Através das equações médias de conservação da mistura apresentadas no Capí-tulo 2, é possível representar matematicamente um escoamento multifásico e, através do modelo de mistura, considerá-lo um único fluido hipotético que representa a mis-tura. Comumente, a velocidade da mistura e da fase dispersa são escolhidas como variáveis do sistema e, dessa forma, a conservação da massa é realizada para a mis-tura e para a fase dispersa, sendo a transferência de massa entre as fases dada pelos termos interfaciais. Porém, é possível escolher as velocidades de cada uma das fases como variáveis e, preferencialmente, a conservação da massa pode ser realizada para cada uma delas. Além das equações de conservação são necessárias outras
informa-ções a respeito da interação entre as fases como, por exemplo, a relação cinemática expressa pelo modelo de deslizamento drift-flux.
Para determinar as equações do modelo de mistura drit-flux, considerou-se dois ti-pos de escoamentos: miscível e imiscível. No primeiro caso é permitida a miscibilidade entre as fases. Já o segundo é uma simplificação do primeiro tal que a miscibilidade é tão pequena que pode ser considerada nula, como por exemplo uma mistura água-ar em condições normais de temperatura e pressão. Neste caso, a fase líquida será basicamente composta por água, enquanto que a fase gasosa será composta por ar.
A seguir serão apresentadas as variáveis e as equações governantes envolvidas na modelagem dos escoamentos imiscíveis e miscíveis.
3.3.1 Modelo de Mistura Drift-Flux Imiscível
No escoamento imiscível, cada fase possui uma porcentagem no volume amostral e compartilham o mesmo campo de pressão e temperatura, porém suas velocidades não são necessariamente iguais. Neste modelo, as variáveis independentes são a pressão, a temperatura, as velocidades e frações volumétricas de cada fase, conforme a Tabela 2. Como não há miscibilidade, as frações molares dos componentes em cada fase não se alteram e, por isso, não são consideradas variáveis do problema. As propriedades das fases são calculadas considerando-se a porcentagem de cada um desses componentes de acordo com as equações apresentadas no Apêndice A.
Tabela 2: Variáveis independentes do escoamento multifásico imiscível
Variável Notação Quantidade
Pressão P 1
Temperatura T 1
Velocidade vp Np
Fração volumétrica αp Np
No modelo de mistura imiscível, a massa de cada fase se conserva durante o escoamento. Isso porque não há transferência de massa entre as fases, ou seja, os termos interfaciais da equação de transporte da massa são nulos. Dessa forma, a conservação da massa é escrita para cada fase do escoamento, enquanto que a conservação da quantidade de movimento e da energia são realizadas para a mistura. A velocidade da fase dispersa será determinada através do modelo cinemático drift-flux. A equação de restrição é dada pela relação volumétrica entre as fases, visto que estas compartilham o mesmo volume amostral.
Portanto, as equações do modelo de mistura drift-flux para um escoamento imis-cível, conforme as equações médias de transporte discutida no Capítulo 2, são:
1. Conservação da massa para cada fase: ∂
∂t(αpξp) + ∇ · (αpξpvp) = α
∗
pqnp; (3.14)
2. Conservação da quantidade de movimento da mistura:
∂ ∂t X p αpρpvp ! + ∇ · X p αpρpvpvp ! = −∇P + ∇ · τm +X p αpρpg +X p α∗pqMp; (3.15)
3. Conservação da energia da mistura:
∂ ∂t " X p αpξphp+ 1 2αpρpv 2 p # + ∇ ·X p αp ξphp+ 1 2ρpv 2 p vp = ∂P ∂t − ∇ · Qm+ QTm + ∇ · " X p (αpτp· vp) # +X p (αpρpvp· g) − qw; (3.16)
4. Relação cinemática (modelo drift-flux ):
vg = C0X
p
(αpvp) + vD; (3.17)
5. Restrição das frações volumétricas:
X
p
αp = 1. (3.18)
Estas equações podem ser quantificadas em função do número de fases do es-coamento, Np, conforme a Tabela 3. Das Tabelas 2 e 3 é possível concluir que este sistema possui o mesmo número de variáveis e equações: 2Np + 2. Para o escoa-mento bifásico, o modelo drift-flux é escrito para a fase dispersa que é, geralmente, a fase gasosa. Para o caso com mais de duas fases, conforme o trabalho de Shi et al. (2004), há a necessidade de mais de uma relação cinemática e esse estudo está além do escopo deste trabalho.
Tabela 3: Equações do escoamento multifásico imiscível
Equação Quantidade
Conservação da massa da fase Np
Conservação da quantidade de momento da mistura 1
Conservação da energia da mistura 1
Relação cinemática (modelo drift-flux ) Np− 1
Restrição das frações volumétricas 1
3.3.2 Modelo de Mistura Drift-Flux Miscível
No escoamento miscível, ocorre a miscibilidade entre as fases e, dessa forma, é permitida a transferência de componentes entre elas. Ou seja, as frações molares dos componentes, assim como a pressão, temperatura, velocidades e frações volu-métricas, são variáveis independentes do problema. Enquanto a fração volumétrica representa a porcentagem volumétrica que a fase ocupa no volume amostral, a fração molar representa a porcentagem molar que o componente ocupa nessa fase. Assim, em um sistema com Np fases e Nc componentes, existirão Np × Nc frações molares, conforme a Tabela 4.
Tabela 4: Variáveis independentes do escoamento multifásico composicional miscível
Variável Notação Quantidade
Pressão P 1
Temperatura T 1
Velocidade vp Np
Fração molar xp,c Np× Nc
Fração volumétrica αp Np
Como ocorre a transferência de componente entre as fases, é possível ocorrer o desaparecimento e o surgimento de uma fase, sendo este processo denominado de análise de equilíbrio termodinâmico. O surgimento de uma fase ocorre quando um sistema monofásico é termodinamicamente menos estável do que um sistema bifásico. Este processo de separação de uma fase em duas é denominado de flash e está detalhado no Apêndice A. Já o desaparecimento de fase será discutido na Seção 5.4.
No modelo de mistura miscível, a massa de cada componente se conserva, pois não existe transferência de massa entre componentes. Dessa forma a conservação da massa é escrita para cada componente do escoamento, enquanto que a conservação da quantidade de movimento e da energia são realizadas para a mistura. A velocidade da fase dispersa será determinada através do modelo cinemático drift-flux.
neces-sário admitir uma condição de equilíbrio termodinâmico. Neste trabalho adotou-se o equilíbrio instantâneo das fugacidades de cada componente do sistema, utilizando-se a fase gasosa como referência. A definição de fugacidade e de equilíbrio termodinâ-mico estão melhor detalhados no Apêndice A.
Além dessas equações, ainda há as restrições das frações molares para cada componente e a restrição da fração volumétrica. Portanto, as equações do modelo de mistura drift-flux para um escoamento miscível, conforme as equações médias de transporte discutida no Capítulo 2, são:
1. Conservação da massa para cada componente:
∂ ∂t X p αpξpxp,c ! + ∇ · X p αpξpxp,cvp ! =X p α∗pqnp,c; (3.19) 2. Conservação da quantidade de movimento da mistura:
∂ ∂t X p αpρpvp ! + ∇ · X p αpρpvpvp ! = −∇P + ∇ · τm +X p αpρpg +X p α∗pqMp; (3.20)
3. Conservação da energia da mistura:
∂ ∂t " X p αpξphp+ 1 2αpρpv 2 p # + ∇ ·X p αp ξphp+ 1 2ρpv 2 p vp = ∂P ∂t − ∇ · Qm+ QTm + ∇ · " X p (αpτp· vp) # +X p (αpρpvp· g) − qw; (3.21)
4. Relação cinemática (modelo drift-flux ):
vg = C0X
p
(αpvp) + vD; (3.22)
5. Equilíbrio termodinâmico:
fp,c = f0,c; (3.23)
X
c
xp,c = 1; (3.24)
7. Restrição das frações volumétricas:
X
p
αp = 1. (3.25)
As equações do modelo de mistura miscível podem ser quantificadas em função do número de fases, Np, e de componentes, Nc, do escoamento, conforme a Tabela 5. De acordo com as Tabelas 4 e 5, é possível concluir que este sistema possui o mesmo número de variáveis e equações: 2Np+ 2 + Np× Nc.
Tabela 5: Equações do escoamento multifásico composicional miscível
Equação Quantidade
Conservação da massa do componente Nc
Conservação da quantidade de movimento da mistura 1
Conservação da energia da mistura 1
Relação cinemática (modelo drift-fllux ) Np− 1
Equilíbrio termodinâmico Nc× (Np− 1)
Restrição das frações molares Np
4 Transferência de Calor Entre o
Poço e a Formação Geológica
Nas últimas décadas, muitos trabalhos sobre a modelagem térmica de escoamen-tos em tubulações e, principalmente, em poços de petróleo tem sido publicados na literatura. Isso inclui tanto modelos analíticos quanto numéricos. Ramey (1962) foi o primeiro a apresentar um modelo analítico para estimar a temperatura do fluido em um escoamento vertical no poço, em função da profundidade e do tempo. Entretanto, este método teórico possui algumas limitações, pois não considera os efeitos do atrito e da energia cinética, além de considerar o escoamento monofásico. Satter (1965) estenderam o modelo de Ramey (1962) para escoamentos multifásicos. Sagar et al. (1991), Alves et al. (1992) e Hasan e Kabir (1994) apresentaram modelos que incluem o efeito Joule-Thomson e a energia cinética capazes de prever o perfil de temperatura em poços inclinados.
Embora todos esses trabalhos utilizem a aproximação black-oil, os mesmos são utilizados como base para o desenvolvimento da formulação do fluxo de calor transi-ente que a completação de um poço de petróleo e a formação geológica impõe sobre o fluido multifásico escoando no interior da coluna de produção. Essa troca de calor será representada como um termo fonte na equação da conservação da energia.
4.1 Transferência de Calor no Poço
De acordo com Hasan e Kabir (1994), um esquema típico de completação é com-posto por um tubo de produção, isolante térmico, espaço anular, revestimento, zona cimentada e a própria formação geológica, conforme a Fig. 8. O isolante térmico é utilizado, por exemplo, quando há o intuito de aplicar métodos térmicos de recupe-ração de hidrocabonetos, de forma que o fluido injetado ou produzido perca menos calor com a formação geológica. A troca de calor da configuração adotada ocorre: por condução no tubo de produção, no isolante térmico, no revestimento, na cimentação
e na formação geológica; por convecção no fluido produzido (ou injetado) e no fluido que preenche o anular; e por radiação, quando o espaço anular está preenchido com um gás e a diferença de temperatura entre o isolante e o revestimento é significativa.
Tubula ção Isolante Anular Revestime nto Cimen tação Formação Geológica Fluido
Figura 8: Corte radial de um típico esquema de completação. Adaptado de Hasan e Kabir (1994).
O processo de condução é dado pela transferência de energia através de um meio material, sem transporte de matéria. Esta energia térmica se propaga de partícula para partícula do meio. Este processo ocorre principalmente em materiais sólidos, como por exemplo o tubo de produção e seu revestimento.
Já o processo de convecção é dado pela transferência de energia térmica que se propaga através do transporte de matéria devido a uma diferença de densidade e à ação da gravidade. Esse processo ocorre somente com os fluidos, por isso será considerada no interior da coluna de produção e na região do espaço anular.
As seis seções que compõem a completação (Fig. 8) são cilíndricas e possuem temperaturas diferentes no raio interno e externo, conforme a Fig. 9.
O fluxo de calor devido à condução pode ser descrito pela lei da condução térmica de Fourier. Considerando uma seção cilíndrica de comprimento ∆z, conforme a Fig.9, a lei de Fourier, em coordenadas cilíndricas, é:
Q = −2πr∆zκ∂T
Figura 9: Representação de uma seção cilíndrica na qual ocorre uma troca de calor entre as superfícies interna e externa.
onde Q representa o fluxo de calor transmitido radialmente através de um material cilíndrico de comprimento ∆z e condutividade térmica κ.
Integrando-se a equação do fluxo de calor radial, Eq. (4.1), é possível obter a diferença de temperatura entre as superfícies externa e interna da seção cilíndrica, dada por: Te− Ti = Q 2π∆z lnri re κ . (4.2)
Segundo a Lei de resfriamento de Newton, o fluxo de calor transmitido radialmente por um fluido devido ao processo de convecção, é dado por:
Q = 2πr∆zh∆T, (4.3)
onde h representa o coeficiente de convecção do fluido.
Observando a Fig. 9 e considerando a existência de um fluido entre as superfícies de raio ri e re, a diferença de temperatura entre essas superfícies, devido à convecção no interior de uma seção cilíndrica, é dada por:
Te− Ti = Q 2π∆z
1
rih, (4.4)
onde h representa o coeficiente de convecção do fluido.
Considerando que o regime permanente da troca de calor entre o fluido e a cimen-tação já esteja estabelecido, o fluxo de calor transmitido radialmente, Qw, é constante. Assim, a variação da temperatura para cada uma das seções representadas na Fig. 8
pode ser determinada utilizando-se as Eqs. (4.2) e (4.4), da seguinte forma: 1. Variação da temperatura, por convecção, no interior do tubo de produção:
Tf − Tti= Qw 2π∆z
1
rtihf (4.5)
2. Variação da temperatura, por condução, no tubo de produção:
Tti− Tto= Qw 2π∆z
ln (rto/rti) κtub
(4.6) 3. Variação da temperatura, por condução, no isolante térmico:
Tto− Tins = Qw 2π∆z
ln (rins/rto)
κins (4.7)
4. Variação da temperatura, por convecção e radiação, no anular:
Tins− Tci = Qw 2π∆z
1
rci(hC + hR) (4.8)
5. Variação da temperatura, por condução, no revestimento:
Tci− Tco= Qw 2π∆z
ln (rco/rci)
κcas (4.9)
6. Variação da temperatura, por condução, na cimentação:
Tco− Tw = Qw 2π∆z
ln (rw/rco)
κcem (4.10)
7. Variação da temperatura, por condução, na formação geológica:
Tw− Te = Qw 2π∆z
TD(t) κe
(4.11) onde TD(t) é uma função adimensional que representa o fenômeno transiente da condução de calor na formação geológica e Te a temperatura da região não perturbada pela presença do poço. Estes termos serão discutidos na Seção 4.1.3 .
Nas Eqs. (4.5)-(4.11), os termos κtub, κins, κcas, κcem e κe representam a condu-tividade térmica do tubo, do isolante, do revestimento, da cimentação e da formação, respectivamente, e são obtidos empiricamente. Já os termos hf e hC representam o
coeficiente de convecção no tubo e no anular, respectivamente; e hR, o coeficiente de radiação do fluido no anular e estão apresentados nas Seções 4.1.1 e 4.1.2.
Analogamente aos trabalhos de Willhite (1967) e Hasan e Kabir (1994), somando-se as Eqs. (4.5)-(4.11) é possível expressar a perda total de energia do fluido no interior do poço, utilizando-se a lei de resfriamento de Newton, por:
Qw = 2πrto∆zUt(Tf − Te), (4.12)
tal que Uté o coeficiente de transferência de calor total, representando toda a comple-tação, e é dado por:
1 Ut = rto 1 rtihf + ln (rto/rti) κtub + ln (rins/rto) κins + 1 rci(hC+ hR) +ln (rco/rci) κcas +ln (rw/rco) κcem +TD(t) κe . (4.13)
A seguir serão discutidos os cálculos dos coeficientes de convecção forçada no interior da coluna de produção, hf, da convecção natural no anular, hC, e da radiação no anular, hR, além da condução de calor na formação geológica.
4.1.1 Convecção Forçada no Interior da Coluna de Produção
O processo de convecção forçada é dado pela transferência de energia no qual o movimento do fluido é gerado por uma fonte externa. O escoamento no interior da co-luna de produção, cuja temperatura é diferente do fluido, é um exemplo de convecção forçada. Nesse processo, o coeficiente de convecção pode ser obtido utilizando-se a correlação de Dittus e Boelter (apudSHIRDEL; SEPEHRNOORI, 2011), dada por:
hf = κf
DN u, (4.14)
onde κf é o coeficiente de condutividade térmica do fluido; e N u é o número adimen-sional de Nusselt.
Segundo Kreith (2000) e Bird et al. (2007), o número de Nusselt para um fluxo turbulento no interior de um fluido pode ser escrito como:
N u = 0, 023Re0,8P rn, (4.15) tal que, n = 0, 4 para aquecimento (parede mais quente que o fluido) ou n = 0, 33 para resfriamento (parede mais fria que o fluido); Re representa o número de Reynolds e P ré o número de Prandtl que é função da capacidade calorífica, cf, da viscosidade, µf, e da condutividade térmica do fluido, κf, sendo definido por:
P r = cfµf
κf . (4.16)
4.1.2 Convecção Natural e Radiação no Anular
A convecção natural ocorre devido à variação da massa específica com a tempe-ratura no anular, provocando uma movimentação do fluido no seu interior. O fluido próximo a parede mais quente é mais leve e tende a subir, enquanto que o fluido pró-ximo a parede mais fria, que é mais denso, tende a descer. A Fig. 10 ilustra este fenômeno, através dos perfis de temperatura e velocidade do fluido do anular.
Perfil de
Velocidade
Perfil de
Velocidade
Perfil de
Temperatura
Figura 10: Convecção natural no interior do anular. Adaptado de Willhite (1967). Do perfil de temperatura é possível perceber que a temperatura do isolante, lado esquerdo, é maior do que a do revestimento, lado direito (Fig. 10). Esta diferença de temperatura, provoca a movimentação do fluido. No perfil de velocidade, nota-se que próximo ao isolante a velocidade é positiva, ou seja, um deslocamento ascendente, enquanto que próximo ao revestimento essa é negativa. Esta movimentação cria o ciclo de convecção que está denotado por uma linha pontilhada na Fig. 10.
Embora Sagar et al. (1991) não considerem o processo de convecção natural no fluido que preenche o espaço anular, Hasan e Kabir (1994) mostram que a convecção natural deve ser considerada a fim de obter resultados mais realísticos.
Já o processo de transferência de calor por radiação ou irradiação térmica ocorre através de ondas eletromagnéticas. Enquanto a condução e a convecção ocorrem somente em meios materiais, a irradiação ocorre também no espaço vazio, ou seja, sem que haja contato entre os corpos. Admiti-se que esse processo ocorra no espaço anular, porém será significativo apenas para altas temperaturas. Isso porque quanto maior a temperatura do corpo, maior a radiação de calor.
4.1.2.1 Coeficiente de Convecção Natural no Anular (hC)
A troca de calor por condução no fluido que preenche o espaço anular, considerando-se os efeitos de convecção natural entre a superfície externa do isolante e a superfície interna do revestimento, é dada por:
QC = 2πκCeq(Tci− Tins) ∆z lnrci
rins
, (4.17)
onde QC representa o fluxo de calor devido à condução e a convecção natural; e κCeq, a condutividade térmica equivalente do fluido presente no anular. Por outro lado, o fluxo de calor devido à convecção natural, segundo a lei de resfriamento de Newton, é dada por:
Q = 2πrinshC(Tci− Tins) ∆z. (4.18)
Considerando-se que o regime permanente de troca de calor esteja estabelecido, o fluxo de calor é constante e as Eqs. (4.17) e (4.18) devem ser iguais. Para que isso ocorra é necessário que:
hC = κCeq rinslnrci
rins
. (4.19)
Segundo Hasan e Kabir (1994), devido a falta de trabalhos aplicados à convecção anular em geometria vertical, Willhite (1967) adaptou o trabalho de Dropkin e Somers-cales (1965) que mediram valores para κCeq entre placas verticais encapsuladas como função do número de Grashof, Gr, e do número de Prandtl, P r, tal que:
κCeq
κan = 0, 049 (Gr.P r)
1/3
P r0,074, (4.20) onde κan representa a condutividade térmica do fluido no anular. Os números de Grashof e de Prandtl são definidos, respectivamente, por:
Gr = (rci− rins)3gρ2anβan(Tins− Tci) µ2 an , (4.21) e P r = canµan κan ,
tal que ρan, µan, βan e can são a massa específica, a viscosidade, o coeficiente de expansão térmica volumétrica e a capacidade calorífica do fluido presente no anular, respectivamente.
Substituindo-se a Eq. (4.20) na Eq. (4.19), o coeficiente de convecção natural no anular, segundo Willhite (1967) e Hasan e Kabir (1994), pode ser escrito por:
hC = 0, 049 (Gr.P r)
1/3
P r0,074κan
rinsln(rci/rins) . (4.22)
4.1.2.2 Coeficiente de Radiação no Anular (hR)
Segundo Willhite (1967) e Bird et al. (2007), o fluxo de calor devido a radiação entre a superfície exterior do isolante, cuja temperatura é Tins, e a superfície interna do revestimento, cuja temperatura é Tci, pode ser calculado utilizando-se a lei de Stefan-Boltzmann da seguinte forma:
QR = 2πrto∆zσBFan Tins4 − T4
ci , (4.23)
onde σB é a constante de Stefan-Boltzmann (5, 670373 × 10−8Wm−2K−4
) e Fan repre-senta a fração de radiação emitida da superfície externa do isolante, cuja área é Ains, e interceptada pela superfície interna do revestimento, cuja área é Aci. Segundo Bird et al. (2007), é possível estabelecer uma relação entre a radiação e um circuito elétrico de tal forma que Fan pode ser calculada como uma série de resistências em paralelo, tal que:
1 Fan = 1 ¯ Fan + 1 εins − 1 +Ains Aci 1 εci − 1 , (4.24)
onde εins e εci são os coeficientes de emissão da superfície externa do isolante e interna do revestimento, respectivamente. O termo ¯Fan representa o fator de interação entre as duas superfícies e, segundo Willhite (1967), é assumido como sendo 1 para a transferência de calor no poço. Dessa forma, o fator Fan pode ser reescrito por:
1 Fan = 1 εins + rins rci 1 εci − 1 . (4.25)
O coeficiente de transferência de calor por radiação, hR, pode ser definido reescrevendo-se a Eq. (4.23), tal que:
QR = 2πrto∆zσBFan Tins2 + Tci2 (Tins+ Tci) | {z } hR (Tins− Tci) , (4.26) onde: hR= σB(T 2 ins+ Tci2) (Tins+ Tci) 1 εins + rins rci 1 εci − 1 . (4.27)
4.1.3 Condução de Calor na Formação Geológica
A formação geológica é considerada um meio infinito no qual sempre haverá uma região não perturbada pela transferência de calor, cujo perfil de temperatura é dado pelo gradiente geotérmico, que representa a taxa de aumento da temperatura por unidade de profundidade no sentido do centro da terra. Analogamente aos trabalhos de Ramey (1962), Alves et al. (1992), Hasan e Kabir (1994) e Charles et al. (2012), será considerado apenas a transferência de calor radial de tal forma que a troca de calor vertical será desprezada.
Segundo Ramey (1962), a perda radial de calor entre o poço e a formação geoló-gica pode ser expressa por:
Qe = 2π∆z κe
TD(t)(Tw− Te) , (4.28)
da Terra; Tw, a temperatura da região externa da cimentação; Te, a temperatura da formação geológica não perturbada; e TD(t), a diferença de temperatura adimensional. A temperatura da formação geológica em uma região não perturbada pela pre-sença do poço é dada exclusivamente pelo gradiente geotérmico da Terra. Conside-rando que o gradiente geotérmico na direção horizontal é nulo e na direção vertical é constante e igual a gT, a temperatura dessa região pode ser escrita por:
Te = T0− gT (z − z0)senθ, (4.29)
onde T0 representa a temperatura na posição de referência z0.
A diferença de temperatura adimensional utilizando a solução da linha fonte, se-gundo Brill e Mukherjee (1999), é dada por:
TD(t) = 1 2Ei − r 2 w 4ζet , (4.30)
onde ζe representa o coeficiente de difusividade térmica da Terra e é definido em função da condutividade térmica, κe, capacidade térmica, ce, e da massa específica, ρe, da formação geológica ao redor do poço, tal que:
ζe = κe
ceρe. (4.31)
Ainda de acordo com Brill e Mukherjee (1999), a função exponencial integral, Ei, pode ser aproximada por uma função logarítmica, porém essa aproximação não apre-senta bons resultados para tempos menores que uma semana. Hasan e Kabir (1991) apresentaram equações simplificadas, que são válidas para todos os tempos, defini-das por: TD(t) = 1, 1281√ tD 1 − 0, 3√ tD , tD ≤ 1, 5 [0, 4063 + 0, 5 ln(tD)]1 + 0,6t D , tD > 1, 5 , (4.32)
de forma que o tempo adimensional, tD, é definido por:
tD = ζe r2 w