Definição 5.3. Uma variedade Riemanniana conexaM é chamada de espaço simétrico se para todop∈M, existe uma (única) isometriajp :M →M, tal quejp(p) =pe(djp)p =−Id.
Note que seM é um espaço simétrico, então o grupo de isometrias deM,G={f : M → M;f é isometria}é um grupo de Lie que age transitivamente sobreM. A ação natural éφ : G×M → M, dada porφ((f, x)) = f(x). Portanto, fixando ump ∈ M e considerandoK o subgrupo de isotropia da açãoφemp, obtêm-se um difeomorfismo deM com o quocienteG/K.
Definição 5.4. Diz-se que um espaço simétricoM = G/K é do tipo compacto, se a forma de Cartan-Killing degé negativa definida, ondegé a álgebra de Lie deG.
Para uma classificação dos espaços simétricos compactos, ver [5], página 518. A descrição geométrica de alguns espaços simétricos, pode ser encontrada em [11], pá-gina237. Para o próximo resultado, será preciso conhecer a classificação dos espaços simétricos compactos de posto1. Em resumo, considere a seguinte classificação, para os espaços compactos de posto1:
G K dim descrição geométrica
SO(l+ 1) SO(l) l Esfera O(l+ 1) O(l)× {1,−1} l RPl U(l+ 1) U(l)×U(1) 2l CPl Sp(l+ 1) Sp(l)×Sp(1) 4l HPl
F4 Spin(9) 16 OP2
SU(l+ 1) S(U(l)×U(1)) 2l Grassmaniana complexa
SejaGum grupo de Lie compacto, conexo e simplesmente conexo eKum subgrupo deGtal que postoK =postoG. Seguindo a notação da Seção 5.1, diz-se que um par (G, K)ou o par(∆,∆1)satisfaz a condiçãoA, se para todosα, β ∈∆−∆1, comα6=±β, for verdade queα+β ∈∆ouα−β ∈∆.
Proposição 5.5. Os únicos pares(G, K)como no parágrafo acima, que satisfazem a condição A, são:
(1) (SU(l+ 1), U(l))eG/K =CPlé o espaço projetivo complexo de dimensãol.
(2) (SU(3), T), ondeT é um toro maximal deSU(3)eG/Ké uma variedade flag emC3.
(3) (Spin(2l+ 1), Spin(2l))eG/K =S2l é a esfera de dimensão2l.
Demonstração: Seja ∆um sistema de raízes degcom relação a subálgebra de Cartan te∆1 um subsistema de∆. Se(∆,∆1) satisfaz a condiçãoA e existe um subsistema
∆2, com ∆ ⊃ ∆2 ⊃ ∆1, então (∆,∆2)e(∆2,∆1) também satisfazemA. Desta forma, é interessante determinar o subsistema maximal e em seguida repetir o processo para este novo sistema.
Em Borel e Siebenthal [3], é provado que se ∆1 é um subsistema maximal de ∆, então existe umie um elementos ∈ W, tal quemi é primo es(∆1) = ∆i. Conforme Wallach em[16], se mi = 2 ou1, então o subgrupo maximal K deG, correspondente a∆i é tal queG/Ké um espaço simétrico do tipo compacto. Neste caso, Sugiura [14], Teorema 7, página 415, implica que o par (∆,∆1)satisfaz A se, e somente se, G/K é um espaço simétrico de posto1.
A análise será caso a caso, seguindo a mesma notação apresentada na classificação dos diagramas de Dynkin, no Teorema 1.68.
• Al, coml ≥ 1. Nesse caso, a raiz de altura máxima é β =
l
P
i=1
αi, conforme o
Teorema 1.72. E o único espaço simétrico de posto1correspondente àAlé deter-minado pelo par
(SU(l+ 1), S(U(l)×U(1))).
Além disso, pelo Teorema de Weyl 1.88, uma base ortogonal para a forma real compactasu(l+ 1)determinada porAlé{itR, Ejk−Ekj, i(Ejk+Ekj)}, ondej, k ∈ {1, ..., l+ 1}, com j < k, eté a subálgebra das matrizes diagonais de traço zero, que é uma subálgebra de Cartan. Assim, toda matriz desu(l+ 1)é escrita como:
M =H+X Mas, devido à importância e ao uso dessa teoria, será feito os cálculos aqui utili-zando Borel-Siebenthal[3]. Isso se repetirá nos demais casos.
Afirmação: O subsistema∆1corresponde ao subgrupoS(U(l)×U(1)). De fato,∆1 ={α =P
niαi ∈ ∆;n1 = 0}e a raizα1 determina o espaço gerado por{(E12−E21), i(E12+E21)}. Assim, as matrizes determinadas pelo subsistema
∆1 são da forma
DenoteB = matriz da soma acima é identificada comR. A segunda matriz dessa soma, per-tence à u(l) e têm traço zero, ou seja, determina su(l). Além disso, as parcelas dessa soma comutam em relação produto, assim o seu colchete é nulo, o que mostra que a soma é direta, ou seja, a álgebra de Lie deS(U(l)×U(1))é isomorfa à su(l)⊕R. Além disso,U(l) é um grupo de Lie conexo com álgebra su(l)⊕R.
Logo,U(l)'S(U(l)×U(1)).
Portanto, o par(∆,∆1)determina o item(1)dessa proposição.
Se ∆1 ⊂ ∆1 é um subsistema que satisfaz a condição A, então pelo fato de que ∆1 determina um diagrama do tipo Al−1, pode-se repetir o processo acima, assim, a menos de isomorfismos, tem-se que ∆1 ⊂ {α =
Observe ainda que ∆1 e ∆l são isomorfos, sendo assim, obtêm-se os mesmos resultados para o subsistema∆l.
Sel= 2, além do par(1), tem-se que(∆,∅)satisfaz a condiçãoA.
De modo particular ao que foi calculado anteriormente, uma matrizA ∈su(3) é da formaM =
Retirando os espaços correspondentes às raízesα1eα2, obtêm-se, a forma ma-tricialH = diag{ia1, ia2, ia3}, comtr(H) = 0, a qual representa a subálgebra de Cartan itR.Como toda subálgebra de Cartan é álgebra de um toro maximal, se-gue que o par (∆,∅), determina o item(2) da lista, isto é, o par(SU(3), T), onde T é um toro maximal deSU(3). Isso completa a classificação para o casoAl.
• Dl, coml ≥ 4. O único espaço simétrico de posto 1 correspondente a Dl é a esfera de dimensão ímpar2l−1. Uma das hipóteses inicias exige que dimensão deG/K seja par, assimDl não contribui para esta classificação.
• Bl, coml ≥2. Pelo Teorema1.72, a raiz de altura máxima éβ =α1+ 2
l
P
i=2
αi. O único espaço simétrico de posto1correspondente aBlé a esfera de dimensão2l, ou seja, o par(SO(2l+ 1), SO(2l))que determina o par(3)da lista, uma vez que Spin(l)é o grupo de recobrimento universal deSO(l).
Afirmação: O subgrupoSO(2l)é determinado pelo subsistema∆l.
De fato, conforme descrito na Seção 1.2, uma subálgebra de Cartan deso(2l+1) é representada como H =
, com Λ uma matriz diagonal de ordem l. Utilizando uma álgebra isomorfa àso(2l+1), representa-seM ∈so(2l+ 1)da forma M = e com b e c são anti-simétricas. Considere ainda, a notação utilizada na Seção 1.2, as raízes e os espaços de raízes correspondentes. Desta forma, usando a Observação (1.73) é fácil verificar que∆l ={±(λi−λj),±(λi+λj)}e uma matriz anti-simétricas. Portanto, ∆l é do tipoDl e, portanto, corresponde ao subgrupo SO(2l), o que mostra a afirmação feita.
Desta forma, sel ≥4, entãoBlcontribui apenas com(3)para a lista, devido a
2α2)}é do tipoD2. Os subsistemas∆1 ={±α1}e∆2 = {α1+ 2α2}satisfazem a
anti-simétricas. As matrizes associadas a subálgebra de Cartan são H =
com Λ uma matriz diagonal de ordem 2. Como o espaço de raízes associado à raiz α1, corresponde as matrizes M tais que α12eα21 são os únicos valores não-nulos, concluímos as matrizes determinadas por∆1 são da forma
M =H+
Observe que a matriz C corresponde as matrizes de su(2), o que determina um isomorfismo entresu(2)e a álgebra determinada por
desta soma é determinada pelo tr(B), ou seja, está associada à R. Essa soma é direta, uma vez que as matrizes da soma, comutam entre si.
Portanto, ∆1 determina a álgebra de liesu(2)⊕R, a qual corresponde ao sub-grupoSU(2)×T1 'Sp(1)×T1, ondeT1é um toro de dimensão1. Esse é o item (5)da lista.
Para o subsistema ∆2 considerado acima, a análise é análoga ao que foi feita para∆1 e obtêm-se novamente o subgrupoSp(1)×T1.
Isso conclui o casoBl.
• Cl, coml≥ 3. A raiz de altura máxima é β = 2
O único espaço simétrico correspondente aClé o espaço projetivo dos quatér-nios, que está associado ao par(Sp(l+ 1), Sp(l)×Sp(1)).
Afirmação: O subgrupoSp(l)×Sp(1)é determinado pelo subsistema∆1. No-vamente, descrito na Seção 1.2, sabe-se queM ∈sp(l)se, e só se,M = onde β, γ são matrizes simétricas. Uma subálgebra de Cartan t é a subálge-bra das matrizes diagonais de sp(l), ou seja, H ∈ t se, e só se, H é da forma
A, B eC são obtidas retirando a primeira linha e a primeira coluna das matrizes α, β eγ, respectivamente. Agora, reescreva
M =
e note que a primeira parcela desta soma determina su(2) e a segunda parcela determinaSp(l−1). Como as matrizes comutam, tem-se uma soma direta. Assim,
∆1 determina a álgebrasp(l+ 1)⊕su(2)e corresponde ao subgrupoSp(l−1)×
(o número de Killing é zero) e consequentemente, ∆1 = {β} ∪∆. Logo,˜ (∆,∆)˜ satisfaz a condiçãoA. De modo análogo ao que foi feito para∆1, verifica-se que
∆˜ corresponde ao subgrupoSp(l−1)×T1, ondeT1 é um toro de dimensão um, mostrando que(∆,∆)˜ determina(5)na lista.
A relação encontrada acima, que α±β ∈∆implica queα /∈∆, mostra que se˜
∆1 ⊂∆˜, então(∆,∆1)não satisfazA.
Sel≥4e∆1 ⊂∆1 é um subsistema maximal contendoβ, então
∆1 ⊂ {β} ∪ {α=
l
X
i=2
niαi ∈∆;˜ n2 ≡0 mod 2}.
Neste caso,α1 +· · ·+αl, α2 ∈ ∆−∆1 e(α1+· · ·+αl)±α2 ∈/ ∆, ou seja,∆1 não satisfazA.
Sel = 3, então∆1 ={±β,±(2α2+α3),±(α3)}é um subsistema maximal tal que (∆,∆1)satisfazA. Analisando cada caso, verifica-se que este é o único subsistema possível. Utilizando novamente a descrição de Cl feita na Seção 1.2, obtêm-se que∆1corresponde à álgebrasu(2)⊕su(2)⊕su(2), a qual determina o subgrupo SU(2)×SU(2)×SU(2).
Portanto,(∆,∆1)determina o item(6)da lista.
• El, coml = 6,7,8. Para l = 6, β = α1+ 2α2+ 3α3 + 2α4 +α5 + 2α6 é a raiz de altura máxima. Paral= 7, tem-se queβ =α1+ 2α2+ 3α3+ 4α4+ 3α5+ 2α6+ 2α7 e paral = 8,β = 2α1+ 3α2+ 4α3+ 5α4+ 6α5+ 4α6+ 2α7+ 3α8, conforme Teorema 1.72.
Não existem espaço simétricos de posto1correspondente aEl. Assim, quando mi = 1oumi = 2, tem-se que(∆,∆i)não satisfaz A. Por isso, basta analisar∆i, para os índicesi, tais quemi é um primo, maior que2.
Paral= 6, é suficiente analisar apenas o subsistema∆3. As raízesα2+α3+α4 eα3 pertencem a∆−∆3. Mas, (α2+α3+α4) +α3 eα2+α3+α4−α3 não são raízes. Ou seja,(∆,∆3)não satisfazA.
Paral= 7, é preciso analisar∆3e∆5.
Note queα2+α3+α4, α3 ∈∆−∆3, masα2+α3+α4±α3 ∈/ ∆. Eα4+α5+α6, α5 ∈
∆−∆5, masα4+α5+α6±α5 ∈/ ∆. Assim,(∆,∆3)e(∆,∆5)não satisfazemA.
Paral = 8, deve-se verificar os subsistemas ∆2, ∆4 e∆8. Os casos∆2e∆4 são análogos aos considerados anteriormente. O par(∆,∆8)também não satisfaz A, poisγ =α4+ 2α5+α6+α8eα8pertencem a∆−∆8, masγ±α8não é raiz de
∆.
Portanto, não há nenhum par correspondente aEl.
• F4. Pelo Teorema 1.72, a raiz de altura máxima éβ = 2α1+ 3α2+ 4α3+ 2α4. O único espaço simétrico de posto1, é o plano de Cayley, dado porF4/Spin(9).
A álgebra do grupo Spin(9) corresponde a forma real compacta de B4. Desta forma, deve-se determinar qual subsistema de∆é isomorfo aB4.
Pela Fórmula de Killing dada no Teorema1.63é possível calcular todas as raí-zes positivas deF4 e obtêm-se:
∆+ :{α1, α2, α3, α4, α1+α2, α3+α4, α2+α3, α2+2α3, α1+α2+α3, α1+α2+2α3, α1+ 2α2+2α3, α2+α3+α4, α2+2α3+α4, α2+2α3+2α4, α1+2α2+3α3+α4, α1+α2+α3+ α4, α1+α2+2α3+α4, α1+α2+2α3+2α4, α1+2α2+2α3+α4, α1+2α2+2α3+2α4, α1+ 2α2+ 3α3+ 2α4, α1+ 2α2+ 4α3+ 2α4, α1+ 3α2+ 4α3+ 2α4,2α1+ 3α2+ 4α3+ 2α4}.
Agora, considere o subsistema ∆4 e denote a raiz γ4 =α2+ 2α3 + 2α4. Então, π4 = {γ4, α1, α2, α3} é um sistema de raízes simples para∆4. Além disso, é fácil ver que o diagrama de Dynkin formado pelas raízesα1, α2eα3, é do tipoB3. Para incluir a raizγ4, neste diagrama, é preciso determinar o número de Killing entre γ4eαi, comi= 1,2,3. Tem-se que
2hγ4, α1i
hα1, α1i = 2hα2+ 2α3+ 2α4, α1i
hα1, α1i = 2hα2, α1i
hα1, α1i =−1.
Assim, 2hαhγ41,γ,γ44ii ∈ {−1,−2,−3}. Mas, se 2hαhγ41,γ,γ44ii < −1, então(α1) + 2γ4 deveria pertencer a∆, o que não ocorre. Logo, 2hαhγ1,γ4i
4,γ4i =−1.
Além disso,
2hγ4, α2i
hα2, α2i = 0 = 2hα2, γ4i hγ4, γ4i e 2hγ4, α3i
hα3, α3i = 0 = 2hα3, γ4i hγ4, γ4i .
Desta forma, o diagrama de Dynkin correspondente a∆4é do tipoB4, ou seja,
∆4 é isomorfo a B4. Para B4, o único subsistema que satisfaz A, corresponde a
álgebra de Spin(8). Portanto, o par (F4, Spin(8)) satisfaz A e não existem mais possibilidades paraF4.
• G2. Pelo Teorema 1.72, neste caso a raiz de altura máxima éβ= 2α1+ 3α2. Como não existe espaço simétrico de posto1, correspondente aG2, é suficiente verificar o subsistema∆2.
Calculando as raízes deG2, obtêm-se que
∆ ={±α1,±α2,±(α1 +α2),±(α1+ 2α2),±(α1+ 3α2),±(2α1+ 3α2)}.
Assim,
∆2 ={n1α1+n2α2 ∈∆;n2 ≡0 mod 3}={±α1,±(α1+ 3α2),±(2α1+ 3α2)}.
Consequentemente, ∆−∆2 ={±α2,±(α1 +α2),±(α1 + 2α2)}.Dadosγ1, γ2 ∈
∆−∆2, verifica-se facilmente que γ1 +γ2 ∈ ∆ ouγ1 − γ2 ∈ ∆. Logo, (∆,∆2) satisfazA.
Note que se uma das raízes±α1,±(α1 + 3α2)ou±(2α1 + 3α2)for incluída no conjunto ∆−∆2, então a condição A não é preservada. Ou seja, esse é o único par que satisfaz a condição desejada.
Por fim, veja que∆2é isomorfo à um sistema de raízes deA3.A forma real com-pacta dessa álgebra ésu(3), portanto, o par(∆,∆2)corresponde à(G2, SU(3)).
2
Teorema 5.6. Seja M uma variedade Riemanniana compacta, conexa, simplesmente conexa, com curvatura estritamente positiva e dimensão par. SejaGum subgrupo transitivo do grupo de isometrias deM, conexo e fechado. SejaG˜o recobrimento universal deGeKo subgrupo de isotropia de um ponto deM, em relação a ação induzida deG˜emM. Então,( ˜G, K)é dos pares da Proposição 5.5.
Corolário 5.7. SejaM um espaço homogêneo compacto, simplesmente conexo, com curvatura estritamente positiva e dimensão par. Então,M é difeomorfo à um espaço simétrico de posto1 ou à uma variedade flag no espaço dos complexos, quatérnios ou no plano projetivo de Cayley.
No artigo[15]de 1972, Wallach mostrou pela primeira vez a existência de métrica Riemanniana com curvatura estritamente positiva para os espaços
SU(3)
T , SU(3)
SU(2)×SU(2)×SU(2) e F4
Spin(8).
Para os demais espaços classificados na Proposição 5.5 já se era conhecido a existência de tais métricas, ver[1]de1961.
[1] M. BERGER.Les variétés riemanniennes homogénes normales simplement con-nexes à courbure strictement positive. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Vol. 14, pp.179-246, 1961.
[2] M. BERGER.Trois remarques sur les variétés riemanniennes à courbure positive.
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[3] A. BOREL e T. DE SIEBENTHAL.Les sous-groupes fermés de rang maximum des groupes de Lie clos.Commentarii mathematici Helvetici. Vol 23, pp. 200-221, 1949.
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[16] N. R. WALLACH.On maximal subsystems of root systems.Canad. J. Math, Vol.
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Álgebras
Decomposição em espaços de raízes, 17 Definição
Submersão Riemanniana, 42 Tensor curvatura, 10
Diagramas de Dynkin, 19, 20 Exponencial, 31
Fórmula de Killing, 18 Fluxo local, 7
Forma de Cartan-Killing, 26 Forma real, 27
Grupo de recobrimento, 34
Grupo de recobrimento para espaços homogêneos, 56
Métrica produto, 8 Posto, 20, 62
Raiz de altura máxima, 21 Raiz simples, 18
Subgrupo de isotropia, 31 Teorema
Bonnet, Myers, 12 da função inversa, 5 de Berguer, 39 de Wallach, 46 de Weyl, 27
Forma local das submersões, 5 Toros maximais, 34
Variedade quociente, 33