8.4 Grupos
8.4.1 O grupo de unidades
Sennão é primo, nem todo elemento emZntem inverso (ou seja, nem todos
são unidades). Quando escolhemos apenas as unidades emZn, obtemos um
sistema reduzido de resíduos onde todos os elementos tem inverso – este é ogrupo de unidades módulon.
Definição 8.26 (grupo de unidades módulo n). Para todo inteiro positivo
n, definimos o grupo de unidades módulon como o subconjunto deZn
onde todos os elementos são unidades módulon; a operação de grupo é a multiplicação módulon. Denotamos este grupo porUn.
Exemplo 8.27. As unidades módulo10são 1, 3, 7, 9, portanto estes são os elementos do grupoU10, onde a operação de grupo é a multiplicação módulo
10. J
Teorema 8.28. O grupoUné cíclico.
A demonstração do Teorema 8.29 é pedida no Exercício 137.
Teorema 8.29. Sejanum inteiro positivo. EntãoZφné grupo com a ope-
ração de multiplicação; além disso,Un é isomorfo aZφn.
Exercícios
Ex. 125 — Prove que em uma lista de k + 1 números a1, a2, . . . , ak+1 há
pelo menos dois números,aieaj, tais que(ai− aj)| k.
Ex. 126 — Encontre todas as raízes primitivas módulo5,7,9, e11.
Ex. 127 — Fixen > 1inteiro e definaω = e2πin (ω∈ C), e
Ωn={0, ω, ω2, . . . , ωn−1}.
Prove que para qualquer conjunto{k0, k1, . . . , kn−1} ⊆ Z,
se e somente sek0, k1, . . . , kn−1é sistema completo de resíduos módulon
Ex. 128 — Seja p primo. Prove que1 e p − 1 são os únicos números no conjunto{0, 1, . . . , p − 1}cujos quadrados são congruentes a um módulop.
Ex. 129 — Prove que o conjunto dos inteiros módulom, para todom≥ 0, é um grupo comutativo com a operação de soma módulom.
Ex. 130 — Sejapum primo ímpar, e sejam{s1, s2, . . . , sp−1}e{t1, t2, . . . , tp−1}
dois sistemas completos de resíduos módulop. Prove que{s1t1, s2t2, . . . , sktk}
não pode ser sistema completo de resíduos módulop.
Ex. 131 — Seja n ∈ Z tal que3 - n ou tal que 9 | n. Prove que n7 ≡ n
(mod 63).
Ex. 132 — Sejama, bco-primos. Prove que{0, a, 2a, 3a, . . . , (b − a)a}é um sistema completo de resíduos módulob.
Ex. 133 — Mostre que sea1, a2, . . . , aké um sistema reduzido de resíduos
módulom, ondem > 2, entãoPiai≡ 0 (mod m).
Ex. 134 — Prove que para todo inteiro positivonmaior que um,n| φ(2n− 1).
Ex. 135 — Dois grupos(G, )e(H, )são isomorfos se existe uma bijeção entre eles que preserva estrutura – ou seja, se existef : G→ H bijetora tal que∀a, b ∈ G,f(a b) = f(a) f(b).
(a) Prove que os grupos aditivos definidos por dois sistemas completos de resíduos com o mesmo módulo são isomorfos, e que por isso podemos tratá-los como se fossem um só: “o sistema completo de resíduos mó- dulom”.
(b) Faça o mesmo com grupos multiplicativos definidos por sistemas redu- didos de resíduos.
Ex. 136 — Suponha quegseja raiz primitiva módulopk. Prove quegtam-
bém é raiz primitiva módulop.
Ex. 137 — Demonstre o Teorema 8.29.
Ex. 138 — Prove que em qualquer grupo, todo elemento tem um único in-
verso.
Ex. 139 — SejaC⊂ R2o conjunto de pontos da circunferência unitária,
Este conjunto pode ser um grupo, onde •e = (1, 0)é o elemento neutro;
•o inverso de cara ponto(x, y)é(x, y) = (x, −y). a) Determine uma operação de grupo.
Capítulo 9
Resíduos Quadráticos
Limitamo-nos até o momento ao estudo de congruências lineares – mais especificamente, as da formaax≡ b (modm). Este Capítulo trata de con- gruências envolvendo quadrados.
O problema de resolver equações quadráticas na forma geral pode ser reduzido ao de resolver equações da formax2= a (mod p), de que tratamos
a partir de agora. Ao final deo Capítulo mostramos como resolver a equação geral de segundo grau tendo método apenas para a equação mais simples
x2≡ a (modp).
9.1
Resíduos Quadráticos
Inicialmente, damos um nome aos quadrados módulom.
Definição 9.1 (resíduo quadrático). Dizemos queaé um resíduo quadrá-
tico módulomse a equaçãox2≡ a (modm)tem solução.
Denotamos porQn o conjunto (ou ainda, o grupo) dos resíduos quadrá-
ticos módulon.
O critério de Euler permite determinar quando um elemento é quadrado módulop, sepfor primo.
Teorema 9.2 (critério de Euler). Sepé primo, entãoaé resíduo quadrático módulopse e somente se
ap−12 ≡ 1 (modp).
Demonstração. Seaé resíduo quadrático módulop, então
ap−12 ≡ (x2) p−1
2 (modp)
≡ xp−1 (modp)
≡ 1 (modp). (pelo Teorema de Euler) Agora suponha queap−12 ≡ 1 (mod p). Comopé primo, deve haver alguma
raiz primitivagmódulop, e existe algumktal quegk ≡ a (mod p). Agora
reescrevemos a congruência do enunciado,
(gk)p−12 ≡ a p−1
2 (mod p)
Mas a ordem degép − 1, porque é raiz primitiva, e portantok(p − 1)/2deve ser múltiplo de p − 1. Então k/2 é inteiro, eké par. Como gk ≡ g2j ≡ a
(modp),aé resíduo quadrático.
Um exemplo com módulo 13: elevamos 7 ao quadrado; 49 é resíduo quadrático módulo 13; mas como 49 ≡ 10 (mod 13), então 10 é resíduo quadrático módulo 13. Observamos que que 106 ≡ 1 (mod13), porque
103103 = 1306 e 106 = 76923(13) + 1. Usamos o Teorema de Euler e con-
firmamos que10é resíduo quadrático módulo13:
1012≡ 1 (mod13).
Corolário 9.3. A quantidade de resíduos quadráticos módulo p é exata- mente igual à de resíduos não quadráticos.
Demonstração. Tome todos os s2, onde k = 1, 2, . . . , (p − 1)/2. Estes são
todos os resíduos quadráticos módulo p, porque se s2 é quadrado, então
(p − s)2≡ (−s)2também é. Temos somente que mostrar que estes são todos
incongruentes modulo p Suponha que r2 e s2 sejam congruentes módulo
p. Mas se r2 ≡ s2 (modp), então (r + s)(r − s) ≡ 0 (modp), e r ≡ ±s
(modp).
Por exemplo, para p = 11 há cinco resíduos quadráticos (1, 3, 4, 5, 9), e cinco não quadráticos (2, 6, 7, 8, 10).
Lema 9.4. Seja so número de primos diferentes entre si que dividem um inteiro positivo n. Se a ∈ Un é resíduo quadrático, a quantidade R de
elementosxdeUntais quex2= aé
R = 2s+1 n = 8k 2s−1 n = 4k + 2 2s em outros casos
Demonstração. Seaestá emQn, então existe algumxemUntal quex2= a.
Qualquer unidade y ∈ Un é da forma y = rx para algum r em Un (r é o
inverso dex). Então,s2= ase e somente se(rx)2= ae, consequentemente,
r2 = 1. Assim, a quantidadeRé igual à quantidade de soluções de x2= 1
emUn.
O Exercício 151 pede a demonstração do Teorema 9.5.
Teorema 9.5. O conjunto Qn dos resíduos quadráticos módulo n é sub-
grupo deUn.
Há duas funções que facilitam cálculos a respeito de resíduos quadráti- cos – estas são chamadas de“símbolo de Legendre” e “símbolo de Jacobi”.
Definição 9.6 (símbolos de Legendre e Jacobi). Sepé primo ímpar, então o símbolo de Legendre paraaepé
a p =
1 sea6≡ 0 (mod p)eaé resíduo quadrático módulop 0 sep| a
−1 em outros casos.
Semnão é primo, em = p1p2· · · pk, definimos o símbolo de Jacobi
a m = a p1 a p2 · · · a pk
Os símbolos de Legendre e Jacobi podem também ser denotados por(a/p),
(a/m).
Como já mencionamos que as classes de congruência de resíduos qua- dráticos módulo11são1, 3, 4, 5, 9, então
5 11 = +1, 6 11 = −1, 22 11 = 0,
O critério de Euler pode ser reescrito, portanto como “(a/p) = +1se e somente sea(p−1)/2≡ 1 (modp)”.
Teorema 9.7. Sepé primo ea≡ b (modp), então
a p = b p (i) a p b p = ab p (ii) Demonstração. (i) segue naturalmente da definição do símbolo de Legen- dre:
• se (a/p) = 0, então p | a; mas se a ≡ b (modp), então p | b, e
(b/p) = 0;
• se (a/p) = 1, então aé quadrado módulo p; mas se b ≡ a (mod p), entãob≡ a ≡ x2 (mod p), e(b/p) = 1;
• se (a/p) = −1, então a não se enquadra nos casos já discutidos, e se b ≡ a (modp), b também não pode se enquadrar neles. Assim,
(b/p) = −1.
(ii)é verdadeira porque
• se(a/p) = 0, entãop| a, ep| ab, logo(ab/p) = 0;
• se(a/p) = +1, entãoa≡ b ≡ x2 (modp), eab≡ x2x2 (mod p), logo
(ab/p) = 1;
• se(a/p) = −1, então comoa≡ b (modp), temosab≡ aa (modp), e
(ab/p) = 1.
Teorema 9.8. Sepé primo, então
ap−12 ≡ a p (mod p). Demonstração. Sep| a, entãop| ap−12 , ea p−1 2 ≡ 0 (modp), logo a p = 0≡ ap−12 (modp).
Pelo critério de Euler, seaé resíduo quadrático módulop, então
a p
= 1≡ ap−12 (modp).
Sea6≡ 0 (mod p)não é resíduo quadrático, então
ap−12 = (g2k+1) p−1 2 (modp) ≡ g(2k+1)(p−1)2 (modp) ≡ gk(p−1)gp−12 (modp) ≡ (1)(−1) (modp) ≡ −1 (modp)