9.3 Método para resolução de congruências quadráticas
9.3.4 Equação geral do segundo grau
Determinar se a equação de segundo grauax2+ bx + c ≡ 0 (mod m)tem soluções é equivalente a determinar se a equação y2 ≡ ∆ (mod m), onde
∆ = b2− 4ac, tem solução, já que x≡−b± √ ∆ 2a (modm) 2ax + b≡ ±√∆ (modm) (2ax + b)2≡ ∆ (modm) y2≡ ∆ (modm)
Isto vale desde que mdc(2a,m) = 1(porque usamos a lei do cancelamento, multiplicando os dois lados por 2a). Quando o módulo é primo, 2a será evidentemente co-primo com o módulo.
Resolveremos agorax2− 6x + 5≡ 0 (mod 11). Temos
∆ = b2− 4ac = 36 − 20 = 16≡ 5 (mod11).
O critério de Euler nos garante que5é resíduo quadrático módulo11, con- forme já calculamos na seção anterior (equação9.4). A raiz de∆é, portanto,
5k+1≡ 53≡ 125 ≡ 4 (mod11).
Podemos simplesmente calcular
(2ax + b)2≡ ∆ (mod 11) 2ax + b≡ 4 (mod 11) 2x − 6≡ 4 (mod 11) 2x≡ 10 (mod 11) x≡ 5 (mod 11)
Por último, fazemos uma verificação:
x2− 6x + 5≡ (5)2− 6(5) + 5 (mod 11) ≡ 25 − 30 + 5 (mod 11) ≡ 0 (mod 11)
Exercícios
Ex. 140 — Calcule: 21 11 , 31 3 , 122 23 , 119 7 .classes de congruência), ou explique porque não é possível: x2≡ 10 (mod 43) X2≡ 5 (mod 31) 3x2− x + 1≡ 0 (mod 19) x2− x + 4≡ 0 (mod 29) 2x2− 10≡ 0 (mod 23) 3x2− 5≡ 0 (mod 18) 4x2− 5≡ 0 (mod 25)
Ex. 142 — Prove que quandomé ímpar,
a m b m = ab m .
Ex. 143 — Um resíduo quadrático móduloppode ser raiz primitiva módulo
pq, compeqprimos?
Ex. 144 — Sejapprimo da forma 4k + 1. Determine a soma dos resíduos quadráticos módulopcontidos em[1, p).
Ex. 145 — Prove que se p e q são primos ímpares tais que existe um x
inteiro positivo tal quep = q + 4x, então
x p = x q .
Ex. 146 — Prove que todo primopmaior que3divide a soma de seus re- síduos quadráticos; e que todo primopmaior que5divide a soma dos qua- drados de seus resíduos quadráticos.
Ex. 147 — Prove que
−1 p = +1 sep = 4k + 1 −1 sep = 4k + 3
Ex. 148 — Prove que há infinitos primos da forma5k − 1.
Dica: Observe os divisores de5(n!)2− 1. Há um divisorp > n que não é
Ex. 149 — Mostre que|Qn| = φ(n)/R, ondeRé a quantidade de elementos
emUntais quex2= a, sendoaum resíduo quadrático emUn.
Ex. 150 — Prove que se n é um inteiro ímpar livre de quadrados, então existek∈ Ztal que mdc(k,n) = 1e nk = −1.
Ex. 151 — Demonstre o Teorema 9.5.
Ex. 152 — Prove que a funçãof : Un → Qn, tal quef(x) = x2é homomor-
fismo entre grupos.
Ex. 153 — Prove que sepé um primo ímpar ea6= 0um resíduo quadrático módulo p, então −a é resíduo quadrático módulo p se e somente se p = 4k + 1. (Use o resultado do Exercício 147).
Ex. 154 — Seja m = pq, com p e q primos ímpares. Se sortearmos um elemento x∈ Zm, e verificarmos que seu símbolo de Jacobi é+1, qual é a
probabilidade dexser resíduo quadrático módulom?
Ex. 155 — Prove a seguinte extensão do Teorema de Wilson: sepé primo ep - a, então
(p − 1)!≡ − a p
ap−12 (modp).
Ex. 156 — Prove que paranímpar,
−1 c
= (−1)(c−1)/2
Ex. 157 — Determine uma forma fechada para
a b b a ,
quandoa, bsão inteiros ímpares.
Ex. 158 — Sejapum primo ímpar, eno menor resíduo quadrático positivo módulop. Prove quen < 1 +√p.
Ex. 159 — Determine quais os primos p tais que 3 é resíduo quadrático módulop.
Ex. 160 — Prove o Lema de Gauss: seja p primo e a coprimo com p; considere o conjuntoA ={a, 2a, 3a, . . . , [(p − 1)/2]a}. Tome os menores re- presentantes positivos dos elementos emA, módulop. Sejana quantidade
dessesLRp(ai)que são maiores quep/2: n = x∈ A : LRp(X) > p 2 . Então a p = (−1)n.
Ex. 161 — Prove a Lei da Reciprocidade Quadrática usando o Lema de
Gauss. Não use o argumento de contagem de pontos inteiros, como na demonstração de Eisenstein.
Ex. 162 — Prove a Lei da Reciprocidade Quadrática por indução (esta foi
a primeira prova elaborada por Gauss). a) Comece provando o Lema a seguir:
Lema 9.19. Sejaqum primo da forma4k + 1. Então existe um primo ímparptal que
q p
= −1.
b) Seja p0 = (−1)(p−1)/2p. Suponha que p < q. Faça indução em q, e
separe em três casos:
i)(p0/q) = +1. Prove que(q/p) = +1.
ii)(p0/q) = −1, q = 4k + 3. Prove que(q/p) = −1. iii)(p0/q) = −1, q = 4k + 1. Prove que(q/p) = −1.
Parte II
Parte II
Capítulo 10
Soma de Quadrados
Abordamos aqui a representação de inteiros como soma de dois quadrados, ou seja, dado um inteiron, estudamos a equação Diofantina não linear
a2+ b2= n,
tentando determinar quantas soluções tem (se existem), e quais são. Mos- tramos também que todo inteiro pode ser representado como soma de qua- tro quadrados.
10.1
Existência de representação como soma
de dois quadrados
Começamos identificando quais inteiros podem ser escritos como soma de dois quadrados, e quais deles pode ser escritos como soma de dois quadra- dosx2+ y2, com mdc(x,y) = 1.
Definição 10.1 (representação de inteiro como soma de quadrados). Seja
num inteiro positivo. Dizemos que o par de inteiros positivos(x, y)é uma
representação dencomo soma de dois quadrados sex2+ y2= n.
Se mdc(x,y) = 1, dizemos que se trata de uma representaçãoprópria de
n.
Por exemplo,109tem representação própria como soma de dois quadra- dos, já que109 = 32+ 102e mdc(3,10) = 1.
Já 117 tem representação, mas não própria, porque 117 = e2(13), e
mdc(6,9) = 3. A representação, imprópria, é117 = 62+ 92.
Começamos demonstrando um Lema.
Lema 10.2. −1sempre é resíduo quadrático módulopquandopé um primo da forma4k + 1.
Demonstração. A congruência, da forma como está escrita, já nos indica que o Teorema de Wilson pode ser usado: sabemos que (p − 1)! ≡ −1 (modp). Agora, p + 1 2 ≤ x ≤ p − 1se e somente se − p − 1 2 ≤ x − p ≤ −1. Portanto, (p − 1)!≡ 1· 2 · 3 · · · p − 1 2 cada um≡−1,−2,...,−(p−1)/2 (modp) z }| { p + 1 2 · p + 3 2 . . . (p − 1) (mod p) ≡ (−1)(p−1)/2122232 · · · p − 1 2 2 (mod p) ≡ p − 1 2 ! 2 (mod p) ≡ −1 (mod p),
e−1é resíduo quadrático módulop.
Tratamos primeiro de caracterizar quando há representação própria para um inteiro. Depois trataremos do caso impróprio.
Teorema 10.3. Um inteiro positivon tem representação própria se e so- mente se não tem fatores da forma4k + 3.
Demonstração. Sejapum primo na fatoração den(ou seja,p|n), e suponha quentem representação própria:n = x2+ y2e mdc(x,y) = 1. Entãopnão pode dividir nemxnemy.
Deve portanto existir algum inteiroutal quey = ux (modp), e
x2+ y2≡ x2+ u2x2 (mod p) ≡ x2(1 + u2) (mod p)
≡ 0 (mod p). (p|n) Masx > 0, ep - x, logox2(1 + u2)≡ 0 (mod p)só é possível se(1 + u2)≡ 0
(modp), e
u2≡ −1 (mod p).
Então−1é resíduo quadrático módulop, e portantopdeve ser2ou algum primo da forma4k + 1.
Teorema 10.4. Um inteiro positivo né representável como soma de dois quadrados se e somente se sua fatoração em primos não contém potências ímpares de primos da forma4k + 3.
Como exemplo, o número275 = (11)52 contém uma potência ímpar de
11, que é da forma 4k + 3, por isso não pode ser representado como soma de dois quadrados.
Demonstração. (⇒) Sejapum primo da forma4k + 3, e suponha quep| n, e que 2r + 1 é a ordem de p na fatoração de n. Suponha também que
n = x2+ y2, comx, y∈ N∗, com mdc(x,y) = d. Comop| n, então alguma
potência depdivided.
Então dividimosxeyporde escrevemos
x/d = x0 ⇒ x = dx0 y/d = y0 ⇒ y = dy0
Sabemos que mdc(x’,y’) = 1. Agora, seja
m = (x0)2+ (y0)2 =x d 2 +y d 2 .
Assim,mé um inteiro com representação própria. Mas
p2r+1| n p2r+1| x2+ y2
p2r+1−2j | (x0)2+ (y0)2 (divida pord2) Isto contradiz o Teorema 10.3, porquemserá um inteiro com representação própria, e comp = 4k + 3em sua fatoração.
(⇐) Agora mostramos que, se na fatoração de um inteironos primos da forma4k + 3só aparecem com expoentes pares, entãontem representação como soma de quadrados. Assim, presumimos que
n = ab2,
ondeaé livre de quadrados e não tem fatores primos da forma4k + 3. Nos basta provar queaé representável, porqueb2evidentemente é, e o produto
de inteiros representáveis é, também, representável:
(a2+ b2)(α2+ β2) = (aα + bβ)2+ (aβ − bα)2.
Agora,aé produto de primos da forma4k + 1. Precisamos somente mostrar que todo primo desta forma é representável. Mas pelo Lema 10.2, a con- gruênciax2≡ −1 (mod p)tem solução, eaé representável como soma de quadrados. Mas seaé representável,ntambém é.