TRANSIENTE COMPOSICIONAL COM TRANSFERÊNCIA DE
CALOR EM POÇOS VERTICAIS
BISMARCK GOMES SOUZA JÚNIOR
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE
LABORATÓRIO DE ENGENHARIA E EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO
MACAÉ - RJ
SETEMBRO - 2015
TRANSIENTE COMPOSICIONAL COM TRANSFERÊNCIA DE
CALOR EM POÇOS VERTICAIS
BISMARCK GOMES SOUZA JÚNIOR
Dissertação apresentada ao Centro de Ci-ência e Tecnologia da Universidade Esta-dual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do título de Mes-tre em Engenharia de Reservatório e de Exploração.
Orientador: Prof. Carlos Enrique Pico Ortiz, Dr. Eng. Coorientador: Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio, D. Sc.
MACAÉ - RJ
SETEMBRO - 2015
TRANSIENTE COMPOSICIONAL COM TRANSFERÊNCIA DE
CALOR EM POÇOS VERTICAIS
BISMARCK GOMES SOUZA JÚNIOR
Dissertação apresentada ao Centro de Ci-ência e Tecnologia da Universidade Esta-dual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do título de Mes-tre em Engenharia de Reservatório e de Exploração.
Aprovada em 24 de setembro de 2015.
Comissão Examinadora:
Prof. Adriano dos Santos (D. Sc., Eng. Civil - UFRN)
Prof. Grazione de Souza (D. Sc., Eng. de Reservatório e de Exploração - UERJ)
Prof. Adolfo Puime Pires (D. Sc., Eng. de Reservatório e de Exploração - UENF)
Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio (D. Sc., Mat. Aplicada - UFU) - Coorientador
Agradeço:
Primeiramente a Deus, por todas as graças alcançadas em minha vida e princi-palmente pela força, coragem, saúde e sabedoria que me dá a fim de alcançar meus objetivos.
Aos meus pais, Ana Maria Martins Souza e Bismarck Gomes Souza que con-tribuíram de todas as formas para o meu êxito, compreendendo minhas ausências, compartilhando meus ideais e incentivando-me a prosseguir, com um sorriso amigo, uma palavra de carinho, amor e dedicação. À minha irmã, Bruna Gomes Souza, e à Walquíria Mazorque Matos por estarem sempre ao meu lado.
Aos amigos e em especial ao Wagner Queiroz Barros e ao Júlio Cesar Santos Nascimento, que ajudaram diretamente no desenvolvimento do software apresentado nessa dissertação. Devido à complexidade do tema estudado, sem eles este trabalho não seria possível.
Aos membros da banca, professores e funcionários do LENEP/CCT/UENF e prin-cipalmente ao meu orientador, Carlos E. Pico Ortiz, e ao meu coorientador, Santos Alberto Enriquez Remígio, que estiveram sempre dispostos a me atender e ajudar nas dificuldades e desafios encontrados durante a realização deste trabalho.
Ao capítulo estudantil UENF-LENEP/SPE-Macaé por disponibilizar o acesso a um banco de dados, pelo qual foi possível obter grande parte da bibliografia deste tra-balho. À rede de Simulação e Gerenciamento de Reservatórios (SIGER), uma rede de pesquisa da Petróleo Brasileiro S/A (Petrobras), por me envolver no projeto intitu-lado "Modelagem do Acoplamento Poço-Reservatório com Variação de Propriedades Termodinâmicas em Reservatórios com Alto Teor de CO2" e à Coordenação de
Aper-feiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo suporte financeiro que me foi dado durante o mestrado.
"A persistência é o menor caminho do êxito" (Charles Chaplin)
Nomenclatura xv Resumo xx Abstract xxi 1 Introdução 22 1.1 Objetivos . . . 25 1.2 Organização do Documento . . . 26
2 Equações Médias de Transporte 29 2.1 Formulação Instantânea Local do Escoamento Monofásico . . . 29
2.2 Função Indicadora de Fase . . . 34
2.3 Processos de Média . . . 36
2.4 Equações Médias de Conservação do Escoamento Multifásico . . . 43
3 Escoamento Multifásico Utilizando o Modelo de Mistura Drift-Flux 53 3.1 Modelos Matemáticos do Escoamento Multifásico . . . 53
3.2 Modelo de Deslizamento Drift-Flux . . . 54
3.3 Equações do Modelo de Mistura Drift-Flux . . . 60
4 Transferência de Calor Entre o Poço e a Formação Geológica 66 4.1 Transferência de Calor no Poço . . . 66
4.2 Metodologia para o Cálculo do Fluxo de Calor . . . 76
5.1 Discretização pelo Método de Volumes Finitos . . . 78
5.2 Solução do Sistema de Equações . . . 91
5.3 Condições de Contorno . . . 94
5.4 Fluxograma do Processo de Solução . . . 98
6 Simulações Numéricas de Escoamento de Fluidos em Tubulações 101 6.1 Tubo de Choque . . . 101
6.2 Escoamento Vertical Isotérmico . . . 117
6.3 Escoamento Vertical com Transferência de Calor . . . 124
6.4 Simulação Vertical Transiente . . . 134
7 Considerações Finais 142 7.1 Conclusões . . . 142
7.2 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . 143
Apêndice A -- Modelagem Termodinâmica 156 A.1 Equação de Estado Volumétrica . . . 156
A.2 Equação de Estado Para a Água . . . 158
A.3 Propriedades do Fluido . . . 159
A.4 Análise da Estabilidade Termodinâmica . . . 173
A.5 Flash Termodinâmico . . . 174
Apêndice B -- Modelagem Computacional 177 B.1 Diagrama de Pacotes . . . 177
B.2 Diagrama de Classes . . . 177
Apêndice C -- Soluções Analíticas 186 C.1 Tubo de Choque . . . 186
C.2 Simulação Vertical Isotérmica . . . 189
C.3 Simulação Vertical com Troca de Calor . . . 191 vii
Apêndice D -- Condições de Contorno 196
D.1 Células Virtuais à Esquerda . . . 196 D.2 Células Virtuais à Direita . . . 199
1 Função indicadora de fases em função do tempo, fixando-se uma posi-ção no espaço (x0). . . 35
2 Função indicadora de fases em função do espaço, fixando-se um tempo (t0). . . 35
3 Filtragem de uma propriedade qualquer utilizando a função indicadora de fase. . . 36 4 Média volumétrica de uma função ruidosa em um instante t0. . . 38
5 Média volumétrica da função indicadora de fase. . . 39 6 Média volumétrica intrínseca da fase p para uma função descontínua. . 40 7 Distribuição não uniforme da fase e da velocidade na seção transversal
de um escoamento vertical gás-líquido. Adaptado de Shi et al. (2005). 55 8 Corte radial de um típico esquema de completação. Adaptado de Hasan
e Kabir (1994). . . 67 9 Representação de uma seção cilíndrica na qual ocorre uma troca de
calor entre as superfícies interna e externa. . . 68 10 Convecção natural no interior do anular. Adaptado de Willhite (1967). . 71 11 Fluxograma para o cálculo do fluxo de calor total entre o poço e a
for-mação, conhecendo-se as propriedades do fluido no interior do poço. . 77 12 Volume de controle unidimensional. . . 79 13 Armazenamento das variáveis escalares, φk, e vetoriais, vk+12, no
vo-lume de controle. . . 79 14 Volumes de controle para a discretização das equações conservativas. 82 15 Fluxograma para solucionar o sistema não-linear utilizando o método de
16 Fluxograma da análise de equilíbrio termodinâmico para cada volume
de controle. . . 99
17 Fluxograma para obter as propriedades do escoamento dado um passo de tempo ∆t. . . 100
18 Fluxograma do funcionamento do simulador. . . 100
19 Perfil de pressão inicial do tubo de choque sepadarado por uma mem-brana. . . 102
20 Perfil de pressão do tubo de choque após a membrana ser removida. . 102
21 Perfis de pressão, temperatura, velocidade e massa específica do pro-blema do tubo de choque após a membrana ser removida. . . 103
22 Perfil de pressão do tubo de choque monocomponente. . . 106
23 Perfil de velocidade do tubo de choque monocomponente. . . 106
24 Perfil de temperatura do tubo de choque monocomponente. . . 107
25 Perfil da massa específica do tubo de choque monocomponente. . . 107
26 Perfil de pressão do tubo de choque composicional. . . 109
27 Perfil de velocidade do tubo de choque composicional. . . 109
28 Perfil de temperatura do tubo de choque composicional. . . 110
29 Perfil de massa específica do tubo de choque composicional. . . 110
30 Envelope de fases da simulação do tubo de choque bifásico miscível. . 111
31 Perfil de pressão da simulação do tubo de choque bifásico miscível. . . 113
32 Perfil de temperatura da simulação do tubo de choque bifásico miscível. 113 33 Perfil de velocidade da simulação do tubo de choque bifásico miscível. 114 34 Representação do comportamento do escoamento do tubo de choque bifásico miscível no diagrama de fases em 1 milissegundo. . . 115
35 Perfil de fração volumétrica de gás da simulação do tubo de choque bifásico. . . 116
36 Perfil de massa específica da simulação do tubo de choque bifásico. . 116
37 Perfil de pressão para a simulação transiente vertical isotérmica. . . 119
38 Perfil de fração volumétrica para a simulação transiente vertical isotér-mica. . . 120 39 Perfil de velocidade para a simulação transiente vertical isotérmica. . . 120 40 Velocidade da mistura na saída do tubo para a simulação transiente
vertical isotérmica. . . 121 41 Perfil de pressão para a simulação vertical isotérmica variando-se a
ve-locidade de deslizamento. . . 122 42 Perfil de velocidade de gás para a simulação vertical isotérmica
variando-se a velocidade de deslizamento. . . 122 43 Perfil de velocidade de líquido para a simulação vertical isotérmica
variando-se a velocidade de deslizamento. . . 123 44 Perfil de fração volumétrica para a simulação vertical isotérmica
variando-se a velocidade de deslizamento. . . 123 45 Perfil de temperatura para a simulação vertical com coeficiente de troca
de calor constante. . . 126 46 Perfil de temperatura considerando os processos de condução e
conve-ção no anular. . . 129 47 Perfil de massa específica do líquido para o escoamento bifásico
miscí-vel vertical. . . 131 48 Perfil de pressão para o escoamento bifásico miscível vertical. . . 131 49 Perfil de velocidade para o escoamento bifásico miscível vertical. . . 132 50 Perfil de fração volumétrica de gás para o escoamento bifásico miscível
vertical. . . 133 51 Diagrama de fases do escoamento bifásico miscível vertical. . . 133 52 Perfil de temperatura para o escoamento bifásico miscível vertical. . . . 134 53 Geometria da simulação de Assmann (1993). . . 135 54 Perfil de fração volumétrica para a simulação de Assmann (1993)
con-siderando o deslizamento entre as fases. . . 138 55 Perfil de pressão para a simulação de Assmann (1993) considerando o
deslizamento entre as fases. . . 139
56 Perfil de temperatura para a simulação de Assmann (1993)
conside-rando o deslizamento entre as fases. . . 139
57 Perfil de pressão para a simulação sem deslizamento de Assmann (1993). . . . 140
58 Perfil de temperatura para a simulação sem deslizamento de Assmann (1993). . . 141
59 Perfil de fração volumétrica de gás para a simulação sem deslizamento de Assmann (1993). . . 141
60 Fluxograma da análise de estabilidade. . . 174
61 Fluxograma para o cálculo do flash termodinâmico. . . 176
62 Diagrama de pacotes do simulador. . . 181
63 Diagrama de classes do pacode Fluido. . . 182
64 Diagrama de classes do pacote Poço. . . 183
65 Diagrama de classes do pacote Discretização. . . 184
66 Diagrama de classes do pacote de gerenciamento de dados da célula. 185 67 Diagrama de classes do pacote de Solver. . . 185
68 Diagrama de classes do pacote principal. . . 185
69 Regiões que surgem no comportamento físico de um tubo de choque. 186 70 Condição de contorno à esquerda para as propriedades escalares. . . . 197
71 Condição de contorno à esquerda para as propriedades vetoriais. . . . 198
72 Condição de contorno à direita para as propriedades escalares. . . 199
73 Condição de contorno à direita para as propriedades vetoriais. . . 200
1 Modelos para o parâmetro de distribuição e velocidade de deslizamento 58
2 Variáveis independentes do escoamento multifásico imiscível . . . 61
3 Equações do escoamento multifásico imiscível . . . 63
4 Variáveis independentes do escoamento multifásico composicional mis-cível . . . 63
5 Equações do escoamento multifásico composicional miscível . . . 65
6 Dados da geometria da tubulação na simulação do tubo de choque . . 104
7 Condição inicial para a simulação do tubo de choque monocomponente 105 8 Condição inicial para a simulação do tubo de choque composicional . . 108
9 Condição inicial para a simulação do tubo de choque miscível . . . 112
10 Parâmetros da simulação vertical isotérmica . . . 117
11 Dados do fluido da simulação vertical isotérmica . . . 117
12 Condição inicial da simulação vertical isotérmica . . . 118
13 Parâmetros da tubulação do escoamento vertical com troca de calor . . 124
14 Condição inicial para a simulação vertical com coeficiente de troca de calor constante . . . 125
15 Condições de contorno para a simulação vertical com coeficiente de troca de calor constante . . . 125
16 Condições de contorno da simulação com coeficiente de troca de calor estimado . . . 127
17 Condição inicial da simulação com coeficiente de troca de calor estimado 127 18 Parâmetros da completação da simulação com coeficiente de troca de calor estimado . . . 128
19 Propriedades do fluido no anular da simulação com coeficiente de troca
de calor estimado . . . 128
20 Condição inicial para a simulação bifásica miscível vertical . . . 130
21 Condições de contorno para a simulação bifásica miscível vertical . . . 130
22 Parâmetros da simulação vertical transiente . . . 135
23 Condições de contorno da simulação vertical transiente . . . 136
24 Condição inicial da simulação vertical transiente . . . 137
25 Parâmetros numéricos da simulação vertical transiente . . . 137
26 Valor do parâmetro ∆ para diferentes equações de estado. Adaptado de Wei e Sadus (2000) e Sandler (2006) . . . 157
27 Propriedades críticas e fator acêntrico de algumas substâncias . . . 158
28 Parâmetros utilizados para modelar a água na fase líquida . . . 159
29 Parâmetros da equação de estado cúbica expresso implicitamente pelo fator de compressibilidade . . . 160
30 Coeficientes do polinômio interpolador da entalpia do gás ideal (Btu/lb e◦R) . . . 163
A nomenclatura está dividida em: alfabeto latino, alfabeto grego, sub-índices, super-índices, símbolos e acrônimos, sendo apresentada em ordem alfabética.
Alfabeto Latino
A Área [m²]
c Capacidade calorífica mássica [J/(kg.K)] C Capacidade calorífica molar [J/(mol.K)] C0 Parâmetro de distribuição [-]
D Diâmetro [m]
e Energia por unidade de massa [J/Kg]
f Fugacidade [Pa]
f Fator de atrito [-]
F Função qualquer
g Aceleração da gravidade [m/s²]
gs Função de superfície
g Vetor aceleração da gravidade [m/s²]
h Coeficiente de convecção [W/(m².K)]
h Entalpia específica molar [J/mol]
I Termo fonte devido a interface
I Tensor unitário
j Velocidade volumétrica [m/s]
J Fluxo de uma propriedade
J Matriz Jacobiana
K Tensor de condutividade térmica [W/(m.K)]
m Massa [kg]
˙
m Vazão mássica [kg/s]
M Massa molar [kg/mol]
n Vetor normal a superfície Nc Número de componentes Np Número de fases N u Número de Nusselt [-] par Número de Parachor P Pressão [Pa] P r Número de Prandtl [-]
q Termo fonte da propriedade por unidade de volume
Q Fluxo de calor por unidade de área [W/m²]
r Raio [m]
R Resíduo
R Constante universal dos gases ideais [J/(mol.K)]
R Vetor de resíduos
Re Número de Reynolds [-]
t Tempo [s]
T Temperatura [K]
TD Temperatura adimensional [-]
T Tensor de tensão superficial [Pa]
u Energia interna específica [J/Kg]
u Energia interna específica molar [J/mol]
U Energia interna [J]
U Coeficiente de troca de calor [W/(m².K)]
v Volume molar [m³/mol]
v Velocidade [m/s] vs Velocidade do som [m/s] v Vetor de velocidade [m/s] V Volume [m³] ˙ V Vazão volumétrica [m³/s]
w Velocidade da onda de choque [m/s]
x Fração molar [-]
x Vetor posição [m]
X Função indicadora de fase
X Vetor de incógnitas
z Posição no espaço [m]
zc Fração global do componente c
Z Fator de compressibilidade [-]
Alfabeto Grego
α Fração volumétrica [-]
β Coeficiente de expansão térmica [1/K]
βs Coeficiente interpolador das propriedades escalares [-] βv Coeficiente interpolador das propriedades vetoriais [-]
γ Coeficiente de expansão adiabática [-]
δ Espessura da interface [m]
ε Coeficiente de emissividade [-]
Rugosidade [m]
ζ Coeficiente de difusividade térmica [m²/s]
η Coeficiente de Joule-Thomson [ K/Pa]
θ Ângulo de inclinação [◦]
κ Condutividade térmica [W/(m.K)]
µ Viscosidade [Pa.s]
ξ Massa específica molar [mol/m³]
ρ Massa específica [kg/m³]
σ Tensão superficial [N/m]
σB Coeficiente de Stefan-Boltzmann [W.m−2.K−4]
τ Tensor de tensões viscosas [Pa]
φ Geração de uma propriedade devido a forças de corpo
ψ Propriedade intensiva Ψ Propriedade extensiva ω Fator acêntrico [-]
Subscrito
0 Referência an Anular c Componente cas Revestimentoci Parte interna do revestimento
co Parte externa do revestimento
cem Cimentação
C Ponto crítico, convecção D Deslizamento da fase gás e Formação geológica E Energia f Fluido g Gás i Interface ins Isolante j Interface genérica
k Índice da discretização espacial
l Líquido m Massa, mistura M Quantidade de movimento n Número de mols ni Normal à interface p Fase p, c Componente c na fase p R Radiação t Total
ti Parte interna de um tubo
to Parte externa de um tubo
tub Tubo w Poço Ψ Propriedade extensiva
Sobrescrito
∗ Valor especificado 00 Flutuação instantânea IG Condição de gás ideal T Turbulência (n) Iteração temporal(λ) Iteração de um método iterativo
(ν) Iteração do Método de Newton-Raphson
Operadores
∆ Variação de uma grandeza
∇ Gradiente de uma grandeza escalar
∇· Divergente da grandeza vetorial
R
S Integral de superfície
R
V Integral de volume
( ) Média de uma propriedade
( )p Média ponderada na função indicadora de fase
( )ρp Média ponderada na função indicadora de fase e na massa específica ( )ξp Média ponderada na função indicadora de fase e na massa específica
molar
h i Média na área da seção transversal
hh ii Média na fração de vazios da seção transversal P
c Somatório de todos os componentes do escoamento
P
i Somatório de todos os volumes de controle
P
p Somatório de todas as fases do escoamento
P
j Somatório de todas as ocorrências da fase p
Acrônimos
CDS Central Difference Scheme
CFL Courant, Friedrichs e Lewy
NR Newton-Rapson
SC Superfície de controle
SI Sistema Internacional
UDS Upwind Difference Scheme
VC Volume de controle
TUFFP Tulsa University Fluid Flow Projects
Transferência de Calor em Poços Verticais
Resumo
Com a recente produção dos poços do pré-sal diversos desafios tem surgido nas últimas décadas, dentre os quais pode-se destacar o conhecimento do comporta-mento do fluido produzido. Geralmente, esse fluido é uma mistura complexa de hidro-carbonetos que dificultam a modelagem matemática do escoamento. Tal dificuldade pode ser contornada aplicando-se conceitos de média volumétrica nas equações de conservação do escoamento multifásico, obtendo-se um conjunto de equações mé-dias. Além disso, definiu-se diferentes modelos para escoamentos multifásicos, dentre os quais optou-se pelo modelo de mistura drift-flux. O objetivo do presente trabalho foi a elaboração de um simulador numérico para estudo do escoamento transiente multifásico, térmico e composicional que possa lidar com o aparecimento e desapa-recimento de fases. Para isto, as propriedades físicas das fases foram determinadas usando-se uma equação de estado cúbica e o equilíbrio termodinâmico estabelecido através da igualdade das fugacidades de cada componente. A correlação cinemá-tica entre as fases usada foi o modelo de mistura drift-flux de Choi et al. (2012). O fluxo de calor entre o poço e o meio externo foi modelado de forma a considerar tanto um coeficiente de troca de calor constante quanto um esquema de completação tí-pico da indústria do petróleo. As equações de conservação foram discretizadas no espaço pelo método dos Volumes Finitos e no tempo, e resolvidas pelo método implí-cito de Newton-Raphson. A convergência espacial e temporal do método numérico foi verificada utilizando-se um teste de referência na área da dinâmica dos fluidos compu-tacionais: o tubo de choque. Além disso, foi analisado o comportamento transiente do fenômeno de gás retrógrado neste experimento. O correto acoplamento entre a pres-são, temperatura e velocidade, assim como a implementação do fluxo de calor entre o poço e o meio externo foram verificados através de soluções analíticas. O comporta-mento transiente do escoacomporta-mento, foi verificado com os resultados de uma simulação presente na literatura adotando um esquema de completação offshore.
Palavras-chave:
escoamento multifásico composicional; modelo drift-flux ;si-mulador de escoamento transiente; formulação implícita; transferência de calor.
Heat Transfer in Vertical Wells
Abstract
Several challenges have arisen in recent decades with the recent production of pre-salt reservoir, among which can be highlight the knowledge of the behavior of the produced fluids. Usually this fluid is a complex mixture of hydrocarbons that hinder the mathematical modeling of flow. This difficulty can be overcome by applying con-cepts of volumetric average in the multiphase flow conservation equations, obtaining a set of averaged equations. Furthermore, it sets up different models for multiphase flow, among which it was chosen the drift-flux model. The objective of this study was the development of a numerical simulator to study compositional transient multiphase flow that can handle the appearance and disappearance phases. For this, physical properties of phases was determined using a cubic equation of state, and thermody-namic equilibrium established through equality of fugacities of each component. Ki-nematic correlation used between phases was the mixture of drift-flux model of Choi et al. (2012). Heat flow between the well and the external environment was modeled in order to consider both a constant coefficient exchange of heat as a typical comple-tion scheme of the oil industry. The conservacomple-tion equacomple-tions were discretized in time and space (by Finite Volume method) and resolved by the implicit method of Newton-Raphson. The spatial and temporal convergence of the numerical method was verified using a benchmark test in the area of computational fluid dynamics: the pipe shock. Moreover, the transient behavior of the retrograde gas phenomenon was analyzed in this experiment. The correct coupling between pressure, temperature and velocity, as well as implementation of the heat flow between the well and the external environment were checked by analytical solutions. The transient behavior of flow was verified with the results of a simulation present in literature using an offshore completion scheme.
Keywords:
multiphase compositional flow; drift-flux model; transient flowsimu-lation; implicit formusimu-lation; heat transfer in wellbores.
1
Introdução
O termo escoamento multifásico denota o fluxo simultâneo de duas ou mais fases com propriedades diferentes em um mesmo meio. Por fase subentende-se uma região do espaço delimitada por uma interface de espessura infinitesimal que encerra em seu interior um material com composição química homogênea (ROSA, 2012).
Este tipo de escoamento ocorre em diversos dispositivos que estão presentes na maioria das atividades industriais como evaporadores, condensadores e reatores nu-cleares, na indústria de energia; reatores químicos e unidades de destilação, na in-dústria de processos, alimentícia e agrícola; sistemas de combustão e células de combustível, na indústria automotiva; condicionadores de ar e bombas de calor, na indústria de aquecimento e refrigeração; e tubos de calor, na indústria aeroespacial. Nestes exemplos, a previsão da queda de pressão, da perda de carga, das taxas de transferência de massa e energia, da fração de líquido e das mudanças de fases são imprescindíveis (RODRIGUEZ, 2011).
Na indústria do petróleo, misturas complexas de duas ou mais fases podem sur-gir como consequência da diminuição da pressão ao longo da tubulação da coluna de produção, fazendo com que o gás dissolvido no óleo seja liberado e venha a ser produ-zido com o óleo e a água proveniente da formação. Embora o óleo e o gás produprodu-zidos sejam compostos por mais de um componente, como metano, etano, propano e outros hidrocarbonetos, existe uma simplificação desse fenômeno que vem sendo utilizada há anos na indústria do petróleo: o modelo black-oil (BRILL; MUKHERJEE, 1999).
O conceito básico da aproximação black-oil é considerar que existem três compo-nentes e três fases distintas: gás, óleo e água. As fases gás e óleo são caracterizadas através dos seus pesos específicos que são considerados constantes em todo o domí-nio. No modelo black-oil, o gás pode ser dissolvido na fase óleo e suas propriedades são tratadas como funções simples da pressão e temperatura. Por isso, propriedades como a massa específica, viscosidade e volume específico do óleo e do gás são deter-minadas por correlações experimentais para cada pressão e temperatura, bem como
a quantidade de gás dissolvido na fase óleo. Neste modelo, os efeitos da composição com a mudança de pressão e temperatura são negligenciados (POURAFSHARY et al., 2009).
Embora existam problemas nos quais a aproximação black-oil obtém bons resul-tados, há situações em que a mesma não é recomendada como, por exemplo, a pro-dução de hidrocarbonetos de reservatórios ultra profundos com alto teor de contami-nantes. A grande variação de pressão e temperatura ao longo da coluna de produção e a dificuldade do modelo black-oil em representar os contaminantes tornam duvi-doso o uso desta aproximação. Por outro lado, existe a formulação composicional que considera a existência de mais de um componente por fase. Nessa hipótese, cada contaminante poderia ser tratado como um componente e a representação do fenômeno seria mais realista.
O modelo composicional baseia-se na conservação da massa de cada compo-nente e de uma condição de equilíbrio termodinâmico, visto que é permitida a transfe-rência de massa entre as fases. Esta condição pode ser estabelecida pela igualdade dos potenciais químicos, das fugacidades ou dos coeficientes de atividade de cada componente em todas as fases. Para determinar essas propriedades é necessário re-correr a uma equação de estado. As equações de estado mais comuns na indústria do petróleo são as equações cúbicas de Waals (1873), Soave (1972) e Peng e Robinson (1978).
A fim de obter melhores resultados utilizando-se a formulação composicional é necessária uma representação correta dos fenômenos que envolvem a pressão e a temperatura. Por isso, é fundamental a análise da distribuição de temperatura ao longo do poço, a qual depende da dinâmica do escoamento e da troca de calor com a formação geológica. O transporte de quantidade de movimento e o de energia estão fortemente acoplados, já que a composição e fração volumétrica de cada fase é forte-mente influenciada pelos perfis de pressão e temperatura que, por sua vez, dependem das propriedades termodinâmicas dos fluidos envolvidos no processo de transferên-cia de calor. No caso de reservatórios situados a grandes profundidades, estes efeitos são notórios devido à grande diferença entre a temperatura do reservatório e a do assoalho marinho (HASAN; KABIR, 1994).
A dinâmica do escoamento das diversas fases até a superfície é complexa e pode envolver diversos padrões de fluxo que, segundo Rodriguez (2011), podem ser clas-sificados em: fase(s) dispersa(s), fases separadas e padrões combinados (pseudo-separados ou intermitentes). Além disso, a transição entre os padrões de fluxo altera
inteiramente as características do escoamento, causando descontinuidades na formu-lação matemática e gerando problemas de estabilidade e convergência na solução numérica do modelo, em particular, quando o simulador de escoamento multifásico está acoplado a um simulador numérico de reservatório (LIVESCU et al., 2010).
Os dois principais modelos capazes de representar escoamentos multifásicos são o modelo de dois fluidos e o modelo de mistura drift-flux. No primeiro, cada fase é considerada de forma separada, mantendo sua identidade no escoamento. O acopla-mento entre as fases é dado pelos termos interfaciais. Já o segundo, é um modelo de mistura que considera a existência de um único fluido homogêneo com característi-cas reológicaracterísti-cas específicaracterísti-cas. Dessa forma, o problema é tratado como um escoamento monofásico da mistura e o acoplamento entre as fases é dado por uma relação cine-mática denominada drift-flux. Segundo Choi et al. (2013), este modelo é mais aplicável ao padrão de fluxo de fase(s) dispersa(s), enquanto o modelo de dois fluidos obtém bons resultados para problemas com padrão de escoamento de fases separadas.
O correto entendimento de como a mistura multifásica se comporta durante a pro-dução em poços de petróleo, é de fundamental importância para as questões relaci-onadas com o retorno econômico do campo petrolífero (BANNWART et al., 2005). Na literatura, é possível encontrar diversas correlações capazes de prever os perfis de pressão em escoamentos multifásicos, como por exemplo os trabalhos de Duns e Ros (1963), Dukler et al. (1964), Hagedorn e Brown (1965), Orkiszewski (1967), Beggs e Brill (1973), Mukherjee e Brill (1983), Taitel Y. (1989) e Ouyang e Aziz (2001). Já o per-fil de temperatura pode ser determinado através dos trabalhos de Xiao (1987), Sagar et al. (1991), Alves et al. (1992) e Hasan e Kabir (1994) que assumiram uma condição de regime estacionário, no qual as propriedades físicas não variam com o tempo.
Para representar os efeitos temporais do escoamento multifásico, geralmente, re-corre-se aos simuladores numéricos. Isto ocorre porque existe uma grande dificuldade de obter soluções analíticas ou correlações experimentais para alguns escoamentos transientes. Os simuladores numéricos resolvem um sistema de equações diferencias, representativas do fenômeno, através de aproximações numéricas. Estes simuladores podem representar tanto fenômenos estacionários quanto transientes e podem ser construídos acoplados a um reservatório de petróleo ou de forma independente.
Alguns autores desenvolveram modelos para o escoamento em poços de petróleo acoplados a um reservatório como, por exemplo, os estudos de Almehaideb et al. (1989), Winterfeld (1989), Stone et al. (1989), Stone et al. (2002), Pourafshary et al. (2009), Livescu et al. (2010) e Shirdel e Sepehrnoori (2011).
Almehaideb et al. (1989) e Winterfeld (1989) apresentaram uma modelagem para um escoamento oil isotérmico. Stone et al. (1989) propuseram um modelo black-oil trifásico no qual o padrão de escoamento é classificado, baseando-se em dados experimentais. Em um trabalho posterior, Stone et al. (2002) estudaram sistemas com-posicionais isotérmicos utilizando o modelo drift-flux (BAHONAR et al., 2011; LIVESCU et al., 2010).
Pourafshary et al. (2009) desenvolveram um modelo composicional trifásico uti-lizando o modelo drift-flux, para as fases líquida e gasosa, e o modelo homogêneo para as fases líquidas. Segundo Livescu et al. (2010), este trabalho desconside-rou os termos de acúmulo (derivadas temporais) das equações de conservação de massa e energia, embora estes termos sejam fundamentais em simulações transien-tes. Já o trabalho de Livescu et al. (2010) modelou um escoamento transiente trifásico utilizando-se do modelo black-oil. Para o acoplamento entre as fases foi utilizado o modelo drift-flux de Shi et al. (2005) que, segundo o próprio autor, permite capturar o fenômeno de fluxo contra corrente. Por último, o trabalho de Shirdel e Sepehrnoori (2011) apresenta uma formulação implícita de um escoamento transiente utilizando o modelo de dois fluidos e aproximação pseudo-composicional a fim de calcular as propriedades de cada fase.
Na literatura também são reportados trabalhos mais recentes focados no estudo de poços de petróleo de forma independente como, por exemplo, os trabalhos de Soprano et al. (2012), Malekzadeh et al. (2012) e Choi et al. (2013), que representaram numericamente um escoamento transiente isotérmico utilizando o modelo drift-flux.
Portanto, é possível perceber que há um grande interesse no comportamento de escoamentos multifásicos e existem diversos estudos numéricos, matemáticos e ex-perimentais na área.
1.1
Objetivos
A dinâmica do escoamento do fluido do reservatório até a superfície é complexa e podem surgir diversos padrões de fluxo como consequência da despressurização do gás ao longo da coluna de produção. Para se descrever o comportamento termo-dinâmico das misturas complexas de fluidos, será utilizado um modelo multifásico e composicional. Neste trabalho, para que as propriedades físicas dos hidrocarbonetos sejam melhor representadas será utilizada a equação de estado cúbica de Peng e Robinson (1978). Como no modelo composicional existe uma transferência de massa
entre as fases, é necessária uma condição de equilíbrio para as fases do escoamento. Esta condição será dada pelo equilíbrio das fugacidades de cada componente em todas as fases.
Baseando-se nas equações constitutivas da conservação da massa, da quanti-dade de movimento, da energia, de uma relação cinemática, do equilíbrio das fases e de algumas restrições, é possível construir um sistema de equações não-lineares. As propriedades da simulação, como pressão, temperatura, velocidade, fração molar e fração volumétrica, serão obtidas a partir da solução deste sistema utilizando o mé-todo de Newton-Raphson que é capaz de resolver todas as equações em conjunto, acoplando os efeitos de escoamento e da termodinâmica.
Para a modelagem física do escoamento multifásico será utilizado o modelo cine-mático drift-flux que é capaz de representar o escorregamento relativo entre diversas fases do escoamento a partir de correlações já utilizadas com sucesso na indústria do petróleo. O aparecimento e desaparecimento de fases ocorrerá através de uma análise de equilíbrio que será discutida no desenvolvimento do presente trabalho.
Sendo o poço vertical, a transferência de calor entre o fluido e a formação geo-lógica deve ser considerada e será modelada para uma completação convencional. A influência da troca de calor no anular será discutida considerando as duas princi-pais formas de transferência de calor: condução e convecção natural. Para garantir a correta implementação desses fenômenos serão utilizadas soluções analíticas, um aplicativo computacional comercial e comparações com trabalhos correlatos.
Desta forma, o objetivo principal do trabalho é desenvolver um simulador capaz de representar um escoamento transiente multifásico térmico composicional em um poço de petróleo vertical, considerando modelos de transferência de calor do poço com a formação geológica, utilizando o modelo de mistura drift-flux.
1.2
Organização do Documento
O presente trabalho está dividido em sete capítulos seguidos das referências bi-bliográficas e de mais quatro apêndices. No Capítulo 1, Introdução, apresenta-se o escopo do problema, os objetivos e a organização do documento.
No Capítulo 2, Equações Médias de Transporte, são apresentadas as equações médias de transporte para o escoamento multifásico em tubulações. Inicia-se com uma abordagem da formulação instantânea local e das equações de conservação,
seguida do conceito de função indicadora de fase e dos processos de médias neces-sários para obter as equações médias que governam o fenômeno físico.
No Capítulo 3, Escoamento Multifásico Utilizando o Modelo de Mistura Drift-Flux , discute-se a modelagem do escoamento multifásico através das equações médias de conservação apresentadas no Capítulo 2. Além disso, apresentam-se os sistemas de equações capazes de representar os escoamentos multifásicos imiscíveis e mis-cíveis utilizando o modelo de mistura drift-flux, assim como as correlações empíricas propostas por diversos autores.
No Capítulo 4, Transferência de Calor Entre o Poço e a Formação Geológica, realiza-se uma análise das trocas de calor que ocorrem em uma completação con-vencional de um poço vertical a fim de representar os efeitos que influenciam a tem-peratura de forma mais realista. Este fenômeno é adicionado de forma implícita ao sistema de equações através de um termo fonte na equação da energia.
No Capítulo 5, Metodologia Numérica, realiza-se a discretização numérica das equações do modelo de mistura drift-flux e apresenta-se um método totalmente implí-cito para solucionar o sistema de equações não-lineares. No final do capítulo, mostra-se as condições de contorno e um fluxograma do funcionamento do simulador.
No Capítulo 6, Simulações Numéricas de Escoamento de Fluidos em Tubulações, são apresentadas algumas simulações de tubo de choque a fim de verificar a discre-tização numérica através de testes de convergência tanto espacial quanto temporal. Em seguida, é verificada a implementação da mudança de fases com um tubo de cho-que de gás retrógrado e a transferência de calor entre o poço e a formação geológica com soluções analíticas. Finalmente, é realizada uma simulação vertical transiente e comparada com resultados da literatura.
No Capítulo 7, Considerações Finais, apresentam-se as conclusões e sugestões para trabalhos futuros. Após as referências bibliográficas, acrescentam-se os apên-dices. No Apêndice A, Modelagem Termodinâmica, mostram-se as equações para o cálculo das propriedades do fluido dada uma equação de estado e os algoritmos para realizar uma análise de equilíbrio e o cálculo do flash termodinâmico.
Em seguida, no Apêndice B, Modelagem Computacional, apresenta-se a mode-lagem computacional utilizada para implementar o código do simulador através do diagrama de pacotes e dos diagramas de classes.
No Apêndice C, Soluções Analíticas, apresentam-se as soluções analíticas do tubo de choque, do escoamento vertical isotérmico e do escoamento vertical com troca de
calor. Por último, no Apêndice D, Condições de Contorno, apresentam-se as células virtuais e os cálculos necessários para satisfazer as condições de contorno assumi-das.
2
Equações Médias de Transporte
Neste capítulo, será apresentada a formulação instantânea local para um esco-amento monofásico e suas equações de conservação. Estas equações e a função indicadora de fase serão utilizadas para a dedução das equações de conservação do escoamento multifásico.
Devido as flutuações causadas pela passagem das interfaces, estas equações são descontínuas. A fim de transformá-las em funções contínuas, serão definidos e aplicados os processos de média nessas equações, de tal forma a obter as equações médias de transporte para o escoamento multifásico.
2.1
Formulação Instantânea Local do Escoamento
Mo-nofásico
Segundo Kolev (2007), uma fase pode ser definida como um meio contínuo e ho-mogêneo separado por fronteiras bem definidas. Um escoamento multifásico é ca-racterizado por apresentar mais de uma fase, separadas por uma ou mais interfaces. Desta forma, ele pode ser considerado como um escoamento de várias regiões mo-nofásicas separadas por suas interfaces. Sendo válida a hipótese do contínuo, essas regiões podem ser consideradas como meios contínuos onde as equações de conser-vação são válidas em todo o domínio e a transferência de propriedades é dada pelas interfaces, sendo representadas como uma condição de contorno. Em teoria, essas equações podem ser formuladas em cada instante de tempo para cada posição do domínio em que a fase exista. Por isso, segundo Ishii e Hibiki (2010), esta formulação é conhecida como formulação instantânea local.
A seguir, será apresentada a equação de transporte generalizada para o escoa-mento de uma fase que permitirá obter as equações de conservação da massa, da quantidade de movimento e da energia para um escoamento monofásico.
2.1.1
Equação de Transporte Generalizada
As leis de conservação podem ser obtidas para uma dada quantidade de matéria, denominada massa de controle ou sistema, e suas propriedades extensivas como massa, quantidade de movimento e energia (FOX et al., 2011). Entretanto, devido a dificuldade de seguir uma parcela da matéria no escoamento, é mais usual observar o escoamento a partir de uma região no espaço denominada volume de controle. Dessa forma, a equação de transporte generalizada será deduzida para um volume de controle fixo contendo uma única fase.
A equação de transporte generalizada representa a conservação de uma pro-priedade extensiva arbitrária, Ψ, que está associada a uma propro-priedade intensiva ψ = dΨ/dm, e é dada por: Taxa de acúmulo da propriedade Ψ no volume de controle = Fluxo convectivo da propriedade Ψpela superfície de controle + Fluxo difusivo da propriedade Ψ pela superfície de controle + Taxa de geração da propriedade Ψ por fontes externas no volume de controle + Taxa de geração interna da propriedade Ψ no volume de controle , ou, matematicamente: Z VC ∂ (ρψ) ∂t dV = − Z SC (ρψ) v · ndS − Z SC n · JdS + Z VC ρφdV + Z VC qΨdV, (2.1)
onde VC é o volume de controle; SC, a superfície que delimita este volume; ρ, a massa específica; n, o vetor normal à superfície; J, o fluxo difusivo da propriedade Ψ pela superfície de controle; φ, geração da propriedade Ψ devido a forças de corpo; e qΨ, o termo fonte da propriedade Ψ. Este último surge devido à presença de um meio
externo no volume de controle.
Utilizando-se o teorema da divergência de Gauss, que é capaz de transformar a integral de superfície em uma integral de volume, a equação pode ser reescrita como:
Z VC ∂ ∂t(ρψ) + ∇ · (ρψv) + ∇ · J − ρφ − qΨ dV = 0. (2.2)
Como esta equação deve ser válida para qualquer volume de controle, a função a ser integrada deve ser nula e a equação de transporte generalizada, na forma diferen-cial, pode ser escrita como:
∂
∂t(ρψ) + ∇ · (ρψv) = −∇ · J + ρφ + qΨ, (2.3)
tal que o primeiro termo desta equação representa a taxa de acúmulo da propriedade extensiva Ψ por unidade de volume, enquanto que o segundo termo representa a taxa de convecção por unidade de volume. No lado direito, estão os termos de fluxo difusivo, força de corpo e geração interna, respectivamente.
2.1.2
Equações de Conservação
A seguir serão apresentadas as três principais leis de conservação: da massa, da quantidade de movimento (2ª Lei de Newton) e da energia para um escoamento monofásico válidas em todo o volume de controle.
2.1.2.1 Conservação da Massa
Na conservação da massa, a propriedade extensiva conservada é a massa, Ψ = m, e, desconsiderando os fluxos difusivos de massa e de força de corpo, conforme o trabalho de Ishii e Hibiki (2010), tem-se:
ψ = 1, J = 0, φ = 0. (2.4)
Substituindo-se a relação (2.4) na equação de transporte generalizada, Eq. (2.3), a equação de conservação da massa é dada por:
∂ρ
∂t + ∇ · (ρv) = qm, (2.5)
onde qm representa o termo fonte de massa associado a um meio externo atuante no
volume de controle.
molar, como:
∂ξ
∂t + ∇ · (ξv) = qn, (2.6)
onde qn é a vazão molar e ξ é a massa específica molar, definida como a razão entre
o número de mols e o volume da fase.
2.1.2.2 Conservação da Quantidade de Movimento
De acordo com a segunda lei de Newton, a propriedade extensiva que se conserva é a quantidade de movimento, ou seja, Ψ = mv. O fluxo da quantidade de movimento é dado pelo tensor de tensão superficial, T. Já a força de corpo é dada pela atuação da aceleração gravitacional, g. Assim, a equação de conservação da quantidade de movimento, conforme o trabalho de Ishii e Hibiki (2010), pode ser obtida utilizando-se:
ψ = v, J = −T φ = g. (2.7)
Definindo-se I como o tensor unitário, é possível separar o tensor de tensão su-perficial em um termo de pressão, P , e um termo de tensão viscosa, τ , tal que:
T = −P I + τ. (2.8)
Substituindo-se as Eqs. (2.7) e (2.8) na equação de transporte generalizada, Eq. (2.3), a equação de conservação da quantidade de momento é dada por:
∂
∂t(ρv) + ∇ · (ρvv) = −∇P + ∇ · τ + ρg + qM, (2.9) onde qM representa o termo fonte da quantidade de movimento.
2.1.2.3 Conservação da Energia
Assim como a massa e a quantidade de movimento, a energia também é uma pro-priedade extensiva que se conserva no volume de controle. Essa energia é composta pela energia interna, cinética e potencial. Já o fluxo da energia é composto pelo traba-lho gerado pelas forças de superfícies e pelo fluxo de calor por condução, Q. Assim, as variáveis da equação de transporte generalizada, conforme o trabalho de Ishii e
Hibiki (2010), são tais que: Ψ =U + 12mv2 → ψ =u + 1 2v 2 J = Q − T · v φ = g · v , (2.10)
onde U representa a energia interna; e u, a energia interna específica da fase p, na base mássica.
Utilizando-se a equação generalizada do transporte, Eq. (2.3), a equação de con-servação da energia, é dada por:
∂ ∂t ρ u + 1 2v 2 + ∇ · ρ u + 1 2v 2 v = −∇ · Q + ∇ · (T · v) + ρg · v + qE, (2.11)
onde qE é o termo fonte de energia.
Denotando a energia interna específica da fase p, na base molar, por u, a energia interna especifica, na base mássica, pode ser reescrita como:
u = ξ
ρu. (2.12)
Utilizando-se a definição da entalpia específica, na base molar, dada por:
h = u + P
ξ. (2.13)
e a Eq. (2.12), a conservação da energia, Eq. (2.11), pode ser reescrita, em função da entalpia específica, como:
∂ ∂t ξh − P + 1 2ρv 2 + ∇ · ξh − P + 1 2ρv 2 v = −∇ · Q + ∇ · (T · v) + ρg · v + qE. (2.14)
Utilizando-se a definição do tensor de tensão superficial, Eq. (2.8), a equação de conservação da energia, pode ser expressa por:
∂ ∂t ξh + 1 2ρv 2 + ∇ · ξh + 1 2ρv 2 v = ∂P ∂t − ∇ · Q + ∇ · (τ · v) + ρg · v + qE. (2.15)
A metodologia para o cálculo da entalpia depende da equação de estado utilizada, conforme a Seção A.3.4. Já a troca de calor por condução, considerando a condutivi-dade térmica do fluido isotrópico, segundo a lei de Fourier, é dada por:
Q = −κ∇T, (2.16)
onde T representa a temperatura do fluido e a condutividade térmica, κ, é calculada conforme a Seção A.3.7.
2.2
Função Indicadora de Fase
A função indicadora de fase é um recurso utilizado na formulação multifásica para filtrar apenas a ocorrência de uma fase no escoamento. A função indicadora da fase p é definida por:
Xp(x, t) =
1 , se existir a fase pno ponto x 0 , se não existir a fase pno ponto x
. (2.17)
A função indicadora de fase depende do tempo, t, e da posição espacial, x, e é essencial para a descrição do escoamento multifásico visto que com ela é possível alterar o domínio limitado de uma fase para um domínio ocupado por várias fases. A Fig. 1 ilustra a função indicadora de fase em função do tempo, fixando-se uma posição no espaço (x0). A parte inferior da referida figura ilustra o comportamento de
um escoamento vertical para cima em cinco momentos diferentes e a parte superior a respectiva função indicadora da fase dispersa.
A função indicadora de fase também pode ser interpretada fixando-se um tempo qualquer. A Fig. 2 apresenta a função indicadora da fase dispersa para um escoa-mento horizontal, percorrendo-se a direção axial do tubo no instante de tempo t0.
Assim, o escoamento multifásico pode ser considerado como um conjunto de es-coamentos monofásicos, no qual as propriedades de cada fase são filtradas através
Figura 1: Função indicadora de fases em função do tempo, fixando-se uma posição no espaço (x0).
Figura 2: Função indicadora de fases em função do espaço, fixando-se um tempo (t0).
da função indicadora de fase, tal que:
XpF = Fp, (2.18)
mo-nofásico válida em todo o volume de controle, e Fp é uma função contínua por partes
que representa a propriedade da fase p, apenas nas regiões onde essa fase existe. A Fig. 3 ilustra o processo de filtragem para uma fase p de um escoamento multifásico, no instante t0, utilizando a função indicadora de fase para um escoamento
unidimen-sional na direção x.
F
(
x,t
0
)
0
1
X
p
(
x,t
0
)
x
F
p
(
x,t
0
)
Figura 3: Filtragem de uma propriedade qualquer utilizando a função indicadora de fase.
A partir das Figs. 2 e 3, é possível notar que quanto maior for a heterogeneidade do volume de controle, mais descontínua será a função indicadora de fase e, conse-quentemente, mais descontínua será a função que representa a propriedade da fase. A fim de tornar essa função contínua, será utilizado um processo de média, que será discutido a seguir.
2.3
Processos de Média
Na Seção 2.1, deduziram-se as equações de transporte para um escoamento de uma única fase no volume de controle. As equações válidas para comportamento de uma fase qualquer, em um escoamento multifásico, podem ser obtida através da função indicadora de fase. Porém, a intermitente passagem das interfaces produz
flutuações nessas equações, tornando-as descontínuas. A fim de transformar essas equações e as propriedades do escoamento multifásico em funções contínuas, isto é, sem saltos ou descontinuidades, será introduzido o processo de média.
Serão apresentados os principais tipos de médias Eulerianas e os processos de média aplicados no produto de funções e nas funções diferenciais descontínuas.
2.3.1
Médias Eulerianas
De acordo com Ishii e Hibiki (2010), os processos de média podem ser classifi-cados em três grupos principais: média Euleriana, média Lagrangeana e média esta-tística de Boltzman. A média Lagrangeana está diretamente relacionada a descrição Lagrangeana do mecanismo, portanto são mais utilizadas quando o foco do estudo está mais direcionado para o comportamento de uma partícula do que para um grupo de partículas. Por outro lado, a média estatística de Boltzman é indicada quando há um grande número de partículas e o comportamento de cada uma delas é tão com-plexo e caótico que a solução individual se torna impraticável. Essa média é muito utilizada na modelagem de processos estocásticos com variação aleatória das propri-edades do sistema.
Já a média Euleriana é a mais importante e usada para o cálculo de média na mecânica do contínuo, pois é a que melhor se aproxima das observações realizadas na prática. O conceito básico por trás desse processo é a descrição espaço-temporal do fenômeno físico baseando-se na descrição Euleriana. Nessa descrição, as coor-denadas tempo, t, e espaço, x, são variáveis independentes e as outras variáveis são expressas em função destas (ISHII; HIBIKI, 2010).
As principais médias Eulerianas são a temporal e a volumétrica. Segundo Faghri e Zhang (2006), para uma função qualquer F (x, t), a média Euleriana temporal em um certo período de tempo, ∆t, avaliada em qualquer ponto x, é dada por:
b F (x, t) = 1 ∆t Z t+∆t2 t−∆t2 F (x, t0)dt0, (2.19)
ou ainda, por simplificação de notação:
b F = 1 ∆t Z ∆t F (x, t)dt, (2.20)
tal que o período de tempo ∆t é escolhido de forma a ser maior do que a maior escala na qual ocorre uma flutuação local da função e menor do que a escala do processo macroscópico temporal.
Por outro lado, a média Euleriana volumétrica, para um elemento de volume ∆V ao redor do ponto fixo, em qualquer instante t, é dada por:
F = 1
∆V Z
∆V
F (x, t)dV, (2.21)
tal que ∆V , analogamente à ∆t, deve ser escolhido de forma a ser maior do que a maior escala na qual ocorre uma flutuação local da função e menor do que a escala do processo macroscópico espacial.
Considerando um escoamento unidimensional na direção axial, na qual as pro-priedades estão distribuídas uniformemente na seção transversal, a Fig. 4 ilustra o processo de média volumétrica aplicado a uma função contínua F (x, t0) em um
ins-tante t0. Esta figura pode ser interpretada como a variação de uma propriedade de
um escoamento monofásico turbulento. Neste caso, a média volumétrica é capaz de suavizar o comportamento da função.
x
∆
x
F
(
x,t
0
)
F
(
x,t
0
)
Figura 4: Média volumétrica de uma função ruidosa em um instante t0.
A média volumétrica também pode ser aplicada para um escoamento multifásico, porém devido a passagem das interfaces, neste caso a função será descontínua, con-forme a função indicadora de fase. É possível demonstrar, através da definição da
função indicadora de fase, Eq. (2.17), que a sua média volumétrica corresponde à fração volumétrica que a fase ocupa no volume de controle, isto é:
Xp = 1 ∆V Z ∆V XpdV = 1 ∆V Z ∆Vp dV = ∆Vp ∆V = αp, (2.22)
onde ∆Vp representa o volume que a fase p ocupa no volume de controle ∆V ; e αp, a
sua fração volumétrica.
A média volumétrica quando aplicada à função indicadora de fase é capaz de transformá-la em uma função contínua, visto que o elemento de volume ∆V , escolhido para a média volumétrica, é grande o suficiente para contemplar a existência de uma flutuação local, conforme a Fig. 5. Esta figura representa um caso unidimensional, no instante t0, no qual a função indicadora de fase é indicada pela curva em azul; e a sua
média volumétrica, que representa a fração volumétrica da fase, pela curva preta.
x
0
1
∆
x
X
p
(
x,t
0
)
X
p
(
x,t
0
)
Figura 5: Média volumétrica da função indicadora de fase.
Para o caso de um escoamento multifásico, existe também a média volumétrica intrínseca da fase p, definida por:
Fpp = 1 ∆Vp
Z
∆Vp
Fp(x, t)dV, (2.23)
onde Fp representa a função F avaliada para a fase p.
média volumétrica simples, que avalia a propriedade em todo o volume de controle. A Fig. 6 ilustra esse processo de média aplicado a uma função descontínua Fp no
instante t0. Nota-se que a função média F p
p é contínua no espaço, diferentemente da
função Fp.
x
∆
x
F
p
(
x,t
0
)
F
p
p
(
x,t
0
)
Figura 6: Média volumétrica intrínseca da fase p para uma função descontínua. Além dessas, existem as médias ponderadas em algumas propriedades físicas do escoamento. Neste trabalho, serão utilizadas as médias ponderadas na massa específica da fase e na massa específica molar, definidas, respectivamente, por:
Fρpp = R ∆VpρpFpdV R ∆VpρpdV = ρpFp p ρp p (2.24) e Fξpp = R ∆VpξpFpdV R ∆VpξpdV = ξpFp p ξpp . (2.25)
2.3.2
Média do Produto de Funções
A média volumétrica de algumas funções é fundamental para o desenvolvimento da equação média de transporte generalizada como, por exemplo, o produto duas
funções. A média volumétrica do produto entre F e Xp, que representa a propriedade
F avaliada para a fase p, é tal que:
XpF = 1 ∆V Z ∆V XpF dV = 1 ∆V Z ∆Vp FpdV = ∆Vp ∆V 1 ∆Vp Z ∆Vp FpdV ! . (2.26)
Substituindo-se a definição de fração volumétrica, Eq. (2.22), e de média volumé-trica intrínseca da fase, Eq. (2.23), tem-se:
XpF = Fp = αpF p
p. (2.27)
Através das Eqs. (2.24) e (2.27), é possível escrever a média do produto entre a função indicadora de fase, a massa específica e a função F , como:
XpρF = αpρpFp p
= αpρppFp ρp
. (2.28)
Analogamente, a média do produto entre a função indicadora de fase, a massa específica molar e a função F , utilizando-se as Eqs. (2.25) e (2.27), como:
XpξF = αpξp p
Fp ξp
. (2.29)
As Eqs. (2.27)-(2.29) fornecem expressões da média do produto de uma função com a função indicadora de fase, Xp. Quando esta função não está presente é
possí-vel utilizar uma forma alternativa para representar a média do produto de duas funções em um produto de médias, através da decomposição de Reynolds.
Na dinâmica de fluidos e na teoria da turbulência, a decomposição de Reynolds é uma técnica matemática utilizada para separar uma propriedade instantânea, F (x, t), em um valor médio, F (x, t), mais uma flutuação, F00(x, t), ou seja:
F (x, t) = F (x, t) + F00(x, t) . (2.30)
O valor médio pode ser obtido a partir da definição de média volumétrica, Eq. (2.21). Já as flutuações ocorrem devido a distribuição espacial das fases e da pre-sença de vórtices de turbulência. Admitindo-se que o processo de média não altera os valores médios do escoamento, é possível provar que a média das flutuações é nula, ou seja:
F00(x, t) = 0 (2.31)
e ainda, o produto das médias de duas funções F e G pode ser escrito de várias formas:
F · G = F · G = F · G = F · G. (2.32)
Assim, através da decomposição de Reynolds e das Eqs. (2.31) e (2.32), a média do produto de duas funções F e G é dada por:
F.G = (F + F00).(G + G00) = F .G + F .G00+ F00.G + F00.G00
= F .G + F .G00+ F00.G + F00.G00
= F .G + F00.G00. (2.33)
Esta definição pode ser utilizada, por exemplo, no produto entre a velocidade e uma propriedade qualquer ψ, tal que:
ψ.v = ψ.v + ψ00.v00. (2.34)
2.3.3
Médias de Funções Diferenciáveis por Partes
A equação média de transporte, para uma fase qualquer, será deduzida a partir da filtragem das equações de transporte da fase em questão no volume de controle, seguida do processo da média volumétrica. Porém, a filtragem de funções diferenciá-veis, válidas em todo o volume de controle, transforma-as em funções diferenciávies por partes cujo processo de média será abordado a seguir.
Segundo Rosa (2012), a média volumétrica do produto da função indicadora de fase com a derivada temporal e com a derivada espacial de uma função F = F (x, t) é obtida a partir da Regra de Leibniz e do Teorema de Gauss, respectivamente, e são dadas por: Xp ∂F ∂t = ∂ ∂t αpF p p − 1 ∆V X j Z Sj Fp(vi· np) dS (2.35) e
Xp∇F = ∇ αpF p + 1 ∆V X j Z Sj FpnpdS, (2.36)
tal que o somatório representa todas as ocorrências da fase p, que é denotada pela letra j, de tal forma que Sj é a área superfícial e vi é a velocidade interfacial dessa
ocorrência.
Para o caso particular da função F (x, t) ser uma função vetorial, as médias satis-fazem as seguintes relações:
Xp ∂F ∂t = ∂ ∂t αpF p p − 1 ∆V X j Z Sj Fp(vi· np) dS (2.37) e Xp∇ · F = ∇ · αpF p + 1 ∆V X j Z Sj Fp· npdSp. (2.38)
Estas relações serão utilizadas para deduzir as equações médias de transporte, conforme será visto a seguir.
2.4
Equações Médias de Conservação do Escoamento
Multifásico
O escoamento multifásico pode ser visto como um conjunto de escoamentos mo-nofásicos. As equações de conservação de uma fase pode ser obtida, utilizando-se a função indicadora de fase, considerando que esta ocupa todo o volume de controle, onde são válidas as equações apresentadas na Seção 2.1. Na presente seção, será aplicado o processo de média volumétrica nas equações de conservação de cada fase e da mistura, para um escoamento multifásico.
2.4.1
Equação Média de Transporte
A equação de transporte generalizada que representa o escoamento monofásico em todo o volume de controle, conforme a Seção 2.1.1 , é dada por:
∂
Esta equação representa, genericamente, a equação de transporte considerando que uma fase qualquer ocupa todo o volume de controle. A equação média de trans-porte, para a fase p, pode ser obtida multiplicando-se esta equação pela função indi-cadora de fase e aplicando-se o processo de média volumétrica, tal que:
Xp
∂
∂t(ρψ) + Xp∇ · (ρψv) = −Xp∇ · J + Xpρφ + XpqΨ. (2.40) Utilizando-se a regra de Leibniz, conforme as Eqs. (2.35) e (2.36), tem-se:
∂
∂t(Xpρψ) + ∇ · (Xpρψv) = −∇ · (XpJ) + Xpρφ + XpqΨ+ IΨp, (2.41)
onde IΨp representa a entrada da propriedade Ψ na fase p pela interface e pode ser
visto como um termo fonte, tal que:
IΨp = 1 ∆V X j Z Sj (ρpψp) vi· npdS − 1 ∆V X j Z Sj (ρpψpvp+ Jp) · npdS, (2.42) ou ainda: IΨp = − 1 ∆V X j Z Sj [ρp(vp− vi) ψp+ Jp] · npdS. (2.43)
Através das relações de médias, Eqs. (2.27) e (2.28), a equação média de trans-porte pode ser escrita como:
∂ ∂t αpρppψ ρp p + ∇ ·αpρppψpvp ρp = −∇ · αpJ p p + αpρppφp ρp + α∗pqpΨp + IΨp, (2.44)
onde o asterísco no penúltimo termo da equação representa que a fração volumétrica, α∗p, não é necessariamente igual as demais. Este termo está associado ao termo fonte da propriedade.
A média do produto ψpvp pode ser obtida utilizando-se a decomposição de
Rey-nolds, Eq. (2.34), tal que a equação média de transporte, de um escoamento multifá-sico, para uma fase p, pode ser expressa como:
∂ ∂t αpρppψ ρp p + ∇ ·αpρppψ ρp p v ρp p = −∇ ·αp J p p+ J T p + αpρppφ ρp p + α ∗ pq p Ψp + IΨp, (2.45) tal que o primeiro termo desta equação representa a taxa de acúmulo da propriedade extensiva média Ψ por unidade de volume, enquanto que o segundo termo representa a taxa de convecção média por unidade de volume. No lado direito, estão os termos médios do fluxo superficial, da força de corpo, da geração interna e do termo inter-facial, respectivamente, e JT
p representa o fluxo turbulento devido as flutuações da
velocidade e da propriedade Ψp, sendo definido por:
JTp = ρ p pψp00v00p
ρp
. (2.46)
2.4.2
Equação Média da Conservação da Massa
Nesta seção, serão apresentadas as equações médias de conservação da massa de um escoamento multifásico para uma fase, para um componente e para a mistura.
2.4.2.1 Conservação da Massa da Fase
A equação média de conservação da massa da fase p é obtida utilizando-se a equação média de transporte, Eq. (2.45), com:
ψp = 1, Jp = 0, φp = 0, (2.47) tal que: ∂ ∂t αpρ p p + ∇ · αpρppv ρp p = α ∗ pq p mp+ Imp, (2.48)
onde Imp representa a transferência de massa pelas interfaces devido a mudança de
fases e é definido, de acordo com a Eq. (2.43), por:
Imp = − 1 ∆V X j Z Sj [ρp(vp− vi)] · npdS. (2.49)
A equação média da conservação da massa da fase também pode ser escrita, na base molar, ao utilizar o processo de média ponderada na massa específica molar, Eq. (2.29), e considerar que a geração interna, qnp, é dada em mols por segundos, tal
que: ∂ ∂t αpξ p p + ∇ · αpξ p pv ξp p = α∗pqpnp+ Inp, (2.50)
onde Inp representa a transferência de mols pelas interfaces devido a mudança de
fases e é definido, analogamente à Eq. (2.49), por:
Inp = − 1 ∆V X j Z Sj [ξp(vp− vi)] · npdS. (2.51)
Para simulações imiscíveis este termo é nulo, visto que não há transferência de propriedade pela interface.
2.4.2.2 Conservação da Massa da Mistura
Somando-se as equações de conservação da massa de cada uma das fases pre-sentes no escoamento, tem-se:
X p ∂ ∂t αpρ p p + X p ∇ · αpρppv ρp p = X p α∗pqpmp +X p Imp. (2.52)
Considerando que a interface não acumula massa, toda massa que sai de uma das fases é transferida totalmente para as outras, ou seja:
X
p
Imp = 0. (2.53)
A equação média de conservação da massa, na base mássica, é dada por:
∂ ∂t X p αpρXp ! + ∇ · X p αpρXp v Xρ p ! =X p α∗pqXmp. (2.54)
Analogamente, a equação média de conservação da massa, na base molar, utilizando-se a Eq. (2.50), é dada por:
∂ ∂t X p αpξ p p ! + ∇ · X p αpξ p pv ξp p ! =X p α∗pqpnp. (2.55)
2.4.2.3 Conservação da Massa do Componente
Para uma formulação composicional, o sistema é composto por diversos com-ponentes, com cada um deles ocupando uma porcentagem de cada fase existente. Quando essa porcentagem é expressa na forma molar, ela é denominada fração mo-lar e é definida por xp,c, que representa a fração molar do componente c na fase p.
Assim, a conservação média da massa do componente c, analogamente à Eq. (2.55), utilizando-se a definição de média ponderada na massa específica molar, Eq. (2.29), é dada por: ∂ ∂t X p αpξ p px ξp p,c ! + ∇ · X p αpξ p px ξp p,cv xξp p ! =X p α∗pqpnp,c, (2.56) tal que vxξp
p representa a velocidade média volumétrica ponderada no produto da
fra-ção molar e da massa específica molar.
O primeiro termo da Eq. (2.56) representa a taxa de acúmulo do número de mols do componente c no volume de controle, enquanto que o segundo termo representa a taxa de entrada de mols por convecção. Já o termo do lado direito, representa a taxa de geração interna, sendo qnp,c a vazão molar do componente c na fase p. Esta
equação não possui termo interfacial porque não existe transferência de massa entre componentes.
2.4.3
Equação Média da Conservação da Quantidade de Movimento
Nesta seção, serão apresentadas as equações médias de conservação da quan-tidade de movimento de um escoamento multifásico, tanto para uma fase quanto para a mistura.
2.4.3.1 Conservação da Quantidade de Movimento da Fase
A equação média de conservação da quantidade de movimento da fase p é obtida utilizando-se a equação média de transporte, Eq. (2.45), com:
ψp = vp, Jp = −Tp = P − τp, φp = g. (2.57) tal que: ∂ ∂t αpρ p pv ρp p + ∇ · αpρppv ρp p v ρp p = −∇ αpP p + ∇ · αp τpp+ τ T p + αpρppg + α ∗ pq p Mp + IMp, (2.58)
onde P representa a pressão do sistema que foi considerada igual para todas as fases presentes no escoamento; τp, o termo de tensão viscosa; e τpT e IMp, o fluxo turbulento
e a transferência de quantidade de movimento pela interface, respectivamente, e são definidos por: τpT = −JTp = −ρppv00 pv00p ρp (2.59) e IMp = − 1 ∆V X j Z Sj [ρp(vp− vi) vp− Tp] · npdS. (2.60)
2.4.3.2 Conservação da Quantidade de Movimento da Mistura
Somando-se as equações de conservação da quantidade de movimento de cada uma das fases presentes no escoamento, tem-se:
X p ∂ ∂t αpρ p pv ρp p + X p ∇ · αpρppv ρp p v ρp p = − X p ∇ αpP p +X p ∇ · αp τpp+ τpT + X p αpρppg + X p α∗pqpM p+ X p IMp. (2.61)
Desconsiderando-se os efeitos da tensão superficial na interface, toda quantidade de movimento que sai de uma das fases é transferida totalmente para as outras, ou seja:
