Equil´ıbrio de Nash em estrat´egias mistas

2.4 Solu¸c˜oes de um jogo em estrat´egias mistas

2.4.2 Equil´ıbrio de Nash em estrat´egias mistas

Defini¸c˜ao 2.10 (Equil´ıbrio de Nash) Dizemos que um perfil de estrat´egias mistas

p∗_{= (p}∗

1, p∗2, . . . , p∗n)∈ ∆ = ∆m1× ∆m2× · · · × ∆mn

´e um equil´ıbrio de Nash se

ui(p∗i, p∗−i)≥ ui(p, p∗−i)

para todo p ∈ ∆mi, isto ´e, nenhum jogador sente motiva¸c˜ao

de trocar a sua estrat´egia mista se os demais jogadores n˜ao o fizerem.

Exemplo 2.10

(a) No dilema do prisioneiro (Exemplo 2.1), o perfil de estrat´egias mistas

p∗_{= (p}∗

1, p∗2) = (1, 0; 1, 0)

´e um equil´ıbrio de Nash, pois

u1(p1, p∗2) = u1(p11, p12; 1, 0) = 5· p11− 10 ≤

− 5 = u1(1, 0; 1, 0) = u1(p∗1, p∗2)

para todo p1= (p11, p12)∈ ∆2 e

u2(p∗1, p2) = u2(1, 0; p21, p22) = 5· p21− 10 ≤

− 5 = u2(1, 0; 1, 0) = u2(p∗1, p∗2)

para todo p2 = (p21, p22) ∈ ∆2. Observe que este equil´ıbrio

corresponde ao equil´ıbrio em estrat´egias puras s∗= (confessar, confessar).

Mostraremos mais adiante que este é o único equil´ıbrio de Nash em estratégias mistas do jogo.

(b) Na batalha dos sexos (Exemplo 2.2), os equil´ıbrios de Nash em estrat´egias mistas s˜ao

Os dois primeiros perfis de estratégias mistas correspondem às estratégias puras (futebol, futebol) e (cinema, cinema), respectivamente. Mostraremos mais adiante que estes são os únicos equil´ıbrios de Nash em estratégias mistas do jogo.

(0, 1, 0, 0; 0, 1, 0, 0)

que corresponde ao equil´ıbrio de Nash (s12, s22) em estrat´egias

puras.

(d) No jogo de comparar moedas do Exemplo 2.6, o único equil´ıbrio de Nash em estratégias mistas é o ponto

(1/2, 1/2; 1/2, 1/2).

Como no caso de estratégias puras, podemos caracterizar equil´ı- brios de Nash em estratégias mistas através das fun¸cões de melhor resposta. Considere um jogo com espa¸co de estratégias mistas ∆ = ∆m1× · · ·× ∆mi× · · ·× ∆mn. No que se segue, usaremos as seguintes

nota¸c˜oes:

∆(Si) = ∆mi e ∆(S−i) = ∆m1× · · · × ∆mi−1× ∆mi+1× · · · ∆mn.

Defini¸cão 2.11 (Funções de melhor resposta em estra- tégias mistas) A fun¸cão de melhor resposta do jogador gié a

aplica¸c˜ao

MRi: ∆(S−i)→ 2∆(Si)

definida por MRi(p−i) = argmaxp_i∈∆(Si)ui(pi, p−i), isto ´e,

MRi(p−i)

{p∗

i ∈ ∆(Si)| ∀pi∈ ∆(Si), ui(pi∗, p−i)≥ ui(pi, p−i)},

com p−i ∈ ∆(S−i). A fun¸c˜ao de melhor resposta do jogo ´e a

aplica¸c˜ao

definida por

MR(p) = (MR1(p−1), MR2(p−2), . . . , MRn(p−n)),

com p∈ ∆.

Note que, como ∆(Si) ´e um conjunto compacto n˜ao-vazio e a

fun¸c˜ao pi→ ui(pi, p−i) ´e cont´ınua, podemos usar o teorema de Wei-

erstrass para garantir que MRi(p−i) = argmaxp_i∈∆(Si)ui(pi, p−i) ´e

um conjunto n˜ao-vazio para todo p_−i_{∈ ∆(S}−i).

A próxima proposi¸cão é uma conseqüência direta das defini¸cões de equil´ıbrio de Nash e fun¸cões de melhor resposta em estratégias mistas.

Proposi¸c˜ao 2.4 p∗_{= (p}∗

1, . . . , p∗i, . . . , p∗n)∈ ∆ ´e um equil´ıbrio

de Nash em estrat´egias mistas se, e somente se, p∗

i ∈ MRi(p∗−i)

para todo i = 1, . . . , n, isto ´e, p∗_{∈ MR(p}∗_).

Exemplo 2.11 Suponha que, na batalha dos sexos (Exemplo 2.2), a mulher escolha a estrat´egia mista p2= (1/2, 1/2). Qual ´e a melhor

resposta do homem a esta estrat´egia da mulher? Para responder a esta pergunta, observe inicialmente que

uHomem(p1, p2) = uHomem(p11, p12; p21, p22)

= p11· p21· uHomem(futebol, futebol) +

p11· p22· uHomem(futebol, cinema) +

p12· p21· uHomem(cinema, futebol) +

p12· p22· uHomem(cinema, cinema)

= 10_{· p}11· p21+ 5· p12· p22

e, portanto, uHomem(p11, p12; 1/2, 1/2) = 5· p11+ (5/2)· p12. Desta

maneira,

Segue-se que a melhor resposta do homem `a estrat´egia mista p2 =

(1/2, 1/2) da mulher ´e obtida resolvendo-se o seguinte problema de otimiza¸c˜ao:

maximizar 5_{· p}11+ (5/2)· p12

sujeito a p11+ p12= 1,

p11≥ 0,

p12≥ 0,

cuja solu¸c˜ao ´e (p∗

11, p∗12) = (1, 0). Sendo assim, MRHomem(1/2, 1/2) =

{(1, 0)}.

No caso de jogos com apenas dois jogadores, cada um com apenas duas estratégias puras, é poss´ıvel escrever as estratégias mistas de uma maneira mais simplificada:

∆2={(p, 1 − p) ∈ R2 | 0 ≤ p ≤ 1},

isto ´e, cada elemento de ∆2pode ser identificado com um n´umero real

no intervalo [0, 1]. Com isto, as fun¸cões de melhor resposta podem ser reescritas de forma a depender de apenas de um número real. Por exemplo, se o homem escolhe uma estratégia mista (p, 1− p) ∈ ∆2,

qual é a melhor resposta da mulher a esta estratégia do homem? Escrevendo as estratégias mistas da mulher na forma (q, 1_{− q) ∈ ∆}2,

vemos que uMulher(p, 1− p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p = 5 (3 p_{− 2) q + 10 (1 − p).} Sendo assim, MRMulher(p) = argmax(q,1−q)∈∆2(5 (3 p− 2) q + 10 (1 − p)) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p− 2) q + 10 (1 − p)),

onde, por simplicidade, estamos escrevendo MRMulher(p) no lugar

de MRMulher(p, 1− p). Assim, dada a escolha de p ∈ [0, 1] do homem,

a mulher quer encontrar os valores de q∈ [0, 1] que maximizam o valor de sua utilidade uMulher= 5 (3 p− 2) q + 10 (1 − p). Se p ∈ [0, 2/3),

escolher q = 0. Se p = 2/3, então 3 p_{− 2 = 0 e, portanto, a utilidade} uMulher = 10 (1− p) da mulher não dependerá de q. Neste caso, a

mulher poderá escolher qualquer valor de q em [0, 1]. Se p_{∈ (2/3, 1],} então 3 p_{− 2 > 0 e, para maximizar a sua utilidade, a mulher deverá} escolher q = 1. Mostramos então que

MRMulher(p) = ⎧ ⎨ ⎩ {0}, se p∈ [0, 2/3), [0, 1], se p = 2/3, {1}, se p∈ (2/3, 1].

Esta fun¸c˜ao de melhor resposta pode ser representada graficamente, como mostra a Figura 2.3.

1 p(Homem) 0 1 q 2/3 (Cinema) (Cinema) (Futebol) (Mulher) (Futebol)

Figura 2.3: Representa¸cão gráfica da fun¸cão de melhor resposta da mulher no jogo da batalha dos sexos.

Do mesmo modo, se a mulher escolhe uma estrat´egia mista (q, 1_{−q) ∈} ∆2, ent˜ao uHomem(p, 1− p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p = 5 (3 q_{− 1) p + 5 (1 − q),} de modo que MRHomem(q) = argmax(p,1−p)∈∆2(5 (3 q− 1) p + 5 (1 − q)) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q− 1) p + 5 (1 − q)).

Assim, dada a escolha de q _{∈ [0, 1] da mulher, o homem quer en-} contrar os valores de p _{∈ [0, 1] que maximizam o valor de sua utili-} dade uHomem= 5 (3 q− 1) p + 5 (1 − q). Se q ∈ [0, 1/3), ent˜ao 3 q −

1 < 0 e, para maximizar a sua utilidade, o homem deverá escolher p = 0. Se q = 1/3, então 3 q_{− 1 = 0 e, portanto, a utilidade} uHomem = 5 (1− q) do homem não dependerá de p. Neste caso, o

homem poderá escolher qualquer valor de p em [0, 1]. Se q∈ (1/3, 1], então 3 q− 1 > 0 e, para maximizar a sua utilidade, o homem deverá escolher p = 1. Mostramos então que

MRHomem(q) = ⎧ ⎨ ⎩ {0}, se q_{∈ [0, 1/3),} [0, 1], se q = 1/3, {1}, se q_{∈ (1/3, 1].}

Esta fun¸c˜ao de melhor resposta pode ser representada graficamente, como mostra a Figura 2.4.

1 q (Mulher) 0 1 p 1/3 (Cinema) (Cinema) (Futebol) (Homem) (Futebol)

Figura 2.4: Representa¸cão gráfica da fun¸cão de melhor resposta do homem no jogo da batalha dos sexos.

Agora, pela Proposi¸cão 2.4, segue-se que um perfil de estratégias mistas (p∗_{, 1}_{− p}∗_{; q}∗_{, 1}_{− q}∗_{) é um equil´ıbrio de Nash se, e somente se,}

q∗_{∈ MR}

Mulher(p∗) e p∗ ∈ MRHomem(q∗). Desta maneira, os valores

de p∗ _{e q}∗ _{que geram equil´ıbrios de Nash correspondem aos pontos}

resposta da mulher e do homem, quando representadas em um mesmo sistema de eixos, como ilustra a Figura 2.5.

1 p(Homem) 0 1 q 2/3 1/3 (Cinema) (Cinema) (Futebol) (Mulher) (Futebol)

Figura 2.5: Calculando os equil´ıbrios de Nash usando as representa- ¸cões gráficas das duas fun¸cões de melhor resposta.

Vemos, portanto, que a batalha dos sexos possui apenas 3 equil´ıbrios de Nash em estrat´egias mistas:

(0, 1; 0, 1), (2/3, 1/3; 1/3, 2/3) e (1, 0; 1, 0),

que correspondem, respectivamente, aos três únicos pontos de inter- se¸cão (p∗_{, q}∗_{) = (0, 0), (p}∗_{, q}∗_{) = (2/3, 1/3) e (p}∗_{, q}∗_{) = (1, 1) das}

duas representa¸c˜oes gr´aficas.

Exemplo 2.12 ([31], página 17) (O jogo da inspeção) O chefe de uma empresa de computa¸cão desconfia que seu operador de computadores está usando o tempo de servi¸co para “bater papo” na internet. Se o operador trabalha corretamente, ele gasta g em esfor¸co e produz um lucro bruto de v unidades para a empresa. O chefe, por sua vez, pode fiscalizar ou não o trabalho do operador. Fiscalizar custa h unidades para a empresa. Se o operador for pego “batendo papo” na internet, ele perde o seu salário de w unidades (o chefe não pode condicionar o valor do salário w ao valor do lucro bruto v). Para limitar o número de casos a considerar, vamos assumir

que g > h > 0 e que w > g. Os dois jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente (em particular, ao decidir se vai fiscalizar ou não, o chefe não sabe se o empregado decidiu trabalhar ou decidiu “bater papo” na internet). Neste contexto, o jogo da inspe¸cão tem a matriz de payoffs indicada abaixo.

empregado não trabalhar trabalhar ch ef e fiscalizar (_{−h, 0)} (v_{− w − h, w − g)} não fiscalizar (−w, w) (v− w, w − g) Observe que este jogo não possui equil´ıbrio de Nash em estratégias puras e, como ele deve se repetir em cada dia útil de trabalho, não é sensato escolher sempre a mesma estratégia pura para todos os dias. A solu¸cão, neste caso, é escolher entre as estratégias puras a cada dia seguindo uma distribui¸cão de probabilidades, isto é, através de es- tratégias mistas. Como as fun¸cões de melhor resposta do empregado e do chefe são dadas, respectivamente, por

MREmpregado(p) = argmaxq∈[0,1]((−wp + g) q + w − g) = ⎧ ⎨ ⎩ {1}, se p_{∈ [0, g/w),} [0, 1], se p = g/w, {0}, se p_{∈ (g/w, 1],} MRChefe (q) = argmaxp∈[0,1]((+wq− h) p + v (1 − q) − w) = ⎧ ⎨ ⎩ {0}, se q∈ [0, h/w), [0, 1], se q = h/w, {1}, se q∈ (h/w, 1],

segue-se que o (único) equil´ıbrio de Nash em estratégias mistas é obtido tomando-se p∗ _{= g/w e q}∗ _{= h/w. Se, por exemplo, v = 5,}

w = 4, g = 3 e h = 2, ent˜ao (p∗_{, 1}

− p∗_{; q}∗_{, 1}

− q∗_{) = (3/4, 1/4; 1/2, 1/2).}

Isto significa que o chefe deve escolher sua estratégia de acordo com um gerador de números aleatórios com distribui¸cão de probabilidade (3/4, 1/4) e o operador deve escolher sua estratégia de acordo

com um gerador de números aleatórios com distribui¸cão de probabilidade (1/2, 1/2). Isto pode ser feito, por exemplo, com as duas “rodas da fortuna” da Figura 2.6. Fiscalizar Não fiscalizar Trabalhar Não trabalhar chefe empregado

Figura 2.6: Distribui¸c˜oes de probabilidade que constituem um equil´ı- brio de Nash para o jogo do Exemplo 2.12.

A partir deste resultado, podemos calcular o valor ótimo de contrato do empregado, isto é, o valor de w que maximiza o payoff esperado do chefe: uChefe(w) = (+wq∗− h) p∗+ v (1− q∗)− w) = v 1−_wh − w. Se, por exemplo, √vh > g, então este valor ótimo é dado por w∗ ₌

√

vh (note que u′

Chefe(w∗) = 0 e u′′Chefe(w)≤ 0 para w > 0).

Jogos deste tipo tˆem sido usados para se estudar temas como controle de armas ([03, 10, 83]), preven¸c˜ao de crimes ([04]) e incentivos no trabalho ([53]).

Como vimos no jogo de comparar moedas no Exemplo 2.6, existem jogos que não possuem equil´ıbrios de Nash em estratégias puras e, até agora, todos os jogos apresentados em nossos exemplos possuem pelo menos um equil´ıbrio de Nash em estratégias mistas. Uma pergunta natural é se a existência de equil´ıbrios de Nash em estratégias mistas é um resultado geral ou não. A resposta é sim! No próximo cap´ıtulo apresentaremos e demonstraremos o teorema de equil´ıbrio de Nash,

que garante a existˆencia de equil´ıbrios em estrat´egias mistas para jogos finitos.

2.4.3 Rela¸c˜oes entre dominˆancia e equil´ıbrio de

Nash

As Proposi¸cões 2.2 e 2.3 para estratégias puras continuam válidas para estratégias mistas: (1) o processo de dominância estrita iterada em estratégias mistas não pode eliminar um equil´ıbrio de Nash e (2) se o processo de dominância estrita iterada em estratégias mistas deixa apenas um único perfil de estratégias, então este perfil é um equil´ıbrio de Nash do jogo. Não apresentaremos as demonstra¸cões destes resultados aqui. O leitor interessado poderá encontrá-las nas referências [15, 26].

2.4.4 Como interpretar estrat´egias mistas?

Existe muita controvérsia sobre as interpreta¸cões e usos de es- tratégias mistas ([02, 12, 17, 57, 74, 77, 81, 73, 92, 93]). Aumann, por exemplo, em [02], afirma que

“Mixed strategy equilibria have always been intuitively problematic because they are not ‘strict’: a player will not lose if he abandons the randomization and uses instead any arbitrary one of the pure strategy components of the randomization.”

(veja as Equa¸c˜oes 4.1 na p´agina 81) e, segundo Rardner e Roshen- tal ([76]),

“One of the reasons why game-theoretic ideas have not found more widespread application is that randomization, which plays a major role in game theory, seems to have limited appeal in many practical situations.”

Ainda, segundo Rubinstein ([81]),

“The reason for the criticism is that the naive interpreta- tion of a mixed strategy as an action which is conditional on the outcome of a lottery executed by the player before

the game, goes against our intuition. We are reluctant to believe that our decisions are made at random. We prefer to be able to point to a reason for each action we take. Outside of Las Vegas we do not spin roulettes.”

De fato, testes experimentais recentes mostraram que jogadores não seguem a estratégia mista prevista pela teoria, mesmo quando o jogo possui um único equil´ıbrio de Nash em estratégias mistas ([57]).

Existem também certas análises feitas com estratégias mistas que produzem resultados não-intuitivos. Considere, por exemplo, a seguinte situa¸cão. Um contribuinte C deve decidir se vai ou não sonegar imposto, sabendo que existe um fiscal F que pode ou não fiscalizá-lo. Na matriz de payoffs abaixo, vamos assumir que valem as seguintes desigualdades

(1) c21> c11: o contribuinte C prefere n˜ao sonegar se souber que

o fiscal F ir´a fiscalizar,

(2) c12> c22: o contribuinte C prefere sonegar se souber que o fis-

cal F n˜ao ir´a fiscalizar,

(3) f11> f12: o fiscal F prefere fiscalizar se souber que o contribuin-

te C ir´a sonegar e

(4) f22> f21: o fiscal F prefere n˜ao fiscalizar se souber que o contri-

buinte C n˜ao ir´a sonegar.

Você pode pensar que os cij são números negativos que representam

o quanto ser´a debitado de C pelo pagamento de imposto e que os fij

são números positivos que representam bônus salariais de F . F fiscalizar não fiscalizar C sonegar (c11, f11) (c12, f12) não sonegar (c21, f21) (c22, f22) .

Usando a técnica descrita no Exemplo 2.11, vemos que o único equi- l´ıbrio de Nash do jogo é dado por (p∗

C, 1− p∗C; p∗F, 1− p∗F), onde (p∗C, p∗F) = f22− f21 f22− f21− f12+ f11 , c22− c12 c22− c12− c21+ c11 .

Aqui, p∗

Crepresenta a probabilidade com que C decide sonegar e p∗F

representa a probabilidade com que F decide fiscalizar. Dois resultados não-intuitivos advêm destas expressões para p∗

C e p∗F:

(a) Se a receita federal decide aumentar a multa de sonega¸cão, isto é, se ela resolve diminuir o valor de c11, então a freqüência p∗_C de

sonega¸cões não muda e a freqüência de fiscaliza¸cões p∗

F diminui.

(b) Se a receita federal decide aumentar o bônus salarial para os fis- cais que identificam contribuintes sonegadores, isto é, se ela resol- ver aumentar o valor de f11, então a freqüência de fiscaliza¸cões p∗F

não muda e a freqüência de sonega¸cões p∗

C diminui.

Isto acontece porque altera¸cões introduzidas nos payoffs de um jogador afeta apenas a expressão para o perfil de estratégias mistas do equil´ıbrio de Nash do outro jogador (Proposi¸cão da Irrelevância do Payoff [43]).

Existem, contudo, interpreta¸cões que são mais robustas. Uma de- las é imaginar o jogo como uma intera¸cão entre n popula¸cões nume- rosas: cada partida ocorre depois que n jogadores são selecionados de maneira aleatória nestas popula¸cões. As probabilidades piji no

perfil de estrat´egias mistas pi do jogador gi s˜ao interpretadas como

as freqüências dos jogadores que escolheram a estratégia pura siji na

i-ésima popula¸cão. Outra interpreta¸cão é devida a Harsanyi. Apre- sentamos aqui o abstract de seu artigo [39]:

“Equilibrium points in mixed strategies seem to be unsta- ble, because any player can deviate without penalty from his equilibrium strategy even if he expects all other players to stick to theirs. This paper proposes a model under which most mixed-strategy equilibrium points have full stability. It is argued that for any game Γ the players’ uncertainty about the other players’ exact payoﬀs can be modeled as a disturbed game Γ∗_{, i.e., as a game with small}

random fluctuations in the payoﬀs. Any equilibrium point inGamma, whether it is in pure or in mixed strategies, can ‘almost always’ be obtained as a limit of a pure-strategy equilibrium point in the corresponding disturbed game Γ∗ _{when all disturbances go to zero. Accordingly, mixed-}

players may make no deliberate eﬀort to use their pure strategies with the probability weights prescribed by their mixed equilibrium strategies – because the random fluctuations in their payoﬀs willmake them use their pure strategies approximately with the prescribed probabilities.”

Não nos aprofundaremos neste tema polêmico. O leitor interessado pode consultar as referências citadas no in´ıcio desta subse¸cão e, em especial, [81] e a Se¸cão 3.2 de [74].

No documento Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos (páginas 41-54)