A trag´edia dos comuns - Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos

O termo “A Trag´edia dos Comuns” vem de uma par´abola pu- blicada pelo economista pol´ıtico William Forster Lloyd em seu livro

Two Lectures on the Checks to Population de 1833, que depois foi po- pularizada e estendida por Garret Hardin no seu artigo The Tragedy of the Commons publicado na revista Science em 1968 ([38]).

A palavra “tragédia” tem o significado dado por Alfred North Whitehead em seu livro Science and The Modern World : “The es- sence of dramatic tragedy is not unhappiness. It resides in the solem- nity of the remorseless working of things.”. Já a palavra “comuns” designa uma área de pastagem coletiva, sem dono e sem qualquer regulamenta¸cão, usada por pastores na Idade Média, que cuidavam do rebanho de ovelhas para obter a lã que vendiam para a confeçcão de roupas.

Com o crescimento do número de fam´ılias de camponeses ao longo do tempo, ocorreu um aumento do número de ovelhas necessárias para o sustento de cada fam´ılia. Como a área de pastagem era de uso comum, nenhuma fam´ılia tinha incentivo para controlar o número de ovelhas de seu rebanho pois, se o fizesse, outras fam´ılias usariam as pastagens de qualquer forma. Com uma superpopula¸cão de ovelhas, a terra que antes era fértil, come¸cou a se exaurir. A redu¸cão da área de pastagem afetou tanto o rebanho quanto a indústria local de roupas. A parábola mostra, então, que a imprudência em administrar um recurso finito do qual todos se beneficiam pode levar à ru´ına.

Vamos usar teoria dos jogos para modelar uma versão ingênua da tragédia dos comuns. Considere uma aldeia com n pastores e seja oi

o número de ovelhas do i-ésimo pastor, de modo que o número total de ovelhas da aldeia é o = o1+· · · + on. O custo de compra de uma

ovelha é c, independentemente do número de ovelhas que o pastor já possui. O benef´ıcio de um pastor em deixar uma ovelha pastando é v(o) por ovelha. Como o campo de pastagem é um recurso finito, existe um número máximo o de ovelhas que ele pode suportar. As- sim, v(o) > 0 se o < o e v(o) = 0 se o_{≥ o. Naturalmente, v é uma} fun¸cão decrescente, pois quanto mais ovelhas no pasto, menor será a área útil de pastagem para a próxima ovelha. Mais ainda: se existem poucas ovelhas pastando, colocar uma a mais para pastar não vai afetar muito as ovelhas que já estão pastando mas, por outro lado, se existem muitas ovelhas no pasto, digamos, quase que completando a cota máxima o, o acréscimo de uma ovelha prejudica mais acentua- damente a pastagem das demais ovelhas. Admitindo que as ovelhas sejam infinitamente divis´ıveis, estas condi¸cões podem ser modeladas

exigindo-se que v′

≤ 0 e v′′_{< 0. Desta maneira, v tem um gr´afico tal}

como o apresentado na Figura 6.4.

0 o o

v v

Figura 6.4: Gr´afico da fun¸c˜ao v.

Neste jogo, a estratégia do pastor i é a escolha da quantidade de ovelhas que ele deixará no pasto. Podemos então considerar que o conjunto de estratégias puras do pastor i é Si = [0, o). Sua fun¸cão

utilidade ´e dada por

ui(o1, . . . , oi, . . . , on) = oi· v(o1+· · · + oi+· · · + on)− c · oi.

Suponha que c < v = v(0). Vamos caracterizar os equil´ıbrios de Nash o∗ _{= (o}∗

1, . . . , o∗n) tais que

j=1o∗j < o. Para isto, usaremos

as seguintes nota¸c˜oes: σ∗ ₌ n

j=1o∗j e σ∗−i = σ∗− o∗i. Note que a

fun¸c˜ao oi µi −→ ui(oi, o∗−i) = oi· v oi− σ−i∗ − c · oi

tem as seguintes propriedades: (1) µi´e cont´ınua,

(2) µitem a mesma classe de diferenciabilidade de v em [0, o− σ−i∗ ),

(3) µi(0) = 0, µi(o− σ−i∗ ) < 0, µi(oi)≤ 0 para oi≥ o − σ−i∗ ,

(4) µ′

i(0) = v(0)− c > 0, logo µi´e crescente e, portanto, positiva, em

(5) µi´e cˆoncava em

0, o_{− σ}∗ −i .

Logo, a fun¸c˜ao de melhor resposta do pastor i est´a bem definida: MRi(o∗) = argmaxoi∈(0,o−σ_−i∗ )

oi· voi− σ−i∗

− c · oi.

Se o∗

i ∈ MRi(o∗), ent˜ao, pela regra de Fermat, µ′i(o∗i) = 0, isto ´e,

v(o∗

i + σ∗−i) + o∗i · v′(o∗i + σ−i∗ )− c = 0.

Somando-se estas equa¸cões para i = 1, . . . , n e, então, dividindo-se por n, obtemos que σ∗ _{deve satisfazer a seguinte equa¸cão:}

v(σ∗) +1 n· σ

∗

· v′_(σ∗_{) = 0.} _(6.2)

Por outro lado, se o objetivo é maximizar a utilidade coletiva, isto é, a soma das fun¸cões utilidades individuais, então devemos resolver o seguinte problema de otimiza¸cão:

max

o∈(0,o)(o· v(o) − c · o) .

Usando novamente a regra de Fermat, conclu´ımos que uma solu¸c˜ao σ•

deste problema de otimiza¸c˜ao deve resolver a seguinte equa¸c˜ao: v(σ•_{) + σ}•

· v′_(σ•_{) = 0.} _(6.3)

Observe que σ∗ _{> σ}•_{. Com efeito: se, por absurdo, σ}∗ _{≤ σ}•_{, ent˜}_ao

v(σ∗₎_{≥ v(σ}•_{), j´}_{a que v é decrescente. Mas v}′ _{também é decrescente,}

j´a que v′′ _{< 0. Desta maneira, 0 > v}′_(σ∗₎ _{≥ v}′_(σ•_{). Como 0 <}

σ∗_{/n < σ}∗ ≤ σ•_{, segue-se que} σ∗ n · v ′_(σ∗₎ ≥σ ∗ n · v ′_(σ•_{) > σ}• · v′_(σ•₎ e, portanto, 0 = v(σ∗_{) +}σ∗ n · v ′_(σ∗_{) > v(σ}•_{) + σ}• · v′_(σ•_{) = 0,}

uma contradi¸c˜ao. Vemos ent˜ao que o equil´ıbrio de Nash o∗ _coloca

mais ovelhas no pasto do que o n´umero de ovelhas sugerido pelo equil´ıbrio coletivo o•_{. Isto acontece porque cada pastor considera}

apenas o seu próprio benef´ıcio e não o efeito de suas a¸cões sobre os outros pastores.

Convexidade

Neste apêndice apresentaremos as defini¸cões e propriedades bá- sicas de fun¸cões convexas necessárias no texto. As demonstra¸cões omitidas podem ser encontradas em [42].

Defini¸c˜ao A.1 (Conjuntos convexos) Dizemos que U ⊂ Rn _{´e um conjunto convexo se, e somente se, para todo p, q}_{∈ U}

tem-se

(1_{− t) · p + t · q ∈ U,}

para todo t_{∈ [0, 1], isto ´e, se o segmento de reta que une dois} pontos quaisquer de U est´a sempre contido em U .

Teorema A.1 Seja _{Uξ}ξ∈Ξ uma fam´ılia de conjuntos conve-

xos em Rn _Ent˜_ao

ξ∈Ξ

Uξ

tamb´em ´e um conjunto convexo em Rn_.

(a) (b)

Figura A.1: O conjunto da esquerda é convexo enquanto que o da direita não o é.

Defini¸c˜ao A.2 (Semiplanos e Semi-Espa¸cos) Seja a um vetor n˜ao-nulo em Rn _{e seja c um n´}_{umero real. Os conjuntos}

H+={x ∈ Rn | ax ≥ c} e H−={x ∈ Rn | ax ≤ c}

s˜ao denominados, respectivamente, semi-espa¸cos fechados cor- respondentes ao semiplano H ={x ∈ Rn _{| ax = c}.}

Por linearidade, segue-se que semiplanos e semi-espa¸cos s˜ao conjuntos convexos.

Defini¸cão A.3 (Politopos e Poliedros) Um politopo é um conjunto que pode ser expresso como a interse¸cão de um número finito de semi-espa¸cos fechados. Um poliedro é um politopo limitado.

Note que politopos e poliedros s˜ao conjuntos convexos, como interse¸c˜ao de conjuntos convexos.

Defini¸cão A.4 (Combinação convexa) Sejam x1, . . . , xk∈

Rn_{e λ}

1, . . . , λkn´umeros reais≥ 0 tais queni=1λi= 1. A com-

bina¸c˜ao convexa de x1, . . . , xk com pesos λ1, . . . , λk ´e o ponto

(a) (b)

Figura A.2: O conjunto de todas as combina¸cões convexas de (a) dois pontos distintos é um segmento de reta que liga os dois pontos e de (b) três pontos não-colineares é um triângulo (lados e interior) com vértices nos três pontos.

Teorema A.2 Um subconjunto U de Rn _{´e convexo se, e so-}

mente se, toda combina¸c˜ao convexa de pontos de U pertence a U .

Defini¸cão A.5 (Funções convexas e côncavas) (a) Dizemos que uma fun¸cão f : U _{⊂ R}n

→ R definida em um subconjunto convexo U de Rn _{´e convexa se, e somente se,}

f ((1− t) · p + t · q) ≤ (1 − t) · f(p) + t · f(q), (A.1) para todo p, q∈ U e todo t ∈ [0, 1].

(b) Dizemos que uma fun¸c˜ao f : U ⊂ Rn _{→ R definida em um}

subconjunto convexo U de Rn _{´e cˆ}_{oncava se, e somente se,}

f ((1_{− t) · p + t · q) ≥ (1 − t) · f(p) + t · f(q),} (A.2) para todo p, q_{∈ U e todo t ∈ [0, 1].}

A interpreta¸cão geométrica é a seguinte: para uma fun¸cão convexa, o segmento de reta secante que passa pelos pontos (p, f (p)) e (q, f (q)) sempre está acima ou coincide com o gráfico de f para qualquer

segmen to de r eta secant e p 0 y f (p) f (q) q x gráfico de f (1{ t) p+t q. . (1{ t) f(p)+t f(q). . f((1{ t) p +t q. . )

Figura A.3: Para uma fun¸cão convexa, o segmento de reta secante fica sempre acima ou coincide com o gráfico da fun¸cão, para quaisquer escolhas de p e q.

escolha de pontos p e q em U (veja a Figura A.3). Já para uma fun¸cão côncava, o segmento de reta secante que passa pelos pontos (p, f (p)) e (q, f (q)) sempre está abaixo ou coincide com o gráfico de f para qualquer escolha de pontos p e q em U . Note que f é côncava se, e somente se, −f é convexa.

O próximo teorema estabelece o motivo de convexidade ser uma pro- priedade tão desejável em otimiza¸cão.

Teorema A.3

(a) Se f : U_{⊂ R}n_{→ R ´e convexa, ent˜ao todo ponto de m´ınimo}

local de f em U tamb´em ´e ponto de m´ınimo global de f em U .

(b) Se f : U_{⊂ R}n

→ R é côncava, então todo ponto de máximo local de f em U também é ponto de máximo global de f em U .

Teorema A.4 Seja f : U _{⊂ R}n

→ R uma fun¸c˜ao de classe C1

definida em um subconjunto convexo U de Rn_.

(a) f ´e uma fun¸c˜ao convexa em U se, e somente se,

f (q)≥ f(p) + ∇f(p) · (q − p), (A.3) para todo p, q∈ U, isto é, se, e somente se, cada hiperplano tangente ao gráfico de f está sempre abaixo ou coincide com o gráfico de f .

(b) f é uma fun¸cão côncava em U se, e somente se,

f (q)_{≤ f(p) + ∇f(p) · (q − p),} (A.4) para todo p, q_{∈ U, isto é, se, e somente se, cada hiperplano} tangente ao gráfico de f está sempre acima ou coincide com o gráfico de f .

Aqui_{∇f(p) denota o vetor gradiente de f em p.}

0 y

x gráfico de f

Figura A.4: Para uma fun¸cão convexa, cada hiperplano tangente ao gráfico de f está sempre abaixo do gráfico de f .

Defini¸cão A.6 (Funções quase-convexas e quase-côn- cavas)

(a) Dizemos que uma fun¸c˜ao f : U _{⊂ R}n

→ R definida em um subconjunto convexo U de Rn_{´e quase-convexa se, e somente}

se,

{x ∈ U | f(x) ≤ c} ´e um conjunto convexo para todo c∈ R.

(b) Dizemos que uma fun¸c˜ao f : U _{⊂ R}n _{→ R definida em um}

subconjunto convexo U de Rn_{´e quase-cˆ}_{oncavo se, e somente}

se,

{x ∈ U | f(x) ≥ c} ´e um conjunto convexo para todo c_{∈ R.}

Note que f é quase-côncava se, e somente se, _{−f é quase-convexa.} Toda fun¸cão convexa é quase-convexa e toda fun¸cão côncava é quase- côncava. Existem fun¸cões quase-convexas que não são convexas. Por exemplo, a fun¸cão f : R_{→ R definida por y = f(x) =} √3

x2 _{´e quase-}

convexa, mas n˜ao ´e convexa.

0 x

Figura A.5: y = f (x) = √3x2 _{´e quase-convexa, mas n˜}_{ao ´e convexa}

Toda fun¸cão f : R _{→ R monótona é quase-convexa e quase-côncava.} A fun¸cão y = f (x) =_{⌊x⌋ que leva x ∈ R no maior inteiro menor do} que ou igual a x é fun¸cão quase-convexa que não é cont´ınua. A fun¸cão da Figura A.6 é um exemplo de fun¸cão que não é quase-convexa.

Teorema A.5 Seja f : U ⊂ Rn _{→ R uma fun¸c˜ao definida em}

um subconjunto convexo U de Rn_.

(a) As seguintes condi¸cões são equivalentes: (1) f é uma fun¸cão quase-convexa em U .

(2) _∀x1, x2∈ U, ∀t ∈ [0, 1], se f(x1)≤ f(x2), ent˜ao

f (t_{· x}1+ (1− t) · x2)≤ f(x2).

(3) ∀x1, x2∈ U, ∀t ∈ [0, 1],

f (t· x1+ (1− t) · x2)≤ max{f(x1), f (x2)}.

(b) As seguintes condi¸cões são equivalentes: (1) f é uma fun¸cão quase-côncava em U .

(2) _∀x1, x2∈ U, ∀t ∈ [0, 1], se f(x1)≥ f(x2), ent˜ao

f (t_{· x}1+ (1− t) · x2)≥ f(x2).

(3) _∀x1, x2∈ U, ∀t ∈ [0, 1],

f (t_{· x}1+ (1− t) · x2)≥ min{f(x1), f (x2)}.

Teorema A.6 Seja f : U ⊂ Rn _{→ R uma fun¸c˜ao de classe C}1

definida em um subconjunto convexo U de Rn_.

(a) f ´e quase-convexa em U se, e somente se,

0 x y

Figura A.6: Um exemplo de fun¸cão que não é quase-convexa.

(b) f ´e quase-cˆoncava em U se, e somente se,

Programa¸c˜ao Linear

Neste apêndice apresentaremos as defini¸cões e propriedades bá- sicas da teoria de programa¸cão linear necessárias no texto. Para detalhes, demonstra¸cões e extensões, recomendamos os excelentes livros [14, 52].

Um programa linear é um problema de otimiza¸cão onde a fun¸cão que queremos otimizar e as restri¸cões são todas lineares. Por exemplo,

minimizar x1,x2∈R x1+ x2 sujeito a 3 x1+ 2 x2≥ 8, x1+ 5 x2≥ 7, x1≥ 0, x2≥ 0, (B.1)

´e um programa linear. Para resolvˆe-lo, precisamos encontrar um ponto (x1, x2) do conjunto admiss´ıvel

K =_{(x1, x2)∈ R2 | 3 x1+ 2 x2≥ 8, x1+ 5 x2≥ 7, x1≥ 0, x2≥ 0}

que torna o valor da fun¸c˜ao objetivo o(x1, x2) = x1+ x2 o menor

poss´ıvel. O conjunto K está desenhado na Figura B.1. Por inspe¸cão, vemos que a solu¸cão ótima é dada por (x∗

1, x∗2) = (2, 1). Este ponto ´e

a interse¸c˜ao da curva de n´ıvel f (x1, x2) = x1+ x2= c “mais baixa”

que intercepta o conjunto admiss´ıvel.

x1 x2 4 3 1 7 2 0 3

Figura B.1: O conjunto admiss´ıvel do programa linear B.1.

Dizemos que um programa linear está na forma padrão se todas as variáveis de decisão são não-negativas e se todas as restri¸cões são em igualdade: minimizar x1,...,xn ∈ R c1x1+· · · + cnxn sujeito a a11x1 + · · · + a1nxn = b1, .. . ... ... ... ... am1x1 + · · · + amnxn = bm, e x1≥ 0, . . . , xn≥ 0.

Todo programa linear pode ser reescrito na forma padrão com o uso de variáveis de folga. Por exemplo, uma restri¸cão da forma

ai1x1+· · · + ainxn≥ bi

pode ser substitu´ıda, de maneira equivalente, pelas restri¸c˜oes ai1x1+· · · + ainxn− yi= bi e yi≥ 0.

Se uma variável de decisão xipode assumir qualquer valor real, isto é,

substituir xi por ui− vi, a diferen¸ca de dois n´umeros positivos. Se

colocarmos o programa linear B.1 na forma padr˜ao, obtemos o seguinte PL: minimizar x1,x2,y1,y2∈R x1+ x2 sujeito a 3 x1+ 2 x2− y1= 8, x1+ 5 x2− y2= 7, x1≥ 0, x2≥ 0, y1≥ 0, y2≥ 0. (B.2)

Um programa linear pode ser escrito de forma mais compacta usando-se matrizes e vetores:

minimizar x∈Rn c T_x sujeito a Ax = b e x≥ 0, (B.3) onde x _{∈ R}n_{, c} ∈ Rn_{, b}

∈ Rm _{e A ´e uma matriz m}

× n. Note que o conjunto admiss´ıvel K = _{{x ∈ R}n

| Ax = b e x ≥ 0} de um programa linear, quando não-vazio, é um politopo convexo, e que as hipersuperf´ıcies de n´ıvel da fun¸cão objetivo são hiperplanos.

Problemas de maximiza¸cão podem ser transformados em problemas de minimiza¸cão substituindo-se a fun¸cão objetivo o por−o. Mais precisamente, x∗_{é uma solu¸cão ´}_{otima de}

maximizar

x∈Rn c

T_x

sujeito a Ax = b e x_{≥ 0,} se, e somente se, x∗ _{também é solu¸cão de}

minimizar

x∈Rn −c

T_x

sujeito a Ax = b e x≥ 0.

Na teoria de programa¸cão linear, assume-se que m < n (existem mais incógnitas do que restri¸cões em igualdade) e que o posto da matriz A é m, isto é, as m linhas de A são linearmente independentes.

Da teoria de Álgebra Linear sabemos, então, que existem m colunas de A que são linearmente independentes. Renomeando-se ´ındices se necessário, podemos assumir que estas colunas sejam as m primeiras. Isto induz uma decomposi¸cão de A e de x:

A = B C , x = ' xB xC ( ,

onde B é uma matriz m_{×m invers´ıvel. Como o sistema linear Ax = b} é equivalente a BxB+ CxC = b, segue-se então que existe uma

solu¸c˜ao x de Ax = b na forma ' xB 0 ( .

Esta solu¸cão é denominada solu¸cão básica do sistema linear Ax = b associada à base B. As componentes de xB são denominadas

vari´aveis b´asicas.

Teorema B.1 (Teorema Fundamental da Programa¸c˜ao Linear) Considere um programa linear na forma padr˜ao B.3, com A matriz m_{× n de posto m.}

(a) Se o programa linear possui um ponto admiss´ıvel, então ele possui um ponto admiss´ıvel que é uma solu¸cão básica do sistema linear Ax = b.

(b) Se o programa linear possui um ponto ótimo, então ele possui um ponto ótimo que é uma solu¸cão básica do sistema linear Ax = b.

O próximo teorema dá uma interpreta¸cão geométrica para pontos admiss´ıveis que são solu¸cões básicas: eles correspondem aos pontos extremos (vértices) do politopo K ={x ∈ Rn _{| Ax = b e x ≥ 0}.}

Defini¸cão B.1 (Ponto Extremo) Dizemos que um ponto x em um conjunto convexo U é ponto extremo de U se não existem dois outros pontos distintos x1 e x2 em U tais que x = α x1+

Na Figura B.2, x1, x2 e x3 s˜ao os ´unicos pontos extremos do

conjunto admiss´ıvel K do PL B.1. O ponto x4 n˜ao ´e um ponto

extremo de K, pois ele pode ser escrito como uma combina¸c˜ao convexa de x2 ∈ K e x3 ∈ K. Como x6 = α x5+ (1− α) x7 para

algum α _{∈ (0, 1), vemos que o ponto x}6 (no interior do conjunto

admiss´ıvel) também não é um ponto extremo de K.

0 _x 1 x2 4 3 1 7 2 3 x2 x3 x1 x4 x5 x7 x6

Figura B.2: x1, x2 e x3 s˜ao os ´unicos pontos extremos do conjunto

admiss´ıvel do PL B.1.

Teorema B.2 (Equivalência entre Pontos Extremos e Solu¸cões Básicas) Seja A uma matriz m× n de posto m, b um vetor em Rm _{e K =} _{{x ∈ R}n _{| Ax = b e x ≥ 0} o con-}

junto admiss´ıvel de B.3. Então x é um ponto extremo de K se, e somente se, x é um ponto admiss´ıvel que é solu¸cão básica de Ax = b.

Os teoremas B.1 e B.2 dizem que, para se resolver o problema B.3, não é preciso considerar todos os pontos do conjunto admiss´ıvel K: basta procurar pelo ponto ótimo entre os pontos extremos (vértices) de K! O método simplex explora esta estrutura para construir um algoritmo muito popular para se resolver B.3. Outra categoria de métodos que

recentemente ganhou bastante popularidade é a classe dos métodos de ponto interior. Não é nosso propósito estudar estes algoritmos aqui. O leitor interessado poderá consultar os livros [14, 52]. O que é preciso se ter em mente é que programas lineares podem ser resolvidos numericamente de maneira muito eficiente nos dias de hoje. A seguir estabeleceremos resultados sobre dualidade, um conceito fundamental e muito útil em programa¸cão linear.

Defini¸c˜ao B.2 (O problema dual) O problema dual de

minimizar

x∈Rn c

T_x

sujeito a Ax≥ b e x ≥ 0, (B.4) ´e o programa linear

maximizar

λ_∈Rm λ

T_b

sujeito a ATλ_{≤ c e λ ≥ 0,}

(B.5)

onde λTb = m_i=1λibi. B.5 ´e denominado o problema dual

de B.4. Neste contexto, B.4 ´e denominado problema primal.

Por exemplo, o problema dual do programa linear B.1 ´e

minimizar λ1,λ2∈R 8 λ1+ 7 λ2 sujeito a 3 λ1+ λ2≤ 1, 2 λ1+ 5 λ2≤ 1, λ1≥ 0, λ2≥ 0. (B.6)

O problema dual de qualquer programa linear pode ser encontrado convertendo-o para o formato B.4. Por exemplo, como Ax = b se, e somente se, Ax ≥ b e −Ax ≥ −b, o programa linear na forma padr˜ao B.3 pode ser escrito na forma do problema primal B.4 da

seguinte maneira equivalente minimizar x∈Rn c T_x sujeito a ' A −A ( x_≥ ' b −b ( e x_{≥ 0.}

Particionando-se agora as variáveis duais na forma (u, v), o problema dual deste último PL é

minimizar

x∈Rn u

T_b_{− v}T_b

sujeito a ATu− AT_v

≤ c, u ≥ 0 e v ≥ 0.

Fazendo-se λ = u− v, o problema acima pode ser simplificado, o que nos leva ao seguinte par de problemas duais:

Par Dual B.1 (problema primal) minimizar x∈Rn c T_x sujeito a Ax = b, x_{≥ 0,} (problema dual) maximizar λ_∈Rm λ T_b sujeito a ATλ_{≤ c.}

Outros pares de problemas duais de interesse s˜ao dados a seguir.

Par Dual B.2 (problema primal) maximizar x∈Rn c T_x sujeito a Ax = b, x_{≥ 0,} (problema dual) minimizar λ_∈Rm λ T_b sujeito a ATλ_{≥ c.}

Par Dual B.3 (O da Defini¸c˜ao B.2) (problema primal) minimizar x∈Rn c T_x sujeito a Ax≥ b, x≥ 0, (problema dual) maximizar λ_∈Rm λ T_b sujeito a ATλ_{≤ c,} λ≥ 0. Par Dual B.4 (problema primal) maximizar y∈Rm b T_y sujeito a Ay_{≤ c,} y_{≥ 0,} (problema dual) minimizar x∈Rn c T_x sujeito a xT_A_{≥ b}T_, x≥ 0.

Teorema B.3 (Teorema fraco de dualidade) Se x e λ s˜ao admiss´ıveis para os problemas B.3 e B.5, respectivamente, ent˜ao cT_x_{≥ λ}T_b.

Este teorema mostra que um ponto admiss´ıvel para um dos problemas fornece uma cota para o valor da fun¸cão objetivo do outro problema. Os valores associados com o problema primal são sempre maiores ou iguais aos valores associados com o problema dual. Como corolário, vemos que se um par de pontos admiss´ıveis pode ser encontrado para os problemas primal e dual com valores iguais da fun¸cão objetivo, então estes pontos são ótimos.

Teorema B.4 (Teorema forte de dualidade) Se um dos problemas B.3 ou B.5 tem uma solu¸cão ótima finita, então o outro também terá uma solu¸cão ótima finita e, neste caso, os valores das respectivas fun¸cões objetivo são iguais. Se a fun¸cão

objetivo do problema primal não é limitada inferiormente, então o conjunto admiss´ıvel do problema dual é vazio e, se a fun¸cão do objetivo do problema dual não limitada superiormente, então o conjunto admiss´ıvel do problema primal é vazio.

O conjunto admiss´ıvel do problema dual B.6 do programa linear B.1 está desenhado na Figura B.3. Por inspe¸cão, vemos que a solu¸cão ´

otima ´e dada por (λ∗

1, λ∗2) = (4/13, 1/13). Este ponto ´e a interse¸c˜ao da

curva de n´ıvel g(λ1, λ2) = 8 λ1+ 7 λ2= c “mais alta” que intercepta

o conjunto admiss´ıvel. Lembrando que (x∗

1, x∗2) = (2, 1) ´e a solu¸c˜ao

do problema primal B.1, vemos que f (x∗

1, x∗2) = x∗1+ x∗2= 3 = 8 λ∗1+ 7 λ∗2= g(λ∗1, λ∗2),

como afirma o teorema forte da dualidade.

¸1 ¸2 0 3/8 3/7 1/3 1/5 (4/13, 1/13)

Figura B.3: O conjunto admiss´ıvel do problema dual B.6 do programa linear B.1.

Por fim, gostar´ıamos de observar que se a fun¸cão objetivo do programa linear B.3 não é limitada inferiormente no conjunto admiss´ıvel

K =_{{x ∈ R}n

| Ax = b e x ≥ 0} ,

ent˜ao existem ponto extremo x e raio extremo r de K tal que o valor da fun¸c˜ao objetivo de B.3 em x = x + t r tende a−∞ quando t tende a +_{∞. Em particular,}

cTr < 0.

Dizemos que r ´e um raio de K se, e somente se, r= 0 e o conjunto {p ∈ Rn _{| p = x + t r e t ≥ 0} est´a contido em K para todo x ∈ K.}

Um raio r de K ´e extremo, se n˜ao existem outros dois raios r1 e r2

de K (com r1= t r2para todo t > 0) e um escalar s no intervalo (0, 1)

tal que r = s r1+ (1− s) r2. 0 x1 x2 r2 r1 r3 K

Figura B.4: Os vetores r1 e r2 n˜ao s˜ao raios extremos de K. O ve-

Respostas dos exerc´ıcios

Cap´ıtulo 2

[01] O processo de dominância estrita iterada reduz o jogo para uma matriz 1_{×1 com um único perfil de estratégias puras: (s}13, s22).

[02] (a) N˜ao existem estrat´egias dominantes neste jogo.

(b) (l1, c1) e (l2, c2) s˜ao os ´unicos equil´ıbrios de Nash em es-

trat´egias puras do jogo. [03] (a) c2domina estritamente c1.

(b) (l2, c2) é o único equil´ıbrio de Nash em estratégias puras do

jogo.

[04] (a) N˜ao existem estrat´egias dominantes neste jogo.

(b) (desviar, não desviar) e (não desviar, desviar) são os únicos equil´ıbrios de Nash em estratégias puras do jogo.

[05] (a) N˜ao existem estrat´egias dominantes neste jogo.

(b) (brigar, amea¸car) e (amea¸car, brigar) são os únicos equil´ıbrios de Nash em estratégias puras do jogo.

[06] Usando o processo de dominˆancia fraca iterada, o jogo se reduz para uma matriz 3× 3:

Eixo A B C Al ia d o s 1 (+13,−13) (+29,−29) (+ 8,− 8) 3 (+18,−18) (+22,−22) (+31,−31) 6 (+23,₋₂₃₎ (+22,₋₂₂₎ (+19,₋₁₉₎ .

[07] O processo de dominância estrita iterada reduz o jogo para uma matriz 1_{× 1 × 1 com um único perfil de estratégias puras:} (x3, y2, z4).

[08] O processo de dominância estrita iterada reduz o jogo para uma matriz 1× 1 × 1 com um único perfil de estratégias puras: (x2, y1, z2).

[09] O perfil de estratégias (x2, y2, z3) é o único equil´ıbrio de Nash

em estrat´egias puras do jogo.

[10] (a) Para o jogador 1, a estratégia M é fracamente dominada pela estratégia T e também fracamente dominada pela es- tratégia B. Para o jogador 2, a estratégia L é fracamente dominada pela estratégia R.

(b) O processo de elimina¸cão das estratégias fracamente domi- nadas conduz a duas redu¸cões 1× 1: {(B, C)} e {(T, R)}. (c) Os equil´ıbrios de Nash em estratégias puras são (T, C),

(T, R) e (B, C). Note que (T, C) não está entre os per- fis de estratégias encontrados no item anterior.

[11] Suponha, por absurdo, que s∗ _{= (s}∗

1, . . . , s∗n) n˜ao seja um e-

quil´ıbrio de Nash. Ent˜ao devem existir ´ındice i e estrat´egia pura s[1]

i ∈ Si, com s[1]i = s∗i, tais que ui(si∗, s∗−i) < ui(s[1]i , s∗−i).

Como, por hip´otese, o processo de elimina¸c˜ao reduz o jogo apenas para o perfil s∗_{, segue-se que o perfil (s}[1]

i , s∗−i) foi eliminado

em alguma etapa do processo. Dados que as estrat´egias puras em s∗

−i n˜ao foram eliminadas (se o fossem, o perfil (s∗i, s∗−i)

porque a estrat´egia s[1]

i foi fracamente dominada por outra es-

trat´egia s[2]

i . Logo, ui(s[1]i , s−i) ≤ ui(s[2]i , s−i) para todo s−i

que pode ser constru´ıdo com as estratégias que restaram nos espa¸cos de estratégias puras dos outros jogadores neste estágio do processo (que inclui s∗

−i) e, mais ainda, pelo menos para

um s[2]

−i, vale a desigualdade estrita: ui(s

[1] i , s [2] −i) < ui(s [2] i , s [2] −i). Das desigualdades

ui(s∗i, s∗−i) < ui(s[1]i , s∗−i)≤ ui(s[2]i , s∗−i)

e ui(s[1]i , s [2] −i) < ui(s[2]i , s [2] −i) segue-se que s[2] i = s∗i e s [2] i = s [1] i .

Agora, por sua vez, o perfil (s[2]

i , s

[2]

−i) tamb´em foi eliminado du-

rante o processo. Dados que as estrat´egias puras em s[2]

−i n˜ao

foram eliminadas nesta etapa (se o fossem, o perfil (s[1]

i , s

[2]

−i)

também seria eliminado e, portanto, ele não existiria nas eta- pas seguintes), segue-se que a elimina¸cão correu porque a es-

No documento Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos (páginas 139-191)