partículas(PSO) . . . 46
4.2.3 Resultados das otimizações . . . 48
4.3 Apodização de array de superposição de feixes de Bessel(FWs) . . . 52
4.3.1 Feixes Gaussiano . . . 52
4.3.2 Análise matemática da apodização de superposição de feixe de Bessel(FW) . . . 54
4.3.3 Resultados de simulações numéricas . . . 57
4.3.4 Relação entre a profundidade de campo de um feixe gaussiano e uma FW apodizada . . . 58
4.3.5 Resultados de simulações considerando arrays de 9 FWs apodizadas a partir do feixe gaussiano . . . 59
5 Geração de feixes no espaço livre usando modulador espacial de luz(SLM) 65 5.1 Geração de feixes no espaço livre usando modulador espacial de luz(SLM) . 65 6 Pinças Ópticas 70 6.1 Superposição do feixe de Bessel em coordenadas cilíndricas(FWs) . . . 71
6.5 Força de espalhamento . . . 75 6.6 Método para o cálculo da amplitude de campo do feixe . . . 76 6.7 Resultados de simulações numéricas . . . 77
7 Modelamento do Padrão Transversal a partir da Superposição de Ondas
Planas 84
7.1 Alguns Exemplos Simples . . . 85 7.1.1 Equação de Rayleigh para Distância . . . 86
8 Conclusões 89
9 Perspectivas 90
Introdução
O fenômeno de difração [1] é um evento muito conhecido, que afeta todos os tipos de ondas que viajam num meio não guiado. Isso acontece devido a propagação em diferentes direções das ondas planas que constituem os feixes ou pulsos, o que gera um alargamento espacial progressivo ao longo da sua propagação. Tal efeito é um limitante para aplicação na qual é desejado que o padrão transversal do feixe e/ou alargamento temporal seja mantido ao longo da propagação. Com isso as ondas não difrativas estão ganhando cada vez mais atenção, pois conseguem resistir à difração propagando-se por uma longa distância no espaço livre. Tais feixes também são chamados de Ondas Localizadas (Localized Waves - LWs).
No ano de 1941 Stratton resgatou uma solução da equação de onda chamada de Feixe de Bessel, a qual possuía a característica de concentração de energia nas proximidades do seu eixo de propagação e imunidade ao efeito da difração. [2].
Entretanto, entre as diversas ondas resistentes à difração existentes, vamos focar nossa atenção num tipo particular de onda localizada, cujo nome, sugerido pelo Prof. Michel Zamboni Rached, foi de Frozen Wave(FW). O embasamento matemático das FWs foi desenvolvido acerca de uma decáda por Zamboni-Rached [3]. Uma das características
mais fascinantes das FWs é a possibilidade de assumir qualquer1 padrão longitudinal
escolhido de antemão dentro de um intervalo, 0 ≤ z ≤ L, também escolhido a priori, onde
z é o eixo da direção de propagação e L uma distância que pode ser muito maior que o
comprimento de onda λ usado no experimento [4]. Dentro desse intervalo espacial podemos construir vários envelopes estáticos de intensidade (velocidade de pico é igual a 0), cada um com um padrão longitudinal diferente.
Para obter uma FW é preciso realizar superposição de uma forma adequada de feixes de Bessel copropagante que possuem a mesma frequência e mesma ordem. Isso permite construir dentro do intervalo escolhido um envelope estático cujo padrão longitudinal pode assumir aproximadamente qualquer forma desejada. O método também nos permite obter um certo grau de controle sobre o padrão transversal do feixe, em outras palavras é possível controlar o raio do spot do feixe quando os feixes de Bessel são de ordem 0 e a intensidade é concentrada sobre o ρ = 0, ou então quando os feixes de Bessel são de ordem maior do que 0 e a intensidade é concentrada sobre uma superfície cilíndrica
de tamanho transversal escolhido também de antemão [3,4]. Todas essas propriedades já mencionadas fazem das FWs uma opção muito interessante para várias aplicações como, por exemplo, pinças ópticas, guiamento de átomos, microlitografia óptica, sensoriamento remoto, comunicações ópticas no espaço livre, entre vários outros, principalmente no campo da medicina como a destruição de células tumorais, bisturi óptico ou acústico, etc.
Nesse trabalho foi desenvolvido um estudo teórico e experimental de construção de arranjos de feixes não difrativos usando o feixe chamado de Frozen Waves. Também desenvolvemos estudos baseado em polarização ortogonal, algoritmos de otimização e apodização para redução de interferência entre as Frozen Waves constituintes da array. Esses métodos nos dão a liberdade de reduzir a distância entre os feixes possibilitando trabalhar com vários deles a uma distância micrométrica um do outro. Também foram realizadas aplicações no campo da pinça óptica usando arrays de Frozen Waves.
Em vista disso a dissertação está dividida da seguinte forma:
No capítulo I foi feita uma breve revisão acerca das equações de Maxwell, equação de Helmholtz e a aproximação paraxial para, em seguida, introduzirmos o estudos das ondas não difrativas.
No capítulo II dedicamos ao estudo detalhado de ondas não difrativas e da teoria pioneira desenvolvida para a obtenção das Frozen Waves e em seguida foi apresentada o novo método matemático que possibilita a construção de um arranjo de FWs.
No capítulo III foi conduzido um estudo envolvendo simulações de arranjo de 4 FWs e a interferência indesejada que surge ao diminuir a distância entre as FWs de um array.
No capítulo IV foi realizada a simulação de arrays considerando 4 FWs e 9 FWs espaçadas na transversal e propagando-se paralelamente uma à outra; em seguida foi aplicado o método da polarização ortogonal entre os feixes dos arrays com a finalidade de mitigar a interferência. Logo depois, com intuito de encontrar polarizações mais adequadas, de modo a mitigar ainda mais a interferência, foi feito um estudo envolvendo o uso de algoritmos de otimização.
Posteriormente efetuamos o estudo teórico do feixe Gaussiano e em seguida foi apresentado a análise matemática envolvendo superposição de Bessel-Gauss. Também mostramos os resultados de algumas simulações de arrays de FWs apodizadas e logo depois foi comparada a profundidade de campo com a de um feixe de Gauss. Na última secção desse capítulo exibimos o resultado de simulações de arrays de 9 FWs apodizadas.
No capítulo V foi feita a montagem experimental para gerar as Frozen Wa-ves(FWs) no espaço livre.
No capítulo VI foi realizada a aplicação de superposição de feixes de Bessel(FW) ao campo de pinças óptica para o regime de Rayleigh.
No capítulo VII foi retratado um método novo que permite o modelamento do padrão transversal do campo a partir da superposição de ondas planas, e em seguida foram
feita algumas simulações no plano longitudinal com o intuito de comparar a profundidade de campo com a de um feixe gaussiano.
Capítulo 1
Equações de Maxwell
Os estudos nesse capítulo se iniciam com quatro equações elegantes e concisas para estabelecer os fundamentos da eletricidade e do magnetismo: a essas expressões foi dado o nome de equações de Maxwell em homenagem ao físico e matemático James Clarke Maxwell. As equações de Maxwell adotadas para este trabalho estão na sua forma diferencial para regiões do espaço onde não há cargas nem correntes [5].
∇.E = 0 (1.1) ∇.B = 0 (1.2) ∇ × E = −∂B ∂t (1.3) ∇ × B = µ00∂E ∂t . (1.4)
Essas expressões são equações diferenciais de primeira ordem interligadas a partir das variáveis E e B: no entanto podemos usa-las para obter equações diferencias de segunda ordem apenas de E e apenas de B separadamente. Para isso vamos aplicar o rotacional em ambos os lados das equações (1.3) e (1.4)
∇ ×(∇ × E) = −∂(∇ × B)
∂t (1.5)
∇ ×(∇ × B) = µ00∂(∇ × E)
∂t , (1.6)
e utilizando a seguinte identidade vectorial
obtemos
∇(∇.E) − ∇2E= −∂(∇ × B)
∂t (1.8)
∇(∇.B) − ∇2B= µ00∂(∇ × E)
∂t . (1.9)
Substituindo as expressões (1.1) e (1.4) na expressão (1.8) chegamos a ∇2E= µ00∂
2E
∂t2 ; (1.10)
agora substituindo as expressões (1.2) e (1.3) na (1.9) obtemos ∇2B = µ00∂
2B
∂t2 (1.11)
Assim temos duas equações diferenciais de segunda ordem, uma para campo elétrico(E) e outra para campo magnético(B); onde cada componente de E e B satisfaz a equação de onda Eq.(1.12)
∇2ψ = 1 c2 ∂2ψ ∂t2 . (1.12) com c= √1 µ00 (1.13)
1.1
Equação de Helmhotz
Consideramos que o campo da onda propagante da equação 1.12 pode ser escrito na forma:
ψ(r, t) = f(r)e−iωt (1.14)
onde f é a amplitude do campo elétrico, e−iωt a fase temporal e o ω a frequência angular.
Substituindo a Eq.1.14 na Eq.1.12, encontramos a equação de Helmhotz,
∇2f(r) + k2f(r) = 0 (1.15)
onde k = ω
c, representa do modulo do vetor de onda(numero de onda).
Assumindo que o feixe se propaga na direção +z, pode se escrever a amplitude f(r) como:
f(r) = χ(x, y, z)eikz (1.16)
onde eikz é a responsável pela variação espacial rápida e χ(x, y, z) é a função que descreve
equação diferencial para χ: ∇2⊥χ(x, y, z) + ∂ 2χ(x, y, z) ∂z2 + 2ik ∂2χ(x, y, z) ∂z = 0 (1.17)
1.2
Aproximação Paraxial
Um feixe é caracterizado como paraxial, se as ondas planas que o compõe fazem um angulo pequeno com relação ao eixo óptico, isso significa que o envelope do feixe irá variar muito pouco na direção de propagação(Fig.1.1). Matematicamente isso pode ser escrito da seguinte forma:
∂2χ(x, y, z) ∂z2 << ∂2χ(x, y, z) ∂x2 , ∂2χ(x, y, z) ∂y2 , ∂2χ(x, y, z) ∂z (1.18) Frente a isso, os feixes paraxiais são retratados por possuírem componentes transversais(h) do vetor de onda muito menores que o módulo do vetor de onda(h <<
k). Com isso o número de onda longitudinal(β) é muito maior que a componente
transversal(β >> h), e portanto β ≈ k - (Fig.1.1).
Figura 1.1: Representação esquemática das componentes de um vetor de onda do feixe na aproximação paraxial.
Utilizando a aproximação paraxial(Eq.1.18) na equação Eq.1.17, temos ∂2χ(x, y, z) ∂x2 + ∂2χ(x, y, z) ∂y2 + 2ik ∂2χ(x, y, z) ∂z = 0 (1.19)
Capítulo 2
Ondas Resistente à Difração
2.1
Equação de Onda
Vamos considerar a equação de onda em coordenadas cilíndricas(ρ, φ, z) ∂2 ∂ρ2 + 1 ρ ∂ ∂ρ + ∂2 ∂z2 + 1 ρ2 ∂2 ∂φ − 1 c2 ∂2 ∂t2 ! ψ(ρ, z; t) = 0 (2.1)
Considerando que propagação se dá no espaço livre e uma dependência em φ do tipo eiζφ(ζ inteiro), a solução dessa equação pode ser escrita em termos de uma expansão
de Fourier-Bessel na variável ρ e duas transformadas de Fourier nas variáveis z e t:
ψ(ρ, z, t) = eiζφ Z ∞ 0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞
hJζ(hρ)eiβze−iωtψ(h, β, ω)dωdβdh (2.2)
sendo ω a frequência angular, h e β os números de ondas transversal e longitudinal respectivamente e Jζ(.) é a função de Bessel de ordem ζ e ψ(h, β, ρ) é a transformada da
função ψ(ρ, z, t).
Agora substituindo a Eq.(2.2) na Eq.(2.1) vamos obter o vínculo entre as variáveis ω, h e β
β2 = ω
2
c2 − h
2; (2.3)
esta relação é a condição essencial para que a (2.2) seja solução da Eq.(2.1). Para evitar
ondas evanescentes vamos supor que h2 ≤ k2 = ω2
c2, com isso a equação (2.2) escrita a
partir da condição (2.3), e supondo β ≥ 0, fica ψ(ρ, z, t) = eiζφ Z k 0 Z ∞ −∞ hJζ(hρ)eiz √ k2−h2 e−iωtS(h, ω)dωdh (2.4)
onde S(h, ω) é a função espectral, que se escolhida de forma adequada pode oferecer interessantes soluções de feixes.
2.2
O feixe de Bessel
O feixe de Bessel é considerado um feixe não difrativo devido ao fato de não haver alteração na secção transversal a medida que o feixe se propaga [6]. Uma forma de pensar sobre o feixe é considerar um conjunto de ondas planas cujo vetores de onda estão sobre a superfície de um cone de angulo θ Fig.(2.1 e 2.2).
Figura 2.1: Represen-tação dos k vetores propagando em cima de um cone.
Figura 2.2: Esquema da decom-posição de um vetor de onda em componente longitudinal e transversal.
Conforme pode se observar na Eq.(2.5), a função espectral para o feixe de Bessel é descrita a partir do acoplamento linear entre ω e h
S(h, ω) = δ(h − ω csin θ) h δ(ω − ω0) (2.5) na qual h = ω c sin θ e β = ω c cos θ, sendo 0 ≤ θ ≤ π 2.
Agora substituindo o espectro Eq.(2.5) na Eq.(2.4), vamos obter:
ψ(ρ, t) = Jζ(hρ)eiζφeiβze−iωt (2.6)
com h = k sin θ e β = k cos θ. A equação (2.6) nos descreve a característica responsável pela natureza não difrativa do feixe de Bessel. Ela nos diz que a medida que o feixe se propaga na direção z, a secção transversal se mantém inalterada: Fig.2.3. Além do mais a velocidade de fase deste feixe é dada por vf ase= cos θc e o padrão do campo na transversal
é representada pela função de Bessel Jζ(.).
ordem 0 por
r ≈ 2.4
h (2.7)
Na Fig.2.3 pode se observar a intensidade do padrão transversal de um feixe de Bessel de ordem 0, na qual os anéis concêntricos ao redor do núcleo central são responsáveis pela reconstrução do spot principal a medida que o feixe se propaga. Na Fig.2.4 é possível observar o comportamento do padrão longitudinal do feixe.
Algo útil a notar, é que a energia do feixe Bessel é uniformemente distribuída entre os anéis, e assim um feixe de Bessel ideal possui fluxo de potência infinito tornando, dessa forma, impossível a sua produção. Devido a isso uma alternativa que Durnin teve foi truncar o feixe de Bessel usando uma abertura finita. Mesmo com essa apodização o feixe apresenta grande resistência a difração: ao comparar com o feixe Gaussiano, um feixe de Bessel truncado pode se propagar por distâncias muito maiores do que um feixe Gaussiano. Geometricamente pode se estimar essa distância de propagação por:
Zmax =
R
tan θ, (2.8)
sendo o R o raio da abertura, que deve ser bem maior do que o tamanho do spot. Essa distância também é denominada de profundidade de campo, que é a distância máxima que o feixe consegue propagar sem sofrer os efeitos da difração.
Figura 2.4: Intensidade de um feixe de Bessel de ordem 0.
2.3
Superposição de Feixe de Bessel: Frozen Wave(FW)
Nesse capítulo será realizada a análise teórica do campo de uma onda cujo padrão de intensidade longitudinal |F (z)|2 no intervalo 0 ≤ z ≤ L é escolhido a priori [4].
Para tanto, o método propõe a superposição de feixes de Bessel da mesma frequência com objetivo de concentrar a energia, possibilitando o modelamento do campo dentro do intervalo desejado.
Um feixe não difrativo ideal possui o seguinte formato:
ψ = A(x, y)eiβze−iωt (2.9)
Para começar, vamos adotar como sendo a solução da equação de onda o feixe de Bessel de ordem ζ
ψ(ρ, φ, z, t) = Jζ(hρ)eiβze−iωteiζφ, (2.10)
onde
h2 = ω
2
c2 − β
2 (2.11)
e ω, h, e β são respectivamente frequência angular, número de onda transversal e número de onda longitudinal. Iremos impor as seguintes condições:
ω
β >0 e h
2 ≥0 (2.12)
que garantem onda puramente propagante na direção positiva de z.
ζ: ψ(ρ, φ, z, t) = e−iωt N X n=−N AnJζ(hnρ)eiβnzeiζφ, (2.13)
mas por agora vamos concentrar nossa atenção em realizar a superposição de 2N + 1 feixes de Bessel de ordem ζ = 0, de mesma frequência e com diferentes números de onda longitudinais βn, a princípio, desconhecidos. Neste caso, em ρ = 0 teremos
ψ(ρ = 0, z, t) = e−iωt
N
X
n=−N
Aneiβnz, (2.14)
onde An são as coeficientes constantes e n é um número inteiro, sendo que βn, hn e ω0
satisfazem a equação (2.11). Todavia, ao considerar ω > 0 para a equação (2.12), devemos ter
0 ≤ βn ≤
ω
c (2.15)
Como mencionado anteriormente, nosso objetivo é modelar o padrão de intensi-dade longitudinal dentro de uma região específica, ou seja fazer com que a função |F (z)|2
adotada de antemão seja reproduzida dentro do intervalo 0 ≤ z ≤ L em ρ = 0 pela função |ψ(ρ, z, t)|2 descrita na equação (2.14). Desejamos o seguinte:
|ψ(ρ = 0, z, t)|2 ≈ |F(z)|2, (2.16) ou seja | N X n=−N Aneiβnz |2≈ |F(z)|2para 0 ≤ z ≤ L (2.17)
Agora iremos realizar expansão em séries para a função F (z)
F(z) = ∞ X n=−∞ Bne−i( 2π L)nz, (2.18)
onde Bn pode ser calculado a partir da seguinte forma
Bn = 1 L Z L 0 F(z)e −i(2π L)nzdz. (2.19)
Consequentemente é possível observar que a expansão em série de Fourier (2.18) é aproximadamente igual a função (2.14) que representa a superposição do feixe de Bessel para quando ρ = 0. Contudo, sendo que a nossa finalidade é obter o padrão de intensidade
longitudinal |F (z)|2 no eixo ρ = 0, dentro do intervalo 0 ≤ z ≤ L, o nosso principal
objetivo é determinar os An e os βn da equação (2.14).
escolher βn= 2πn
L , mas para o nosso caso não vai ser apropriado devido a duas principais
razões:
• Possibilidade dos números de ondas longitudinais βn assumirem valores negativos
quando n < 0, o que implica em feixes de Bessel propagando no sentido z negativo; • Na hipótese de L >> λ0, que é o nosso caso, os principais termos da série irão
corresponder a valores pequenos de βn, resultando em feixes de Bessel com curta
profundidade de campo quando truncado, impossibilitando a geração de envelope de onda longe da fonte.
Porém esse problema pode ser resolvido adicionando um Q > 0 aos βn. Esse
valor pode ser escolhido de acordo a situação experimental e o grau de localização transversal do campo desejado. Por consequência teremos a seguinte expressão:
βn = Q +
2π
L n (2.20)
De acordo com a inequação (2.15), escolhendo um Q>0 obtém-se o seguinte:
0 ≤ Q ± 2π
L N ≤
ω
c (2.21)
Agora vamos truncar a série de Fourier com a finalidade de obter um formato
aproximado ao padrão desejado |F (z)|2. Usando a inequação (2.21) pode se determinar o
numero máximo o qual N pode assumir, uma vez que os parâmetros Q, L e ω já foram escolhidos:
Nmax=
(ω
c − Q)L
2π (2.22)
Agora reescrevendo a equação (2.11), vamos ficar com o seguinte h2n= ω 2 c2 − Q+ 2πn L !2 (2.23) Por fim, para obter o padrão do envelope estático desejado dentro do intervalo 0 ≤ z ≤ L vamos reescrever Eq.(2.14) para ρ = 0, agora incluindo o βn atual [Eq.(2.20)]:
ψ(ρ = 0, z, t) = eiQze−iωt N X n=−N Ane−i( 2π L)nz, (2.24) onde An = 1 L Z L 0 F(z)e −i(2π L)nzdz. (2.25)
As funções An irão produzir as amplitudes e fases para cada feixe de Bessel na
superposição, sendo |F (z)|2 o padrão da intensidade longitudinal desejado no intervalo
0 ≤ z ≤ L.
Vale a pena ressaltar que com a Eq.(2.24) vamos obter apenas uma aproximação
do padrão longitudinal desejado, porque a série trigonométrica é truncada em N ≤ Nmax.
Contudo pode se concentrar a intensidade longitudinal em duas regiões:
• A primeira região de propagação é em cima do eixo ou seja em ρ = 0: nesse caso a superposição é feita com a função de Bessel de ordem ζ = 0; Portanto para estimar o resultante da largura transversal do spot (2.14) usamos a seguinte equação:
ρ0 ≈ 2.4 hn=0 = q 2.4 ω2 c2 − Q2 (2.26) • Pode-se também concentrar a intensidade do feixe sobre a superfície de um cilindro, neste caso a superposição é feita com os feixes de Bessel de ordem ζ > 0. A superfície do cilindro pode ser escolhida de forma aproximada levando se em conta a relação entre o raio do cilindro ρ = ρζ >0 e o parâmetro Q dado por [3]:
d dρ Jζ ρ s ω2 c2 − Q2 |ρ=ρζ = 0 (2.27)
Portanto o método [4] que acabamos de apresentar nos permite obter um controle total da intensidade na longitudinal mas, infelizmente, na transversal temos um controle parcial de intensidade, devido ao fato de que o campo precisa obedecer a equação de onda. Desta forma para obter algum controle na transversal podemos fazer o seguinte: De acordo com a equação (2.23), para a FW de ordem 0, pode-se obter um determinado valor do spot escolhendo um valor apropriado de Q, enquanto que para a FW de ordem maior do que 0 o raio do cilindro pode ser escolhido a partir de Q e da ordem da FW de acordo com a equação (2.27) [7].
Depois de rever o estudo da metodologia matemática para obter uma FW, agora iremos desenvolver a técnica que nos permite projetar FWs espaçadas na transversal configurados em array, onde cada FW pode assumir um padrão transversal e um perfil longitudinal independente dos demais.
Para isso o parâmetro ρ e φ da equação 2.13 são dados pelas seguintes expressões. ρm = q (x − xm)2+ (y − ym)2, φm = arctan y − ym x − xm ! (2.28)
O campo total dos feixes é caracterizado pela superposição de FWs descrita pela seguinte equação:
ψt(ρ, φ, z, t) = e−iωt M X m=1 Cm N X n=−N AmnJζm(hmnρm)e iβmnzeiζmφm (2.29)
na qual m é o parâmetro que define o número de FWs da array e ζm a ordem do feixe de
Bessel da m-ésima FW do array e
βmn = Qm+ 2π
L n, (2.30)
hmn =
q
k2 − βmn2 (2.31)
O padrão longitudinal desejado do m-ésimo FW é |Fm(z)|2 e a coeficiente
correspondente a FW é Amn= 1 L Z L 0 Fm(z)e −i(2π L)nzdz. (2.32)
O tamanho transversal da m-ésima FW de ordem zero é dado por ρm0 ≈ 2.4 hm0 = q 2.4 ω2 c2 − Q2m , (2.33)
e, para a m-ésima FW de ordem maior do que 0, sendo ζm um número inteiro diferente de
0, o raio do cilindro ρζm pode ser estimado através da seguinte equação
d dρ Jζm ρ s ω2 c2 − Q2 |ρ=ρζm = 0 (2.34)
Capítulo 3
Simulação de arrays de Frozen
Waves(FWs)
Depois de realizar o estudo da metodologia matemática, vamos agora efetuar
algumas simulações usando o software Matlab® com o propósito de estudar o campo
resultante provido por um array de Frozen Waves(FWs). Para começar, vamos considerar apenas uma Frozen Wave de ordem 0 centrada na origem, de spot 9 µm, com um padrão longitudinal escolhido dado pela sequência de 3 degraus ou seja, escolhemos, em 0 ≤ z ≤ L = 1 m, F (z) = 1 para 0.1 m ≤ z ≤ 0.2 m, 0.4 m ≤ z ≤ 0.5 m, 0.7 m ≤ z ≤0.8 m e F (z) = 0 caso contrário, conforme pode se ver nas figuras 3.2 e 3.3.
Figura 3.1: Padrão transversal da Frozen Wave de ordem ζ = 0 do primeiro exemplo no plano inicial z = 0.1 m.
Figura 3.2: FW de ordem zero dada por uma sequência de três degrau de intensidade.
Como segundo exemplo, no intervalo 0 ≤ z ≤ L = 1 m, vamos considerar um array de 4 FWs cujos padrões longitudinais do campo, escolhidos a priori para cada FW, foram 3 degraus sequenciais reproduzido pela função F (z) = 1 para: 0.1 m ≤ z ≤ 0.2 m, 0.4 m ≤ z ≤ 0.5 m e 0.7 m ≤ z ≤ 0.8 m, sendo F (z) = 0 caso contrário. As 4
FWs escolhidas são de ordens ζ=1, 2, 3 e 4, centradas nas posições (xm, ym) dadas por
(−0.423, 0.423)mm (para m = 1), (0.423, 0.423)mm (para m = 2), (−0.423, −0.423)mm (para m = 3), (0.423, −0.423)mm (para m = 4). Os raios transversais de cada FWs são de 18.5 µm(ζ=1), 30.4 µm(ζ=2), 42.3 µm(ζ=3) e 53.7 µm(ζ=4). A distância entre a superficíe do cilindro de FW de ordem 3 e ordem 4 nomeada de d é de 0.74 mm: esta é a distância mais curta entre todas as distâncias relativas dos feixes da array.
A Figura 3.4 representa o padrão transversal da array de 4 FWs no plano inicial
z= 0.15 m.
Figura 3.4: Padrão transversal de um array de 4 FWs de ordem ζ = 1, 2, 3, 4 no plano inicial z = 0.15 m. Distância entre as FWs de ordens 3 e 4 é de 0.74 mm.
Ao examinar a figura 3D abaixo (Fig.3.5) nota-se a propagação das 4 FWs(em paralelo) cujos padrões de intensidade escolhidos a priori foram uma sequência de 3 degraus.
Figura 3.5: Visão 3D do array de 4 FWs.
A Fig.3.6 mostra uma projeção ortogonal, onde pode-se observar claramente o padrão longitudinal dos feixes de ordem 2 e ordem 4 dentro dos intervalos desejados.
3.1
Redução da distância entre as FWs de um array
A medida que se diminui distância entre as FWs de um array pode-se notar que a interferência mútua se torna cada vez maior, causando assim uma degradação no padrão transversal do campo. Essa interferência indesejada é causada principalmente pelos anéis de intensidade que constituem a estrutura transversal de cada um destes feixes. Para melhor observar esse fator limitante, vamos reduzir a distância entre as FWs vizinhas e fixar nossa atenção apenas na projeção transversal da array de FWs no plano inicial em
z= 0.15 m. No primeiro exemplo apresentado na Fig.3.7, vamos considerar um array de 4
FWs mostrado anteriormente na Fig.3.4, só que agora vamos reduzir a distância entre as FWs de 0.74 mm para 91.73 µm.
Analisando a Fig.3.7, é possível perceber que essa interferência indesejada é um obstáculo quando é almejado projetar um array de FWs propagando em paralelo abaixo de uma certa distância, pois o padrão transversal do campo fica totalmente danificado.
De acordo com as simulações feitas, foi possível estimar que para este array de 4 FWs a distância mínima na qual se pode aproximar os feixes vizinhos sem perder totalmente o padrão do campo na transversal é de 91.73 µm.
Entretanto, para averiguar como será o padrão transversal do campo para distância menor do que 91.73 µm, no próximo exemplo, mostrado na Fig.3.8, vamos diminuir a distância entre as FWs de 91.73 µm para 72.9 µm.
Figura 3.7: Padrão transversal de um array de 4 FWs no plano inicial z = 0.15 m. Distância
Figura 3.8: Padrão transversal de arrays de 4 FWs no plano inicial z = 0.15 m. Distância
Capítulo 4
Métodos para mitigar a interferência
entre as FWs da array
4.1
Método da polarização ortogonal entre as FWs
vizinhas
Com intuito de mitigar a interferência indesejada entre as FWs paralela e, por conseguinte, poder reduzir a distância entre as FWs sem destruir o padrão transversal do array, vamos aplicar o método da polarização ortogonal entre FWs vizinhas.
Ao desprezar a componente longitudinal do feixe(situação paraxial), podemos escrever o campo elétrico como
E(ρ, φ, z, t) = EXˆx + EYˆy (4.1) onde EX = M X m=1 ψmX e EY = M X m=1 ψYm, (4.2) sendo ψXm = e−iωtCmX N X n=−N AXmnJXm(h X mnρ X m)e iβX mnzeiXmφXm , (4.3) ψYm = e−iωtCmY N X n=−N AYmnJYm(h Y mnρ Y m)e iβY mnzeiYmφYm . (4.4)
As componente EX e EY, eqs.(4.2,4.3,4.4), que representam o campo elétrico,
possuem a mesma estrutura matemática da solução escalar apresentada na equação 2.29, com todos os parâmetros representando o mesmo significado, mas agora
"projeta-dos"separadamente em x e y através dos índices ”X” e ”Y ”. Sendo que ρXm =q(x − xX m)2+ (y − yXm)2 , ρ Y m = q (x − xY m)2+ (y − yYm)2 (4.5) e φXm = arctan y − y X m x − xX m ! , φYm = arctan y − y Y m x − xY m ! , (4.6) sendo (xX
m, ymX) e (xYm, yYm) as coordenadas centrais da m-ésima FW polarizada ao longo
das direções x e y respectivamente. Analogamente temos βmnX = QXm+2π Ln , β Y mn= Q Y m+ 2π Ln , (4.7) com hXmn =q(k)2−(βX mn)2 , h Y mn = q (k)2−(βY mn)2 (4.8) e AXmn = 1 L Z L 0 F X m(z)e −i2π Lnzdz , AY mn = 1 L Z L 0 F Y m(z)e −i2π Lnzdz (4.9)
A ideia básica é considerar polarizações perpendiculares entre FWs vizinhas. Aplicando esse método para um array de 4 FWs nesse primeiro exemplo(m=1, 2, 3, 4), assumimos a seguinte representação esquemática para as polarizações de fei-xes(Fig.4.1).
Figura 4.1: Esquema de array de 4 FWs polarizadas ortogonalmente.
De acordo com a Fig.4.1 percebemos que apenas os feixes das diagonais não apresentarão termos cruzados na intensidade resultante, pois possuem a mesma polarização; porém, mesmo com essa interferência é possível alcançar resultados muito melhores do que antes(sem polarização ortogonal). Na próxima secção serão apresentados resultados
obtidos envolvendo polarização ortogonal em comparação a situação sem a polarização ortogonal.
4.1.1
Simulação de arrays de 4 FWs aplicando o método da
po-larização ortogonal
Nessa secção iremos aplicar o método e realizar novamente a simulação para os mesmos valores de distância já usados na secção 3.1 anterior.
Na figura abaixo temos o primeiro caso(Fig.4.2a) sem aplicar o método da polarização ortogonal, e o segundo(Fig.4.2b) aplicando o método da polarização ortogonal. A distância entre as FWs vizinhas para ambos os casos é de 72.9 µm.
Figura 4.2: a)Padrão transversal de um array de 4 FWs sem aplicar o método no plano inicial em z = 0.15 m; b) aplicando o método da polarização ortogonal. Distância d= 72, 9 µm.
Ao analisar o array de FWs polarizadas ortogonalmente(Fig.4.2b), em compara-ção com o exemplo inicial sem aplicar o método(Fig.4.2a), pode-se perceber uma reducompara-ção substancial da interferência entre os feixes: isso ocorre porque agora apenas aqueles das diagonais, que possuem a mesma polarização, se interferem entre si.(vide Fig.4.1)
No próximo exemplo, diminuímos ainda mais a distância para averiguar o limite no qual o método da polarização ortogonal permite aproximar os feixes sem ocorrer a distorção total do padrão do campo na transversal.
Figura 4.3: a) Padrão transversal do array sem aplicar o método: b) aplicando o método da polarização ortogonal no plano inicial z = 0.15 m. Distância d = 57, 6 µm.
O resultado alcançado ao aplicar o método da polarização ortogonal é bem interessante, pois observando a Fig.4.3b em comparação com a Fig.4.3a pode se concluir que foi possível recuperar o padrão transversal do feixe que antes estava totalmente degradado devido a interferência.
4.1.2
Simulação de array de 9 FWs aplicando o método da
po-larização ortogonal
Com o propósito de analisar um pouco mais o método, foi aumentado o número de FWs do array de 4 para 9, com as seguintes posições centrais e ordens: (−0.846, 0.846)mm (ordem 2), (0, 0.846)mm (ordem 1), (0.846, 0.846)mm (ordem 0),(−0.846, 0)mm
(or-dem 1), (0, 0)mm (or(or-dem 2), (0.846, 0)mm (or(or-dem 1), (−0.846, −0.846)mm (or(or-dem 0), (0, −0.846)mm (ordem 2), (−0.846, −0.846)mm (ordem 2). Nesse array, as FWs de ordem
0 possuem o tamanho transversal de 24.1 µm, as FWs de ordem 1 e ordem 2 possuem o raio de cilindro de 18.5 µm e 30.4 µm respectivamente.
Para todas as FWs desse array foi escolhido em 0 ≤ z ≤ L = 1 m, o mesmo padrão de intensidade na longitudinal dado por 3 degraus sequenciais, mais especificamente:
para m = 1, 2.., 9, Fm(z) = 1 dentro dos seguintes intervalos: 0.1 m ≤ z ≤ 0.2 m, 0.4 m
≤ z ≤ 0.5 m, 0.7 m ≤ z ≤ 0.8 m e Fm(z) = 0 para fora desses intervalos (Fig.4.5).
Conforme pode se observar na Fig.4.4, a distância entre os cilindros de ordem 2 é de
d= 0.77 mm: esta é a distância mais curta entre todas as distâncias relativas dos feixes
do array.
A figura 4.4 exibe o padrão transversal de um array de 9 FWs no plano inicial
Figura 4.4: Padrão transversal do array de 9 FWs sem aplicar o método da polarização ortogonal no plano inicial z = 0.15 m. Distância d = 0.77 mm.
Os 3 degraus sequenciais projetados para o padrão longitudinal de cada um dos feixes dentro dos intervalos designados podem ser observados na Fig.4.5, que mostra um corte na terceira coluna da array, selecionando assim as FWs de ordem ζ=1, 2 e 3 (foi escolhida a terceira coluna para visualizar o padrão longitudinal do campo, mas podia também ser feito o corte na coluna 1 ou 2 do array).
Entretanto, da mesma forma apresentado na seção anterior, o problema começa a emergir a medida que diminuímos a distância entre as FWs vizinhas, causando assim uma degradação no padrão transversal do array devido a interferência indesejada. Com a finalidade de mitigar essa interferência vai ser aplicado o método da polarização ortogonal.
O esquema da polarização ortogonal escolhido para o array de 9 FWs é repre-sentado abaixo
Figura 4.6: Array de 9 FWs polarizadas ortogonalmente.
Para prosseguir vamos considerar um array de 9 FWs espaçadas na transversal propagando paralelamente uma a outra a uma distancia de 0.36 mm entre as superficíe do feixes de ordem 2.
Figura 4.7: a) Padrão transversal de array de 9 FWs sem aplicar a polarização ortogonal; b) aplicando a polarização ortogonal no plano inicial z = 0.15 m. Distância d = 0.36 mm.
do método, com o resultado obtido na Fig.4.7b com aplicação do método é visível uma grande melhora no padrão transversal do array.
Para o próximo exemplo a distância entre as FWs foi reduzida de 0.36 mm para a distância limite de 0.17 mm.
Figura 4.8: a) Padrão transversal de array de 9 FWs sem aplicar a polarização ortogonal; b) aplicando a polarização ortogonal no plano inicial z = 0.15 m. Distância d = 0.17 mm.
Na Fig.4.8a pode se observar que o padrão transversal foi absolutamente degradado, devido a isso, logo em seguida foi aplicado o método da polarização ortogonal entre os feixes vizinhos(Fig.4.8b). Para esse arranjo de feixes a distância de 0.17 mm é a menor possível, cujo método nos permite aproximar os feixes sem ocorrer a distorção total do padrão do transversal do campo. Na próxima secção serão apresentados resultados obtidos envolvendo o uso de algoritmos de otimização em comparação com a polarização ortogonal.
4.2
Algoritmos de otimização
A exploração da combinação de feixes de maneira não ortogonal é complexa, pois para encontrar os ângulos de polarizações mais adequado, é preciso explorar o grande espaço de busca de 0 a 2π. Assim, ao se considerar a quantidade de variáveis a serem combinadas para adequar a configuração de polarização dos feixes, este trabalho também apresenta como contribuições o estudo de diferentes metaheurísticas sendo aplicadas neste problema. Para isso, considerou-se os trabalhos de otimização apresentados em o [8–10] para encontrar as polarizações mais adequadas para os feixes de um array e consequentemente mitigar ainda mais o efeito de interferência. Os algoritmos que melhor se adequaram aos problemas aqui propostos são descritos à seguir, iniciando com os Algoritmos Evolutivos, sendo o Algoritmo Genético (AG) e a Estratégia Evolutiva (EE), assim como algoritmos de enxame de partículas (PSO).
4.2.1
Algoritmo genético(AG) e Estratégia Evolutiva (EE)
Algoritmo genético e a estratégia evolutiva são técnicas de programação basea-das na evolução biológica e usabasea-das como estratégia de resolução de problemas a fim de obter uma solução aproximada [11], [12].A estrutura base desses algoritmos é similar, tendo sua principal disparidade na manipulação populacional. O AG usualmente apresenta uma única população (conjunto) de indivíduos (solução candidata), enquanto que a EE é composta de duas diferentes populações, uma abstraindo a relação de pais (parents) que interagem (recombinam - crossover) para gerar novos indivíduos (offspring) com variações aleatórias em sua
estrutura genotípica (estrutura de dados) ocorrida por meio de mutações.
Esse processo iterativo com recombinação e mutação é similar no AG. Porém, por haver diferentes quantidades de populações, a forma de selecionar os indivíduos que melhor se adaptam também são diferentes [13].
A adaptação é analisada por uma função objetivo fitness, que nessa aplicação é o modelo numérico utilizado para descrever o vetor (array) de feixes. Nos problemas explorados neste trabalho, ambas as populações possuíam 100 indivíduos a serem conside-rados, sendo que no AG todos estão na mesma população e no EE são 70 pais e mais 30 filhos com uma seleção usualmente representada na literatura por (µ/σ + λ)EE, indicando que são somadas as população de µ pais com as de λ filhos, e que a geração dos filhos ocorre pela recombinação dos σ pais, que neste caso σ = 2 [14] [15].
Uma representação generalizada do processo iterativo genericamente apresen-tado neste trabalho é apresenapresen-tado na Fig.4.9 [16].
Figura 4.9: Diagrama de fluxo de um algoritmo evolutivo.
4.2.2
Otimização por enxame de partículas(PSO)
O algoritmo de otimização por enxames de partículas demoninado em inglês de particle swarming optimization(PSO) mimetiza o comportamento de algumas espécies de pássaros, cardumes de peixes, e até mesmo do comportamento social humano [17].
O conceito geral desse algoritmo é de que cada partícula (solução candidata) tem sua valor no espaço de busca global e também está associada as outras partículas para se fortalecer em buscas locais de soluções que atendam aos problemas impostos [18]. Essas análises se assemelham a algumas simplificações de teorias sócio-cognitiva, onde em uma população considerada-se a experiência de cada indivíduo e sua capacidade de estimular sua vizinhaça em variações comportamentais.
Portanto, esse processo é realizado a partir de dois tipos de informações: a aprendizagem individual(cognitiva) e a transmissão cultural(social). Com isso, a proba-bilidade de que um determinado individuo tome uma certa decisão será em função do desempenho no passado e do desempenho de alguns de seus vizinhos [19].
Na codificação do PSO considera-se que as partículas são representados por
pontos, que se deslocam um espaço de busca Rd(d é a dimensão do espaço) em busca da
solução ótima. O movimento das partículas é influenciado por sua melhor localização alcançada e pela melhor localização de todo o enxame ou de um vizinho próximo, mas tende a se mover aleatoriamente [20].
As características que definem uma partícula i é a sua posição xi e a sua
velocidade vi. Uma representação básica do fluxo desse algoritmo é apresentada na Fig.4.10.
A cada iteração, cada partícula muda sua posição de acordo com a nova velocidade dada por Eq.4.10:
vi(t + 1) = vi(t) + (c1.rand().(xmelhori − xi(t))) + (c2.rand().(xgmelhor− xi(t))) (4.10)
onde xmelhor e gmelhor denotam a melhor posição da partícula e a melhor posição do grupo
geram números aleatórios utilizando a distribuição uniforme com valores normalizados no intervalo entre 0 e 1 [17,21].
A posição de uma partícula é atualizada a partir da expressão 4.11:
xi(t + 1) = xi(t) + vi(t) (4.11)
4.2.3
Resultados das otimizações
Os resultados apresentados nessa seção foram obtidos por meio do algoritmo genético(AG), estratégia evolutiva(EE) e a enxame de partículas(PSO). Para isso, objetivo foi tentar recuperar o padrão transversal da array de FWs para distâncias ainda menores do que aquelas apresentadas na seção 4.1.2, não sendo discutido o desempenho de cada algoritmo por não ser de interesse deste trabalho neste momento.
Os resultados obtidos foram comparadas com os casos da polarização ortogonal, com isso foi possível perceber visualmente que os algoritmos de otimização se mostraram mais eficiente em recuperar o padrão transversal do vetor de feixes.
Na Fig.4.11b é apresentado o resultado do padrão transversal do campo do array obtido a partir do uso das polarizações alcançadas com as rotinas da estratégia evolutiva e logo em seguida nas figuras 4.12b e 4.13b é exibido os resultados do padrão transversal da array usando as polarizações obtidas com auxilio do algoritmo genético e a optimização por enxames de partículas respectivamente.
Observando as figuras 4.11b, 4.12b e 4.13b resultante de uso dos algoritmos de otimização e comparando com as figuras 4.11a, 4.12a e 4.13a respectivamente conseguido com a polarização ortogonal, é possível notar uma melhora no padrão do campo na transversal das figuras 4.11b, 4.12b e 4.13b. Isso ocorre pois as polarizações de cada feixe da array foi escolhida usando os algoritmos de otimização com propósito de mitigar a interferência e por conseguinte recuperar o padrão transversal do campo.
Figura 4.11: a) Array de FWs polarizado ortogonalmente; b) Array de FWs polarizado usando a EE. Distância d = 0.149 mm.
Figura 4.12: a) Array de FWs polarizado ortogonalmente; b) Array de FWs polarizado usando o AG. Distância d = 0.107 mm.
Figura 4.13: a) Array de FWs polarizado ortogonalmente; b) Array de FWs polarizado usando o PSO. Distância d = 92.2 µm.
4.3
Apodização de array de superposição de feixes
de Bessel(FWs)
4.3.1
Feixes Gaussiano
Figura 4.14: Esquema de distribuição de vetores de onda responsável por gerar um feixe gaussiano.
O feixe gaussiano é composto por ondas planas que viajam em varias direções: Fig.4.14. Esse feixe é caracterizado como sendo um tipo de feixe que sofre o efeito da difração. O espectro correspondente ao feixe gaussiano, que deve ser usado na Eq.2.4(com ζ=0) é o seguinte
S(h, ω) = 2a2e−a2h2δ(ω − ω0) (4.12)
onde a é uma grandeza que esta relacionada a abertura transversal inicial do feixe. Para obter a superposição de ondas planas em diferentes direções, representada pela figura 4.14, vamos substituir a equação 4.12 na equação 2.4:
ψ(ρ, z, t) =
Z k
0 hJ0(hρ)e
iz√k2−h2
e−iω0t2a2e−a2h2dh (4.13)
Todavia, para encontrar a solução dessa integral é preciso realizar algumas aproximações.
Temos que S(kρ) = 2a2e−a
2h2
, logo ∆h = 1
a. Agora usando a aproximação
paraxial (∆h << ω
c ⇒ a >> c
ω) e expandindo o limite de integração de k para ∞ devido
possível chegar na seguinte expressão [2] ψ(ρ, z, t) = 2a2e−a2h2e−iω0t Z ∞ 0 hJ0(hρ)e iz k−h22k dh (4.14)
onde foi usado
q
(k2− h2) ≈ k2− h2
2k (4.15)
Para obter a solução, vamos aproveitar a integral tabelada de Gradshteyn:
Z ∞ 0 x ν+1e−αx2 Jζ(γx)dx = γ 2αν+1e −γ 4α (4.16)
Com isso obtemos o feixe Gaussiano: ψGauss(ρ, z, t) = 2a 2e −ρ2 4(a2+ iz 2k) 2 a2+2kiz e ik(z−ct) (4.17)
Pode-se verificar que a magnitude |ψ| do feixe Gaussiano (Eq.4.17) sofre um
alargamento transversal progressivo, dobrando sua largura inicial ∆ρ0 = 2a depois de se
propagar uma distância z chamada de comprimento de difração. Esse comprimento pode ser encontrada a partir da seguinte expressão (Fig.4.15):
zdiff= √
3k∆ρ2 0
2 (4.18)
Figura 4.15: Feixe gaussiano com largura ∆ρ0 = 48 µm.
4.3.2
Análise matemática da apodização de superposição de feixe
de Bessel(FW)
Nessa seção será feita a apodização da superposição de feixes de Bessel(Frozen Waves) a partir de um feixe Gaussiano, com o objetivo de diminuir os anéis concêntricos constituintes do feixe de Bessel [22] [23] e por conseguinte diminuir a interferência na transversal para o caso de array de Frozen Waves paralelas. Para isso consideramos um feixe paraxial propagando em um meio não absorvente e cuja função de onda complexa é dada por:
ψ = eikze−iωtE(x, y, z) (4.19)
sendo que o envelope complexo E precisa satisfazer a seguinte equação ∇2TE+ 2ik∂E
∂z = 0 (4.20)
equação 4.20, então a equação abaixo 4.21 também é solução da equação 4.20 [24–26]. EG(x, y, z) = 1 µe (−q2 ρ2 µ)E x µ, y µ, z µ ! (4.21) onde ρ2 = x2+ y2, Re(q) > 0 e µ= 1 + i2q 2 kz (4.22)
sendo q o parâmetro que controla a largura da intensidade transversal no plano z = 0. A conclusão que tiramos de acordo com as equações acima é que todo feixe paraxial tem sua própria versão gaussiana.
No caso onde ψ, dado por 4.19 obedece a equação de onda exata, temos que, para uma FW, E(ρ,z) é dado por
E(ρ, z) = e−ikz N X n=−N AζJζ(hnρ)eiζφeiβnz (4.23) sendo hn= q k2 − βn2 (4.24)
A equação 4.23 com a restrição dada pela equação 4.24 é uma solução exata da equação de onda. Mas o resultado discutido nessa seção é valido para soluções sujeitas à aproximação paraxial. Felizmente a solução 4.23 pode ser escrita dentro da aproximação paraxial desde que as seguintes mudanças forem feitas [27].
hn= √ 2 v u u t(1 − 1 k Q+ 2πn L ! k (4.25) e βn = Q + 2πn L (4.26)
Assim, dividindo as variáveis ρ e z por µ, vamos ficar com EG ρ µ, z µ ! = e−ikµz XN n=−N AnJζ(hn ρ µ)e iζφeiβnµz (4.27)
Agora com a solução paraxial da FW em mãos(Eq.2.13, 4.25 e 4.26) podemos obter a versão Gaussiana de uma FW apodizada substituindo a equação 2.13 na 4.19 e logo em seguida escreve-la na forma da Eq.4.21:
ψ(ρ, φ, z, t) = e−iωteikze (−q2 ρ2 µ) µ e −ikµz XN n=−N AnJζ(hn ρ µ)e iζφeiβnµz (4.28)
