Resultados de simulações considerando arrays de 9 FWs apodizadas

Nesse exemplo vamos construir um array de feixes de 9 elementos usando FWs produzidos a partir de feixes de Bessel-Gauss com polarização perpendicular conforme exibido pelo esquemático na Fig.4.21. As 9 FWs escolhidas possuem as seguintes posições centrais e ordens: (−0.211, 0.211)mm (ordem 2), (0, 0.211)mm (ordem 1), (0.211, 0.211)mm (ordem 0), (−0.211, 0)mm (ordem 1), (0, 0)mm (ordem 2), (0.211, 0)mm (ordem 1), (−0.211, −0.211)mm (ordem 0), (0, −0.211)mm (ordem 2) and (−0.211, −0.211)mm (or- dem 2), cujo os spot das FWs de ordem 0 é de 24.1 µm, enquanto que para FWs de ordem 1 e 2 possuem o raio do cilindro de 18.5 µm e 30.4 µm, respectivamente.

Todas as FWs da array foram escolhidas para ter o mesmo padrão de intensidade na longitudinal dado por um degrau, mais especificamente: dentro de 0 ≤ z ≤ L = 1.28 m

e para m = 1, 2.., 9, Fm(z) = 1 dentro dos seguintes intervalos 5 mm ≤ z ≤ 10 mm e

Fm(z) = 0 para fora do intervalo. A distância entre os cilindros de ordem 2 é 149 µm,

menor do que o limite da polarização ortogonal apresentado na 4.1.2.

Figure 4.19 exibe o padrão do campo na transversal de um array de 9 FWs propagando em paralelo sem aplicar o método da apodização, no plano inicial z = 0.

Por conseguinte, ao aplicar o método da apodização gaussiana em cada feixe da array, pode se observar na Fig.4.20 que a interferência na transversal entre os feixes diminuiu bastante devido a redução no número de anéis de intensidade constituintes das FWs.

Figura 4.19: Padrão transversal de array de 9 FWs no plano inicial z = 0. Distância

d= 149.9 µm.

Figura 4.20: Padrão transversal de 9 FWs apodizada para abertura de ∆ρG = 7ρ0 no plano

Com a finalidade de mitigar ainda mais a interferência entre as FWs, logo depois de apodizar a array de FWs vai ser aplicado o método da polarização ortogonal entre as FWs vizinhas apresentado anteriormente no capítulo 4. O esquema da polarização ortogonal para um array de 9 FWs é representado por Fig.4.21.

Figura 4.21: Esquema de array de 9 FWs polarizadas ortogonalmente.

Figura 4.22: a) Padrão transversal de 9 FWs sem aplicar o método da apodização e da polarização ortogonal; b) Padrão transversal de 9 FWs aplicando o método da apodização e da polarização ortogonal no plano inicial z = 5 mm. Distância d = 149.9 µm.

O resultado obtido ao aplicar o método da polarização ortogonal é muito interessante, pois ao comparar a Fig.4.22a com a Fig.4.22b depois de aplicar o método da apodização e da polarização ortogonal é possível notar uma recuperação total do padrão transversal da array.

A Fig. 4.23 expõe a propagação na longitudinal dos feixes de ordem ζ=0, 1 e 2 da terceira coluna da array de FWs (Fig.4.22) no plano ρ − z dentro do intervalo pretendido.

De acordo com a figura 4.23 que exibe a propagação do campo na longitudinal, pode se observar que os feixes de ordem 1 e ordem 2 tem a amplitude menor do que o feixe de ordem 0, isso ocorre pois a abertura gaussiana escolhida para realizar a apodização é a mesma, então os feixes de ordem 1 e 2 possui um raio maior e por conseguinte acaba tendo menos anéis concêntricos responsável pela sua reconstrução do padrão na longitudinal.

Figura 4.23: Projeção longitudinal de 3 FWs da array de ordem 0, 1 e 2 no plano ρ − z. Ao realizar novamente a mesma simulação, mas diminuindo a distância entre os feixes da array de 149.9 µm para 44.1µm, pode se perceber na Fig.4.24 que o padrão transversal da array ficou totalmente danificado. Em vista disso, para recuperar o padrão transversal da array foi aplicada a apodização gaussiana em cada uma das FWs constituinte da array conforme pode ser visto na Fig.4.25. Entretanto, ao ver a Fig.4.24 é possível constar que o método da apodização não foi suficiente para recuperar totalmente o padrão transversal da array de 9 FWs, desse modo logo em seguida foi aplicada a polarização ortogonal entre as FWs vizinhas da array(vide a Fig.4.26).

Figura 4.24: Padrão transversal da array de 9 FWs sem aplicar o método da apodização no plano inicial z = 5 mm. Distância d = 44.1 µm.

Figura 4.25: Padrão transversal de array 9 FWs aplicando o método apodização para

Figura 4.26: a) Padrão transversal de um array de 9 FWs sem aplicar a apodização; b) apodizado e polarizado ortogonalmente no plano inicial z = 5 mm. Distância d = 44.1 µm. O resultado final obtido após aplicar o método da apodização e a polarização ortogonal apresentado na Fig.4.26b é muito bom, visto que na Fig.4.26a inicial sem aplicar os métodos, o padrão transversal estava completamente degradado.

A Fig.4.27 exibe o padrão longitudinal das FWs de ordem 0, 1 e 2 da terceira coluna da array exibido na Fig.4.26b no plano ρ − z dentro do intervalo desejado.

Capítulo 5

Geração de feixes no espaço livre

usando modulador espacial de

luz(SLM)

5.1

Geração de feixes no espaço livre usando modu-

lador espacial de luz(SLM)

Este capítulo tem como objetivo realizar uma montagem experimental para

gerar arrays de FWs no espaço livre usando um SLM(spatial light modulators)1 _{de refle-}

xão. Na configuração experimental, analisamos as possibilidades e limitações teóricas e experimentais para geração das FWs.

Para gerar tais feixes foi usada a montagem experimental exibida na Fig.5.1. O estágio antes do espelho realiza o tratamento do feixe gaussiano emitida pelo Laser He-Ne2

antes de chegar no SLM, enquanto que o estágio após o SLM realiza a filtragem do feixe para que ele possa ser detectado da melhor forma pelo CCD(charge-coupled device)-câmera.

O feixe de saída do laser é colimado a partir de uma lente L1 em um pinhole(PH)

de 25 µm de diâmetro cujo propósito é filtrar as componentes de frequência espacial mais

elevadas e tornar o feixe mais Gaussiano. A lente L2 em seguida tem como função focar

o feixe, pois este arranjo de lentes L1 e L2 foi feito tal que o spot que incida no espelho

tenha diâmetro de aproximadamente 1.5cm e logo a seguir possa cobrir grande parte da tela do modulador. Porém esta requer que o feixe seja linearmente polarizado, e para garantir isso foi colocado um polarizador P1 a 0◦ antes da lente L2.

Logo depois, o espelho direciona o feixe Gaussiano para um beam splitter(BS) que encaminha parte da intensidade do feixe para a tela do modulador e em seguida permite assim a passagem da luz refletida pelo SLM.

1_{Holoeye LC-R 1080, reflexão 1920×1200 pixels} 2_{O comprimento de onda do feixe λ é de 632.8 nm}

Figura 5.1: Esquema experimental para geração de feixes no espaço livre.

A luz sofre mudança nas suas características ao incidir no SLM em função das informações contidas em um CGH(CGHs-computer generate holograms) [28, 29] gerado pelo Matlab®.

Nesse estágio a luz refletida pelo SLM já possui as informações do feixe a ser

gerado, com isso antes de finalizar a luz precisa ainda passar por um filtro 4f3_{. Para}

começar, o SLM deve ser fixado numa posição atrás do BS a um distância focal f da lente L3, de forma que o feixe ao atravessar a lente L3 e chegar no plano focal (onde esta

localizada a pupila) apareça a transformada de Fourier de duas dimensões composta pelas diversas ordens de difração. As informações do feixe estão gravadas dentro das diversas ordens de difração, então usamos a pupila, cujo objetivo é permitir a passagem apenas da

primeira ordem de difração. Logo depois, existe a lente L4 a uma distância focal de f da

pupila, de tal forma que em seu plano focal apareça a transformada de Fourier da primeira ordem de difração, que já é o feixe projetado. A câmera(CCD) por fim é colocada após a

lente L4, de forma a capturar o padrão de intensidade transversal do feixe gerado pelo

holograma.

A grande vantagem dessa montagem é que ela nos oferece bastante flexilidade, pois para gerar diferentes feixes, precisamos apenas introduzir um padrão de holograma correspondente ao feixe desejado sem alterar os esquema de montagem. As manchas presentes nas imagens se devem à sujeira nos componentes ópticos.

Figura 5.2: Montagem experimental para geração de feixes no espaço livre.

Inicialmente, geramos um array de 4 FWs cujo padrão longitudinal do campo escolhido a priori para cada FW no intervalo 0 ≤ z ≤ L = 1 m é um degrau reproduzido pela função F (z) = 1 para: 0.1 m≤ z ≤ 0.4 m. As 4 FWs escolhidas são de ordens

ζ=1,2,3 e 4 e os raios transversais para cada FWs são de 58.88 µm(ζ=1), 97.07 µm(ζ=2),

0.13 m(ζ=4) e 0.16 mm(ζ=4). A distância medida na horizontal entre as FWs de ordem 3 e ordem 4 é de 0.84 mm: esta é a menor distância entre as FWs de ordem 3 e ordem 4.

As FWs constituintes das arrays gerados no espaço livre exibido nesse capítulo, possuem todas a mesma polarização.

Figura 5.3: Perfil de intensidade de um array de 4 FWs no plano z = 0.15 m. Distância

Ao reduzir a distância d entre os feixe de ordem 3 e ordem 4 de 1 mm para 0.58 mm, obtém-se seguinte padrão transversal de array de FWs.

Figura 5.4: Perfil de intensidade de um array de 4 FWs no plano z = 0.15 m. Distância

d= 0.58 mm.

No segundo exemplo foi gerado uma array de 9 FWs com o mesmo padrão degrau na longitudinal. As ordens escolhidas são ζ=1 e 2, sendo que o tamanho na transversal para FW de ordem 1 é de 41.6 µm enquanto que da ordem 2 é de 68.6 µm. A distância medida entre as FWs de ordem 1 e ordem 2 exibidos na Fig.5.3a é de 0.6 mm e na Fig.5.3b é de 0.49 mm.

Figura 5.5: a) Perfil de intensidade de array de 9 FWs no plano inicial z = 0.15 m. Distância d = 0.6 mm; b) Distância é d = 0.49 mm.

Ao diminuir a distancia de 0.6 mm para 0.49 mm, pode se notar a presença de interferência entre os padrões de intensidades anelares das FWs(vide Fig.5.5b).

Os resultados obtidos a partir dos experimentos feitos no laboratório mostram o campo gerado no plano inicial z = 0.15 m por um array de 9 FWs, conforme apresentado nos capítulos anteriores Cap.3 e Cap.4. Cada FWs possui ao seu redor a intensidade anelar responsável pela sua construção na longitudinal.

Capítulo 6

Pinças Ópticas

Pinças ópticas ou armadilha como são frequentemente chamadas, são feixes produzidas usando uma lente de alta abertura numérica, com a finalidade de criar um ponto onde uma partícula muito pequena experimentará uma força devido à transferência de momento da dispersão de fótons.

A princípio, a pressão de radiação da luz foi deduzida teoricamente pelo físico e matemático britânico James Clerk Maxwell em 1873 usando a base da sua teoria eletromagnética [30,31] e experimentalmente medido por Lebedev [32], Nichols e Hull em 1901 [33]. A força medida na época era de cerca de 7nN para 1 W de luz, entretanto essa força é pequena e praticamente não tinha nenhuma aplicação antes da invenção do laser. A invenção do laser em 1960 permitiu o uso de feixes super colimado em uma pequena partícula com um diâmetro da ordem de 1µm. A força de radiação de um laser de 1W sobre uma partícula pode ser 105 vezes maior que a força gravitacional que a partícula sofre, isso ocorre devido à pequena massa da partícula. Em 1970 Arthur Ashkin e os colaboradores publicaram trabalhos [34] demonstrando que poderia se usar raios de laser colimados para acelerar e capturar partículas de tamanho micrométricos. Em meados dos anos 80, Ashkin introduziu outro avanço quando utilizou um único feixe focalizado por uma lente de grande abertura numérica para capturar partículas em três dimensões [35]. Esta técnica ficou conhecida por Pinça Óptica(Optical Tweezers). Desde então as pinças ópticas tornaram-se ferramentas indispensáveis para estudos físicos de sistemas e nas ciências da vida, após demonstrar que ela permitia manter vivo por um longo tempo o microrganismo capturado. Em um nível fundamental, o princípio de funcionamento das armadilhas ópticas baseia-se no entendimento de que a luz carrega um momento proporcional à sua energia e o transfere para a partícula. Entretanto as forças sentidas por essa partícula consistem nas forças de espalhamento e gradiente de luz devido à interação da partícula com a luz [36–39]. A força de espalhamento empurra a partícula ao longo da direção de propagação fazendo com o que ela afaste da região de aprisionamento enquanto que a força gradiente é uma força restauradora que atua para mover a partícula para região de maior intensidade(Fig.6.2). A relação entre o tamanho de partícula e o comprimento de onda do feixe apresenta três

regimes a se considerar ao desenvolver a teoria para descrever o aprisionamento óptico. No regime da óptica geométrica, o diâmetro de uma partícula aprisionada é muito maior que o comprimento de onda da luz e o aprisionamento pode ser descrito usando a óptica de raios. Para o regime de Mie na qual o tamanho de partícula é comparável ao comprimento de onda, a análise do campo eletromagnético é mais complexa. Por fim, para o regime estudado nesse capítulo, o diâmetro da partícula é muito menor que o comprimento de onda e a teoria de raios se decompõe. Para entender essa força, a partícula aprisionada é considerada um dipolo eletromagnético, a esse regime é denominado de regime de Rayleigh.

6.1

Superposição do feixe de Bessel em coordenadas

cilíndricas(FWs)

Nesse capítulo serão apresentadas as equações em coordenadas cilíndricas(ρ, φ,z) envolvendo superposição do feixe de Bessel(Frozen Wave) [3,40] espaçadas na transversal.

Supondo que o deslocamento lateral do u-ésimo Frozen Waves(FW) é dado por (ρu,φu).

ψ(ρ, φ, z) = U X u=1 N X q=−N AuqJζu(huqwu)e iβuq(z−z0)_eiζφu (6.1) wu = q ρ2+ ρ2_u−2ρρucos(φ − φu) (6.2) φu = arctan y − yu x − xu ! (6.3) sendo o xu e yu dado por

xu = ρucos(φu) yu = ρusin(φu) (6.4)

Onde ρu e φu são as coordenadas cilíndricas que definem o centro do n-ésimo FW da array.

A equação 6.1 representa uma estrutura de superposição de feixe de Bessel original porém com notação adequada para os nossos propósitos de cálculo de forças.