Grupos de Lie

Nesta seção serão apresentados algumas definições e resultados sobre grupos de Lie, os quais são de suma importância para o desenvolvimento deste trabalho. As demonstrações dos resultados, assim como, outros detalhes sobre a teoria, podem ser encontrados em [13].

Definição 1.92. Um grupo de Lie é um grupo Gcom uma estrutura diferenciável tal que a aplicaçãoG×G→Gdada por(x, y)7→xy⁻¹, x, y ∈G, é diferenciável.

Decorre daí que as translações à esquerda L_x e à direita R_x, dadas por: L_x : G → G, L_x(y) = xyeR_x :G→G, R_x(y) = yx, são difeomorfismos.

Definição 1.93.Diz-se que uma métrica Riemanniana emGé invariante à esquerda sehu, vi_y = hd(L_x)_y(u), d(L_x)_y(v)i_Lx(y), para todox, y ∈G,u, v ∈T_yG, isto é, seL_xé uma isometria.

Analogamente, define-se métrica invariante à direita. Uma métrica Riemanniana invariante à esquerda e à direita é chamada de métrica bi-invariante.

Definição 1.94. Diz-se que um campo de vetores diferenciável X em um grupo de Lie G é invariante à esquerda se, para todo x ∈ G, d(L_x)X = X, isto é, d(L_x)_yX(y) = X(L_x(y)), para qualquery∈G.

Os campos invariantes à esquerda ficam completamente determinados pelos seus valores em algum ponto deG. Isto permite introduzir uma estrutura adicional no es-paço tangente do elemento neutroe ∈ G. A cada vetor X_e ∈ T_eG, associe o campo invariante à esquerdaX definido por Xa = dLaXe, a ∈ G. SejamX, Y campos inva-riantes à esquerda, então o colchete[X, Y]é invariante à esquerda. De fato, para todo x∈Ge toda função diferenciávelf emG, tem-se que

dL_x[X, Y]f = [X, Y](f◦L_x) = X(dL_xY)f −Y(dL_xX)f = (XY −Y X)f = [X, Y]f.

Definição 1.95. Sejam X^l, Y^l campos invariantes à esquerda. Definimos o colchete em T_eG, por[X^l(e), Y^l(e)] = [X^l, Y^l](e). Com esta notação,T_eGé chamada a álgebra de Lie deG, dos campos invariantes à esquerda e é denotada porg.

De agora em diante, os elementos da álgebra de Lie deGserão pensados indiferen-temente como vetores deT_eGou campos deGinvariantes à esquerda.

Para introduzir emGuma métrica invariante à esquerda, tome um produto interno qualquerh,i_e emge defina

hu, vi_x=h(dL⁻¹_x )_xu,(dL⁻¹_x )_xvi_e.

Como L_x depende diferenciavelmente de x, isto fornece uma métrica Riemanniana, evidentemente invariante à esquerda.

Observe que o mesmo pode ser feito de maneira análoga, para campos invariantes à direita. Assim, a álgebra de Lie dos campos invariantes à direita, denotada porg_Ré definida por[X^r(e), Y^r(e)] = [X^r, Y^r](e).

Proposição 1.96. Seja X, Y ∈ T_eG. Então, [X, Y]_r = −[X, Y], onde [·,·]_r e [·,·], são os colchetes definidos emg_Reg, respectivamente.

As álgebras de Lieg_Regsão isomorfas.

Exemplo 1.97. Denote porKos corposRouC. Os exemplos clássicos de grupos de Lie são:

• GL(n,K) = {g ∈M^n×n(K);g é inversível}, chamado de grupo linear geral.

• Sl(n,K) ={g ∈Gl(n,K);detg= 1}, conhecido como grupo linear especial.

• O(n,R) = {g ∈Gl(n;K);gg^t =g^tg =Id}, que recebe o nome de grupo ortogonal.

• SO(n,R) = {g ∈O(n;R);detg = 1}, é chamado de grupo ortogonal especial.

• U(n) ={g ∈GL(n,C);g¯g^t= ¯g^tg =Id}, chamado de grupo unitário.

• SU(n) = {g ∈U(n);detg= 1}, conhecido por grupo unitário especial.

• SejaH à álgebra dos quatérnios. O grupo de lieSp(n) = {g ∈ M^n×n(H);gg¯^t = ¯g^tg = Id}é chamado de grupo simplético.

Existem alguns isomorfismos entre os grupos de lie, como por exemplo: Sp(1) é isomorfo àSU(2)pela aplicaçãoψ :Sp(1)→SU(2)dada por

ψ(a+ib+jc+kd) =





a+ib −c−id c−id a−ib



.

Definição 1.98. Uma ação à esquerda de um grupo G em um conjunto X é uma aplicação φ:G×X →X que satisfaz:

• φ(e, x) =xe

• φ(gh, x) =φ(g, φ(h, x)), para todog, h∈Gex∈X.

Seφé diferenciável, entãoφé chamada de ação diferenciável.

De modo análogo, se define ação à direita.

Neste trabalho, as ações sempre serão diferenciáveis, por isso, de agora em diante, o termo ação será usado somente para aplicações diferenciáveis.

Denota-se porφ_g :X →Xa aplicação que satisfazφ_g(x) = φ(g, x)e porφ_x :G→X a que satisfazφ_x(g) = φ(g, x). Além disso, na notação de ação é comum suprimir o símboloφ, assim as ações à esquerda podem ser denotadas simplesmente porg(x),g·x ougx.

Dadox ∈ X, sua órbita por G, denotada porG·xou Gx, é definida como sendo o conjuntoG·x = {gx ∈ X;g ∈ G}. O conjunto G_x dos elementos de G que fixam xé denominado de subgrupo de isotropia ou estabilizador de x, ou seja, G_x = {g ∈ G;gx=x}.

Definição 1.99. Sejaφuma ação deGemX. Diz-se que:

• A ação é efetiva seg = 1eé o únicog ∈Gtal quegx=x, para todox∈X.

• A ação é livre se os subgrupos de isotropia se reduzem ao elemento neutro de G, isto é, se gx=xpara algumx∈X, entãog =e.

• A ação é transitiva se Xé uma órbita deG, isto é, para todo par de elementosx, y ∈X, existeg ∈Gtal quegx=y.

Proposição 1.100. SejaGum grupo de Lie eφ :G → G/Kuma ação transitiva. Então, φé efetiva se, e somente se,K não contém subgrupos normais deG, além do trivial{e}.

Proposição 1.101. Os campos invariantes (à esquerda ou à direita) são completos, isto é, suas trajetórias se prolongam para(−∞,+∞).

Proposição 1.102. SejamX eY campos de vetores invariantes à direita e à esquerda, respecti-vamente, que coincidem no elemento neutro, isto é,X(e)=Y(e). Então suas trajetóriasXt(e) eY_t(e), que passam pelo elemento neutro coincidem para todot ∈R.

Definição 1.103. SejaX ∈ T_eG. Então,expX = (X_r)_t=1(e) = (X_l)_t=1(e). Como é usual expX também se escreve com e^X. Isso define uma aplicaçãoexp : g → G, ondeg é a álgebra de Lie deG.

Proposição 1.104. Valem as seguintes afirmações:

(1) A aplicação exponencialt 7→exp(tX), X ∈g, é um homomorfismo, isto é, exp(t+s)X = exp(tX) exp(sX) = exp(sX) exp(tX)

e sua imagem{exp(tX);t ∈R}é um subgrupo deG.

(2) SeXé campo invariante à direita entãoXt=Lexp(tX), isto é,Xt(g) = exp(tX)g.

(3) SeXé campo invariante à esquerda entãoXt=Rexp(tX), isto é,Xt(g) =gexp(tX).

(4) exp(0) =e.

(5) Sen∈Z, então(expX)ⁿ= exp(nX). Em particular,(expX)⁻¹ = exp(−X).

Proposição 1.105. d(exp)0 =Id.

Aplicando o Teorema da função inversa, obtêm-se o seguinte corolário.

Corolário 1.106. Existem uma vizinhançaU de0∈ ge uma vizinhançaV deeemGtal que expU :U →V é um difeomorfismo.

Corolário 1.107. SejaGum grupo de Lie conexo e tomeg ∈G. Então, existemX₁,· · · , X_s ∈ gtais queg = exp(X₁)· · ·exp(X_s).

Definição 1.108. Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável. Dois campos de vetores XeY são ditosφ-relacionados sedφx(X(x)) =Y(φ(x)).

Proposição 1.109. SejamX1 eX2 são campos diferenciáveis,φ-relacionado aY1 eY2, respec-tivamente. Então,[X₁, X₂]e[Y₁, Y₂]sãoφ-relacionados.

Proposição 1.110. SejamGeHgrupos de Lie com álgebras de Liegeh, respectivamente. Seja φ:G→Hum homomorfismo diferenciável e tomeX ∈g. Então,φ(exp(X)) = exp(dφ_e(X)).

Proposição 1.111. Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente.

Sejaφ :G →H um homomorfismo diferenciável. Então,dφ_e : g→ hé homomorfismo, isto é, dφ_e[X, Y] = [dφ_eX, dφ_eY].

Definição 1.112. A representação adjuntaAd : G → Gl(g), deGem sua álgebra de Lie gé definida por

Ad(g) =d(L_g◦R⁻¹_g )_e=d(R_g⁻¹ ◦L_g)_e = (dL_g)_g⁻¹ ◦(dR_g⁻¹)_e= (dR_g⁻¹)_g◦(dL_g)_e.

Têm-se queAd(g) = d(C_g)_e, onde C_g(x) = gxg⁻¹. A representaçãoAdé um homo-morfismo diferenciável. Assim, para qualquerg ∈G, Ad(g)é um homomorfismo deg. Na verdade um automorfismo, uma vez queAd(g)⁻¹ =Ad(g⁻¹).

Da Proposição 1.110 se obtém uma igualdade bastante utilizada na teoria de grupos de Lie, que éC_g(expX) = exp(dC_g)_e(X), ou seja,gexp(X)g⁻¹ = exp(Ad(g)X).

Proposição 1.113. Seja G um grupo de Lie, com álgebra de Lie g, com o colchete dado pe-los campos invariantes à esquerda. Então, d(Ad)_e(X) = ad(X), para todo X ∈ g e vale a igualdadeAd(expX) = exp(ad(X)).

Proposição 1.114. SejaGum grupo de Lie e g sua álgebra de Lie. DadosX, Y ∈ g, tem-se que[X, Y] = 0se, e somente se,exp(sX) exp(rY) = exp(rY) exp(sX), para todoss, r ∈R.

Neste caso,exp(X+Y) = exp(X) exp(Y).

Proposição 1.115. SejaGum grupo de Lie com álgebra de Lieg. Então, para qualquer subál-gebra de Liehdeg, existe um único subgrupo conexoH ⊂G, cuja álgebra de Lie éh.

A notação utilizada para o único subgrupoHcom álgebrahseráH =hexphi, o que é consistente, poisH ={exp(X1)· · ·exp(Xs);s≥0eXi ∈h}.

Teorema 1.116. SejamGum grupo de Lie eK ⊂Gum subgrupo fechado. Então, existe uma estrutura diferenciável emG/K, compatível com a topologia quociente, que satisfaz:

(1) dimG/K = dimG−dimK.

(2) A projeção canônicaπ :G→G/K é uma submersão.

(3) Uma funçãof :G/K →M é diferenciável se, e só se,f ◦πé diferenciável.

(4) A ação naturalφ:G×G/K →G/Ké diferenciável. (Essa ação é dada porφ(g, xK) = (gx)K, isto é,g(xK) = (gx)K).

(5) Para cadag ∈ Ga aplicação induzida g : G/K → G/K, xK 7→ gxK é um difeomor-fismo.

Observação 1.117. O Teorema 1.116 também é válido quando se considera as classes laterais à direitaK\G. Neste caso, a ação natural éφ(g, Kx) = K(xg), e consequentemente, a aplicação induzida éKx7→Kxg.

No caso em que H ⊂ G um subgrupo normal e fechado, a variedadeG/H é um grupo de Lie com a estrutura quociente. E sua álgebra de Lie é isomorfa à álgebra quocienteg/h.

Definição 1.118. SejaGum grupo de lie eM uma variedade diferenciável. M é chamada de espaço homogêneo quando existe uma ação transitivaφdeGsobreM.

Teorema 1.119. Seja φ : G×X → X uma ação. Então, a aplicação ξ_x : G/G_x → G·x definida porξx(gGx) =gxé um difeomorfismo.

SeM é um espaço homogêneo, entãoM 'G/K, ondeKé o subgrupo de isotropia G_x, para qualquerx∈M.

Teorema 1.120. Sejaguma álgebra de Lie real comdimgfinita. Então,

(1) Existe um único (a menos de isomorfismo) grupo de Lie conexo e simplesmente conexo G(g)˜ com álgebra de Lieg.

(2) Se G é grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g, então G ' ^G(g)˜_Γ , onde Γ ⊂ G(g)˜ é um subgrupo discreto central, isto é, Γ ⊂ Z( ˜G(g)). Neste caso, Γ é isomorfo ao grupo fundamental deG,π_e(G).

Um conceito relevante para o este trabalho é a noção de toros maximais e suas propriedades. Neste contexto, considere sempre queGé um grupo de Lie compacto e conexo, com álgebra de Lieg. Tem-se que g é um álgebra de Lie compacta, pois a álgebra de Lie de um grupo compacto é sempre compacta.

Definição 1.121. Um toroT emGé um subgrupo compacto, conexo e abeliano.

T é dito toro maximal quando,T =S, para todo toroS ⊃T.

A definição de toro é equivalente a dizer queT é isomorfo a Rⁿ

Zⁿ ' S¹× · · · ×S¹, para algumn ≥1.

Proposição 1.122. SeT ⊂Gé um toro maximal, então sua álgebra de Lieté uma subálgebra de Cartan deg. Reciprocamente, set⊂gé uma subálgebra de Cartan, então

expt=<expt>={exp(X₁) exp(X₂)· · ·exp(X_s);X_i ∈tes≥0}

é um toro maximal.

Ficará claro com os próximos resultados que todos os toros maximais deGpossuem a mesma dimensão. Assim, o termo posto deGé utilizado para se referir a dimensão de um toro maximal T de G. Lembre que na álgebra de Lie g, o posto foi definido como a dimensão da subálgebra de Cartan. Desta forma, a Proposição acima implica que posto deGé igual ao posto deg.

Exemplo 1.123. : ConsidereG = SU(2) = {A ∈ GL(2,C);AA^T = A^TA = Idedet(A) = 1}eg=su(2) ={A∈gl(2,C);A+A^T = 0etr(A) = 0}.

Tem-se quet = {diag{ix,−ix};x ∈ R}é uma subálgebra de Cartan desu(2,C), poisté abeliana maximal. Assim,T = expt, é um toro maximal deSU(2).

Em geral, para matrizes de ordem n, tem-se que expA = Id +A + A² 2! + A³

3! · · ·, em particular, no caso de matrizes diagonais de ordem2, obtêm-se que

exp

Portanto, um toro maximal deSU(2)é dada porT =



Teorema 1.125. Sejam G um grupo de Lie compacto e conexo e T um toro maximal de G. Então,G= [

g∈G

gT g⁻¹, isto é, todo elemento deGé conjugado por um elemento deT.

Este teorema é equivalente a dizer que a aplicação exp : g −→ G é sobrejetora.

De fato, tem-se que o conjugadogT g⁻¹ também é um toro maximal deG, para todo g ∈ G, assim pela Proposição 1.122, existe uma subálgebra de Cartan t ∈ g tal que exp(t) = gT g⁻¹. Desta forma, se G = [

g∈G

gT g⁻¹, então exp : g → G é sobrejetora.

Por outro lado, comog é a união se suas subálgebras de Cartan, a Proposição 1.124 implica queexp(g) ⊂ [

g∈G

gT g⁻¹ ⊂ G. Assim, seexp : g → Gé sobrejetora, segue que G= [

g∈G

gT g⁻¹, o que conclui a equivalência.

Corolário 1.126. O centroZ(G)deGestá contido em todo toro maximal deG. O próximo teorema simplifica a definição de toro maximal.

Teorema 1.127. SejamT um toro maximal deGeSum subgrupo abeliano deGtal queT ⊂S.

Então,T =S.

Isso garante que seT for maximal em relação a propriedade abeliana, entãoT será um toro maximal.

C ^{AMPOS DE} K ^ILLING

Seja(M,h., .i)uma variedade Riemanniana e∇a conexão Riemanniana deM. Definição 2.1. Um campoX ∈X(M)é chamado de Campo de Killing, se satisfaz

h∇_YX, Zi=−hY,∇_ZXi,∀Y, Z ∈X(M).

Proposição 2.2. Um campoX∈X(M)é de Killing se, e somente se, o fluxo local deX é uma isometria.

Demonstração: Uma demonstração dessa equivalência pode ser vista em [6], página

237. 2

Lema 2.3. SeX, Y são Campos de Killing emM, então

2h∇XY, Zi=h[X, Y], Zi −ZhX, Yi,∀Z ∈X(M).

Demonstração: Como ∇é a conexão Riemanniana, tem-se que ∇é simétrica e compa-tível com a métrica. Disso e do fato de queXeY são de Killing, conclui-se que

h[X, Y], Zi −ZhX, Yi = h∇_XY, Zi − h∇_YX, Zi − h∇_ZX, Yi − hX,∇_ZYi

= h∇_XY, Zi+

hY,∇_ZXi −

h∇_ZX, Yi − hX,∇_ZYi

= 2h∇_XY, Zi.

2

2.1 Teorema de Berger

Para o próximo resultado, considere a aplicação AX : TpM → TpM, definida por A_X(v) =∇_vX,∀v ∈T_pM eX ∈X(M).

Lema 2.4. Suponha queX é um Campo de Killing emM eRo tensor curvatura deM. Seja f :M →R, a função dada por,f(q) = hX, Xi_q. Sep∈M é um ponto crítico def, então

hA_X(Z_p), A_X(Z_p)i= 1

2Z_pZhX, Xi+hR(X, Z)Z, Xi_p eh(A_XZ)_p, Xi= 0.

Demonstração: Tem-se que

0 =df_p(Z) = Z(f)(p) =ZhX, Xi_p =h∇_ZX, Xi_p+hX,∇_ZXi_p = 2h∇_ZX, Xi_p.

Assim,

hA_X(Z), Xi_p = 0. (2.1)

Além disso, comoXé de Killing, as seguintes equações são válidas:

−h∇_XX, Zi = h∇_ZX, Xi (2.2)

h∇_[X,Z]X, Zi = −h∇_ZX,[X, Z]i (2.3)

h∇_ZX, Zi = −h∇_ZX, Zi. (2.4)

Então, S = 1

2ZZhX, Xi+hR(X, Z)Z, Xi

= 1

2Z(2h∇ZX, Xi) +h−R(X, Z)X, Zi

(2.2)

= Z(−h∇XX, Zi) +h∇Z∇XX− ∇X∇ZX+∇[X,Z]X, Zi

= −

((h∇_Z((∇_X((X, Zi − h∇(( _XX,∇_ZZi+

((h∇_Z((∇_X((X, Zi − h∇(( _X∇_ZX, Zi+h∇_[X,Z]X, Zi

(2.3)

= −h∇_XX,∇_ZZi − h∇_X∇_ZX, Zi − h∇_ZX,[X, Z]i

= −h∇_XX,∇_ZZi −Xh∇_ZX, Zi+h∇_ZX,∇_XZi − h∇_ZX,∇_XZ− ∇_ZXi

(2.4)

= −h∇_XX,∇_ZZi+h∇_ZX,∇_ZXi.

Agora, pela equação (2.1), h∇_XX, Zi_p = −h∇_ZX, Xi_p = 0,∀Z ∈ X(M). Assim,

∇_XX(p) = 0, logoh∇_XX,∇_ZZi_p = 0.

Por fim,hA_X(Z_p), A_X(Z_p)i= ¹₂Z_pZhX, Xi+hR(X, Z)Z, Xi_p.

2

Teorema 2.5. (Teorema de Berger) SejaM uma variedade Riemanniana de dimensão par, com-pacta, conexa e com curvatura seccional estritamente positiva. SeXé um Campo de Killing em M, entãoXpossui (pelo menos) um ponto de singularidade.

Demonstração: Suponha por absurdo que X_m 6= 0, para todo m ∈ M. Como M é compacto e a aplicaçãof : M → R, definida porf(m) = hX, Xi_m é contínua, segue que f possui um ponto de mínimo p. SejaS = X_p^⊥, o subespaço ortogonal a X_p em T_pM. Veja quedimS é ímpar, uma vez quedimS= dimT_pM −1 = dimM −1.

Pelo Lema 2.4, vale quehA_X(Z_p), Xi = 0. Assim, seZ_p = z ∈ S, entãohA_X(z), Xi_p é0. Disso, segue queA_X(z)∈S.

Desta forma, pode-se considerar a aplicaçãoB =A_X|_S :S →S, que satisfaz:

• B é Linear, este fato segue direto das propriedades da conexão e do produto interno.

• B é injetora. De fato, tome um elemento não-nuloz ∈ S. Aplicando o Lema 2.4, segue que

kB(z)k² = hAX(z), AX(z)i

= 1

2ZZhX, Xip+hR(X, Z)Z, Xip

= 1

2ZZhX, Xip+K(Xp, Zp)|Xp∧Zp|².

Neste caso,|X_p∧Z_p|² =|X_p||Z_p|eK(X_p, Z_p)>0por hipótese. Logo, a parcela K(X_p, Z_p)|X_p ∧Z_p|² é positiva. Além disso, como pé ponto de mínimo de f, a segunda derivada de f em pdeve ser não-negativa, logo Z_pZhX, Xi ≥ 0,∀Z ∈ X(M). Isto é,kB(z)k² >0, e consequentementeB(z)6= 0. Logo,B é injetora.

• Bé isomorfismo. A sobrejetividade deBsegue do Teorema do Núcleo e Imagem.

Assim, pelos itens anteriores,B é um isomorfismo.

• B é antissimétrica. Como X é de Killing, vale que hA_X(z), yi = h∇_zX, yi_p =

−h∇_yX, zi_p =−hA_X(y), zi. Isto mostra queBé antissimétrica.

Por fim, considerando a forma matricial deB, conclui-se que detB = det(−B^t) = (−1)^dimSdetB^t=−detB, poisdimSé ímpar. Donde segue quedetB = 0, o que é um absurdo, uma vez queBé um isomorfismo.

Portanto, existe um pontom ∈M tal queXm = 0.

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